分數與有理數的相關研究

本節由分數與有理數概念的意義，分數詞的意義及相關活動以及 分數概念發展等研究的成果來回顧相關的研究。

一、 分數與有理數的意義

分數的概念起源於「分」，是用來解決不滿一個單位量的量的數 值的問題（呂玉琴,1995）。Larry & Joseph 將分數區分為：一、圖形中 全部的一部份；二、比例中的比；三、除法中的商；四、自然數中的 有序對等四種。且其主張兒童在學習分數的初步概念，必須掌握，一、

確定單位量；二、認知等分大小；三、找出等分割數；四、所聚份數 與等分割數之比較。（轉引自,李端明,1997）。

而皮亞傑則認為，兒童能理解分數的意義，必須具有以下面的概 念：一、能分割整體；二、決定部份的量；三、必須窮盡分割量；四、

決定分割數與全體的關係；五、所有的被分割量皆相等；六、知道部 份 來 自 於 全 體 ； 七 、 部 份 的 和 對 等 於 全 體 ， 且 全 體 是 不 變 的

（Piaget,1960）。由此可看出兒童能否進行等分割活動，是學習分數的 首要因素，此外，兩量的關係比較，特別是部份與全體關係的掌握更 是分數意義的主要內涵。

若以 Behr 等人所提的表徵系統來看 1/3 的概念，大致可表示如圖 2-4 所示：

1/3 的概念 (一盒)

圖形：

(1/3 盒)

記號：1/3

實物：1/3 盒餅

「三分之一」(音)

代表的一種：

EX：用花片表示

【圖 2-4：以 Behr 等人所提的表徵系統來看 1/3 的概念】

對於一個人的 1/3 的概念，我們無法真正看到 1/3 的概念，但我 們可以觀察到其表徵系統的轉換。若能將表徵系統換來換去，如此可 說他可能擁有此概念。因此觀察兒童在分數中的表徵轉換，可作為研 究者探究兒童分數詞意義的參考。

Vergnaud（1983），Frendenthal（1983）及 Kieren（1976,1980,1988）

定義有理數的意義，他們認為有理數如同：一、測量（measure）；二、

商（quotient）；三、算子（operator）；四、比（ratio）。而 Behr, Wachsmuth, Post 及 Lesh （ 1984,1992 ） 則 將 有 理 數 的 意 義 加 入 部 份 一 全 體

（part-whole）的關係。（Carpenter, T.P. & Fennema, E. & Romberg, T.A. ,1992）。亦即 Carpenter 等三人將有理數視為五種不同的子結構：

一、測量；二、商；三、算子；四、比；五、部份一全體關係。而且 他們認為此五個子結構並非分崩離析，毫無關係的，兒童必須去聯合 這些子結構成一個聯合的基模，才能真的有利有理數發展。而要聯合 不同的有理數子結構應擁有：一、單位的概念；二、分割的歷程；三、

數量的概念。亦即此五種子結構均涉及單位的選取及轉換，亦涉及等

分割概念及數量的概念。此外，Kieren 認為若將有理數視為商，此時 有理數是一個附加的數量；但若視為比，則有增強有理數特色的效 果，因比強調量與單位間的關係屬性（Kieren, T.E. ,1992）。對西方人 而言，比才是有理數的根源，然而比還未有比值的概念前，是屬一種 對等關係，亦即對等關係是比的前身，因而要探討有理數的概念可由 對等關係著眼。

分數原來是用來解決不滿一個單位量的數值問題。甯自強（1995）

對分數與有理數有作區分，其認為分數是透過分割活動及集聚的活動 的實施來確定一個量與一單位量間的數值關係之指標，然而要確定此 關係的活動並非唯一，在單位量確定的情形下，把測量同一量的不同 數值指標視為相等，忽略不同的分割數與集聚數而著重在此二者間的 比值關係，並把比值當作數值指標的數，稱之為有理數。亦即有理數 是分數的等價集。

研究者認為在小學分數的啟蒙階段，分數的意義是為一等分割的 活動，將一個或多個基準單位量平分成數份後，再合成數等份的結 果。例如「ｍ ｎ」是把一個或多個基準單位量，透過實作或心理的 等分割活動成為ｎ等份，再合成其ｍ份，命名為「ｎ分之ｍ」。也可 以說此分數詞的意義是透過等分割再合成的活動找出其所指示的 量，如此應與前面所提的“算子”意義較為貼近。由於研究者對分數 意義之主張，所以本研究著重在等分割活動的進行（包括連續量及離 散量情境），以及部份與全體關係兒童是如何掌握，至於對於分數在 小數與數線及比值上的意義未加以探討。值得一提的是既然對等關係 為比的前身，比又是有理數的根源，因此研究者將對等關係也列入考 慮，希望藉由這些概念的探究，更能瞭解參與者的分數概念。

二、 分數詞的意義與相關的活動

兒童對於分數詞意義的掌握，會影響其解有關分數的相關問題，

因此探究兒童的分數詞意義，有助於了解其分數的解題活動類型。

所謂「分數詞」(例如 三分之一或 1/3)，是一種口語上或文字上 的特定類型，它所指的是「信號」(signs)，而非符號(symbols)。信號 要能成為符號的途徑就是賦予其意義。因此信號可以相同，符號僅能 相容(compatible)；而記錄或信號的解讀者，也因而會受到本身使用同 樣信號的經驗的制約(Kaput, 1991)。換句話說人們易使用自己的經驗 去解讀他人的分數詞意義。因此在此研究者先將分數詞的範圍加以界 定，亦即此處所指的分數詞意義是「兒童的」而非「成人的」。

