第二節 第二節
第二節 數感的理論架構 數感的理論架構 數感的理論架構 數感的理論架構
雖然數感並不容易定義，但卻可以很容易的辨認出其特徵，也可透過國內 外許多專家對數感的分析與看法，找出其架構的共通性。
Thompson 和 Rathmell (1989) 將數感分成四個部分：
1.瞭解數字的意義與關係：包含了整數、小數、分數與其分解和合成。例如：
28 可以是由 20 和 9 組成，也可以由 25 個“一”所組成，或由 2 個“十”
和8 個“一”所組成，也是可以是 7×4 所形成的。
2.瞭解數字大小的相對關係：瞭解數字的比較或是排序。例如：可以理解 3 1
是介於2 1和
4
1之間。1998 比較接近 2000，而離 1000 比較遠。
3.知道運算對數字的影響：瞭解運算符號的意義、使用時機、與相互關係。
例如：可以理解被乘數乘以比1 小的數所得到的積會比原被乘數小，32×
0.88<32；或被除數除以比 1 小的數所得到的商會比原被除數大，21÷
0.65>21。
4.能在生活情境中找出合理的參照標準：當孩童知道教室的面積約 50 平方 公尺時，就可以以此為參照標準，去估計操場的面積約有多大。
Sowder (1992b) 則將數感的組成架構分成九部份：
1.數字的分解與合成：在不同表徵間彈性轉換，瞭解何時某個表徵比另一個 更方便使用的能力。例如：部份六年級學童在計算16×25時，會將25視為
4
100，然後再計算出16×
4
100的結果。
2.比較數字相對的大小的能力：包含數字的比較與排列，例如：23比32小；
有理數稠密性的瞭解與使用，例如：0.1和0.01之間有無限多個小數；比 較相對差異大小，例如：7和9之間與127和129之間的差異，絕對大小是 相同的，但是相對大小卻又是不同。
3.處理數字絕對大小的能力：學童所背的背包不可能超過100公斤。
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4.找出合理參照點的能力：使用1當作參照點，則 10
9 ＋ 11
10會接近2，但是還
是比2略為小一點。
5.連結數字、運算及符號的能力：計算105-23，可以分成兩個部份分別計算，
100-20＝80，5-3＝2，80＋2＝82。
6.理解運算對數字影響的能力：348-289＝59，則358-289會等於59＋10＝69
（知道利用補償策略）；350-291＝59，則348-289亦等於59（被減數和減 數同時減少相同的量，則差不變）。
7.透過數與運算的特質，運用不同策略進行心算的能力：25×16，可以轉換 為25×4×4，所得到的結果為400。
8.估算答案合理性的能力：知道何時做適當估算。例如：10.1×29.9≒10×30，
所以則10.1×29.9的結果接近300。
9.理解數字的意義的能力：學童相信數學是有意義的，而且能夠發現數字活 動的意義，這種能力會引導個人對答案做合理性的判斷。
McIntosh, Reys 和 Reys (1992) 認為，數感是使用數字和數量當成溝通、處 理和解釋資訊的方法。他們認為數感包含三個領域：數字概念、運算及數字與 運算的應用，其架構如下：
1.數字概念
數字順序的理解、數字與運算的多重表徵、數字相對與絕對大小的比較、
參照點的使用。
2.運算
了解運算對數字的影響、了解數學的特性、了解運算之間的關係。
3.應用數字與計算於情境中
了解問題情境與運算的關係、發展多重的計算策略、使用不同的表徵、
判斷答案的合理性。
此外, McIntosh, Reys 和 Reys (1992) 亦以另一個圖表說明數感與數字、運
算和情境之間的關係。
圖2-2-1數感主要成份之內在連結（引自McIntosh, Reys & Reys, 1992）
McIntosh, Reys 與Reys (1992) 綜合相關文獻與研究而發展出一個數感的架 構（引自楊德清，2000），此架構包含了6 個元素：
1.瞭解數的基本意義及大小：瞭解整數、分數、小數系統，並能對數字進行 排列和比較。例如：知道0.1和0.01之間有無限多個小數。
2.瞭解和應用數的多重表徵表達意義：0.5＝
2
1，也等於下圖中黑色部份和
全部的比。
3.瞭解運算對數的意義和影響：被乘數乘以比1大的數所得到的積會比原被 乘數大。例如：859.5×1.59>859.5。
4.瞭解和使用相等的代表式：包含善用交換律、結合律、分配律等，來簡化 計算步驟或發展計算策略。例如：25×32＝25×4×8＝100×8＝800；25×93×
4＝（25×4）×93＝100×93＝9300。
