國小六年級學童在不同情境數感問題表現分析之研究

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國立臺中教育大學數學教育學系

國小教師在職進修教學碩士班碩士論文

指導教授

指導教授：

：

：施淑娟博士

：

施淑娟博士

國小六年級學童在不同情境

國小六年級學童在不同情境數

數

數感問題

感問題

表現分析之研究

研究生

研究生：

：

：洪瑋辰

洪瑋辰

撰

中華民國九十九年六月

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i

國小六年級學童在不同情境數感問題表現分析

之研究

中文摘要

本研究將數感五個向度融入純文字或計算情境、個人化生活情境、公共議題情境等三種問題情境，編製「數感情境測驗」，而後探討六年級學童在不同情境的數感表現。研究以量為主，以質為輔，於台中縣市、彰化縣、南投縣選取十所小學，共計 14 個班、351 名學童為樣本，進行「數感情境測驗｣施測。最後抽取城市與鄉村，低、中、高分組學童各一名進行訪談，深入瞭解學童之想法。經由資料收集與統計分析，結果如下：一. 「數感情境測驗」具有良好之信、效度，且試題特徵參數值屬於合理。在信度方面，內部一致性信度為.801，重測信度為.738。效度則檢驗了內容效度、專家效度以及建構效度。而整份試題之難度為.57，鑑別度為.52。二. 國小六年級學童在數感向度之表現，有部份達顯著差異。分別是「瞭解數字的意義和關係的能力」顯著優於「瞭解運算對數字的意義和影響的能力」、「發展計算策略與判斷答案合理性的能力」、「以多重方式表徵數字的能力」；「比較數字大小的能力」顯著優於「瞭解運算對數字的意義和影響的能力」、「發展計算策略與判斷答案合理性的能力」、「以多重方式表徵數字的能力」。其餘沒有達顯著差異。在不同情境之數感表現，「純文字或計算情境」和「個人化生活情境」之表現沒有達顯著差異，而「純文字或計算情境」、「個人化生活情境」之表現則顯著優於公共議題情境之表現。三. 城市學童不論在數感五個向度或是不同情境之數感表現，皆顯著優於鄉村學童。男女在數感五個向度中沒有顯著差異，在不同情境的數感表現中，男生在「公共議題情境」表現顯著優於女生，其他情境表現則沒有顯著差異。四. 不論是參與數學補習、或是學習珠心算之國小六年級學童，在數感五個向度或是不同情境之數感表現，與沒有參與數學補習、或沒有學珠心算之學童，差異皆不大。最後根據研究之結論，分別對教育主管機關、教師、未來研究提出相關建議。關鍵字：數感、問題情境、城鄉差異

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iii

Research on the Analysis of Number Se

Research on the Analysis of Number Sense in

nse in

Different Situations

Different Situations of Grade Six

of Grade Six

Elementary

Elementary School

School

School Students

School

Students

The purpose of this research was to evaluate the performance of grade six students’ number sense in different situations. In this research, word or computation situation, personal-life situations and public situations were utilized to compose the test of number sense in different situations . This thesis emphasizes more on the quantity than quality. The 351 sample students were randomly selected from fourteen grade six classes among ten elementary schools in Taichung city and county, Changhua county, and Nanto county. Based on the test scores, the students were divided into three groups, high level group, midian level group, and low level group. After the test of number sense in different situations, one student from each group is interviewed to understand how he/she reacts to number sense in different situations. The results were:

1. 「The Test of Number Sense in Different Situations」n posses high reliability and validity, and its item parameters are reasonable. The coefficient of internal consistency is .801; the test-retest reliability is .738. The validity includes the specialist validity, content validity and construct validity. The difficulty index of this test is .57 while the discrimination Validity is .52.

2. Some significant differences among sample students’ performance on five strands of number senses in different situations are found in this thesis.The ability which students understand the meanings and relations between numbers is better than the abilities of understanding the operation influence between numbers, developing the computational strategies, judging the legitimacy, and counting and operating different kinds of expression methods. Besides, their ability of comparing numbers is better

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than the abilities of understanding the operation meaning and influence between numbers, developing the computational strategies ,judging the legitimacy, and counting and operating many kinds of expression methods. Among different number sense situations, a significant difference on only word or computation situation and personal-life situation is not found in this thesis, but it was obserred that students have better sense on only word or computation situations and personal-life situations than public situations.

3._{Students form the city have better performance than students form the county in 5} indexes of number sense under different situations. There is no significant differences in 5 indexes of number sense between boys and girls, but boys have better performances in public situations than girls. Beside the above mentioned, no other significant differences are found.

4. In this research, there is not a significant difference between students who attend cram schools or rerceive mental calculation or abacus trainings and those who do not attend any math-related training classes.

In summary, the result of this study can suggest future education directions to the Ministry/Bureaus of Education in Taiwan,as well as teachers and future researchers.

Key words: number sense, Key words: number sense, Key words: number sense,

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v

中文摘要 ... Ⅰ 英文摘要 ... Ⅲ 目次... Ⅴ 表次... Ⅶ 圖次... Ⅸ 第一章緒論 ... 1 第一節研究動機... 1 第一節研究目的... 3 第二節待答問題... 3 第三節名詞解釋... 4 第四節研究範圍... 5 第五節研究限制... 5 第二章文獻探討... 7 第一節數感的意義與重要性... 7 第二節數感的理論架構 ... 12 第三節數感與測驗 ... 18 第四節數感與問題情境 ... 21 第五節影響學童數感表現之因素 ... 27 第三章研究方法與步驟 ... 31 第一節研究架構... 31 第二節研究樣本... 32 第三節研究工具... 33 第四節研究流程... 50 第五節資料蒐集與分析 ... 53

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第四章研究結果與討論 ... 55 第一節「數感情境測驗」分析... 55 第二節六年級學童在不同情境數感表現之分析 ... 71 第三節不同區域、性別之六年級學童在不同情境數感表現之分析 ... 83 第四節補習、學習心算與否之六年級學童在不同情境數感表現之分析. 87 第五章結論與建議... 93 第一節結論... 93 第二節建議... 95 參考文獻 ... 97 中文部份 ... 97 英文部份 ... 101 附錄一：數感命題卡... 105 附錄二：預試試題... 133 附錄三：正式試題... 137 附錄四：訪談逐字稿... 141

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表目錄

表 2-4-1 PISA 各子向度之數學評量架構 ... 24 表 2-5-1 影響數感表現因素之相關文獻整理表... 27 表 3-2-1 預試樣本... 32 表 3-2-2 正式施測樣本 ... 33 表 3-3-1 預試試題架構圖 ... 34 表 3-3-2 試題命題卡... 39 表 3-3-3 預試試題之難度與鑑別度... 40 表 3-3-4 試題鑑別度指數與優劣... 42 表 3-3-5 試題選項分析表 ... 42 表 4-1-1「數感情境測驗」內部一致性分析 ... 55 表 4-1-2「數感情境測驗｣試題架構表 ... 58 表 4-1-3 KMO 適當性檢定與 Bartlett 球面性考驗... 59 表 4-1-4 因素分析法特徵值分析表... 60 表 4-1-5 RanEigen 程式之特徵值指標... 61 表 4-1-6 因素特徵值對照表 ... 62 表 4-1-7「數感情境測驗｣難度鑑別度分析 ... 64 表 4-1-2「數感情境測驗｣選項分析... 65 表 4-2-1 國小六年級學童在「數感情境測驗｣表現之敘述性統計 ... 71 表 4-2-2 國國小六年級學童在數感向度表現之描述性統計... 72 表 4-2-3 六年級學童在數感向度表現之變異數分析摘要表... 72 表 4-2-4 六年級學童在數感組成要素表現之事後比較 ... 73 表 4-2-5 國小六年級學童在不同情境表現之描述性統計 ... 74 表 4-2-6 六年級學童在不同情境數感表現之變異數分析摘要表... 74 表 4-2-7 六年級學童在不同情境數感表現之事後比較 ... 75

