兒童的分數概念研究:一個國小三年級的個案

國立台中師範學院數學教育研究所碩士論文

指導教授：甯自強 博士

研究生：王淑芬 撰

中華民國九十三年十月

兒童的分數概念研究:

一個國小三年級的個案

誌 謝

終於完成了！ 首先，我要感謝指導老師甯自強博士，不但要在課業上辛勞 的指導我，有時還要充當我的垃圾桶，讓我傾吐心裡的不快。哈！ 老師真是辛苦啦！ 其次，我要感謝口試委員黃敏晃教授及易正明教授在百忙中 費心的閱讀此論文，並提供寶貴的意見，讓我的論文更完善 。 接著，我要感謝陪我一起走過研究所求學階段的同窗好友－ 玉雯、啟芳、大錦。有你們的相伴，求學日子充滿許多感動與歡 樂。 再來，我要感謝翠玲學姊，她簡直是 7－11 隨傳隨到。您的 協助感激在心頭。 還有，我要感謝好友小玉，沒有她的牽線我不可能上中師求 學的，此外上台中都受她的照顧。實在太令人感動。 最後，我要感謝家人的支持與體諒。尤其是老公的鼓勵、扶 持，讓我在工作之餘還能保有我的興趣。而女兒佳軒與佩芩的超 級配合，讓媽咪更有動力。 在此，滿懷感恩的心以此論文的成果，獻給所有關懷我及我 所關懷的人。

摘要

本研究的目的在於探索國小三年級兒童有關分數概念的解題 活動類型。研究者以教學晤談法，對國小三年級兒童－怡棻進行 九次訪談。蒐集其對分數概念的解題活動資料，並將蒐集的資料 轉譯和編輯成訪談原案，再依據訪談原案分析其對於分數概念的 解題活動類型。 怡棻在分數的基本概念及使用上，其解題活動類型具有以下 性質： 一、 分數詞表示部份在全體之中的並置關係。 二、 分數詞隱含算子的意義。 三、 嚐試以分數詞來表示除法的結果。 四、 帶分數詞較假分數詞易自發性的出現。 五、 進行分數減法算式的形式操作時，混淆 1 與單位分數之比 值，亦即分數不夠減時，向整數借 1，化為分子 10。 六、 其單位分數、真分數及帶分數皆可計數。 七、 以古氏積木的舊經驗具體化分量的內容。 八、 在單位分數內容物單一的情境下，可成功的將假分數化為帶 分數，但在單位分數內容物多個的情境下，則無法成功。 根據原案分析的結果，本研究假設怡棻的分數概念位於加法 性分數概念。而在有理數的子概念上，其解題活動類型具有以下 性質： 一、有操作性顯著的子分割運思。 二、具有單向的由部份去構成全體的關係，但無法由全體決定部 份的雙向關係。

ABSTRACT

The purpose of the study is to investigate a children’s conception of fractional number. E-Fen, the participant, was a third grader. She has been interviewed nine times so that her activities on fractional number were video-taped and transcribed into protocols for further conceptual analysis.

On the basic conception and using of fractional number, her activity patterns of solving the problem reveal the following

nature:

（a）Fractional number words were used to denote a juxtaposed relationship of part-in-whole.

（b）Fractional number words imply meanings of operators. （c）Fractional number words might be used to denote the result

of division.

（d）Complex fractional number words seem easier to be adapted spontaneously than improper fractional number words.

（e）When she doing the subtraction of fraction formally, she obscured the ratio between 1 and unit fraction, borrowing 1 for 10 instead of denominator.

（f）Unit fraction, proper fraction and complex fraction are all countable.

（g）Using her experience of Cousinaue’s Rod to embody fractural quantity.

（h）While she was successful on equalizing complex fraction with improper fractional as the content of unit fraction were singleton, she failed when the content were

multiples.

According to the analysis, E-Fen’s conception of fraction at the phrase was hypothesized of additive fraction. On other sub- concept of the rational number, her activity patterns possess also the following properties:

（a） Her subdivision operations were operational significant. （b） Her conceptions of part-whole was one-way, rather than

目次

第一章 緒論………1 第一節 研究的背景及重要性………1 第二節 研究目的………3 第三節 名詞界定………4 第四節 論文的組織架構………5 第二章 文獻探討………7 第一節 與知識相關的理論………7 第二節 數概念的本質與模型………12 第三節 分數與有理數的相關研究………20 第三章 研究方法及實施程………33 第一節 教學晤談法與實施………33 第二節 訪談問題………35 第三節 資料的蒐集及整理分析………46 第四節 研究的流程………48 第四章 怡棻的分數概念－加法性分數念………49 第一節 有理數的子概念………49 第二節 基本分數概念………84 第三節 分數詞的用……….120 第五章 結論與建議……….175 第一節 結論……….175 第二節 檢討與反思……….179 第三節 建議……….182 參考文獻………189 一 、中文部份……….189 二 、英文部份 ………192 附錄………A-1 附錄一 訪談問題……….……….A-1 附錄二 訪談原案……….……….A-25

表目次

表一 整數概念的訪談問題之分類及編碼………..36 表二 分數概念的訪談問題之分類及編碼………..37 表三 怡棻在有理數的子概念上的表現………80 表四 怡棻在分數的基本概念上的表現………117 表五 怡棻在分數的合成、分解上的表現………167 表六 怡棻在分數的比較問題上的表現………168 表七 怡棻在分數的單位量轉換概念上的表現………169

圖目次

圖 2-1 Behr, Lesh, Post, & Silver(1983)提出的多重表徵系 統………11 圖 2-2 累進性合成運思下的數就好像「洋蔥」一樣 ………17 圖 2-3 一合成巢狀數，能在整體不變的情形下，自行內在的調整 結構………..19 圖 2-4 以 Behr 等人所提的表徵系統來看 1/3 的概念………..21 圖 3-1 本研究的實施流程圖……… 48

第一章 緒

論

本章分為四部份，首先論述本研究的背景及重要性，其次是說明 本研究的目的，接著對名詞的界定，最後則說明本研究論文的組織架 構。

第一節 研究的背景及重要性

數學是討論數、量、形及它們之間的關係的科學。其中包含算術、 代數、幾何、三角、解析幾何，微分、積分等。而小學階段主要是討 論「算術」部份。包含：數與計算、量與實測、數量關係、統計圖表 等。以上所言是對數學教材的「內容」作一番詮釋。其實有關「數學」 的概念說法頗多，可能有人認為數學是一種計算能力、或視數學為解 題工具，而劉錫麒（1997），則認為數學的意義是數學思考。亦即將 數學視為一種歷程。而甯自強（1996b）也認為數學的內容具備了活 動的性格。 對於「數學概念」的不同主張，可能產生不同的「數學教育觀點」。 傳統上的數學教育，認為數學概念是可經由老師”傳授 ”給學生 的，且認為「數學可視為應人類需求，經濟化運作所產生的學問」(黃 敏晃，1993)。因此著重於將快速、單一的解法教予學生，較不重視 孩子的學習發展，亦即要孩子學習成人的觀點。如此的數學教育實施 下，也產生許多問題，讓多數孩子從不喜歡數學到畏懼數學，甚至放 棄數學，所以數學教育才吹起一陣改革風潮。 我們期待，我們的數學教育的目的是讓兒童們能獲得「有意義的 學習」，而非流於「機械性的反覆練習」。而要獲得「有意義的學習」

的（interiorized）的解題活動類型（甯自強，1991），而甯自強也 認為解題活動類型根源於具體的解題活動，為了了解兒童是否獲得某 一數學概念，則必須藉由兒童所表現出來的解題活動，來加以判定。

甯自強（1991）將解題活動分成三個層次：（1）感官活動 （ sensori-motor activity ） 。 （ 2 ） 表 徵 活 動 （ re-presenting activity）。（3）運思活動（mental activity）。若能依此分類來 區分判斷兒童的運思層次，有助於研究者確定兒童對數學概念的瞭解 與否，亦有助於掌握兒童的成就。 在國小數學教育階段中，有關數概念的學習，佔所有數學概念的 學習的三分之二左右，可說是小學數學教育中的主要內容。而分數概 念屬於數概念中的一部份，學生面臨分數概念的學習，似乎不如整數 概念來得理想。 我國國小分數概念的教學始於二年級下學期，且只教授幾個單位 分數的意義，所以二、三年級可說是分數教學的啟蒙階段，為了分析 兒童在分數概念發展的啟蒙活動，及以此時的概念來探索之後可能衍 生出的後續活動發展，本研究是以一個國小三年級兒童為研究對象。 期望能瞭解三年級的兒童有關分數概念的發展，及其相關的解題活動 類型，以期能提供兒童分數概念的理論基礎，與作為教師教學上的參 考依據，並且能提供課程編輯上的參考。 然而，過去對分數概念的研究上，大多致力於學習成果的描述（例 如：迷思概念）而非致力於兒童的解題活動歷程的描述。針對八十二 年的課程標準及九年一貫的課程標準去分析，我們發現，新課程的改 革精神是要「落實以兒童為本位的教育理念」，既然要落實以兒童為 本位，我們就必須重視兒童學習的『路徑差』及『時間差』。另一個

