時間序列資料的波動群聚現象

波動群聚效果(Volatility Cluster)意指當期的變動力係受到前期波動的影響，

而當期產生大幅度波動，將伴隨下一期同向或反向的大幅波動；當期產生小幅度 波動，將伴隨下一期的小幅度波動。具有這樣特性的資料，其分配通常會具有較 常態分配肥尾(Fat Tail)的現象，為了捕捉資料群聚波動的特性，可以分為兩種方 法：一是 Venkataramn(1997)假設變異數具有齊一性(homoskedasticity)、報酬之隨 機變數服從非條件分配(unconditional distribution)為 iid 的非常態分配，利用兩個 不同變異數之常態分配相混合，模擬出資料厚尾特徵，以貝氏概似估計法解決。

另一方法是假設報酬的條件分配為常態分配，但允許變異數隨時間變動而波動，

也就是變異數具有異質變異性(heteroskedasticity)，Engle(1990)指出造成條件變異 數波動的主要原因，是消息傳達的過程或市場投資者對訊息反映的群聚現象，或 是資訊不對稱，造成資產報酬群聚性之狀態。

資產價格之波動性(Volatility)定義為條件變異數(conditional variance)，也就 是過去資訊條件下的波動程度，具有以下性質：1.波動存在群聚性(Volatility Cluster)、2.波動很少存在跳躍現象、3.波動不會收斂至無限大，也就是在一定的 範圍內變化，具有穩定性，以及 4.波動反映出高的正報酬與負報酬。值得注意的 是時間序列資料具有序列不相關但卻相依(uncorrelated but dependent)。

時 間 序 列 資 料 ( ) 無 關 (uncorrelated) 係 指 該 資 料 之 自 我 相 關 係 數 (Autocorrelation Coefficient, ACF)在過去序列具有截斷的現象，偏自我相關係數 (Partial Autocorrelation Coefficient, PACF)具有漸進收斂的現象；而時間序列的二 次方資料( )具有 ACF 與 PACF 皆為漸進遞減，並非獨立(not independent)的現 象。波動模型(或稱作條件異質變異數模型)即是捕捉並解釋此種無關但卻相依的

rt

2

rt

時間序列資料的工具。

時間序列資料的條件平均數與條件變異數可以分別表示為：

) ( Ω₋₁

=E r_{t t}

µ

[

1

]

2 1

2 = ( _tΩ_t− )≡ ( _t − _t) Ω_t−

t Var r E r µ

σ

其中 表示在時間 t-1 可用資訊集合(information set)，由過去的時間序列資料 構建而成。在時間序列資料滿足 ARIMA(p,d,q) (Autoregressive Integrated Moving Average)下，可以表示為

−1

Ω_t

t t

t a

r =µ +

∑

∑

= −

= − +

+

= ^q

j

j t j p

i i t i

t r a

1 1

0 ι κ

ι µ

由上述的模型可以再轉換為 ) (

)

( _{1 1}

2

−

− = Ω

Ω

= _{t t t t}

t Var r Var a

σ

此即為條件異質變異數，也就是時間序列資料的二階動差。為了預測未來的波動 情況，將σ_t²視為事前決定的函數(deterministic function)，以 ARCH 模式來分析。

時間 t t1,t2, … … … tT , tT+1

r

t

) ( r

_{t 1 t}

E

₊

Ω

) (

₁

2

1 t t

t₊

r

₊

Ω

σ )

(

_{t 1 t}

t

r

f

₊

Ω

Ω

圖 8 波動性資產價格之預測 3.3.2 ARCH Model

Engle(1982)提出 ARCH 自我廻歸異質變異數模型(Autoregressive Conditional Heteroscedasticity Model)，以捕捉時間序列資料波動群聚的現象。其基本理念為 1.時間序列資料不相依但卻獨立，2.序列相依現象可以被簡單二次函數(quadratic function)所描述。完整的理論模式為

t t

t a

r =µ +

t t

at ≡σ ε

) , 0 (

~ )

