研究的流程

本研究的實施流程如圖 3-1 所示：【圖 3-1：本研究的實施流程圖】

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第四章 怡棻的分數概念－加法性分數概念

本章主要分析怡棻的分數概念，針對怡棻在訪談問題的表現，

研究者假設怡棻的分數概念是加法性分數（Ning，1992）概念。本 章主要區分為三部份來探討怡棻的分數概念。一、有理數的子概念；

二、基本的分數概念；三、分數詞的使用（分數的合成與分解、分 數的比較、分數的單位量轉換概念）。

有關怡棻的分數概念之認定，主要是源自於其在訪談問題中的 活動之抽象，並配合之前所提及的相關理論所架構而成。因此研究 者在分析時，會先針對怡棻的活動類型賦予一性質來加以標示，接 著再說明此性質之涵義。並舉出訪談記錄中所摘錄出的相關原案，

來進一步說明研究者為何可以將其表現歸於此活動類型，亦即進一 步由原案中去分析其所呈現的意義。

第一節 有理數的子概念

分析有理數的概念可從有理數的子概念著手。涉及有理數的子 概念，一般而言包含以下幾項：1. 部份-全體關係。2. 子分割概念。

3. 對等關係。聲稱兒童具備了有理數的概念，亦即聲稱兒童能同時 掌握部份-全體關係、對等關係及子分割概念。本節先說明怡棻在這 三種子概念上的表現。

一、 怡棻在部份-全體問題的表現

學童的部份-全體概念的測試，一般區分為三種。1、數值的部 份-全體關係測試。2、分類的部份-全體關係測試。3、分數的部份-全體關係測試。本節中先就怡棻在前二方面的表現加以分析，再針

（一）在數值與分類的部份-全體測試上的表現

為了探討怡棻在整數範圍中的部份-全體的概念，研究者 引入數值的部份-全體測試及分類的部份-全體測試來討論分 析。有關她的表現如下：

（1）在數值的部份-全體測試上的成功

所謂數值的部份-全體問題是指在已知一全體量中各部 份量的數值，且其中一部份的量的數值遠大於其他部份量的 情境下，進行全體量與此部份量的大小比較問題。在知道豬 有 25、狗有 32、羊有 67 之後，怡棻成功地通過數值的部份 -全體測試。其表現如原案 1：

原案 1

27. 師：……羊比較多，還是動物園的動物比較多？

28. 生：動物園的動物。

29. 師：為什麼？

30. 生：因為，那個….哎….

31. 師：你需要去做這一題嗎？去計算嗎？

32. 生：不用。

33. 師：好，你不用計算，你怎麼知道這個動物園的動物比羊還要多？

34. 生：因為羊就只有 67，那個豬和狗加起來已經有 57 了，然後羊已經有 67 了，所以加起來比 67 多。

35. 師：哦！一定比它多，你認為三個加起來會比 67 多，啊!如果不用計算你 可不可以判斷?

36. 生：可以。

37. 生：羊和這三種動物….這三種動物合起來比較多。

38. 師：為什麼？你不要計算的話，你怎麼知道這三種動物合起來比較多？

39. 生：….

我提問羊多還是動物多時，生回答動物多。詢問她的理

由，她欲言又止；我改問是否須要計算，她回答不必。我再 問何以得知動物較多，她以羊「只」有 67，而豬狗和已經 57，再和羊 67 的和會比 67 多，來說明她可以判斷三種動物 合起來比羊多。我再問為何不計算就可以知道動物較多，生 沒有回答。

雖然怡棻判斷動物較羊多時，並未以動物的總數 124 比 羊 67 大，作為其判斷的依據，但從其在行 34 的說明「…羊 只有 67，…豬和狗加起來已經有 57…然後羊已經有 67，所 以加起來比 67 多」來看，可以推測她所持的理由必定包含了 動物的總數比羊數多，所以動物較多。此一推論的依據有二。

首先「加起來比 67 多」這段話中必含有與 67 相比的數值，

而此一數值雖未確定，但仍然被怡棻以「加起來」所代表著。

其次羊的「只有」和豬狗與羊的兩個「已經」暗示著『何況 是』，而『何況是』則應當指向「加起來」所代表尚未確定其 為 124 的數值。此外，由於怡棻在我詢問「若不透過『數值』

計算，如何判斷動物較多？」時，選擇沉默以對。是以，就 此原案，無法推估其是否能利用分類的部份-全體關係解決問 題，而僅能推測其能透過數值的比較解決部份與全體兩量的 大小比較問題。亦即，她成功的通過數值的部份-全體測試。

（2）在分類的部份-全體測試上的成功

所謂分類的部份-全體問題是指已知全體等於各部份 的和，不知各部份的數值，且其中一部份的量遠大於其他部 份量的情境下，進行全體與部份量的比較問題。在知道一包

地通過分類的部份-全體測試。其表現如原案 2：

原案 2

41. 師：如果有一包巧克力，有黑色的巧克力，有白色的，還有紅色的，那 現在知道白色的比黑色的還要多，黑色巧克力又比紅色巧克力多，

那請問你，白色巧克力和這包巧克力比起來，誰比較多？

42. 生：那包巧克力。

43. 師：為什麼？哦!我現在都沒有數字給你算了，為什麼？

44. 生：嗯…..因為那包巧克力和白色巧克力，那包白色巧克力也有白色巧克 力啊!然後都是一樣的。

我提問白色巧克力多還是這包巧克力多時，生回答那包 巧克力多之後，我詢問她，並未給數值怎會知道是那包巧克 力多。她以那包巧克力「也有」白色巧克力，來說明她判斷 的理由。