出問題解決是學習數學的主要目的。其後於 1980 年，美國教師協會 （NCTM，1980）即提出「問題解決是 1980 年代中小學數學教育的重 心」。而研究者相信兒童的概念是發展而來，其發展的過程應異於成 人的概念，且兒童的概念發展應有所謂的『路徑差』及『時間差』。 因此要獲知兒童的「分數概念發展」，研究者將致力於兒童的解題活 動歷程的描述。而所謂的「分數概念類型」及相關的功能應源自於兒 童的分數概念的解題活動紀錄。

第二節 研究目的

本研究旨在分析探討，分數啟蒙階段時兒童的分數概念發展及其 相關的解題活動類型，以建立兒童的分數概念模型。亦即分析兒童在 分數概念發展的啟蒙活動及以此時的概念來探索之後可能衍生出的 後續活動發展。本研究的對象是三年級的兒童，其主要目的是瞭解三 年級兒童有關分數概念的發展及其相關的解題活動類型。 此外，進一步希望本研究能提供兒童分數概念的理論基礎與作為 老師教學上的參考依據，並且能提供課程編輯上的參考。

第 三 節 名詞界定

本節中研究者先對以下語詞作一說明，以便與讀者做一溝通。 一、連續量

如長度、面積等。 二、離散量 物件有自然的單位，呈離散的狀態，一個一個獨立的呈現， 在測量時，以其自然的單位進行數數的活動，稱之離散量，例如 花片的個數。 三、單位量 在測量中，做為基準單位「1」所指示的量。亦即依問題情 境所選定為「一」的物件。 四、單位分數 指等分割單位量後的一份與單位量間的關係。亦即分子為 1 的分數。 五、分得量 指等分割後所取的份數（可以一份，也可以是多份）。 六、分量 經由等分割活動後，所得份數所代表的量。例如 2/3 條繩子 是指將一條繩子平分成 3 份取出 2 份，則此 2/3 條繩子所表示的 長即為分量。 七、單位分數的內容物 在離散量情境中，單位分數所代表的量可以是單一個物或多 個，甚至是非整數個，亦即單位分數的內容物即為該單位分數所 代表的分量。例如 12 個花片，平分成 12 堆，則單位分數所表示 的是一個花片，所以是單一個物；若平分成 4 堆則單位分數所表 示的是 3 個花片，所以是多個個物。

第 四 節 論文的組織架構

本研究分為五大部份。第一章為緒論，其中說明研究背景及重要 性、研究目的、名詞界定與本論文的組織。第二章則為文獻探討，說 明研究者所採的知識論觀點與心理學的立場及表徵的理論，此外還探 討數概念的本質與模型、分數與有理數的相關研究及有關分數概念發 展的相關研究。第三章則說明研究方法及實施過程，包括教學晤談 法、訪談問題設計，研究對象的選取，及資料的收集與分析過程，最 後說明本研究流程。第四章則說明參與者的分數概念的解題活動類型 分析。第五章則總結本研究的研究結論與建議。

第二章 文獻探討

本章分為三部份。第一節說明本研究之知識論與心理學理論所持 的立場及表徵理論；第二節討論數概念的本質與模型；第三節則對分 數與有理數的相關研究加以探討。

第一節 與知識相關的理論

探討兒童的「分數解題活動類型」，實際上是要探討兒童的某種 特定的知識。因此對於要探究的知識究竟為何，以及知識如何獲得應 有所主張，才能對所要探究的主題之本質有所釐清；至於如何由兒童 的表徵獲得兒童的知識也該有所釐清。因此本節主要說明研究者對於 知識及心理學所持的立場以及針對表徵理論的說明。 一、知識論的立場∼根本建構主義 本 研 究 採 取 的 知 識 論 立 場 是 根 本 建 構 主 義 （ radical constructivism）（甯自強，1987）。依其原創者 von Glasersfeld 在 1995 年所提出的看法，根本建構主義在知識論上有兩項基本的原 則： （１） 知識並非基於透過感官或溝通的管道而被動地收穫的；而是 由認知之主體建構的。 （２） 知識的功能是適應的，適應一語用在此處是生物學涵義的， 而且適應的目標則是傾向於相容（fit）或可存活的（viability）。

認知適用來服伺主體組織其經驗世界的，而非用來發現所謂 現實的客觀本體的。 根本建構主義主張知識僅為個體為了在環境中生存，所產生的經 驗類型。這些類型是功能的、演化的，而且是相對的（甯自強,1993b； 1994a；1996a）。 這兩項原則一方面規範了本研究的可能成果的活動類型之本質 （個體主動建構出的活動類型），另一方面也規範了研究者在面對兒 童的解題表現時，所能做的可能解釋之本質。也就是說，兒童本身的 “分數概念”與研究者由兒童的解題活動中所抽象而得的“兒童的 解題活動類型”會有所差異的，不可能相同，只能儘可能達到“相 容”。亦即人只能感受現象，不能感受物自身(朱則剛,1994)。換句 話說，對根本建構主義者而言，他人的數學知識，唯有透過他人的語 言、行動解釋才能知曉，但頂多只能做到概念上「相容」（fit）， 而非「相同」（match）（von Glasersfeld,1987）。 所謂的「類型」是指研究的一項概念，此概念是由研究者自有關 的經驗群中抽象而得的。如果類型的解釋威力已不足用來說明發生於 使用該類型的情境中的新例證時，此一類型應當有所改變（甯自 強,1993b）。也就是說兒童的分數概念類型是研究者依據兒童的解題 活動的表現中所抽象出而建立的，這解題活動類型，在兒童面對相同 類 型 的 解 題 活 動 時 ， 其 表 現 是 一 致 的 ， 如 果 此 類 型 被 經 驗 否 證 （falsification），則應對原先所假設的解題活動類型予以修正， 以強化類型的解釋威力。 研究者認為知識是個體主動建構而來的，否則經由直接灌輸，理 應每人皆有知識才對，此外對於社會建構所主張：知識是個人與別人

徑。但回到本質，個體若不主動建構，則磋商、和解又如何讓個體產 生知識呢？此外，研究者也認為唯有發生認知衝突，個體才會自行先 調適自己的認知結構以取得平衡。因此本研究有關知識論的主張採取 根本建構主義的立場。 二、 心理學的立場∼基模論 皮亞傑的基模理論（scheme theory）和根本建構主義是相容的 （von Glasersfeld,1980）。因此本研究對於兒童有關「分數概念」 類型方面的知識上的說明，將採取皮亞傑的基模理論來加以組織。 基 模 理 論 中 提 及 兩 項 重 要 的 認 知 功 能 ， 一 是 「 同 化 」 （assimilation），另一是「調適」（accommodation）。個體利用 已有類型的要素與新的情境要素比對後，決定進行原有類型的活動， 謂之同化。而活動之後，如果成果是意名的驚喜，原有的經驗類型的 情境，便得以擴張，使此一類型適用的範圍更廣，從而活動者調適自 己已有的運作方式。如果成果是挫敗的，新的經驗中的情境要素，便 會重新評估，再據以使用別的經驗類型來加以同化（甯自強，1993c）。 「同化」並非將環境中的要素改變合併入有機體的結構中，而是迫使 新的經驗到已有的概念架構中，亦可說同化是從事目標導向的行動， 假使目標無法達成，接著而來的擾亂可能會導致「適應」，所以適應 的觀念是建基在平衡的概念，是為了排除引起不安的事物。然而較高 層次的擾亂，也許需要較低層次的再建構，直到恢復平衡（von Glasersfeld, 1994）。由此可看出，學童進行解題時若遇到困難， 可能會採取較低層次的解題策略來進行解題。 基模是可以重複使用，或進一步推廣的運作系統。不論是活動的