( _{1 t}²

iid t

t N

a Ω₋ σ

∑

= −

−

− + + ⇔ = +

+

= ^a

i

i t i t

a t a t

t a a a

1 2 0

2 2

2 1 1 0

2 α α α σ α α

σ Λ

) ( Ω₋₁

= _{t t}

t E r

µ

[

1

]

其中，µ_t為條件平均數(conditional mean)，也就是利用過去所有可利用的資訊集 合 Ω_t−1 下 的 條 件 期 望 值 ， 稱 為 平 均 數 方 程 式 (mean equation) 。 而

(conditional variance)，稱為波動方程式(volatility equation)。

3.3.3 GARCH Model

Bollersleve(1986)將落後期條件變異數加入 ARCH 模型，稱為一般化的自我 廻歸條件異質變異數模型(Generalized ARCH, GARCH)。該模型可以有效降低 ARCH 模型的階數，描述時間序列資料的波動性不需要較多的參數。其理論模式

Error Term 基本 假設

a 為 white noise t a 為 white noise _t

2 2

t t

t a σ

η = − 為 martingale difference

2 2

t t

t a σ

η = − 為 martingale difference 穩態

條件 ι^{1 <1} ι^{1 <1}

1 <1 κ

0 >0 α

1 0≤α₁ ≤

0 >0 α

1 0≤β₁≤

1 0≤α₁+β₁ ≤ 非條

件期

望值 ( ) (1 )

1 0

1 ι

ι

= − r

E ( ) (1 )

1 0

1 ι

ι

= − r

E E(a_t²)=Var(a_t) ) 1 ( ₁

0 α

α −

=

) ( )

(a_t² Var a_t

E =

[

^{1 (} 1 1⁾

]

0 α β

α − +

= 備註：

1.a_t =σ_tε_t 2.η_t =a_t² −σ_t²

3.4 投資組合績效評估準則

針對不同的風險性資產在配置的過程中，風險趨避的投資者所期望的是能在 固定的投資組合風險下最大化資產報酬，或是在固定的資產報酬下最小化投資組 合風險。在透過跨期資產配置模型找出個別風險性資產的配置比例後，可以依據 不同的配置比例，導求出不同期間的投資組合報酬率及其風險，而風險的衡量在 過去係透過變異數來衡量資產報酬的波動性，也就是資產報酬的上方與下方風 險。然而，單以投資組合變異數無法完全透視資產配置的效果，因此本研究除了 使用傳統的資產衡量指標 Adjusted Sharpe Ratio (ASR)與 Trenor’s Ratio 外，亦加 入元件風險值(Component Value at Risk, CVaR)之指標，以衡量不同配置比例對投 資組合變異數的偏貢獻程度，若配置比例可以降低投資組合的變異數時，可以支 持此跨期資產配置比例模型對風險分散效果的貢獻程度。

3.4.1 Sharpe’s Measure

Markowitz(1959)提出投資組合理論，以平均數變異數法來衡量資產報酬與風 險。投資者可以透過可行性機會集合找到投資的效率前緣，再經由各個不同風險 偏好的投資者效用曲線，可以描述不同投資者的最適投資組合。

Sharpe(1966)經由 Markowitz 的平均數變異數法提出投資組合的績效衡量指 標 Sharpe Ratio(SR)，其理論模式為：

) (

) (

p f p

R R R SR E

σ

= −

其中，E(R_p)為投資組合的期望報酬，R_f 為無風險利率，σ(R_p)為投資組合的 標準差，而 Sharpe Ratio 的目的是在探討投資者每承受一單位的波動風險，可以 享有多少的資產報酬。經過投資組合模型的演變，Sharpe(1994)提出以標竿績效

作為修正後的 Sharpe Ratio，意指將指標透過事後的衡量或是事前的估計，作為 整體投資組合的評估依據，Adjusted Sharpe Ratio(ASR)理論模式為