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表 4-3-1 城市與鄉村學童在數感向度表現之檢定摘要表 ... 84 表 4-3-2 城市與鄉村學童在不同情境數感表現之檢定摘要表... 84 表 4-3-3 不表 4-3-3 不同性別學童在數感向度表現之檢定摘要表 ... 85 表 4-3-4 不同性別學童在不同情境數感表現之檢定摘要表... 86 表 4-4-1 補習與否之學童在數感向度表現檢定摘要表 ... 88 表 4-4-2 參與數學補習與否學童不同情境數感表現之檢定摘要表 ... 88 表 4-4-3 學習珠心算與否之學童數感向度檢定摘要表 ... 89 表 4-4-4 學習珠心算與否學童不同情境數感表現之檢定摘要表... 90

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ix

圖目錄

圖 2-2-1 數感主要成份之內在連結... 14 圖 3-1-1 研究架構... 31 圖 3-3-1 線上施測流程 ... 44 圖 3-3-2 線上測驗進入畫面 ... 45 圖 3-3-3 核對個人資料畫面 ... 46 圖 3-3-4 選擇施測版本畫面 ... 46 圖 3-3-5 試題施測畫面 ... 47 圖 3-3-6 學童診斷報告一 ... 48 圖 3-3-7 學童診斷報告二 ... 48 圖 3-3-8 錯誤試題查詢畫面 ... 49 圖 3-3-9 學童作答統計圖 ... 49 圖 3-3-10 學習狀況統計圖 ... 50 圖 3-4-1 研究流程... 52 圖 4-1-1 因素分析之陡坡圖 ... 63

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1

第一章

緒論

第一節

研究動機

美國數學教師協會（ National Council of Teachers of Mathematics, 簡稱 NCTM，2000）所出版的「學校數學原理與標準」（The Principles and Standards for School Mathematics）裡，非常明確的表示「數字是數學課程中的基礎」。根據筆者的統計，在國小的六年課程中，不論是哪一個版本的教科書，和數字相關的單元也佔了超過一半的比例。教育部所制訂的九年一貫課程綱要之課程目標（_{2000，2003，2009）中也明確說明，數學學習領域的第二階段教學目標中需} 「培養流暢的數字感」，國內也有相當多的學者陸續投入數感相關研究中。由此可見，數感在現今數學教學中之重要性。國內研究者許清陽（2001）認為:「數感包含五項內涵，分別為:瞭解數字的意義和關係的能力、比較數字大小的能力、瞭解運算對數字的意義和影響的能力、發展計算策略與判斷答案合理性的能力、以多重方式表徵數字的能力｣。換言之，具備良好數感之學童，較能理解數字在情境中所代表的意義，也能根據問題或情境所提供的訊息，思考相對應之有效解題策略，最後判斷答案的合理性。國內學者楊德清（1998，2000a）研究學童計算能力與數感表現的關係，也發現具備好的計算技巧，並不等同具備良好之數感能力，因為，良好計算技巧不代表理解數字在問題中所代表的意義。然而，支毅君（1996）卻發現國內學童有過度依賴紙筆計算的習慣。在研究者的教學經驗中也發現，多數的教師在教學的過程中，會非常強調計算的正確性，仔細的要求學童在計算過程中，能確保答案的正確性。但是，顯少有教師會去教導學童，利用所學的數字概念去判斷答案的合理性，而如此只強調計算技巧的教學方式，並無法培養學童的數感能力。在本研究施測的過程中，甚至有不少的學童會很疑惑的問說：「老師您的題目有些要判斷哪一個答案是正確的，但是又不允許我們計算，可是不計算的話，要怎麼求出答案呢？

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這樣一來我只能用猜的了！｣這讓身為教師的我感覺相當錯愕！「難道數學一定非要計算不可嗎？｣「學童為什麼不能理解題意再做合理的判斷呢？｣，可見，國內學童在學習數學的過程中，普遍欠缺對數感的養成，如何將這個部分融入教學中，實在是國內數學教學的一個重點。許多生活中的數學問題，不需要繁雜的數學公式，需要的是憑著對數字的感覺做合理的判斷，生活中的經驗是學童數感的主要來源，有助於培養學童數字的理解以及判斷能力的養成，因此，數感能力與生活經驗亦息息相關。而現今數學教學亦不斷強調與現實生活結合，將生活經驗帶入數學情境中，學者 Waitehead（1929）也認為知識之重要性在於它的應用，換句話說，知識應該應用於生活中，實際幫助人們解決問題，這也是教育之主要目的，數學教育亦如是。在國民中小學課程標準中即強調，教學即輔導學童從日常生活經驗中，獲得相關數學知識，進而培養有效運用數學方法，以解決實際問題的能力與態度。而國外學者 (Lave & Wenger,1991) 提出情境學習的觀點，認為知識學習不能脫離情境，要在情境架構中逐步建構。就數學而言，不同的問題情境，學童可能就會思考不同的解題策略。國內學者林晴瀅（2008）研究中認為，若能將生活情境融入文字題的教學活動，可以有效的拉近學生與問題之間的距離，讓學生對解文字題不再感到害怕以及排斥，並且藉由學生相似的生活經驗，使得他們在審題以及瞭解題意上容易許多。翁愉雅（2008）則認為多元化的真實情境教材，能讓學生展現數學知識與數學連結的能力，並重拾正向的數學學習態度。黃敏晃（1998）更發現若能將學童無法求解的題目，轉換成學童較為熟悉的日常生活情境，則學童在理解題意的狀況下，即能提出有效解題策略。林碧珍和蔡文煥的研究（2003）則顯示，影響國內學童數學表現原因之ㄧ，就是學童在解題過程中，忽略了情境部分。黃俊仁（2003）的研究中也發現，學童在解題後，無法將答案與題意相結合，也就是說，學童完成題目後，無法思考答案在此情境是否合理。

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3

國內也有許多學者更進一步研究學童在不同問題情境下的表現（陳倩萍， 2004；蔡鳳秋，2004；蔡美怡；2006；姚如芬，2008）。而研究者則有鑑於 OECD 在 2003 年進行的「國際學生學習評量」 (Program for Internation Student Assessment，簡稱 PISA) 更將情境細分成四種不同情境，因此，研究者試圖依據 PISA 之情境分類，以及數感與生活情境之關聯性，探討學童在面對不同情境之數感問題的表現。因此本研究將數感融入純文字或計算情境、個人化生活情境、公共議題等問題情境，藉以探討六年級學童在不同情境的數感表現，並提供教育工作者未來在課程設計或教學上之參考。