類型或是心智上的動作，它們是用來改變情境的狀態，作為同化或調 適的工具（Piaget,1970,1980）。當兒童發動基模後，對運作結果的 預 期 能 力 ， 以 及 運 作 時 對 於 感 官 材 料 的 依 賴 程 度 ， （ 甯 自 強 ,1992a,1992b,1993b ） 將 解 題 活 動 的 層 次 區 分 為 感 官 活 動 （sensori-motor activity），表徵活動（re-presenting activity） 及心智活動（mental activity）。所謂的感官活動，係指兒童的解 題必須透過具體物來操作。所謂的表徵活動，是指兒童不需透過實際 的具體物操弄，而是可藉由一些代表的物件加以表徵來解題。至於心 智活動，則可完全用思考的，不需透過具體物及其表徵來解題。若兒 童能以表徵活動來進行解題時，其已具備了內化的知識；而當兒童能 以心智活動進行解題時，其已具備了內蘊化的知識了。 為了彰顯基模的特質，von Glasersfeld 特別對基模下一操作性 的定義，以作為研究者進行概念分析時的一項有效工具。他指出一個 基模可以分成三個部份（von Glasersfeld,1980）： 第一、 有一個同化後的情境，此情境是用來激發活動或運思（指內化 後的（internalized）活動或概念（conceptual）的活動）。 第二、 有一串的活動或運思。 第三、 也是最後，有些活動的成果或是續局（sequel）。 因此，欲主張兒童有「分數概念」類型，即為主張兒童存有此特 定的基模，以解決相關的分數概念問題。為了主張兒童具有何種分數 概念的基模，研究者也只能從兒童進行解題活動時的外顯行為來推論 其內在的思考歷程，是以研究者必須極力使他對兒童活動解釋、契合 兒童的原始初衷（intention），儘可能不做過度或不足的闡述（甯 自強,1993b），研究者所建構的類型必需能契合兒童的用意，並且能 存活，且儘可能做到最佳的解釋。

三、表徵理論 表徵(representation)是用某一種形式，將解題活動類型表現出 來，以達成溝通的目的(蔣治邦,1994)。表徵在活動中具備兩種功能： 溝通工具及運思活動的材料(蔣治邦,1994)。 在數學概念的發展過程中，在經驗階段時，活動者自行選取活動 過程中伴隨的感官材料(聲音、文字圖案)，作為信號(signal)，來代表 此段經驗；當活動一再地複製實施，形成活動類型，也就是在察覺階 段時，則代表此一活動類型的信號，開始有了一致的意義，而成為具 有語意的符號(symbol)，來做為活動經驗的紀錄；當活動類型的成分 被進一步理解後，則符號成為此活動類型的指標，而成為運思活動的 材料(甯自強,1993b)。而由於經濟符號的目的，約定成俗的符號變成 多義的，同一符號可以被用來指涉不同的活動類型(甯自強,1992； 1993a；蔣治邦,1994)。

Behr, Lesh, Post, & Silver(1983)提出多重表徵系統如圖 2-1 所示：

圖形 口語符號 文字符號 真實世界 的情境 操作物

研究者主張，欲探究兒童的解題活動類型，須瞭解兒童對於分數 概念的表徵，亦即要解讀出兒童自身的表徵意義，而非使用成人的表 徵意義來說明兒童的表徵的。此外，觀察兒童在分數概念中的表徵轉 換，以作為分析其分數概念的參考。

第二節 數概念的本質與模型

本研究主要在分析兒童的分數概念類型。因此本節先陳述數概念 的本質，再論述數概念的模型，以作為分析兒童的解題活動時的參考。 一、 數概念的本質 對於數概念的主張大致可區分成二個方向：一為知識論上的主 張；另一為心理學上的主張。前者主張數是由對物的共同屬性抽象而 得，如高斯、羅素、歐基里德等人之主張屬之；而後者主張數是透過 對物的心理活動抽象而得，如皮亞傑、Davydov、Steffe 等人之主張 屬之。此外，甯自強的主張則兼具知識論及心理學二方向。 羅素認為：「由數學的觀點來看，數僅不過是相似的物所成的類。」 （轉引自甯自強，1993b；1994a；1996a）。是以，根據羅素的主張， 以３而言，３是由３個花片、３個人、３輛車、３朵花….等物件的類 的抽象而得。至於皮亞傑(1965)則不認同羅素的主張。皮亞傑認為基 數與序列概念是同時產生的。 羅素與皮亞傑對於數概念所持的主張主要差異在於，羅素是由 「活動結果」來看數，而皮亞傑則是由「活動歷程」來看數。而皮亞

傑由數數活動與標準數詞序列之間的關係，能清楚描述出兒童的數概 念發展歷程，此與本研究想要藉由確認兒童數概念運思性質來用以協 助探討兒童的分數概念契合，因此本研究採取數概念是透過對物件的 心理活動抽象而來的觀點。 此外，高斯（Gauss,1800-1929）對於何謂「數」，就給了以下的 一個界定（轉引自甯自強,1993b；1994a；1996a）： 數是一個指標，此指標是用來指示，為了獲得一個與一被界定量相等 的量起見，一個已知量（單位量），或是此單位的一個被等分部份，所 需被重複累積的次數，這個次數則被用來指示被界定量。 高斯除了說明數是用來界定量與一單位量的關係外，特別提及界 定的方法則要視被界定量可否由單位量利用重複累積的方式加以複 製而得。如此看法，甯自強（1993b；1994a；1996a）認為其利用「次 數」來說明「數」，不免陷入循環界定的問題。因為「次數」也應是 「數」是由「自己」來闡釋「自己」。 Davydov(1982)則指出：「數概念是指某量，及該量中用作測量單 位的一部份，經由測量活動所建立的一組多重（multiple）的關係。」 Davydov 與高斯都強調數是用來界定量與一單位量間的「次數」關 係，只是 Davydov 更提及要建立此關係，須經由測量活動來達成。而 由二者的主張可發現「單位」（unit）的概念，在數概念中扮演不可或 缺的角色。 歐基理德曾說過：「所謂的單位是指存有而被稱為一的事物，而 數則是由單位所構成的多數。」（引自甯自強,1993b）。由此可見，歐 基里德的主張未脫離高斯與 Davydov 的主張範籌。因此我們也可以

位，能選用一標準作為測量單位時，就能進行數數活動了。 數數活動的功能，在於確定一被測量的量與測量單位的關係，即 確定被測量的數值（甯自強,1994）。Steffe 等人認為數數活動包含了 三個主要的活動：(1)能口語的（或默默地）唸出一序列的標準數詞； (2)能製作一群單位（無論感官或其他）以進行數數；(3)能將(1)(2)兩 項活動結合在一起，使成為一個數詞能與一個被計數單位加以對應 (Steff, von Glasersfeld ,Richards & Cobb 1983)。

而數數活動的結果則為一個集聚單位（composite unit）。所謂的 集聚單位是指以數個「一」為元素的群體或是集聚數個「一」所成的 單元，而此一集聚單位的數值指示的是，一集聚單位量與單位量「一」 間的關係，此關係是透過數數活動來達成（甯自強,1993c）。 然而想測量所有可能的量時，會面臨如何選用符號來表徵的問 題，倘若每一測量量給予一個不同的符號，則需有無數個符號才能足 以應付，就算有無數個符號，人的記憶是有限的，要解決此問題，如 何將數結構化，以有限的符號來表示所有可能的量，就顯得很重要 了。因此就發展出十進位的印度－阿拉伯記數系統。 兒童的數概念結構想同化成記數系統的結構，則必須再考慮「十」 這個單位。而為了達成所謂「十進位」概念，則必須衍生更多的單位， 以成為多單位系統。然而探討兒童的數概念時，必須釐清兒童擁有的 數概念與記數系統的差別。換句話說，擁有數概念是一回事，是否能 使用或瞭解記數系統又是一回事。亦即擁有數概念、並不一定也擁有 位值概念。換言之，擁有數概念與如何運用此概念是兩回事。 以上針對數概念本質、單位的概念、數數活動及記數系統的分 析，之於本研究的意義，在於欲探討兒童的分數概念時，能藉此分析

二、 數概念模型

所謂數概念模型，是指兒童對數概念的運思方式，在不同的運思 層次下，會產生不同的數概念類型。根據甯自強（1992b）的研究，

其將運思的方式分成：合成運思（integration operations）、累進性合成

運思（propressive integration operations）、部份一全體運思（part-whole operations）與測量運思（measurement operations）。而此四種不同的 運思下產生了四種不同的產品：起始數概念、內嵌數概念、合成巢狀 數概念、測量數概念。以下將兒童各運思期所產生的數概念模型說明 如下： （一） 起始數概念 合成運思期所產生的數概念是起始數概念，兒童將構成事物的元 素合成為一事物的能力或運思，即為「合成運思」，因此在此運思下 整數詞的意義，就是幾個１的合成，例２３視為２３個「１」。且其 數詞的關係只有「誰多」、「誰少」的關係，亦即是屬於「量」的比較。 至於其在合成、分解上的表現是序列性的使用合成運思來解決，將量 依序全盤表現，以「１」表現出，再重新計數，也就是說進行兩次做 數，及一次數數活動，亦即序列性的使用三次合成運思。 合成運思下在處理比較問題時，每一個數詞所代表的數都是獨立 的，將此二數重新表現，再透過一對一的比較而得。在此運思下，算 式所代表的關係則是量與量的關係，且兒童是無法處理單位量的轉換 問題，因其所建構出的集聚單位，彼此之間沒有關係的，都是獨立的， 因此要聯絡兩個數、兒童僅能藉由將數加以具體表徵，從而操作表徵