事後

) (

, ,

, ,t bt

p R

R t b t

post Rp R

S

−

= −

σ (40) 事前

) (

, ,

, ,

ˆ ˆ ˆ

t b t

p R

R t b t

post Rp R

S

−

= −

σ (41) 其中， 為投資組合在第 t 期的報酬率， 為標竿資產或是標竿投資組合在 第 t 期的預期報酬率，

t

Rp_, R_p,t

) (R_p,t−R_b,t

σ 為二投資組合差項之標準差。而 與 皆為

預期報酬的估計值。

t

Rˆp_,

t

Rˆp_,

3.4.2 Treynor’s Measure

在 Sharpe Ratio 的衡量指標下，係探討投資組合中每一單位總風險可以帶來 多少的超額報酬，然而，總風險亦可區分為系統風險(Systematic Risk)與非系統 風險(Unsystematic Risk)，系統風險亦稱作市場風險，也就是市場投資組合對個 別資產或是投資組合的影響程度；非系統風險亦稱作個別風險，係指個別資產的 單一風險。為了突顯投資組合在系統風險下的績效衡量，透過 Treynor Ratio 即可 進一步洞察系統風險對超額報酬的影響。其理論模式為

t p

t b t

p R

T R

, ,

, ˆ

ˆ ˆ

β

= −

其中，系統風險β_p,t的衡量係透過個別資產與市場投資組合的共變異關係，

) ( ) ,

( _{, , ,}

,t pt mt mt

p =Cov R R Var R

β ，表示在時間點 t 下系統風險對個別資產或是投資

組合的影響程度。

Sharpe Ratio 與 Treynor Ratio 皆為特定時間點下的靜態績效衡量指標，在動 態的資產配置過程中，如果單以特定時點之績效指標衡量資產配置效果，則會發 生偏誤的情形，因此，本研究將上述兩個靜態的衡量指標以月為單位，隨著每個 月份的資產配置調整，衡量指標亦將隨之重新評估，形成一動態調整的指標。其 它的投資組合績效衡量指標包括：Jenson’s Alpha、Value at Risk Sharpe Ratio 與 Appraisal Ratio。Jenson’s Alpha 係指在傳統 CAPM 基礎下，投資組合的實際報酬 率與 CAPM 理論報酬的差異；Value at Risk Sharpe Ratio 係將 Sharpe Ratio 的總風 險以風險值(Value at Risk, VaR)替代；而 Appraisal Ratio 以非系統風險觀念衡量超 額報酬的來源。然而這些指標皆是以傳統的 CAPM 為基礎而發展的模式，針對 上述諸多模式，本研究僅以 Sharpe Ratio 與 Treynor Ratio 分別來衡量總風險與系 統風險對資產報酬績效的衡量。

3.4.3 Component Value at Risk, CVaR

資產投資組合中，資產配置的貢獻並不是為了極大化資產價值(報酬)，而是 在於分散風險，所以一個風險趨避的投資人關心的，是個別資產配置比例能降低

多少的投資組合總風險。換句話說，投資人關切的是配置比例對總風險降低的貢 獻程度。為了適切地衡量投資組合中各資產配置比例對於風險分散的貢獻程度，

本研究引進元件風險值(Component Value at Risk, CVaR)作為風險分散效果的衡 量指標。

衡量個別資產的風險貢獻可以透過元件風險值來衡量，觀念就是將資產投資 組合的總風險拆解成個別資產的風險貢獻，首先定義總風險值：

W0

Z VaR_p = _α⋅σ_p⋅

其中，VaR_p為總風險值，σ_p為投資組合報酬率的標準差，而 為投資組合在期 初的部位，在探討資產配置比例與投資組合中，皆以百分比的數據呈現，因此本 研究將此設定為 。投資組合報酬率的變異數 對第 i 資產的配置比例 之 敏感度為：