第二節

研究目的

基於以上的緣由，本研究的研究目的為： 1.編製一份融合不同情境且適合國小六年級學童之「數感情境測驗」。 2.分析國小六年級學童在「數感情境測驗」之表現。 3.探討不同背景因素對國小六年級學童在不同情境數感問題表現之影響。。 4.探討補習、學習珠心算等因素對國小六年級學童在不同情境數感問題表現之影響。

第三節

待答問題

根據本研究之研究目的，本研究主要探討下列問題: 1.「數感情境測驗｣的內部一致性信度、重測信度、以及試題分析結果。 2.探討國小六年級學童在不同情境下之數感表現為何？ 3.城鄉因素對國六年級學童在不同情境數感問題表現是否有影響？ 4.性別因素對國六年級學童在不同情境數感問題表現是否有影響？ 5.補習與否對國六年級學童在不同情境數感問題表現是否有影響？ 6.學習珠心算與否對國六年級學童在不同情境數感問題表現是否有影響？

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第四節

名詞解釋

一

一、

、數感

、

數感

數感（

數感

（number sense

（

number sense

number sense）

number sense

）

指對數字及運算的感覺。此感覺能讓個人在面對問題時，運用所學，思考有效的解題策略，並根據運算的特性，判斷答案的合理性。本研究中的數感包含了五個向度：瞭解數字的意義和關係的能力、比較數字大小的能力、瞭解運算對數字的意義和影響的能力、發展計算策略與判斷答案合理性的能力、以多重方式表徵數字的能力（許清陽，2001，2006）。

二

二、

、

、問題情境

、

問題情境

OECD 在 2003 年進行的「國際學生學習評量」（Program for Internation Student Assessment，簡稱 PISA），其中數學評量架構分成三個內涵（林煥祥， 2008），其中一個內涵為情境與脈絡（Situation and Context）。認為在進行數學評量的過程中，情境是相當重要的一部份，因為學童可以根據不同的情境選擇適當的數學方法，來進行有效的解題策略。PISA 數學評量架構中，情境與脈絡（Situation and Context）包含了：個人化的生活情境（Personal）、教育以及職業的情境（Educational/Occupational）、公共議題的情境（Public）、科學的情境（Scientific）。因 PISA 測驗是針對年齡為 15 歲的學生，而本研究的測驗對象為小學學生，相對來說 PISA 架構中情境之命題對小學學生而言是較困難的，例如：科學上的情境、職業的情境。因此，本研究將教育以及職業的情境（Educational/ Occupational）中之職業的情境和科學的情境（Scientific）刪除，而教育情境和學童日常生活有較大關聯，因此融入個人化的生活情境（Personal）中。所以，本研究中的問題情境將區分成三類：純文字或計算情境、個人化生活情境、公共議題情境。

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5

三

三、

、

、城鄉差異

、

城鄉差異

本研究中，以學校的班級總數做為城市與鄉村的區別依據。班級總數在 12 班以下（含 12 班）的學校，大多位於較偏遠的地區，資源較缺乏，定義為鄉村學校。班級總數在 24 班以上（含 24 班）的學校，多位於市區或市區外圍，資源較為豐富，則定義為城市學校。

第五節

研究範圍

一

一、

、

、研究對象

、

研究對象

本研究主要以中部公私立國小六年級學生為主要研究對象。

二

二、

、

、施測時間

、

施測時間

預試時間為國小六年級上學期期中考前，正式施測時間於六年級上學期期中考過後，進行電腦線上施測。

第六節

研究限制

一

一、

、

、數感內涵的限制

、

數感內涵的限制

本研究之數感定義包涵五個向度：瞭解數字的意義和關係的能力、比較數字大小的能力、瞭解運算對數字的意義和影響的能力、發展計算策略與判斷答案合理性的能力、以多重方式表徵數字的能力，然而，數感內涵廣大，國內外學者定義範疇也不盡相同，因此本研究之數感表現不能完全等同學童整體之數感能力。

二

二、

、

、樣本的限制

、

樣本的限制

本研究礙於研究時間與人力的限制，故電腦線上施測時無法大量採樣。研究對象僅限於研究者以及研究者研究所同學所任教之中部縣市學校，無法進行

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更大規模採樣。

三

三、

、

、研究工具的限制

、

研究工具的限制

本研究之研究工具「數感情境試題」以選擇題方式呈現，無法完全反應學童之想法。且礙於測驗題數之限制，個人化情境無法兼顧所有學童之生活情境，而公共議題情境之試題，因為取材的限制故無法涵蓋本研究數感之所有向度，所以本研究可供參考，但不宜過度延伸。

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7

第二章

文獻探討

本研究主要探討國小六年級學童面對不同情境數感問題之表現，因此，本章將就數感以及情境學習相關理論及研究文獻深入探討。本章將分成五節，第一節討論數感的意義與重要性，第二節討論數感的理論架構，第三節討論數感與測驗相關研究，第四節討論問題情境理論以及與數感之關聯性，第五節針對影響學童數感之因素進行討論。

第一節

數感的意義

數感的意義與重要性

數感的意義

與重要性

一

一、

、

、數感的意義

、

數感的意義

什麼是數感呢（number sense）？Griffin 和 Case這樣說過:「數感是一種當我們看到它時我們就知道它就是數感，但是若要精準的去下定義時，對包含老師的多數人而言，都會是相當不容易的一件事情。」不過隨著數感越來越受到重視，也有越來越多的國外學者提出關於數感的相關論文，國內在關於數感的研究也已經出現相當不錯的成果（支毅君，1997；吳明玲，2002；林素微，2003；侯淑芬，2002；徐俊仁，2001；許清陽，2001，2006；黃明章，2001；葉俊谷， 2007；蔡美怡，2006；蔡怡芳，2008；應雅鈴，2007；楊德清，1997，1998， 2000，2000a，2000b，2002，2004）。那到底什麼是數感呢？Howden (1989) 認為，數感就是一種對數字的感覺，是一種直覺能力。Sower (1989) 認為數感是一種思考的方式。Greeno (1991) 則認為並不需要真正去為數感下定義。由此可知，要為數感真正下定義並不容易，不過，還是可以從許多國內外學者所提出之數感特徵，來判斷學童是否具備數感能力。 Resnick (1989) 建議從不同形式來定義數感，他認為： 1.數感是非算則化的（nonalgorithmic）。

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2.數感是複雜的概念和想法。

3.數感通常有多重的解法，每一種都有其價值和益處，而非僅有單一解法。 4.數感包含細微差異的判斷和解釋（nuanced judgement and interpretation）。 5.數感包含運用多重標準作判斷（involves the application of multiple

criteria）。 6.數感通常包含不確定性（uncertainty）。 7.數感通常能幫助學生在思考歷程中作自我調整（self-regulation of the thinking process）。 8.數感是一種將數字意義化的過程（imposing meaning）。 9.數感是可以經由努力改善的（effortful）。 NCTM 在1989年出版的課程與評量中亦提出對數感的看法，認為數感是對不同數字所產生的直覺，數感能力佳的學童，擁有以下幾點特質： 1.能充分理解數字的意義。 2.能發現數字間的不同關係。 3.能比較數字的相對大小。 4.能理解運算對數字的影響。 5.能應用參考點於日常生活中。 Reys 和 Barger (1991) 就認為數感是個體希望能將數字賦予情境化和意義化的能力。而 McIntosh, Reys 和 Reys (1992) 則是認為數感是能有效率的計算或判斷合理性等能力。 Gagn'e 等人（1993）認為數感是使數與數之間產生意義的觀念（_{idea）。 Yang (1995) 在研究中指出，數感是指對數字和運算過程的} 瞭解，包含了許多的能力，包括：能用不同的方式去做數學判斷、能發展不同的策略處理數學的運算。張漢宜（_{1997）則認為數感是數字對數字關係的敏銳觀察，數感不是計算} 本身，但是它對計算的過程與結果的合理性（_{reasonablness）具有監控的作用，}