總而言之，在合成運思階段，兒童在解決比較、合成、分解等問 題，只是序列地合成 1 成一個集聚單位（composite unit, Steffe, et al, 1983,1988）或將此集聚單位散開成數個１，合成、比較、分解活動是 作用在１的群體上，而不是在數上，亦即兒童是在進行兩量的操作， 非兩數的操作。而其無法處理單位量的轉換問題。

（二） 內嵌數概念

在累進性合成運思期所產生的數概念是「內嵌數概念」。累進性 的合成運思（progressive integration operations, Steffe, et al,1988）是指 兒童將一數詞所指示的量當成基礎出發點，而不需加以全盤表現來解 題。例如在此運思階段下，整數詞「２３」的意義可視「２０」為一 集聚單位再往上累積３個「１」。至於在二數詞的關係上，可認為較 小的數包含於較大數內，可以討論兩數的大小了。而在解決合成、分 解問題時可採取向上數及向下數的策略。例如解決６＋３＝？時，兒 童直接以６為基礎，依數詞序列多數３個數詞，而得到答案９。而解 決９－３＝？時，則直接以９為基礎，依數詞序列倒數３個數詞，而 得到答案６。 此外，「少多少」的問題，必須將較少的量內嵌於較多的量中， 才能決定，而此種內嵌所蘊涵的數與數間的關係，超出了合成運思所 能處理的範圍。因此可說在此階段，算式所代表的意義是數與數的關 係，而所建構的兩數間的關係是集合間的包含關係。惟有兒童開始使 用累進性合成運思後，才能全盤的瞭解加、減情境的所有意義。 易言之，在累進性合成運思階段來看數“５”，是把數視為洋 蔥，可一層一層剝皮（去皮：往下數），亦有一層包一層的關係（成 皮：往上數）。如圖 2-2 所示：

1 1 1 1 1 可去皮，視為「1 個 4 及 1 個 1」。 【圖 2-2：累進性合成運思下的數就好像「洋蔥」一樣】 而此時的「５」是可再製的５，有了一個５，再來一個５，可一 而再，再而三的複製，因此此時才可能出現乘法。 至於在此階段的除法並不代表截割的活動，是利用較大的集聚單 位的元素製作較小的且等價的集聚單位的活動，亦即將除法視為「連 減的活動」。例如「１２÷３」的意義在此是「利用１２個１可做成幾 個３」而不是「１２中間包含了幾個３」，當一個３被製造出時「１ ２」已不存在，一旦部份被從全體中移去，則全體已不存在，因此還 不是包含除的意義。 （三）合成性巢狀數概念 在部份一全體運思期所產生的數概念是「合成性巢狀數概念」。 部份一全體運思期，兒童對於數的意義之掌握，是能區辨「拾」集聚 單位與「１」集聚單位的記數意義，將「２３」視為２個「十」和３ 個「一」的合成，是屬於單向的部份一全體關係。在進行數詞關係的 比較時，可以使用「高階單位比較」的策略。至於在進行合成、分解 問題時，可以進行成人習慣的「加減算則」，可利用多單位系統來進 行合成、分解。 部份一全體運思不但把「１」視為「３」的一個內嵌的元素，也

能將１脫嵌而出，換句話說，部份一全體運思清楚的區分「１」和「３」 的差別。（甯自強,1992b）。因此在重複「３」的時候，不會失去「３」 的數值，亦即將「３」視為３個「１」的合成，３是一個可複製的單 位結構，同時使用不會混淆和「１」間的關係，此外在此階段僅能掌 握１＆ｎ或１＆ｍ的部份一全體關係，但不能掌握ｎ＆ｍ的部份一全 體關係。然而十個十是一個百在此階段可發展，但一個百是十個十則 未必（單向的部份一全體關係）。 由於能用部份一全體關係重新詮釋合成、分解活動、所以能掌握 加減互逆的關係。而有了部份一全體運思之後始可稱有乘除的運思。 在此階段能察覺乘法交換律，認為５×３和３×５的相等是必然的，因 做出來皆為「１５」，並非真正的乘法交換律，真正的乘法交換律蘊 涵著二階的部份一全體關係的交換，是部份一全體運思期尚無法掌握 的活動。而此階段的除法有截割活動，但還非包含除（必須能以３為 單位來解決３×５＋３×？＝２７，其中２７要視為３×９才是包含除 活動）。 （四） 測量數概念 在測量運思期所產生的數概念是「測量數概念」。能將一集聚單 位同化成可迭次的單位所涉及的運思，稱之為測量運思（measurement operations），而經由測量運思所同化而得的整數概念稱為測量數 （measurement number）概念。而測量數具有保留概念的合成性巢狀 數（Piaget,1987；甯自強,1994）。所謂合成性巢狀數具備有保留概念， 是指一合成巢狀數，能在整體不變的情形下，自行內在的調整結構。 舉例來說，５×７＝７×５（如圖 2-3 所示）

5 5 5 5 5 5 5

7

7

7

7

7

【圖 2-3：一合成巢狀數，能在整體不變的情形下，自行內在的調整結構】 也就是說，此運思階段能真正掌握乘法交換律，有辦法體會結構 一樣蘊涵著兩階層的部份一全體關係的交換，認為５×７與７×５相等 屬於必然。 在測量運思階段，學童對於數的意義的掌握是任何一個數可由別 的數來合成，亦可用來合成別的數（雙向的部份一全體關係）。而檢 驗測量運思可利用分割的觀念來檢驗，例如能將２３視為「２.３個十」 而１８ ２１小於１，所以２１大。至於在合成、分解的問題上能進 行小數運算的退位問題。既然此運思與分割有關，重點就要談乘法及 除法的性質。甯自強(1996b)指出，乘法的各種性質，如交換性、結合 性及乘法對加法的分配性皆是測量運思的產品，而有等分配性質的等 分除概念也是測量運思的產品，至於乘除互逆的概念的完全成熟也是 測量運思的產品。 由每個單位中取出１，集結變 成一個內容。 之後每一個內容變成一個單位

第三節 分數與有理數的相關研究

本節由分數與有理數概念的意義，分數詞的意義及相關活動以及 分數概念發展等研究的成果來回顧相關的研究。

一、 分數與有理數的意義

分數的概念起源於「分」，是用來解決不滿一個單位量的量的數

值的問題（呂玉琴,1995）。Larry & Joseph 將分數區分為：一、圖形中

全部的一部份；二、比例中的比；三、除法中的商；四、自然數中的 有序對等四種。且其主張兒童在學習分數的初步概念，必須掌握，一、 確定單位量；二、認知等分大小；三、找出等分割數；四、所聚份數 與等分割數之比較。（轉引自,李端明,1997）。 而皮亞傑則認為，兒童能理解分數的意義，必須具有以下面的概 念：一、能分割整體；二、決定部份的量；三、必須窮盡分割量；四、 決定分割數與全體的關係；五、所有的被分割量皆相等；六、知道部 份 來 自 於 全 體 ； 七 、 部 份 的 和 對 等 於 全 體 ， 且 全 體 是 不 變 的 （Piaget,1960）。由此可看出兒童能否進行等分割活動，是學習分數的 首要因素，此外，兩量的關係比較，特別是部份與全體關係的掌握更 是分數意義的主要內涵。 若以 Behr 等人所提的表徵系統來看 1/3 的概念，大致可表示如圖 2-4 所示：

1/3 的概念 (一盒) 圖形： (1/3 盒) 記號：1/3 實物：1/3 盒餅 「三分之一」(音) 代表的一種： EX：用花片表示 【圖 2-4：以 Behr 等人所提的表徵系統來看 1/3 的概念】 對於一個人的 1/3 的概念，我們無法真正看到 1/3 的概念，但我 們可以觀察到其表徵系統的轉換。若能將表徵系統換來換去，如此可 說他可能擁有此概念。因此觀察兒童在分數中的表徵轉換，可作為研 究者探究兒童分數詞意義的參考。