W0 0 =1

W σ²_p w_i

ip N

i N

j

ij j i N

i i i i i

p w ww

w

w σ σ σ

σ 2

1 1

1 2 2 2

⎟⎟=

⎠

⎞

⎜⎜⎝

⎛ +

∂

= ∂

∂

∂

∑ ∑∑

= =

=

(42) 個別資產配置比例對投資組合總風險的貢獻程度可以轉換為個別資產報酬率之 組合報酬率的共變異關係。透過鏈鎖法則的運算，可得：

i p p i

p

w

w ∂

⋅∂

∂ =

∂ σ

σ σ 2

2

(43) 將上述二式(42)與(43)推導成

p ip

i p

w σ

σ σ =

∂

∂ (44)

透過式(44)可以定義系統風險影響下的風險值 ) 2

(

p ip

VaR i

σ

β =σ (45)

p i p

ip

i

p VaR

w β σ

σ σ

σ = = ⋅

∂

∂ ( )

經過進一步轉換，投資組合總風險對資產配置偏微分下，可以定義出個別資產配 置對總風險的貢獻度。

接著對元件風險值定義，投資組合總風險值 中，個別資產之邊際貢獻

為元件風險值(CVaR)，也就是第 i 項資產對於投資組合總風險值之貢獻度。

VaRp

i i

p w

w CVaR VaR ⋅

∂

=∂

第 i 項資產在投資組合中所佔的配置比例 對投資組合總風險值 的貢獻程 度，恰等於每一單位配置比例 之 貢獻率乘以第 i 項資產的配置比例 。 而元件風險值是總風險值的一部份，在元件風險值具可加性下，可以導求出總風 險值是元件風險值的加總而得

wi VaR_p

wi VaR_p w_i

∑

= N =

i

p

i VaR

CVaR

1

p i

p

i

p VaR VaR

W W Z

w

VaR = ⋅

∂

⋅

⋅

=∂

∂

∂ ( ) ( )

0

0 β

α σ

( )

∑

=

=

N ⋅

i

i

i w

VaR

1

1 )

(β

在資產配置過程中，風險規劃必須針對不同資產的部位進行風險評估與管制，以 風險值的觀念，即在一段期間內，一定的信賴水準下，當市場發生最壞的情況下 所預期的最大損失，也就是資產部位的風險暴露額。本研究將期初資產部位設定 為W₀ =1，將值的觀念轉換成比率的概念。

最後我們將元件風險值對資產配置的衡量方式整理為

α

α σ

σ σ σ

β w VaR σ w Z W w Z

VaR

CVaR _i

p ip p

i p ip p i

i ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

= ( ) ( ₂) ( ₀)

當投資組合中個別資產之 CvaR 增加，表示其為投資組合總風險帶來挹注的效 果。然而，當 CvaR 較小時，表示次投資組合納入該資產可以降低總風險，是值 得納入的資產組合。

跨期資產配置模型以事前的觀點出發，對投資組合中各資產之報酬作預期，

Epstein-Zin Utility 推導的跨期資產定價模型係以未來一期資產報酬作為未來衡 量共變異風險的來源，故本研究將透過資產報酬預期，嵌入物價膨脹因子，以跨 期資產配置模型估計考慮物價膨脹下的最適配置比例。

四、資 料 設 定 與 實 證 分 析

傳統的財務理論以概念性的方式建構投資模型，隨著金融市場的快速變化，

多角度的財務決策已經成為眾矢之勢。目前台灣的金融控股公司與金融機構在吸 收資金之後，投資策略必須兼顧提高報酬與降低風險的平衡，策略性資產配置是

多角度的財務決策已經成為眾矢之勢。目前台灣的金融控股公司與金融機構在吸 收資金之後，投資策略必須兼顧提高報酬與降低風險的平衡，策略性資產配置是

在文檔中 考慮物價膨脹下跨期資產配置的風險分散效果 (頁 42-0)