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9 某種程度上，它似乎同時具有後設認知的成份在內。例如 3 1_＋ 4 3_＝（_），有一些學童會認為答案是 7 4_{，但是對數字有敏銳觀察能力之學童，在尚未計算之} 前，會判斷 4 3_已經超過_{1的一半，所以兩者相加之值會接近於1。林素微（2003）} 則認為數感是「在生活經驗關聯、隱含數量的非例行性數學情境下（如閱讀書報等非正式數學環境），個體對於情境中數量的覺知以及推理。｣綜合國內外學者的定義，數感（number sense）強調是有意義的學習、理解性的學習，在數學知識間相互連結、統整，並能根據情境彈性思考與判斷。數感能力佳之學童，對數字有較強的直覺，能以不同形式使用，解釋數字並解決問題，再不需要紙筆計算的情境下，亦能運用有效的策略作數學上的判斷並處理所面對的數學情境（許清陽，_{2006）。總合來說，數感的教學在目前已受到} 許多先進國家的重視_{(Australian Education Council [AEC],1991；National Council} of Teachers of Mathematics [NCTM],1989,2000； Japanese Ministry Education, 1989)，故以下將從不同角度探討數感之重要性。

二

二、

、

、數感的重要性

、

數感的重要性

美國數學教師協會（2000）所發表的「學校數學原理與標準」中明確的表示「數字為各國間所公認的數學課程的基礎」。可見整個數學教育即是以數字為中心。該標準中並表明“該標準就是以發展孩童的數感為目的”。在該協會所出版的數學課程與評鑑之準則中（The Curriculum and Evaluation Standards for School Mathematics，1989）制定了一系列自幼稚園到12 年級的數學課程，並評估課程品質和學生表現的標準，數感便是當中很重要的一個部分。

Reys和Barger (1991) 認為雖然數感隱含在數字之中，但是對於處理數字的問題，擁有數感是相當重要的。在過去，學校的數學教學較偏重機械式練習與計算的熟練，可是，若是孩童不知道數字所表達的意涵，無法理解數字的意義，當他重新面對不同的問題時，便無法解決問題（Reys & Yang,1998；楊德清，

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2000b）。當學生們只專注使用公式或以紙筆運算來解決數學問題時，也會阻礙學生發展不同解題策略的能力（McIntosh, Reys,＆ Reys,1992），而當孩童無法理解數字的意義時，學習便會產生挫折，便無法產生學習數學的信心。而 Ekenstam (1977) 更是說過：「如果不能理解數字所代表的意義，那就表示無法解決學習數學時所遇到的任何困難」。美國數學教師協會（1989）也提到具備良好數感的兒童較能瞭解數的意義、能理解數字的多重表徵、能瞭解數的相對大小、能理解數字運算的結果、並能發展出數字系統。 Yang (1995) 的研究中曾表示，若給孩童534.6×0.545＝291357的式子，並請他們找出小數點的合理位置時，只有大約_{11％的六年級學童可以判斷出正確的} 位置，大多數的孩童都需要使用紙筆計算才能正確找出小數點的位置。而這都是過度強調紙筆計算，卻忽略培養孩童的數感所造成。楊德清在_{2000年進一步} 訪談_{21位國小六年級學童，結果發現，沒有任何一位學童可以使用數感之概念} 來解釋問題。學童皆認為：「被乘數有一位小數，乘數有三位小數，因為1＋3 ＝_{4，所以答案應該是29.1357。」這樣制式化的回答，顯示學童在學習過程中仍} 以背誦公式為主，沒有真正理解數字的意義，且缺乏數感。也因此許多國內知名學者如楊德清、林素微、許清陽等人便認為數感應該是數學課程中的重點之一，是國小數學教育主要目標。張漢宜（1997）提出以下三點說明數感的重要性，並認為教師需透過教學設計與非正式評量，培養學童之數感。 1.能引發學習的興趣：數感教學有助理解數字的關係，避免枯燥的背誦，讓學童於快樂氛圍中學習數學。傳統數學則相反，偏重記憶與計算，而較少教導學童去理解數字間的相對關係，因而導致無法享受數學學習的樂趣。（_{Howden,1989）} 2.能發展心算技巧：心算是策略性的知識，多數心算涉及分配律以及結合律之應用，而這兩者則與數感有密切關聯。例如，數感良好之學童，會很

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11

容易發現18×19＝（28×20）－（28×1）。

3.能增加解題過程中的後設認知能力：具有良好數感之學童，能於解題過程中，根據題意先行判斷合理答案，刪除不合理之解答。從認知觀點來看，一個具有數感之孩童，在解題的過程中，可以預先合理估算答案範圍，來檢驗答案的合理性，並藉此來做修正（Dougherty & Crites,1989）。由於這是孩童預先設定目標，再自行檢驗結果是否與目標相符的驗證過程，換言之，也就一種後設認知的能力。因此，從認知心理學的觀點來看，數感的能力與後設認知的歷程有一定程度的相似處。「九年一貫數學領域強調培養帶得走的能力，主張生活化、有意義的學習」（教育部，_{2000，2003，2009）。目前的教育發展慢慢的脫離填鴨式的教學，} 強調與現實生活情境作結合，不再刻意的要求計算的快速性與準確度，希望孩童能在面對困難時，能以所學的數學概念去解決問題。例如，實際去賣場購物並付帳的時候，孩童並不需要很精準的計算出總數是多少，只要能合理的估算應付金額即可。所以在這樣的數學教育趨勢下，更凸顯出數感的重要性。九年一貫數學學習領域第二階段目標也明白列出：學生要熟練非負整數的四則與混合計算，培養流暢的數感。在「數與量」的主題中也提到：學生應養成簡單心算與驗算的習慣；計算時能應用四則運算的性質，協助心算與估算，簡化計算、驗算與解題。在六年級目標中也提到：應理解基本的因數分解與質數概念，並與分數運算相互加強，建立完整的數感。由此可知，目前的數學教育在在都強調數感的重要性，鼓勵孩童能自行思考不同的解題策略，使孩童能真正應用所學的數學知識於生活中，這些想法都隱含著數感的意義，而傳統的課程內容中所強調的紙筆計算及公式規則的記憶，則將逐漸被取代了。

(23)

