結論

在第四章中研究者分別由不同的概念去探索怡棻的分數概 念，如探索其有理數的子概念、分數詞的基本概念及其分數詞的 使用情形。根據怡棻在訪談問題中的表現，研究者假設怡棻的分 數詞概念是加法性分數概念。以下針對分析怡棻的解題表現歸納 出其有理數的子概念、分數詞的基本概念及其分數詞的使用上具 有以下的性質：

一、 有理數的子概念

在有理數的子概念方面，怡棻的解題活動大致可歸納出 三種性質：

1. 單向的部份-全體關係

怡棻能成功的通過數值上與分類上的部份-全體測 試，亦能將加數未知的問題轉為差數未知的問題來求解，

且能將減數未知的問題轉為差數未知的問題與加數未知 的問題來求解。此外，無論在離散量單位分數內容物單一 的情境下，或多個的情境下，她都能通過分數的部份與全 體的測試。因此，研究者認為怡棻已具備單向的部份-全

體運思，已能運用部份-全體運思來同化數的情境。

2. 子分割運思

子分割是將單位量打破的過程。原始的子分割活動在離 散量情境可以是分散活動，也可以是分配活動；而在連續量 情境下則是撕裂或碎裂的活動。怡棻在進行等分配及撕裂活 動時，能「窮盡」且「平分」所要分的物件，其能利用折半 撕裂活動來等分紙條，亦可重複的等分量撕裂活動，甚至能 預期撕裂活動的結果，此外其亦能聯合分配活動與撕裂活動 以解決平分的問題。因此可說其子分割的結果已單位化。子 分割的結果一旦被單位化後，其結果就產生了所謂的「子分 割單位」，而要能利用分數來描述量必須其子分割結果被單 位化。

3. 缺乏雙向的部份-全體關係

在對等關係的問題上，怡棻將乘法性結構視為加法性 結構來解題，導致解題失敗。因此假設怡棻缺乏雙向的部 份-全體關係。

二、 分數的基本概念

在分數的基本概念方面，其解題活動類型大致可歸納出 以下性質：

1.分數詞表示部份在全體之中的並置關係

所謂的並置，是指將兩個量予以合併考慮，然而考慮 時，兩個量分別維持其本身的性質。至於此二量可能來自 於子分割的結果，或是集聚的結果。而此種並置的關係可 能是經由部份與全體的關係所造成，也有可能是比的關係 所造成。

根據本研究的分析發現，怡棻的分數詞表示部份在全 體之中的並置關係。在連續量情境下，單位分數詞是其所

「分得量的一份」與「分得量的全部份數」的部份在全體 之中的並置關係；在離散量單位分數內容物單一的情境 下，單位分數詞是「分得量內容物一個」，與「全部內容 物個數」的部份在全體的並置關係；在離散量，單位分數 內容物多個的情境下，單位分數詞是「分得量的一份」與

「分得量的全部份數」的部份在全體之中的並置關係。因 此表示其具有單位分數詞的分數詞意義。此外，在連續量 情境下，真分數詞是「分得量的份數」與「分得量的全部 份數」的部份在全體之中的並置關係；在離散量，單位分 數內容物單一的情境下，真分數詞是「分得量內容物的個 數」與「全部內容物的個數」的部份在全體之中的並置關 係。；在離散量、單位分數內容物多個的情境下，真分數 詞是「分得量的份數」與「分得量的全部份數」的部份在 全體之中的並置關係。因此也表示她有真分數詞的分數詞 意義。

2.單向的部份-全體關係

能明顯區分出單位分量與分子、分母之間的部份-全體 關係，在單位分數內容物單一的離散量情境下，是部份-全 體運思的功能。怡棻無論在離散量單位分數內容物單一或多 個的情境下，皆能通過部份-全體關係的測試，且其亦能區 分內容物的「個數」與「份數」的差別，甚至其單位分數是 可計數的，因此她具有單向的部份-全體關係。

3.缺乏雙向的部份-全體關係

雙向的部份-全體運思是指集聚單位一方面是由 1 構成 的全體，而且也可視為另一全體的部份，亦即是單向的部份 -全體運思的重組。

然而給予二個不同的單位量，取相同的分量去比較指示 該分量的二個分數詞時，其無法確定分數詞的大小，且其無 法藉由單位分數的累積超越單位量。此外，在離散量單位分 數內容物多個的情境下，其易混淆單位，若合成時結果為假 分數，分子的數值比單位量的內容物個數小時，其認為無法 化為帶分數。也就是說其假分數、帶分數的互化是有困難 的，因此顯示其缺乏雙向的部份-全體關係。此外，怡棻無 法以乘法性的關係來解決對等關係問題，更加佐證其缺乏雙 向的部份-全體關係。