從其在行 44 的說明「…因為那包巧克力和白色巧克力，

那包白色巧克力也有白色巧克力啊!然後都是一樣的。」來 看，可以推測她所持的理由是那包巧克力中包含有白色巧克 力，而那些白色巧克力中也含有與前者一樣多的白色巧克 力。而那包巧克力除了白色還有其它顏色的，因此那包巧克 力較多。此一推論的依據有二。首先由「…那包白色巧克力 也有白色巧克力…」中的「也有」代表著那包巧克力與白色 巧克力比起來，兩者中皆有白色巧克力。其次，其中的「都 是一樣的」則意謂著兩者所含的白色巧克力是一樣多的。是 以，由此原案可推估怡棻能利用分類上的部份與全體關係來 解決問題。亦即，她成功的通過分類的部份-全體測試。

綜合怡棻在原案 1、 2 上的表現，研究者認為怡棻能通 過數值上及分類上的部份-全體測試，因此研究者預期其在加 數未知及減數未知的問題中應能成功的轉換成差數未知的問 題來解題。

（3）能將加數未知問題轉換成求差的問題

所謂加數未知的問題形如 x＋？＝y，求？的數值。此類 型問題的解題策略可能是：透過再表現的方式使用序列性合成 運思來求解。亦可利用嚐試錯誤法去約估答案，找出答案。此 外也可以利用「轉換加數未知的問題成為求差數未知的問題」

的策略來進行解題。換句話說，是將 x＋？＝y 的型式轉為 y-x

＝？的型式。而怡棻在此類型的解題表現就是能將加數未知的 問題轉為求差的問題來解題。其表現如原案 3：

原案 3

322. 師：他原有 37 元，媽媽再給他多少就有 60 元了？

323. 生：(記 60 ) 23 元。

－ 37 23

324. 師：23 元，你為什麼要列 60 減 37 ?

325. 生：因為 60 是，媽媽再給他 23 元，就等於 60 元嘛!

326. 師：啊!你怎麼知道 23，23 是你後來算出來的，在還沒算出 23 之前，你為 什麼要列 60 減 37？

327. 生：因為這問題說媽媽再給他多少錢會等於 60 嘛，把 60 弄出來嘛，然後 他原本有 37 元，然後 60 減，那個就是媽媽給他多少的錢，然後再減他原 來的錢，會等於媽媽給他多少。

我提問小明原有 37 元，媽媽再給他多少，他就有 60 元了

式的理由，她回答再給她 23 元就等於 60 元。我再一次追問其 為何如此列式，她以 60 元減掉原來的錢就會等於媽媽給他的 錢來說明。

從怡棻在行 327 的說明「…把 60 弄出來嘛，然後他原本 有 3 7 元，然後 60 減，那個就是媽媽給他多少錢，然後再減 他原來的錢，會等於媽媽給他多少。」 來看，可以推測其能 將原先形如 37＋？＝60 的加數未知的問題，轉為形如 60－

37＝？的差數未知的問題來做。此一推測的依據是，「…把 60 弄出來嘛，…，然後 60 減，…」。是以，此一原案可看出 怡棻能將加數未知的問題，轉為差數未知的問題來進行解 題。相似的解題情節請參考行 332-339 及行 340-353。

（4）能將減數未知問題轉換成求差問題與加數未知問題 所謂減數未知的問題是指形如 x-？＝y，求？的數值。此 類型問題的解題策略是；在數目不大時，可透過再表現的方 式，使用序列性合成運思來求解。亦可利用嚐試錯誤法去逐一 逼近答案，找出答案，更可利用「轉換此類型問題為求差數未 知的問題」的策略來求解，換句話說是將 x-？＝y 的型式轉為 x-y＝？的型式，而怡棻在此類型的解題表現就是能將減數未 知問題轉為求差的問題來解題。其表現如原案 4：

原案 4

287. 師：好，那如果老師現在有 58 顆糖，吃掉一些還剩下 35 顆，請問你老師 吃掉多少？

288. 生：58 減 35 嗎？

掉一些之後，還剩下 35 顆，請問你老師吃掉多少？

290. 生：23 顆。

291. 師：為什麼？

292. 生：(記 58 ) 因為 8 減 5 等 3，那 5 減 3 等於 2。

－ 35 23

293. 師：那，我現在要問的是為什麼要列 58 減 35 ?

294. 生：因為原本有 58 顆糖嘛!老師吃掉一些剩下 35，所以那個把老師吃掉的 和 35 加起來會等於 58。

我提問老師有 58 顆糖，吃掉一些還剩下 35 顆，請問吃掉 多少之後，生問我是不是 58 減 35。我並未評論，且再將問題 陳述一遍後，生回答 23 顆。於是我追問其理由，此時生列 58 減 35 得到答案 23，所以我再詢問為何如此列式，她以老師吃 掉的部份與 35 加起來會等於 58 來說明。

由行 288 中發現怡棻將「58－？＝35」變換成「58－35

＝？」有點遲疑，但卻自發性的將「58－35＝？」與「35＋？

＝58」互換，或「58－？＝35」與「35＋？＝58」互換，可假 設其能利用部份－全體的關係來連絡各數。是以，由此原案可 推論出，怡棻能將減數未知的問題（58-？＝35）轉換成差數 未知的問題（58-35＝？）或加數未知的問題（35＋？＝58）。

相似的解題情節請參考行 299-308 及行 309-320。

相似的解題情節請參考行 299-308 及行 309-320。