5.彈性發展計算策略：在解決問題的過程中，能彈性運用各種技巧發展計算 策略，以解決問題。例如：到賣場購買物品，購買99、199、199的物品
數感
運算 數字
情境
15 各一件，能估算並判斷500元夠不夠。
6.運用基準點：使用1當作參照點，則 20 19＋
11
10會接近2，但是還是比2略為
小一點。
國內學者楊德清（2000）也將數感分為以下六個向度：
1.理解數字的意義：有意義的瞭解數字系統，知道所代表的意義以及結構關 係，包含數字型態以及位值概念。
2.比較數字的大小：有能力將數字做排列以及比較大小。例如：能比較出 0.7、20
19、以及0.5999之間的大小關係。
3.瞭解數字的多重表徵：包含具有分解與組合數字的能力。例如：25×32＝
25×4×8＝100×8＝800。
4.瞭解數字與運算之關係：能知道運算符號對數字所產生的影響。例如：被 乘數乘以比1大的數所得到的積會比原被乘數大。
5.能運用參考點做合理的估算：39.8×19.9，因為39.8約等於40，19.9約等於 20，所以39.8×19.9≒40×20，所以答案會接近800。
6.發展不同運算與計算策略：包括心算、估算、或其他策略，並能判斷答案 的合理性。
NCTM在2000年出版之學校教學原則與標準中，也明白列出三點數感的組 成架構：
1.瞭解數字以及表達數字的方式。
2.瞭解運算的意義以及運算間彼此的關係。
3.能夠流暢的計算以及判斷答案的合理性。
許清陽（2001）則根據楊德清所提出的六個向度做修正，把運用參考點融 入其它向度之中，將數感分成五大類。其敘述如下:
1.瞭解數字的意義與關係的能力：對正整數、小數、分數的理解，並能理解 其意義與彼此間的關係。例如:2.98和2.99之間有多少個小數？2.5化成分數
應該是什麼？
2.比較數字相對大小的能力：例如:2.999<3.0；
19 9 <
21 11。
3.瞭解運算對數字的意義和影響的能力：能理解當運算改變時，其結果也會 跟著做變化。例如:3公斤多的物體加上2公斤多的物體，其結果可能為5.5 公斤、6公斤、6.5公斤，但不可能是5公斤或7公斤；兩位數加兩位數其結 果可能是兩位數，也可能為三位數。
4.發展計算策略和判斷答案合理性的能力：能根據不同的計算情境發展不同 的計算策略，並判斷答案是否合理的能力。例如:小明計算400.14÷85.5 時，求得的結果為468，但他卻忘了點上小數點了，請你幫小明判斷正確 答案應該是下列何者？①0.468 ②4.68 ③46.8 ④468 ，學童可以簡單判 斷此答案應該介於4和5之間，所以無需計算就可以合理判斷答案為4.68。
5.瞭解數與運算多重表徵的能力：能以不同型態表徵數字的能力。例如:下 列哪一個點最適合代表P÷Q（徐俊仁，2001）？ P的值約是3多一些，Q 則是2多一些，所以P÷Q的結果以B來表徵最恰當。
A B Q C P D
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林素微（2003）在「國小高年級學童數感特徵暨數感動態評量發展之探討」
論文中也提出數感的理論架構：
1.能對數字感到有意義、有感覺。
2.能清楚情境中數字代表的意義。
3.能清楚辨識數字所代表的功能。
4.會估算、估測合理的結果。
5.知道運算的意義及結果。
6.運用參考點找出數與數之間、量與量之間的關係。
17 7.瞭解部份與整體間的關係。
8.能精準掌握關係詞的意義。
李威進（2004）在「資訊融入九年一貫數學領域第一階段數學測驗之研究：
以數字常識為例」中也提出對數感的看法，認為數感包含以下六點向度：
1.能瞭解數字的意義與關係。
2.會分解與合成數字。
3.會比較數字大小。
4.能瞭解運算對數字的影響。
5.能判斷答案合理性。
6.會使用參考點估算。
綜合國內外學者所提出之數感結構有以下幾項共通點：
1.國內外學者普遍認為，充分理解數字和運算符號的意義是數感最重要的 內涵，其中包含數字的合成與分解。NCTM (2000) 指出若孩子要讓生活 中的數字具有意義的話，首先便是需要瞭解數字的意義。
2.認識數字的絕對和相對大小也是學者認為是數感不可或缺的一部份，具備 數感之學童多能善用參考點找出數與數之間的相對關係。
3.多數學者亦認為數感是能根據不同情境發展不同的計算策略，並判斷答 案合理性的能力。
最後，綜合國內外不同學者相關意見，以及研究者本身對數感內涵之想法，
認為許清陽（2001）所提出的理論基礎可涵蓋多數學者所認同之數感向度，且 定義明確，故以此分類做為數感分類的依據，將數感能力定義為以下五個向度：
瞭解數字的意義和關係的能力、比較數字大小的能力、瞭解運算對數字的意義 和影響的能力、發展計算策略與判斷答案合理性的能力、以多重方式表徵數字 的能力。