Vergnaud（1983），Frendenthal（1983）及 Kieren（1976,1980,1988）

定義有理數的意義，他們認為有理數如同：一、測量（measure）；二、

商（quotient）；三、算子（operator）；四、比（ratio）。而 Behr, Wachsmuth, Post 及 Lesh （ 1984,1992 ） 則 將 有 理 數 的 意 義 加 入 部 份 一 全 體 （part-whole）的關係。（Carpenter, T.P. & Fennema, E. & Romberg,

T.A. ,1992）。亦即 Carpenter 等三人將有理數視為五種不同的子結構： 一、測量；二、商；三、算子；四、比；五、部份一全體關係。而且 他們認為此五個子結構並非分崩離析，毫無關係的，兒童必須去聯合 這些子結構成一個聯合的基模，才能真的有利有理數發展。而要聯合 不同的有理數子結構應擁有：一、單位的概念；二、分割的歷程；三、 數量的概念。亦即此五種子結構均涉及單位的選取及轉換，亦涉及等

分割概念及數量的概念。此外，Kieren 認為若將有理數視為商，此時 有理數是一個附加的數量；但若視為比，則有增強有理數特色的效 果，因比強調量與單位間的關係屬性（Kieren, T.E. ,1992）。對西方人 而言，比才是有理數的根源，然而比還未有比值的概念前，是屬一種 對等關係，亦即對等關係是比的前身，因而要探討有理數的概念可由 對等關係著眼。 分數原來是用來解決不滿一個單位量的數值問題。甯自強（1995） 對分數與有理數有作區分，其認為分數是透過分割活動及集聚的活動 的實施來確定一個量與一單位量間的數值關係之指標，然而要確定此 關係的活動並非唯一，在單位量確定的情形下，把測量同一量的不同 數值指標視為相等，忽略不同的分割數與集聚數而著重在此二者間的 比值關係，並把比值當作數值指標的數，稱之為有理數。亦即有理數 是分數的等價集。 研究者認為在小學分數的啟蒙階段，分數的意義是為一等分割的 活動，將一個或多個基準單位量平分成數份後，再合成數等份的結 果。例如「ｍ ｎ」是把一個或多個基準單位量，透過實作或心理的 等分割活動成為ｎ等份，再合成其ｍ份，命名為「ｎ分之ｍ」。也可 以說此分數詞的意義是透過等分割再合成的活動找出其所指示的 量，如此應與前面所提的“算子”意義較為貼近。由於研究者對分數 意義之主張，所以本研究著重在等分割活動的進行（包括連續量及離 散量情境），以及部份與全體關係兒童是如何掌握，至於對於分數在 小數與數線及比值上的意義未加以探討。值得一提的是既然對等關係 為比的前身，比又是有理數的根源，因此研究者將對等關係也列入考 慮，希望藉由這些概念的探究，更能瞭解參與者的分數概念。

二、 分數詞的意義與相關的活動 兒童對於分數詞意義的掌握，會影響其解有關分數的相關問題， 因此探究兒童的分數詞意義，有助於了解其分數的解題活動類型。 所謂「分數詞」(例如 三分之一或 1/3)，是一種口語上或文字上 的特定類型，它所指的是「信號」(signs)，而非符號(symbols)。信號 要能成為符號的途徑就是賦予其意義。因此信號可以相同，符號僅能 相容(compatible)；而記錄或信號的解讀者，也因而會受到本身使用同 樣信號的經驗的制約(Kaput, 1991)。換句話說人們易使用自己的經驗 去解讀他人的分數詞意義。因此在此研究者先將分數詞的範圍加以界 定，亦即此處所指的分數詞意義是「兒童的」而非「成人的」。 欲探討分數詞的意義，宜在不同的問題情境下進行。根據目前的 課程發現有關分數的問題類型大致可區分成兩大類：一、連續量情 境；二、離散量情境。而離散量情境下又區分成：分數的內容物已知 及分數內容物未知的情境。至於分數的內容物已知的情境下又區分 成：一、單位分數內容物單一的情境；二、單位分內容物多個的情境； 三、單位分數內容物非整數個的情境。以目前的教材來看，大部份都 以連續量引入分數詞，接著出現單位分數內容物單一的情境；在四年 級會引入單位分數內容物多個的情境，而至高年級才可能引入單位分 數內容物非整數個的情境；至於內容物未知的情境是置於國中教材。 由於，本研究以兒童的分數啟蒙階段為目的，因此本研究所設計的問 題是以連續量情境、離散量情境單位分數內容物單一及多個的情境為 主。 分數是源自於分割活動、合成活動及並置活動，因此對於分數的 相關活動加以敘述如下：

(一) 原始的子分割活動： 所謂子分割(subdivisional )活動是指將一個單位量打破的活動。將 量的子分割活動區分為分散(separating )和破裂(breaking)等兩種活動 (甯自強，1993d)。二者的區別在於分散活動發生在離散量情境，而破 裂活動發生於連續量情境。 原始的子分割活動在離散量的情境來說是一個一個或一堆一堆 的 分 配 活 動 ； 在 連 續 量 來 說 則 是 指 撕 裂 (splitting) 活 動 或 碎 裂 (fragmenting)活動。但活動的結果並未保証能窮盡(全分完)及能平分， 亦即子分割的結果並未單位化。 (二) 子分割結果單位化時 所謂子分割的結果是否已單位化的判準在於，兒童是否能選取 「某種標準」來進行平分，且將全部分完(窮盡)。他可能以「個」為 標準，也可能以「長度」為標準，或以「面積」為標準。 子分割的結果一旦被單位化後，子分割的結果就產生了所謂的 「子分割單位」，而「子分割單位」是「公平」與否的基礎；也是利 用分數描述量的基礎(甯自強，1993d)。 (三) 子分割單位的合成活動 單單依賴子分割活動所製成的子分割單位，並不足以構成分數所 指示的量的製作活動。還必須利用合成運思來建構分子與分母所指示 的集聚單位。

(四) 子分割單位及其集聚單位的並置活動 將子分割活動所得的結果予以單位化並利用合成運思將分子及 分母所指示的量加以整合後，並不足以形成所謂的分數(甯自強， 1993d)。因此時的分子與分母是整數，分數猶如兩整數所構成的有序 對。而要形成所謂的分數，必須分子與分母被並置為一物。而在不同 的運思期下，兒童有不同的並置活動。 兒童在不同的運思方式下，對於分數詞意義有不同的掌握。因此 根據不同的運思期區分兒童的分數詞意義如下：一、分數的前置概 念；二、起始單位分數；三、加法性分數；四、巢狀性分數；五、有 理數(Ning,1992)。 (一) 分數的前置概念 在合成運思下分數詞的意義為「分數的前置概念」。在合成運思 期的分數概念之所以稱分數的前置概念，因其就好像是分數概念的前 身，兒童雖具有數概念與分割活動，但其數概念只有序列性合成運思 不見得能進行等分割活動，更缺乏等分割後的分得量與單位量作並置 比較，亦即只是靠知覺做判斷，分時不一定相等，也不一定窮盡。 當兒童僅能用序列性合成運思(甯自強，1993d)來處理有關整數問 題時，其分數詞所指向的數學物件多為並置類型(Juxtaposed pattern, Ning,1992)。 所謂並置類型是由兩個使用子分割單位形成的集聚單位 被並置所形成的物件。例如「1/3」對兒童而言，其意義是「1 和 3」 或是「3 和 1」，若給予兒童 6 個花片，要求其取出其中的「1/3」來， 他的答案會拿出 1 個花片或 3 個花片。 據甯自強(1993d)的說法，其認為「並置類型」的使用大多出現在

涉及分散的活動(即離散量)。至於在破裂活動中，分數詞 1/4 的使用 未必需涉及分母為四的合成活動，她是純由空間的感覺來指出 1/4 的，亦即她的 1/4 不是約定成俗的分數概念，此類型稱為「撕裂類型」 (splitting patterns)。 (二) 起始單位分數 在累進性合成運思下分數詞的意義為「起始單位分數」(initial unit fraction, Ning,1992)。在此運思階段，尚無子分割單位數值化的概念， 能將一單位量內嵌於全體做比較。此時將等分割後的分得量與單位量 作並置比較，對單位量的掌握並不明確，假如問一份是全部的 1/3， 全部是多少，會回答 4，可以說單向的部份-全體關係並不明確，即部 份是在全體之中，易混淆部份與全體的關係。亦即，分子內嵌於分母 之中，將分子移出分母，會導致分母的摧毀。此時的分數詞意義為「內 嵌並置類型」(embedded patterns)(甯自強，1993d)。 此外，在累進性合成運思時，無法進行單位分數的累積活動， 1/3+1/3 時，由於當 1 被複製時，分割數也同時被複製，所以回答 2/6。 這也反應出「起始單位分數」並非「單位分數」。「起始單位分數」是 不可以被重複的單位分數。而造成「起始單位分數」與「單位分數」 概念間的差異，主要來自於兒童是否是利用部份-全體運思(part-whole operations,Ning,1992,甯自強,1993b,1994,1996b)來同化數的情境，當缺 乏部份-全體運思時，1/3 是不可被重複的。 (三) 加法性分數 在部份-全體運思下分數詞的意義為「加法性分數」。「加法性分 數」(additive fraction)是 Ning(1992)在區分兒童不同的分數詞意義時，