欲探討分數詞的意義，宜在不同的問題情境下進行。根據目前的 課程發現有關分數的問題類型大致可區分成兩大類：一、連續量情 境；二、離散量情境。而離散量情境下又區分成：分數的內容物已知 及分數內容物未知的情境。至於分數的內容物已知的情境下又區分 成：一、單位分數內容物單一的情境；二、單位分內容物多個的情境；

三、單位分數內容物非整數個的情境。以目前的教材來看，大部份都 以連續量引入分數詞，接著出現單位分數內容物單一的情境；在四年 級會引入單位分數內容物多個的情境，而至高年級才可能引入單位分 數內容物非整數個的情境；至於內容物未知的情境是置於國中教材。

由於，本研究以兒童的分數啟蒙階段為目的，因此本研究所設計的問 題是以連續量情境、離散量情境單位分數內容物單一及多個的情境為 主。

分數是源自於分割活動、合成活動及並置活動，因此對於分數的 相關活動加以敘述如下：

(一) 原始的子分割活動：

所謂子分割(subdivisional )活動是指將一個單位量打破的活動。將 量的子分割活動區分為分散(separating )和破裂(breaking)等兩種活動 (甯自強，1993d)。二者的區別在於分散活動發生在離散量情境，而破 裂活動發生於連續量情境。

原始的子分割活動在離散量的情境來說是一個一個或一堆一堆 的 分 配 活 動 ； 在 連 續 量 來 說 則 是 指 撕 裂 (splitting) 活 動 或 碎 裂 (fragmenting)活動。但活動的結果並未保証能窮盡(全分完)及能平分，

亦即子分割的結果並未單位化。

(二) 子分割結果單位化時

所謂子分割的結果是否已單位化的判準在於，兒童是否能選取

「某種標準」來進行平分，且將全部分完(窮盡)。他可能以「個」為 標準，也可能以「長度」為標準，或以「面積」為標準。

子分割的結果一旦被單位化後，子分割的結果就產生了所謂的

「子分割單位」，而「子分割單位」是「公平」與否的基礎；也是利 用分數描述量的基礎(甯自強，1993d)。

(三) 子分割單位的合成活動

單單依賴子分割活動所製成的子分割單位，並不足以構成分數所 指示的量的製作活動。還必須利用合成運思來建構分子與分母所指示 的集聚單位。

(四) 子分割單位及其集聚單位的並置活動

將子分割活動所得的結果予以單位化並利用合成運思將分子及 分母所指示的量加以整合後，並不足以形成所謂的分數(甯自強，

1993d)。因此時的分子與分母是整數，分數猶如兩整數所構成的有序 對。而要形成所謂的分數，必須分子與分母被並置為一物。而在不同 的運思期下，兒童有不同的並置活動。

兒童在不同的運思方式下，對於分數詞意義有不同的掌握。因此 根據不同的運思期區分兒童的分數詞意義如下：一、分數的前置概 念；二、起始單位分數；三、加法性分數；四、巢狀性分數；五、有 理數(Ning,1992)。

(一) 分數的前置概念

在合成運思下分數詞的意義為「分數的前置概念」。在合成運思 期的分數概念之所以稱分數的前置概念，因其就好像是分數概念的前 身，兒童雖具有數概念與分割活動，但其數概念只有序列性合成運思 不見得能進行等分割活動，更缺乏等分割後的分得量與單位量作並置 比較，亦即只是靠知覺做判斷，分時不一定相等，也不一定窮盡。

當兒童僅能用序列性合成運思(甯自強，1993d)來處理有關整數問 題時，其分數詞所指向的數學物件多為並置類型(Juxtaposed pattern, Ning,1992)。 所謂並置類型是由兩個使用子分割單位形成的集聚單位 被並置所形成的物件。例如「1/3」對兒童而言，其意義是「1 和 3」

或是「3 和 1」，若給予兒童 6 個花片，要求其取出其中的「1/3」來，

他的答案會拿出 1 個花片或 3 個花片。

據甯自強(1993d)的說法，其認為「並置類型」的使用大多出現在

涉及分散的活動(即離散量)。至於在破裂活動中，分數詞 1/4 的使用 未必需涉及分母為四的合成活動，她是純由空間的感覺來指出 1/4 的，亦即她的 1/4 不是約定成俗的分數概念，此類型稱為「撕裂類型」

(splitting patterns)。

(二) 起始單位分數

在累進性合成運思下分數詞的意義為「起始單位分數」(initial unit fraction, Ning,1992)。在此運思階段，尚無子分割單位數值化的概念，

能將一單位量內嵌於全體做比較。此時將等分割後的分得量與單位量 作並置比較，對單位量的掌握並不明確，假如問一份是全部的 1/3，

全部是多少，會回答 4，可以說單向的部份-全體關係並不明確，即部 份是在全體之中，易混淆部份與全體的關係。亦即，分子內嵌於分母 之中，將分子移出分母，會導致分母的摧毀。此時的分數詞意義為「內 嵌並置類型」(embedded patterns)(甯自強，1993d)。

此外，在累進性合成運思時，無法進行單位分數的累積活動，

此外，在累進性合成運思時，無法進行單位分數的累積活動，