4.分數詞的算子意義

分數詞的算子意義，是指將分數視為一個『運作的活 動』，是計算分數詞所指示的內容物個數。怡棻能經由先 等分割再複製的活動找出分數詞所指示的分量，因此其分 數詞隱含算子的意義，如此也支持之前所提她的分數詞有 部份在全體之中的並置關係。

5. 嚐試以分數詞來表示除法的結果

在等分除情境下，結果不能整除時，分數是整數除法 結果，怡棻已嚐試用”分數詞 ”來表示此結果(雖然其分 數的命名有別於正式數學上的命名)，但因其單位量與全 體為單位量間的混淆，所以導致她的解題未能成功。

6. 帶分數詞較假分數詞易自發性出現

怡棻帶分數詞的自發性出現，比假分數詞的自發性出 現較為容易。此外無論在連續量情境或單位分數內容物單 一或多個的離散量情境下，怡棻能再表現出帶分數詞所代 表的分量。但其認為分子不可以大於分母，拒絕假分數詞 的出現。

三、 分數詞的使用

怡棻在分數詞的使用上大致可歸納出以下兩種性質：

1. 單向的部份-全體關係

有關分數的合成與分解，怡棻能以單位分數是可計數 的方式，成功的解決不同情境下的同分母分數的合成與分 解。

在分數的比較問題上，怡棻對於不同情境下的同分母 分數的比較能經由對分數詞意義的掌握，直接去進行分子 的比較。至於異分母同分子分數的比較，在連續量情境及 單位分數內容物未知的情形下，其能透過分割活動的預期 結果，知道分得越多份，每份就越小。在 1 與等值分數的 比較問題中，其是利用對分數詞的部份量和全體量相等的 關係來比較。

在分數的單位量轉換問題中，怡棻以單位分數、真分 數、帶分數是可重覆的來進行單位分數、真分數、帶分數 的乘法問題。而在解決分數的包含除問題，能使用連加及 連減的策略。

歸納以上發現，怡棻可進行同分母的合成、分解、比 較，可說其能利用單向的部份-全體運思來同化數的情境。

2. 缺乏雙向的部份-全體關係

雖然怡棻在離散量單位分數內容物單一的情境下能 成功的將假分數化為帶分數，然而在離散量單位分數內容 物多個的情境中，其易混淆單位，無法進行假分數與帶分 數的互化。且她會以古氏積木的舊經驗具體化分量的內容

來解決問題，而進行分解活動時，若遇到分數不夠減時，

其會向整數借 1 化為分子 10 來解題，混淆 1 與單位分數 之比值成整數的 10 進法。

在分數的比較問題上，怡棻在離散量單位分數內容物 已知的情形下，比較異分母同分子是訴諸內容物量來比較 大小。至於其他等值分數的比較，亦是訴諸內容物來比較 大小。而在進行異分母異分子分數的比較時則無從比起。

在分數的單位量轉換問題中，怡棻面對帶分數的等分 除時，亦只能透過內容物來進行。

由以上的歸納分析發現，怡棻缺乏通分及共測單位的 概念，進行等值分數比較或帶分數的等分除時是直接訴諸 內容物量來解題。亦可說其缺乏雙向的部份-全體運思，

因此在離散量單位分數內容為多個個物的情境下，其無法 成功的解決帶分數、假分數的互化。

綜合本節的歸納分析發現，怡棻具有子分割運思與單 向的部份-全體運思。其分數詞表示部份在全體之中的並 置關係，並隱含有算子的意義，且其能嚐試以分數詞來表 示除法的結果。此外，能進行同分母分數的合成、分解、

比較，且其分數的部份-全體關係能明顯的出現在單位分 數內容為單一個物的情境中，所以研究者假設怡棻的分數 詞意義為加法性分數。除此之外，亦發現其帶分數詞較假

體關係與通分及共測單位的概念，並且無法以乘法性的關 係來解決對等關係問題，因此也支持研究者的假設，其分 數詞意義為加法性分數，而非巢狀性分數。