第二節

數感的理論架構

雖然數感並不容易定義，但卻可以很容易的辨認出其特徵，也可透過國內外許多專家對數感的分析與看法，找出其架構的共通性。 Thompson 和 Rathmell (1989) 將數感分成四個部分： 1.瞭解數字的意義與關係：包含了整數、小數、分數與其分解和合成。例如： 28 可以是由 20 和 9 組成，也可以由 25 個“一”所組成，或由 2 個“十” 和8 個“一”所組成，也是可以是 7×4 所形成的。 2.瞭解數字大小的相對關係：瞭解數字的比較或是排序。例如：可以理解 3 1 是介於 2 1_和 4 1_之間。_{1998 比較接近 2000，而離 1000 比較遠。} 3.知道運算對數字的影響：瞭解運算符號的意義、使用時機、與相互關係。例如：可以理解被乘數乘以比_{1 小的數所得到的積會比原被乘數小，32×} 0.88<32；或被除數除以比 1 小的數所得到的商會比原被除數大，21÷ 0.65>21。 4.能在生活情境中找出合理的參照標準：當孩童知道教室的面積約 50 平方公尺時，就可以以此為參照標準，去估計操場的面積約有多大。 Sowder (1992b) 則將數感的組成架構分成九部份： 1.數字的分解與合成：在不同表徵間彈性轉換，瞭解何時某個表徵比另一個更方便使用的能力。例如：部份六年級學童在計算16×25時，會將25視為 4 100_{，然後再計算出}_16× 4 100_的結果。 2.比較數字相對的大小的能力：包含數字的比較與排列，例如：23比32小；有理數稠密性的瞭解與使用，例如：0.1和0.01之間有無限多個小數；比較相對差異大小，例如：7和9之間與127和129之間的差異，絕對大小是相同的，但是相對大小卻又是不同。 3.處理數字絕對大小的能力：學童所背的背包不可能超過100公斤。

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13 4.找出合理參照點的能力：使用1當作參照點，則 10 9 _＋ 11 10_會接近_{2，但是還} 是比_{2略為小一點。} 5.連結數字、運算及符號的能力：計算105-23，可以分成兩個部份分別計算， 100-20＝80，5-3＝2，80＋2＝82。 6.理解運算對數字影響的能力：348-289＝59，則358-289會等於59＋10＝69 （知道利用補償策略）；350-291＝59，則348-289亦等於59（被減數和減數同時減少相同的量，則差不變）。 7.透過數與運算的特質，運用不同策略進行心算的能力：25×16，可以轉換為25×4×4，所得到的結果為400。 8.估算答案合理性的能力：知道何時做適當估算。例如：10.1×29.9≒10×30，所以則10.1×29.9的結果接近300。 9.理解數字的意義的能力：學童相信數學是有意義的，而且能夠發現數字活動的意義，這種能力會引導個人對答案做合理性的判斷。

McIntosh, Reys 和 Reys (1992) 認為，數感是使用數字和數量當成溝通、處理和解釋資訊的方法。他們認為數感包含三個領域：數字概念、運算及數字與運算的應用，其架構如下： 1.數字概念數字順序的理解、數字與運算的多重表徵、數字相對與絕對大小的比較、參照點的使用。 2.運算了解運算對數字的影響、了解數學的特性、了解運算之間的關係。 3.應用數字與計算於情境中了解問題情境與運算的關係、發展多重的計算策略、使用不同的表徵、判斷答案的合理性。

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算和情境之間的關係。

圖2-2-1數感主要成份之內在連結（引自McIntosh, Reys & Reys, 1992）

McIntosh, Reys 與Reys (1992) 綜合相關文獻與研究而發展出一個數感的架構（引自楊德清，2000），此架構包含了6 個元素： 1.瞭解數的基本意義及大小：瞭解整數、分數、小數系統，並能對數字進行排列和比較。例如：知道0.1和0.01之間有無限多個小數。 2.瞭解和應用數的多重表徵表達意義：0.5＝ 2 1_{，也等於下圖中黑色部份和} 全部的比。 3.瞭解運算對數的意義和影響：被乘數乘以比1大的數所得到的積會比原被乘數大。例如：859.5×1.59>859.5。 4.瞭解和使用相等的代表式：包含善用交換律、結合律、分配律等，來簡化計算步驟或發展計算策略。例如：25×32＝25×4×8＝100×8＝800；25×93× 4＝（25×4）×93＝100×93＝9300。 5.彈性發展計算策略：在解決問題的過程中，能彈性運用各種技巧發展計算策略，以解決問題。例如：到賣場購買物品，購買99、199、199的物品數感運算數字情境

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15 各一件，能估算並判斷500元夠不夠。 6.運用基準點：使用1當作參照點，則 20 19_＋ 11 10_會接近_{2，但是還是比2略為} 小一點。國內學者楊德清（2000）也將數感分為以下六個向度： 1.理解數字的意義：有意義的瞭解數字系統，知道所代表的意義以及結構關係，包含數字型態以及位值概念。 2.比較數字的大小：有能力將數字做排列以及比較大小。例如：能比較出 0.7、 20 19_、以及_{0.5999之間的大小關係。} 3.瞭解數字的多重表徵：包含具有分解與組合數字的能力。例如：25×32＝ 25×4×8＝100×8＝800。 4.瞭解數字與運算之關係：能知道運算符號對數字所產生的影響。例如：被乘數乘以比1大的數所得到的積會比原被乘數大。 5.能運用參考點做合理的估算：39.8×19.9，因為39.8約等於40，19.9約等於 20，所以39.8×19.9≒40×20，所以答案會接近800。 6.發展不同運算與計算策略：包括心算、估算、或其他策略，並能判斷答案的合理性。 NCTM在2000年出版之學校教學原則與標準中，也明白列出三點數感的組成架構： 1.瞭解數字以及表達數字的方式。 2.瞭解運算的意義以及運算間彼此的關係。 3.能夠流暢的計算以及判斷答案的合理性。許清陽（2001）則根據楊德清所提出的六個向度做修正，把運用參考點融入其它向度之中，將數感分成五大類。其敘述如下: 1.瞭解數字的意義與關係的能力：對正整數、小數、分數的理解，並能理解其意義與彼此間的關係。例如:2.98和2.99之間有多少個小數？2.5化成分數

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應該是什麼？ 2.比較數字相對大小的能力：例如:2.999<3.0； 19 9 _< 21 11_。 3.瞭解運算對數字的意義和影響的能力：能理解當運算改變時，其結果也會跟著做變化。例如:3公斤多的物體加上2公斤多的物體，其結果可能為5.5 公斤、6公斤、6.5公斤，但不可能是5公斤或7公斤；兩位數加兩位數其結果可能是兩位數，也可能為三位數。 4.發展計算策略和判斷答案合理性的能力：能根據不同的計算情境發展不同的計算策略，並判斷答案是否合理的能力。例如:小明計算400.14÷85.5 時，求得的結果為468，但他卻忘了點上小數點了，請你幫小明判斷正確答案應該是下列何者？①0.468 ②4.68 ③46.8 ④468 ，學童可以簡單判斷此答案應該介於4和5之間，所以無需計算就可以合理判斷答案為4.68。 5.瞭解數與運算多重表徵的能力：能以不同型態表徵數字的能力。例如:下列哪一個點最適合代表_{P÷Q（徐俊仁，2001）？ P的值約是3多一些，Q} 則是_{2多一些，所以P÷Q的結果以B來表徵最恰當。} A B Q C P D 1 2 3 4 林素微（2003）在「國小高年級學童數感特徵暨數感動態評量發展之探討」論文中也提出數感的理論架構： 1.能對數字感到有意義、有感覺。 2.能清楚情境中數字代表的意義。 3.能清楚辨識數字所代表的功能。 4.會估算、估測合理的結果。 5.知道運算的意義及結果。 6.運用參考點找出數與數之間、量與量之間的關係。