在部份-全體運思期，具有子分割運思，子分割單位自此開始成 為 所 謂 的 單 位 分 數 概 念 。 而 此 時 能 運 思 分 數 的 累 加 活 動 如 1/3+1/3=2/3，所以稱為加法性分數。可做同分母的合成、分解、比較 問題，但缺乏通分的概念認為 3/4 與 6/8 是不同的。 「起始單位分數」與「加法性分數」兩概念的區分在於分子與分 母間是否具備明顯的部份-全體關係(甯自強,1993b,1994,1996a)。而加 法性分數的部份-全體關係僅能明顯的出現於單位分數內容為單一個 物的情境中。 (四) 巢狀性分數 在測量運思下分數詞的意義為「巢狀性分數」。巢狀性分數(nested fraction)是除了「起始單位分數或並置類型」及「加法性分數」兩種 分數詞意義以外的第三種分數詞意義(Ning,1992)。巢狀分數除了分子 與分母間具備明顯的部份-全體關係外，它與加法性分數的主要區分 在於巢狀分數的部份-全體關係可以出現在單位分數內容物是複數個 物的情境中，而加法性分數的部份-全體關係僅能明顯地出現於單位 分數內容物單一個物的情境中。 此外，由單位的觀點來看，加法性分數是以 1 為基礎的三階單位 (unit of units of units,甯自強,1997a)，巢狀分數則是以由 1 構成的集聚 單位為基礎的三階單位。以一箱汽水有 24 瓶為例，1/4 箱汽水的 1/4 為一單位，此單位一方面以部份-全體的方式並置 1 份與 4 份，而 1 份則是由 6 個 1(6 瓶汽水)所組成的集聚單位(composite unit ,甯自 強,1993b)。集聚單位 6 在此，一方面是由 1 的部份所構成的全體，另 方面也是構成 24 此一全體的部份。集聚單位 6 是能與全體各自獨立 運作的部份單位，其是可迭次(iterable)的單位，亦即 6 是一個部份也

換句話說，在測量運思階段是具有雙向的部份-全體運思與具有 子分割單位數值化的分數概念，因此時能同時運思兩個分數，因而稱 為「巢狀分數」，例如能將 32 視為 53 1 個 6，此 6 可為某些的全體， 亦可為 32 的部份。此外，在測量運思階段可理解等值分數與分數的 次序比較，但還缺乏共測單位的概念，因此只能以等分割的方式來運 思，而非應用共測單位。因此，可將 3/4 與 6/8 視為同一分量的測量 值，能進行通分及帶分數、假分數的互化。 (五) 有理數 在等比例運思下分數詞的意義為「有理數」。所謂有理數是巢狀 分數的重組，即兩個部份-全體關係的重組。兒童能以分數作為測量 單位，比較 3/4 與 2/3 時能以 1/12 為測量單位；1/12 為 3/4 的測量單 位亦為 2/3 的測量單位，因此可稱之為 3/4 與 2/3 的共測單位。亦即 能以共測單位來理解不同分數詞之間的等值或次序關係。在此運思期 下知道分數間的稠密性，亦能將分數視為一“比值”。 由上面的論述，簡單的說，「1/3」在不同的運思期下會產生不同 的分數詞意義，其分數詞意義簡短敘述如下： (1) 分數的前置概念：1&3(不見得能進行等分割活動，更缺乏 等分割後的分得量與單位量作並置比較)。 (2) 起始單位分數：3 個中間的 1 個(能做出 1/3，但其為不可 重複的單位分數)。 (3) 加法性分數：3 個為全體，其中的 1 個(能做同分母分數的 加減、比較問題)。 (4) 巢狀性分數：以 3 份為全體，全體中的一份部份(只能以 等分割的方式來運思，而非用共測單位，能將二個數值分

的互化，但未必能理解通分的意義，因而也未必能進行異 分母的加減及同分母分數的乘除)。 (5) 有理數：全體與部份的比為 3:1 的等價集(具有共測單位的 概念，因此可理解通分的概念)。 由於本研究是探討兒童的分數概念，因此對兒童的分數概念發展 需有所假設。而上述有關分數詞意義及有關分數活動的探究，有助於 本研究的比對與參考。 三、分數概念發展的相關研究 探討分數概念學習的研究文獻頗多，然而研究取向不見得相同。 李端明（1996），針對一個國小四年級的學童透過教學晤談法，探討 該名學童的分數概念及相關的解題活動類型，研究發現該名學童的分 數概念位於加法性分數概念過渡到巢狀性分數概念階段。其解題活動 類型具有以下性質：以分數詞表示兩量的並置關係、具子分割運思、 確定分數詞的算子意義、具單向的部份－全體關係，但缺乏雙向的部 份－全體關係及缺乏共測單位與分數的密度性。 李曉莉（1998），以教學晤談法針對三個國小二年級的學童進行 分數概念的研究，探討二年級的學童處理分割問題時使用的解題策 略，及進行單位分數命名的活動來探討其分數詞建構的歷程，之後並 探討學童分數的解題活動類型。由其研究發現，二年級的學童會使用 單位分數詞來描述單位分量，但在描述單位量、單位分量與使用單位 詞時可能會出現單位詞混淆的情形。此外，學童的分數詞意義會反應 在解決相關分數問題的解題過程中。

等值分數概念的表現。其研究中發現，兒童等值分數概念上的表現， 由先到後發展次序如下：兒童會做分數的分母等於分割個數的題目； 會接受分母是分割個數的倍數、因數的等值分數；會在圖形上自行增 加分割線或忽視分割線或把個數合併為一份以說明擴分的概念；兒童 具備組合能力；具備單位形成能力；具備運作思考能力，可以不接受 干擾而判斷等積異形的相等關係；最後論及兒童具備使用想像與忽視 分割線的彈性思考能力，會說明分母與分割線不是直接倍數關係的等 值分數問題。 陳靜姿（1996）亦是利用紙筆測驗及訪談來探討國小四年級兒童 的等值分數概念。其研究發現，該名受訪者是位於部份－全體運思階 段，其分數概念是加法性分數，且其分數概念具有以下性質：幾分之 幾可以當成一個分量；分裂量與分裂數成反比；分數可以是分數單 位；將分數當成一函數關係；分母代表將一個整體分割成幾份；參考 單位點的迷失以及將分子、分母中較大的數除以較小的數所得的商代 表分數值。 陳瑞發（2002），黃靖瑩（2002），詹婉華（2002）則採用問卷調 查法分別針對低、中、高年級作分數概念之探究，分別發現三個不同 階段中學童分數概念的錯誤類型。而吳宏毅（2001）、游政雄（2001）、 劉世能（2001）則分別使用紙筆測驗及訪談，針對台灣北部地區國小 低、中、高年級學童分數概念之研究，分別發現學童分數概念的錯誤 類型及成因。此外，湯錦雲（2001）是利用紙筆測驗及訪談來研究五 年級兒童在分數概念與運算的錯誤類型與成因。此段落可看出他們的 研究傾向學習結果的描述，非學習歷程的描述。 Mack（1995）則以教學實驗去探討四年級兒童以非正式知識去 建構分數意義時，發現會受先前整數意義的影響。

Ning（1992）則採用教學晤談法針對四位六年級學童探討其分數 詞意義，發現學童的四種分數詞的意義，分別是分數的前置概念、起 始單位分數、加法性分數與巢狀性分數。 分析國內近期對分數概念發展的研究發現，大多致力於學童分數 概念的錯誤類型分析，亦即致力於學習結果的描述。此外分數概念的 研究中，大多採用紙筆測驗及個別晤談。以紙筆測驗的方式可蒐集到 資料的量較多，但屬於致力於學習成果的描述，無法深入探究學童的 解題歷程。而採用個別晤談法，可蒐集到解題歷程的資料，但無法大 量實施，且資料整理分析上較困難。而本研究主要在探究一位三年級 學童的分數概念的解題活動類型，非致力於學習結果的描述，因此本 研究採教學晤談法來蒐集資料。

第三章 研究方法及實施過程

本章主要說明本研究所採用的研究方法及實施的過程。分為四大 部份，第一節說明研究的方法－教學晤談法的實施及研究對象的選 取。第二節則說明訪談問題。第三節則說明資料的蒐集及整理分析。 第四節則呈現研究的流程。