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17 7.瞭解部份與整體間的關係。 8.能精準掌握關係詞的意義。李威進（2004）在「資訊融入九年一貫數學領域第一階段數學測驗之研究：以數字常識為例」中也提出對數感的看法，認為數感包含以下六點向度： 1.能瞭解數字的意義與關係。 2.會分解與合成數字。 3.會比較數字大小。 4.能瞭解運算對數字的影響。 5.能判斷答案合理性。 6.會使用參考點估算。綜合國內外學者所提出之數感結構有以下幾項共通點： 1.國內外學者普遍認為，充分理解數字和運算符號的意義是數感最重要的內涵，其中包含數字的合成與分解。NCTM (2000) 指出若孩子要讓生活中的數字具有意義的話，首先便是需要瞭解數字的意義。 2.認識數字的絕對和相對大小也是學者認為是數感不可或缺的一部份，具備數感之學童多能善用參考點找出數與數之間的相對關係。 3.多數學者亦認為數感是能根據不同情境發展不同的計算策略，並判斷答案合理性的能力。最後，綜合國內外不同學者相關意見，以及研究者本身對數感內涵之想法，認為許清陽（2001）所提出的理論基礎可涵蓋多數學者所認同之數感向度，且定義明確，故以此分類做為數感分類的依據，將數感能力定義為以下五個向度：瞭解數字的意義和關係的能力、比較數字大小的能力、瞭解運算對數字的意義和影響的能力、發展計算策略與判斷答案合理性的能力、以多重方式表徵數字的能力。

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第三節

數感與測驗

有鑑於數感的重要性，許多國內外學者為了研究學童數感發展，紛紛投入數感測驗開發之研究，從早期國外的_{Sowder (1989) 、Reys & Yang (1998) ，} 以及國內的黃靖淑（2003）、林素微（2003）、李威進（2004）、許清陽（2006）等。綜觀來說，目前數感測驗的趨勢有二：一是由紙筆趨向電腦化測驗；一是開發具有真實情境之測驗工具。本節將就這兩種趨勢深入探討。

一

一、

、

、電腦化數感測驗

、

電腦化數感測驗

Pike 和 Forrester (1997) 採用了電腦化的動態測驗形式探討學童的數感發展，國內學者林素微（2003）則採用克漏字題型的電腦化數感動態測驗系統，以數字大小合理判斷作為國小學童數感探討的面向，張文宜（2004）則發展電腦化多元題型之數感測驗，許清陽（2006）則利用電腦化數感診斷測驗系統評量學童數感發展，並診斷錯誤類型與迷思概念。整體來說電腦化測驗對於學童數感發展之評量確實有其優勢。（一）Pike 和 Forrester (1997) 的數感、估算測驗：利用電腦評量數字感，整個測驗包括心算、理解相關數的大小，理解相關數的關係等三部份，且在兩種情境架構下去評量學童對長度、面積的估算能力。研究指出評量必須考量學習的能力，使用近測發展區（_{zone of proximal} development﹐ZPD）的階級提示（graded-prompt）為可用來評估學童估算活動的可行步驟，學童在某領域的學習能力一定和學習估算的能力有關。（二）林素微（_{2003）的電腦化數感動態測驗系統} 將數感定義為情境中數的覺知與推理，在真實化克漏字式的數學情境中，學生對多個未知數量合理值的選擇與判斷的能力。動態測驗系統主要分成第一階段數感表現水準區辨、第二階段介入、以及第三階段後測三部份。研究結果顯示動態測驗系統對於學童有協助與區辨的效益，而且動態系統對於學生學習表現的預測力比靜態測驗來的高。

(30)

19 （三）張文宜（2004）的電腦化多元題型數感測驗發展電腦化多點計分的評分標準，使電腦化操作式題型的計分自動化，測驗內容包含「比例判準」、「生活心算」及「基準量的運用」等三個層面。研究資料顯示，電腦的多媒體與動態化先天優勢，將可提昇數學評量的信、效度和真實友善形象。（四）許清陽（2006）的電腦化數感診斷測驗系統利用電腦線上測驗，以建構數感之理論架構，以及瞭解國小六年級學童的數感概況，並進一步分析學童在數感診斷測驗中常犯的錯誤類型與迷思概念。受測者可藉由系統收到立即回饋，教師亦可根據診斷的結果，瞭解學童的錯誤，以利進行補救教學。綜合來說，電腦化數感測驗具有以下幾點優勢：（_{1）施測的標準化} 電腦化測驗由於並非由人擔任施測者，而是事先設定施測流程以及計分程序，所以可以更容易的掌握施測的狀況，而且每一位施測者皆使用一台電腦，更可避免人為的干擾，讓施測更加精準。（2）立即的回饋電腦化測驗可根據受測者的答案，立即計算與反應，並給予回饋，所以受測者可在最短時間內，立即得知測驗結果。（3）效率的提昇電腦化測驗可由電腦自動計分與分析結果，並執行相關統計資料，所以可節省大量人力與時間，提昇測驗的效率。（4）避免紙筆計算由於採用電腦化測驗，所以減少學童在施測過程中紙筆計算的機率，反而更能評量出學童的數感發展狀況。

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二

二、

、

、情境模式數感測驗

、

情境模式數感測驗

數感強調在生活情境下對數的覺察與策略的運用，因此開發融入真實情境內涵的評量亦是數感測驗的另一重點，國內相關學者之研究如下。（一）林素微（2003）電腦化數感動態測驗系統將評量以真實化克漏字式的數學情境設計，評量學童對數字大小合理性的判斷能力。（二）蔡美怡（2006）不同情境數感使用策略之研究將試題區分成真實生活情境與虛擬生活情境，進行學生的解題表現研究。研究顯示，中分組的學童在解真實生活情境問題時，使用數感解題策略的情形，明顯多於解虛擬情境問題，這暗示了真實的生活情境能幫助並觸發學童使用數感解題策略。（三）吳心馨（_{2007）情境與純數字估算策略之研究} 主要探討國二學生面對情境題與純數字題時所使用估算策略的差異性，並探討學生回答估算問題時所使用的解題策略。研究則顯示，學生在純數字題的表現顯著優於情境題，且學生在解情境題時，不易察覺數字間的關係，並容易誤解題意，以至於不容易使用估算策略。（四）李麗卿（_{2008）真實生活情境問題數感之研究} 研究目的在瞭解國小六年級學童面對真實生活情境問題時的數感運用表現，並探討不同程度與不同性別學童面對真實生活情境問題時的數感運用之差異。結果發現學童面對真實生活情境問題時數感運用的比例並不高。

三

三、

、

、結論

、

結論

目前數感測驗之趨勢以電腦化以及情境模式測驗為主，然而，在文獻中也發現，僅有林素微（2003）之研究將情境融入電腦化測驗中，其餘多針對其中某一趨勢進行探究。而林素微研究之情境偏向日常生活情境，且數感向度偏重於數字的合理性判斷，故本研究將擴展先前研究之情境設計，參考問題情境相

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21 關理論，選擇適合國小六年級學童之問題情境，並將數感五向度融入不同情境中，編製「數感情境測驗」，並以電腦進行線上施測，探討六年級學童在不同情境的數感表現。