第一節 教學晤談法與實施

本研究旨在分析兒童的分數概念類型，而欲收集兒童的分數概念 類型的資料，必須經由其進行解題活動時，其運思所表現出的外顯行 為觀察而得，因此本研究採用〝教學晤談法〞（teaching interview ； Ning，1992）。 一、教學晤談法的意義 教學晤談法的實施，訪談時首先由研究者向兒童提出問題，再由 兒童表現出其解題方式及想法；接著研究者可針對兒童的表現，再提 出進一步的問題，以便釐清兒童的解題方式及相關意圖。如此研究者 與兒童彼此間的互動，一直持續到研究者提出另一類問題或訪談時間 終止為止。此訪談過程以錄影方式全程記錄下來，並將此資料轉成文 字，以為收集的資料。特別的是此訪談過程的研究者與兒童彼此間是 互動的，因此其中兒童的相關反應，如具體操作、肢體動作、語意的 表示、解題過程的文字、符號記錄……等，均是資料收集的重點。 值得一提的是，教學晤談法（teaching interview）與皮亞傑所 提 的 臨 床 晤 談 法 （ clinical interview ） 及 教 學 實 驗 法 （ teaching

臨床晤談法（clinical interview）的目標是在發現兒童的腦袋在 想什麼，晤談時不企圖去影響兒童的解題，研究者是純粹的旁觀者的 角色，當兒童遇到困難時，也不介入提供協助，如此兒童較易受挫。 而教學實驗法（teaching experiment）則控制不同的情境變因，以瞭解 兒童概念的變化。 教學晤談法與臨床晤談法的不同處在於，當研究者發現兒童面臨 解題困難時，可調整問題，適當的給予協助，以免兒童受挫。但在事 後要適當地剔除兒童在類似問題上的表現，除非有充份的證據顯示其 解題的成功並非由於研究者的介入所致。至於教學晤談法與教學實驗 法之所以不同主要在於，前者的目的僅在瞭解兒童的解題活動類型， 而後者想瞭解操弄不同變因，會帶來何種行為、概念的變化。 二、教學晤談法的實施方式 本研究總共晤談了九次，於民國九十二年四月到六月間實施。實 施期間，每次晤談時間約 40 分鐘~1 小時，為了避免影響參與者的課 業，訪談時間選在星期五下午沒課的時間。 訪談地點則選在參與者的學校教室。每次訪談全程錄影，每次訪 談完宜審視資料，以作為下一次佈題時的修定依據。 三、研究對象的選取 本研究主張兒童是參與此研究的伙伴，兒童有主動提出其要求的 權利，而非被動接受測試。而為了讓研究能順利進行，也期望能容易

表現，以及語言表達清晰者，所以本研究選取高雄市陽明國小三年級 的一位學童，而此學童經由老師推薦符合以上條件者。 本研究所選取的參與者為怡棻，怡棻曾擔任班級幹部，目前是體 育班的學生，在數學能力表現上頗為優異，與老師的互動情形也很 好，此外她未曾受過校外的數學補習教育。最重要的是她樂於參與本 研究。

第二節 訪談問題

本研究對現行教材有關分數概念的活動加以分析，而編製成訪談 問題。其中也會針對整數概念的解題活動來輔助分析。而由於本研究 是針對三年級，因此教材分析及問題選取至少要選到四年級階段，至 於有無需要再延伸，則視訪談情形而定。至於訪談問題的調整，則要 等訪談進行時，視實際情況加以調整、修正。 訪談問題主要區分為兩大部份。第一個部份是整數概念問題，第 二個部份是分數概念問題。整數概念的探究由以下活動著手：整數的 四則、比較活動及對等問題。且為了更進一步瞭解兒童的部份－全體 運思，針對分類的部份－全體關係及數值的部份－全體關係也加以考 量。至於分數概念的探究，先將問題類型區分成連續量和離散量問 題。離散量問題再針對單位分數內容物個數，區分成單位分數內容物 單一及單位分數內容物多個。在此分類下去探討分數的基本概念、分 數的合成、分解、比較及單位量轉換的問題。此外也加入分數概念的 部份－全體關係的測驗，以便探究相關的部份－全體運思。 在訪談進行中，提供紙筆讓參與者使用，甚至有些情境會備有具

接操弄具體物來運作。研究者在訪談進行中發現問題的情境佈置會影 響兒童的解題策略，例如詢問其兩種不同顏色的積木之間的關係時， 其會很自然的化為白色積木來做，無法達成題目設計的目的，亦即情 境中的具體物會影響兒童的解題策略。因此研究者只好替換另一問題 情境，例如將「積木問題」轉化為「棉條問題」（此棉條參與者未見 過，不熟悉，但其與積木的功能類似，只是將積木成等比例放大）， 如此便可避免上述情形發生。 此外，為了獲知參與者的運思，研究者宜在訪談進行時，時時提 出一些反省性的問題。例如「你怎麼知道的？」、「還有其它方法嗎？」 或「為什麼？」。 以下先呈現訪談問題的分類及編碼，之後再進一步說明問題類 型，至於詳細的問題內容請參考附錄一。 一、 訪談問題之分類及編碼 （一）整數概念 【表一：整數概念的訪談問題之分類及編碼】 活動類型 1.數值化的問題（A-1-1） 一 分類的部份-全體運思的測驗問題(A-1) 2.分類上的問題（A-1-2） 1.併加型問題 (A-2-1) 二 整數的加法問題 (A-2) 2.添加型問題 (A-2-2) 三 整數的減法問題 (A-3) 四 整數的比較問題 (A-4) 1 追加型加數未知的問題 (A-5-1) 五 整 數 的 部 份 - 全 體 運 思 的 測 驗 問 題 (A-5) _{2 減數未知的問題 (A-5-2)} 六 整數的乘法問題 (A-6) 1.包含除問題 (A-7-1) 七 整數的除法問題 (A-7) 2.等分除問題 (A-7-2)

（二） 分數概念 【表二：分數概念的訪談問題之分類及編碼】 情境 活動類型 一. 分數的基本概念 【說,讀,聽,寫,確定數 值,再表現】 (B-1-1) 1.單位分數 (B-1-1-1) 2.真分數 (B-1-1-2) 3.假分數 (B-1-1-3) 4.帶分數 (B-1-1-4) 二. 分數的合成,分解 (B-1-2) 1.分數的合成,和數小於 1 (B-1-2-1) 2.分數的合成,和數不小於 1 (B-1-2-2) 3.分數的分解,差數小於 1 (B-1-2-3) 4.分數的分解,差數不小於 1 (B-1-2-4) 三. 分數的比較 (B-1-3) 1.同分母的比較 (B-1-3-1) 2.異分母的比較（非等值分數） (B-1-3-2) 3.與一等值的分數比較 (B-1-3-3) 4.異分母的比較（等值分數） (B-1-3-4) 連續量 情 境 (B-1) 四 分數的單位量轉換 (B-1-4) 1.單位分數的整數倍 (B-1-4-1) 2.真分數的整數倍 (B-1-4-2) 3.帶分數的整數倍 (B-1-4-3) 4.分數除以整數(等分除) (B-1-4-4) 5.分數除以分數(包含除) (B-1-4-5) 一 分數的基本概念 【說,讀,聽,寫,確定數 值,再表現】 (B-2-1) 1.單位分數 (B-2-1-1) 2.真分數 (B-2-1-2) 3.假分數 (B-2-1-3) 4.帶分數 (B-2-1-4) 二. 分數的部份全體運思測驗 (B-2-2) 三. 分數的合成,分解 (B-2 -3) 1.分數的合成,和數小於 1 (B-2-3-1) 2.分數的合成,和數不小於 1 (B-2-3-2) 3.分數的分解,差數小於 1 (B-2-3-3) 4.分數的分解,差數不小於 1 (B-2-3-4) 離 散 量 情 境 單位 分數 內容 物單 一 (B-2) 四. 分數的比較 (B-2-4) 1.同分母的比較 (B-2-4-1) 2.與一等值的分數比較 (B-2-4-2)