第

第四

四

四節

四

節

數感與問題情境

數學學習如果不能與現實生活情境結合，那麼所習得之數學概念與解題技巧將是無意義且抽象又沒有樂趣的。Schoen (1989) 則認為具備良好之數感能力者，能將運算以及情境作適當連結，無論在學校或是日常生活中皆能流暢且合理的運用數字以及策略，並判斷情境中的合理以及不合理處。因此，本研究將數感向度融入不同情境，編製「數感情境測驗」，為利於問題情境之界定，以下將針對問題情境相關研究進行探討。本節分成兩部分：第一部分為問題情境相關理論、第二部分探討數感與生活情境之關係。

一

一、

、

、問題情境相關理論

、

問題情境相關理論

數學問題大致分成計算題與文字題，其中文字題需把問題所描述之情境，依問題脈絡，經由自然語言轉換成算術語言，形成數學運算程序才可成功解題（黃明瑩，_{2000），因此文字題被視為轉化生活情境與數學知識的橋樑。謝慧} 齡（_{2004）表示文字題是以語言描述一個數學問題，而解題者必須轉換語言問} 題為列式算術題才能求得答案。因此，文字題是以語言、文字來描述日常生活情境問題，它不單單是數學計算的問題，更是將數學知識應用於生活能力的問題，也因此文字題亦被稱為情境題。以下將就問題情境之分類做討論： Baroody (1993) 則依據數學問題出現的頻率將數學文字題分成兩種：例行性問題與非例行性問題。其中例行性問題為課堂上、教科書中常出現之問題，學童較為熟悉，多數只需要一定程序即可求解。非例行性問題為日常生活中可能遭遇之問題，無法

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根據所學知識立即求解，可能有許多不同的答案，甚至沒有答案。然而黃明瑩（2002）卻認為，根據學習者的不同，例行性與非例行性問題也有所區別。以學童而言，日常生活與學校學習較密切，所以教科書問題屬於例行性問題，而日常生活中所遭遇之買賣問題為非例行性問題。但是對街頭小販而言卻恰恰相反，買賣問題對他們而言屬於例行性問題，而教科書所出現的問題反而不熟悉，屬於非例行性問題。文字題又是如何產生的呢？王光彥（_{2002）認為可以依照形成過程分成三} 大類： 1.選定情境，再從情境中決定數學問題 2.先決定評量的數學內容，再設計情境 3.直接尋找能表達數學問題的情境

Verschaffel, De Corte 和 Lasure (1994) 在研究中則以標準的題目（standard problem）和平行的題目（parallel problem）的分類標準來進行施測，其中標準的題目指的是學生可以直接使用題目中的數字形成算式，加以計算即可得到答案；平行的題目則是需要考量情境的真實性才能回答的問題。例如：標準的題目：史帝夫買了五塊2公尺長的木板，可以鋸成幾塊1公尺長的木板？平行的題目：史帝夫買了五塊2.5公尺長的木板，可以鋸成幾塊1公尺長的木板？ Marshall (1995，引自黃俊仁，2003) 則以故事為基礎，提出文字題的三種變化： 1.故事情境的表面特徵（surface feature）：例如故事的情境脈絡不同。 2.故事情境的語法特徵（syntactic feature）：文章的用詞、文章的長度、文章內容中的運算符號或數字。 3.故事情境中所表達的關係（relationships）是否相同。楊瑞智（_{1999）則將數學問題區分成三種：真實生活的問題情境、虛擬生活} 的問題情境、形式的問題情境。

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23 1.真實生活的問題情境：學習者在現實生活中所遭遇的問題情境，學習者需要在情境脈絡中，使用和情境相關的知識與策略，來解決數學問題。 2.虛擬生活的問題情境：由評量者設計給學生，模擬現實生活中可能遭遇的問題，希望學生藉由問題參考所學知識，思考自己的解題策略來解決該問題。 3.形式的問題情境：指形式化的數學問題，學生使用較為傳統的數學解題程序、算則來解決數學問題。大學入學考試中心則依據問題的內容、社會現象與受試者的生活經驗，將問題情境區分成虛擬情境與真實情境兩種。虛擬情境指的是以虛構出的情境包裝數學問題，該情境在現實生活中較為少見。真實情境則是現實生活中所產生的經驗或現象，可分為生活經驗、社會現象以及自然現象（引自王光彥，_2002）。 OECD 在 2003 年進行的「國際學生學習評量」（Program for Internation Student Assessment，簡稱 PISA），將數學評量架構分成三個內涵，如表 2-3-1（林煥祥，_{2008）：數學內容（Mathematical Content）、數學歷程（Mathematical} Process）、以及情境與脈絡（Situation and Context）。其中情境與脈絡為其中重要項目，並認為在進行數學評量，情境是相當重要的一部份，因為學童可以根據不同的情境選擇不同解題策略，進行有效的解題。PISA 數學評量架構中，情境與脈絡（Situation and Context）包含了個人化的生活情境（Personal）、教育以及職業的情境（Educational/Occupational）、公共議題的情境（Public）以及科學的情境（Scientific）。個人化活情境是和學童日常生活活動直接相關之情境；教育以及職業的情境則是和學童校園生活或工作地點相關之情境；公共議題的情境則和各地或當時社會所發生議題有關之情境；科學的情境則較為抽象，可能包含技術、理論情境、或明確的數學問題理解等情境。

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表2-4-1 PISA各子向度之數學評量架構評量架構對應之子向度個人的（_personal）教育的（_{educational）} 職業的（occupational）公共的（_public）情境和脈絡科學的（_{scientific）} 數量（quantity）

空間與形體（space and shape）改變與關係（change and relationships）數學內容不確定性（uncertainty）複製群組（_{reproduction cluster）} 連結群組（_{connection cluster）} 能力群組反思群組（reflection cluster）

思考及推理（_{thinking and reasoning）} 論證（argumentation）

溝通（communication）建模（_modelling）

擬題及解題（problem posing and solving）表徵（representation）

運用符號、形式化及科技的語言及運算（_using symbolic, formal and technical language and operations）數學歷程數學能力

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25

二

二、

、

、數感與生活情境

、

數感與生活情境

NCTM在2000出版的學校數學的本質與標準，強調以學童在生活情境中所發展之非正式數學概念，以及學校所習得之數學經驗為基礎，設計問題情境，作為提供學童進行討論、解題的活動。可是在許多的研究中顯示（Threadgill Sowder,1984；Reys, Reys, Nohda, Yoshikawa, & Shimizu, 1991；Yang, 1995, 2000）在解決數字的問題情境中，學童普遍缺乏對數字的理解以及應用的能力，因此，以下將就數感與日常生活情境之關係討論。（一）數感對生活情境的影響支毅君（1996）認為在日常生活中所牽涉到的數字，估算往往比精算好用，而學者楊德清（2002）認為數感的組成要素之一就是發展估算策略，並判斷答案之合理性，換言之，即根據不同的生活情境，選擇適當的估算工具，來解決問題，最後判斷其合理性。可見，數感能力不僅能提昇數學在生活的實際應用能力，也能增加生活的便利性。 Schoen (1989) 更是認為具備良好數感者，能將運算以及生活情境做適當連結，無論在學校或是學校外皆能流暢的使用數字或運算，且能夠在真實情境或虛擬情境中彈性的轉換，並判斷情境中數字的合理性。所以，數感能力對學童在日常生活情境中數學問題的解決，有著相當關鍵重要的地位。（二）生活情境對數感的影響 NCTM (2000) 主張提供真實情境是學童學習抽象符號、表徵、以及建立數感能力不可或缺的活動。荷蘭的真實數學教育（RME）認為基於兒童的認知發展，應以生活的真實情境為核心（引自黃美幸，2001）藉由使用脈絡與模式，使得學童得以經由不同層次的數學化過程，發展自己的數學，其中當然也包含數感能力的培養。林素薇（2003）在國小高年級學童數感特徵暨數感動態評量發展之研究中，從情境著手，從學童生活經驗進行切入，而研究發現藉由生活經驗關聯的確可

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以促發學童的數感，也建議關心數感之教育相關人員，可以嘗試從與學童日常生活相關之數學問題來進行數感之培養。（三）國內數感與生活情境之相關研究林文生（1996）的研究發現，當教師課堂上能以更多生活情境題進行教學時，學生的解題方式猶如百花齊放，引發學生的熱烈討論，激發更多想法。侯淑芬（2002）藉由具體操作情境、真實生活問題、特別設計的數能誘使學生使用參考值來解題。蔡鳳秋（_{2004）在探討國小四年級學童解數常識生活情境文} 字題時所使用之解題策略，以瞭解小四學生數常識之表現之研究中顯示透過生活情境文字題，可以鼓勵小四學生使用數常識策略進行解題。生活情境文字題的使用，較易誘發學生使用多元表徵方式進行解題。而黃琮智（_{2008）在國小} 六年級學童數感能力分析之研究中，則顯示數感能力高者，其數感能力之培養均與生活經驗相關。

三

三、

、

、結論

、

結論

綜合以上學者所論述，可知數感與日常生活情境是息息相關的，生活能力提供數感能力的紮根，而數感能力提供日常生活情境的開拓（黃琮智，_2008）我國九年一貫數學領域課程綱要則主張，數學教學需與日常生活結合，教學者需提供學童適當的學習情境，讓學童能從中探索與建構知識，進而培養學童解決問題的能力。綜合以上各節相關研究之討論，為探討學童在面對不同情境的數感表現，本研究中之試題情境，採用PISA 的情境脈絡再加以修正，其中考量 PISA 施測對象為15 歲青少年，本研究施測對象為國小六年級學童，相對來說 PISA 架構中情境之命題對小學學生而言是較困難的，例如：科學上的情境、職業的情境。因此，本研究將教育以及職業的情境（Educational/Occupational）中之職業的情境和科學的情境（Scientific）刪除，而教育情境和學童日常生活有較大關聯，因此融入個人化的生活情境（Personal）中。所以，本研究中的問題情境將區分

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27 成三類：純文字或計算情境、個人化生活情境、公共議題情境。並將數感向度融入三種不同情境，編製「數感情境測驗」，而後探討六年級學童在不同情境的數感表現。其中，純文字或計算情境為單純文字敘述或計算式之試題；個人化生活情境為與國小六年級學童學校或家庭中之生活相關情境，並融入數感內涵之試題；公共議題情境則取材社會所注目之新聞，並融入數感內涵之試題。

第五節

影響

影響學童

影響

學童

學童數感表現之因素

學童

數感表現之因素

本節將分成兩部份探討影響數感相關因素，第一部份為相關文獻整理；第二部份根據文獻進行探討。

一

一、

、

、相關文獻整理

、

二

二、

、

、討論

、

討論

城鄉差距對學童學習之影響，一直都是教育當局聚焦的重點，許多學者也紛紛投入此議題之研究，希望藉由研究弭平此一現象。林彩鳳（_{1995）發現具} 有城鄉差異之學童在數感表現上並無顯著差異；張文宜（_{2004）的研究則顯示，} 五、六年級城市地區學童數感表現略優於鄉鎮地區之學童。黃崇智（_2008）的研究則與先前研究有不同結果，研究發現城鄉之間國小六年級學童數感能力的表現達顯著性差異，且鄉村學童優於城市地區之學童。由此可知，城鄉差異問題有可能會影響學童數感之表現。兩性學習的差異問題亦是學者研究重點，就有研究（黃美幸，1995）顯示兩性在數理科學上的成就與興趣態度，有男性優於女性的現象。而數感關於別的研究中，林彩鳳（1995）的研究顯示性別不會影響學童數表現；張文宜（2004）研究卻顯示女生的數感表現略優於男生；林姿飴（2004）、黃婉祺（2005）、許清陽（2006）、江秉叡（2006）等人的研究皆顯示不同性別之學童在數感表現上沒有顯著差異；而李威進（2004）的研究卻有不同結果，發現不同性別之學童在數感表現上具有顯著性差異。由文獻可發現，不同研究者有不同結果，故本研究將針對性別因素是否影響學童數感表現進行分析。許多研究者也分析不同家庭背景學童之數感表現是否具有差異，張文宜（_{2004）研究發現家中有電腦之學童的數感表現略優於家中沒有電腦之學童；}

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張慧貞（2004）發現外籍和非外籍配偶子女在整體數感測驗表現上有顯著性差異存在；許清陽（2006）發現父親的教育程度不同之學童在數感表現上有顯著差異。學童不同的學習經驗亦可能影響其數感表現，林彩鳳（1995）發現心算的學習經驗並未提昇國小學童的估算能力，但參加課外補習的學生之數感能力優於未參加課外補習的學生；張盈盈（2003）發現珠心算段位之學童相當缺乏數字常識能力，其中又以估算能力最為薄弱；黃晚祺（_{2005）發現不同語文智力} 學生其數感能力的表現沒有達顯著的差異。綜合以上文獻可發現，研究者多針對學童之性別、城鄉探討數感表現，亦有研究外籍配偶子女、珠心算經驗、學校規模、父親教育程度、語文智力、家中有無電腦等因素對學童數感之影響，可見可能影響學童數感表現之因素相當多。本研究則將城鄉以及性別歸納為學童背景因素，補習經驗以及學習珠心算經驗歸納為學童學習經驗因素，進而探討不同背景、學習經驗因素對國小六年級學童在不同情境數感問題表現是否有影響。

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第三章

研究方法與步驟

本研究的主要目的在編製國小六年級學童不同情境的數感測驗，且透過此工具進行施測，藉以探討國小六年級學童面對不同情境數感試題的表現，以及不同背景學童在面對不同情境數感問題的表現差異。本章將分成五小節，第一節說明研究架構，第二節說明研究對象，第三節說明本研究所使用的研究工具，第四節說明研究實施程序，第五節說明資料的蒐集、處理與分析方式。

第一節

研究架構

本研究主要希望能瞭解不同背景、不同學習經驗的學童在面對不同情境數感問題之表現情形，其中背景因素包含學童之區域、性別；學習經驗包含學童補習經驗、學習珠心算的經驗等。本研究在設計上偏向於量化的研究，但是為了能再進一步瞭解學童在面對不同數感情境問題之想法，所以在資料的蒐集與分析上另外加入了晤談的部分，期待能讓本研究更加完整。研究相關架構如下圖 3-1-1。圖 3-1-1 研究架構背景因素 1. 區域 2. 性別學習經驗因素 1. 補習 2. 珠心算對問題情境的理解 1._{純文字或計算情境} 2. 個人化生活情境 3. 公共議題情境數感能力表現 1. 瞭解數字的意義和關係的能力 2. 比較數字大小的能力 3._{瞭解運算對數字的意義和影響的} 能力 4._{發展計算策略與判斷答案合理性} 的能力 5. 多重方式表徵數字的能力