五 分數的單位量轉換 (B-2-5) 1.單位分數的整數倍 (B-2-5-1) 2.真分數的整數倍 (B-2-5-2) 3.帶分數的整數倍 (B-2-5-3) 4.分數除以整數(等分除) (B-2-5-4) 5.分數除以分數(包含除) (B-2-5-5) 一. 分數的基本概念 【說,讀,聽,寫,確定數 值,再表現】 (B-3-1) 1.單位分數 (B-3-1-1) 2.真分數 (B-3-1-2) 3.假分數 (B-3-1-3) 4.帶分數 (B-3-1-4) 二. 分數的部份全體運思測驗 (B-3-2) 三.. 分數的合成,分解 (B-3-3) 1.分數的合成,和數小於 1 (B-3-3-1) 2.分數的合成,和數不小於 1 (B-3-3-2) 3.分數的分解,差數小於 1 (B-3-3-3) 4.分數的分解,差數不小於 1 (B-3-3-4) 四.分數的比較 (B-3-4) 1.同分母的比較 (B-3-4-1) 2.異分母的比較（非等值分數） (B-3-4-2) 3.與一等值的分數比較 (B-3-4-3) 4.異分母的比較（等值分數） (B-3-4-4) 離 散 量 情 境 單位 分數 內容 物多 個 (B-3) 五 分數的單位量轉換 (B-3-5) 1.單位分數的整數倍 (B-3-5-1) 2.真分數的整數倍 (B-3-5-2) 3.帶分數的整數倍 (B-3-5-3) 4.分數除以整數(等分除) (B-3-5-4) 5.分數除以分數(包含除) (B-3-5-5) 二、問題類型說明 A. 整數的問題類型 （一） 整數範圍的部份－全體運思的測驗問題 有關整數範圍的部份－全體運思的測驗問題類 型，在此區分成四類：

1. 數值化的部份－全體的測驗問題（A-1-1） 例：有一袋花片, 紅色的有 N 個, 綠色的有 M 個 ,請問 綠色花片和這袋花片哪個多? 2. 分類的部份－全體的測驗問題（A-1-2） 例：一包巧克力有黑巧克力 、白巧克力 、紅巧克力。 已知白巧克力比黑巧克力多,黑巧克力又比紅巧克 力多, 請問白巧克力和黑巧克力合起來和這包巧 克力比起來哪個較多? 3. 加數未知的問題（A-5-1） 例：他有 M 元,媽媽再給他多少元 ,就有 N 元? 4. 減數未知的問題（A-5-2） 例： 有 M 顆糖 ,吃掉一些糖後 ,剩下 N 顆, 請問吃掉 多少顆糖? （二） 整數的四則問題 有關整數的四則問題類型，在此區分成五類： 1. 整數的加法問題 整數的加法問題又細分成併加型問題及添加型問題： c併加型問題（A-2-1） 例：哥哥有 M 元 ,妹妹有 N 元 ,哥哥和妹妹合起來共

有多少元? d添加型問題（A-2-2） 例：鳥園中有鳥 M 隻 又從外面引進 N 隻 則鳥園中共 有幾隻鳥？ 2. 整數的減法問題（A-3） 例：原有 M 個花片, 拿出 N 個放回桶子, 現在還有多 少個花片? 3. 整數的比較問題（A-4） 例：數學考試小明考 X 分, 小華考 Y 分,誰考的分數 較高 ? 4. 整數的乘法問題（A-6） 例：一隻青蛙 4 條腿, 12 隻青蛙幾條腿? 5. 整數的除法問題 整數的除法問題類型又區分成包含除問題及等分除問 題： c包含除問題（A-7-1） 例：有 M 個花片, 每組分 N 個,全分完可以給幾組? d等分除問題（A-7-2） 例：有 M 個花片, 平分給 N 組,每組分到幾個花片?

（三） 整數範圍的對等問題（A-8） 例：M 包餅乾由 X 個女生去平分 ,那麼 Y 個男生要去平分幾 包餅乾,每個男生分到的恰和每個女生分到的一樣多? B. 分數的問題類型 分數的問題類型主要在不同情境下去探討分數的基本概 念、分數的合成、分解、比較及單位量轉換的問題，此外也 包含分數的部份－全體運思的測驗問題。至於所謂不同問題 情境主要區分為連續量情境、離散量單位分數內容物單一及 多個的情境。但在某些問題類型中也加入少許單位分數內容 物未知的情境。至於以下的問題類型的舉例說明，除非只出 現在某個特定情境會特別提出，否則則是每個問題情境皆會 出現該活動類型。以下舉例說明各問題類型： （一）分數的基本概念問題（B-1-1、B-2-1、B-3-1、B-2-2、 B-3-2） 分數的基本概念問題主要探討的是分數的說、讀、 聽、寫、確定數值、再表現的問題類型。此外由分數的部 份－全體運思的測驗問題亦可幫助瞭解分數的基本概 念。因此在此主要要確認學童對單位量、分量及分數詞三 者之間的關係。亦即主要探討一、單位量與分量已知，求 該分量所表示的分數詞；二、單位量與分數詞已知，求該 分數詞所指示的分量；三、分數詞與分量已知，求原單位 量；四、其它分數詞的應用概念等。 1.單位量與分量已知，求該分量所表示的分數詞的問題 例：將一條繩子平分成 M 段, 其中的 N 段合起來是原

來這條繩子的幾分之幾? 2.單位量與分數詞已知，求該分數詞所指示的分量的問題 例：全部有 M 個花片，全部的 x/y 幾個花片？ 3.分數詞與分量已知，求原單位量的問題 例：M 個花片是全部的 x/y，則全部有幾個花片？ 4.其它分數詞的應用概念問題 例：c紅色花片有 M 個，藍色花片有 N 個，紅色花片 是佔全部的多少？再放 S 個紅色，剛剛的紅色佔 較多還是後來的佔較多？ d紅色花片有 M 個，紅色的 x/y 有幾個？藍色花 片有 N 個，藍色的 x’/y’有幾個？紅色的 x/y 和 藍色的 x’/y’哪種花片多？（結果一樣多） 那 x/y 和 x’/y’一樣大嗎？（不一樣大）

e紅色花片 M 個的 x/y 是藍色花片 N 個的 x/y 的 幾分之幾？

（二）分數的合成、分解問題（B-1-2、B-2-3、B-3-3） 分數的合成、分解問題主要設計在同分母的情境

下來探討，合成、分解問題的結果可能是真分數、假 分數或帶分數。

1. 分數的合成問題 例：全部有 M 個花片，全部花片的 x/y 和全部花片的 z/y 合起的花片是全部的多少？ 2. 分數的分解問題 例：一盒蛋有 M 顆，原有 x/y 盒蛋，煮了 z/y 盒， 還剩幾盒？ （三）分數的比較問題（B-1-3、B-2-4、B-3-4） 在此分數的比較問題類型區分成四類：一、同分 母分數的比較；二、1 與等值分數的比較；三、異分 母分數的等值分數的比較；四、異分母分數的非等值 分數的比較。 1.同分母分數的比較問題 例：全部有 M 個花片，其中紅色花片佔全部的 x/y， 綠色花片佔全部的 z/y，哪種顏色的花片較多？ 2. 1 與等值分數的比較問題 例：一盒蛋有 M 顆，y/y 盒和 1 盒誰多？ 3. 異分母分數的等值分數的比較問題【出現在單位分數 內容物多個的情境】 例：一打汽水有 M 瓶，x/y 打汽水與 x”/y”打汽水誰 較多？（x/y＝x”/y”）

4. 異分母分數的非等值分數的比較問題【出現在單位分 數內容物多個及未知的情境】 例：一打汽水有 M 瓶，小明有 x/y 打，小美有 z/t 打， 誰的汽水較多？（x/y≠z/t） （四）分數的單位量轉換問題（B-1-4、B-2-5、B-3-5） 單位量轉換是將原來已被一單位量度量的量，用另 一單位量重新度量。在此主要探究分數的整數倍問 題；以及探究已知原單位量是多少（真分數或帶分 數），新單位數是多少（整數），求新的單位數（分數）， 亦即等分除問題。此外亦探究已知原單位量是多少 （真分數），新單位量是多少（真分數），求新的單位 數（整數），亦即包含除問題。 1.分數的倍數問題 例：x/y 盒蛋的 M 倍是幾盒？ 2.分數的除法問題 c分數的等分除問題 例：一包糖有 M 顆，將 x/y 包糖平分給 N 人，每人分 到幾包糖？ d分數的包含除問題 例：一包糖有 M 顆，老師有 x/y 包糖，每組發下 z/y 包糖，最多有幾組可以分到 z/y 包糖？剩下幾包

糖？ （五）分數的部份－全體運思的測驗問題（B-2-2、B-3-2） 分數的部份－全體運思的測驗問題主要區分成兩 類：一、部份分量及所表示的分數詞已知，求全體的 問題；二、部份分量及所表示的分數詞已知，求另一 部份的分量的問題。 1.部份分量及所表示的分數詞已知，求全體的問題 例：M 個花片是全部的 x/y，則全部有幾個花片？ 2.部份分量及所表示的分數詞已知，求另一部份的分量 的問題 例：有一些花片用布蓋著，在布外的 M 個是佔全部的 x/y，則布內有幾個花片？