考慮物價膨脹下跨期資產配置的風險分散效果

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(1)國立交通大學經營管理研究所碩士論文. 考慮物價膨脹下跨期資產配置的風險分散效果. The Risk Diversification Effect on the Deflated Intertemporal Asset Allocation Model. 研究生：劉志良指導教授：許和鈞. 教授. 中華民國九十三年六月.

(2) 考慮物價膨脹下跨期資產配置的風險分散效果 The Risk Diversification Effect on the Deflated Intertemporal Asset Allocation Model. 研究生：劉志良指導教授：許和鈞. Student：Chih-Liang Liu Advisors：Her-Jiun Sheu. 國立交通大學經營管理研究所碩士論文. A Thesis Submitted to Institute of Business and Management College of Management National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the Requirements for the Degree of Master of Business Administration. June 2004 Taipei, Taiwan, Republic of China. 中華民國九十三年六月.

(3) 考慮物價膨脹下跨期資產配置的風險分散效果. 研究生：劉志良. 指導教授：許和鈞教授. 國立交通大學經營管理研究所碩士班. 中文摘要傳統的 CAPM 以靜態的分析，將市場風險作為資產報酬的評價來源，透過總體面因素的分析，可以將個別資產明確指出其與市場因素的關係。然而欲探究跨期模型的分析時，卻無法適切的表達動態的影響因子。透過跨期資產定價模式可以更清楚的釐清市場風險、風險趨避態度、以及投資人效用極大化的議題。風險趨避的投資人透過財富極大化的目標函數與考慮物價膨脹因素下的跨期預算限制式，並且以 Epstein-Zin Utility 捕捉投資者在考慮物價膨脹因素下的風險趨避心態，導求出考慮物價膨脹下的跨期資產定價模型。以個別資產與投資組合共變異關係佔投資組合變異數的比例，作為投資組合中個別資產的配置比例，可以進一步導求出考慮物價膨脹下的跨期資產配置比例模型。在考慮物價膨脹下，投資者會進行動態的資產配置，在每個期間重新調整資產的配置比例。在不考慮物價膨脹下，投資者只關心個別資產與市場投資組合的共變異風險；然而考慮物價膨脹下，投資者還會進一步的探討個別資產與物價膨脹因素的共變異關係。本研究以資產定價模型出發，嵌入跨期因素以及物價膨脹因子，構建考慮物價膨脹下的資產配置模型，並且預測未來一期的資產報酬，作為動態資產配置的工具，以評估考慮物價膨脹下跨期資產配置的投資組合績效。考慮物價膨脹下的跨期資產配置比例作為投資組合的資產分配比例，係透過未來資產價格的預期及其與其他因素之共變異關係，可以達到風險分散的效果，但是在調整資產配置比例時，需要比不考慮物價膨脹因素下要有更高的資產部位作調整，才能達到最適的風險分散配置比例。關鍵字：Epstein-Zin 效用函數、考慮物價膨脹下跨期資產定價模型、GARCH 模型、資產配置模型、投資組合管理、Sharpe 比率、Treynor 比率、元件(成份)風險值。. －i－.

(4) The Risk Diversification Effect on the Deflated Intertemporal Asset Allocation Model Student：Chih-Liang Liu. Advisor：Her-Jiun Sheu. Institute of Business & Management National Chiao Tung University. ABSTRACT Traditional Capital Asset Pricing Model (CAPM) focuses on the issue of the static state. The asset return is evaluated by the macroeconomic factor, that is market risk. However, the traditional CAPM is not appropriate to analyze the dynamic factors under the cross section study. The Intertemporal Capital Asset Pricing Model (ICAPM) could be applied to analyze the cross section issues, such as dynamic market risk, investors’ risk attitude and the utility maximization problems. Investors’ risk aversion attitude could be described via the Epstein-Zin Utility with the consideration of the inflation factor. The Deflated Intertemporal Capital Asset Pricing Model (DICAPM) with maximizing intertemporal utility objective function and the deflated constraint could be derived. The deflated intertemporal asset allocation is established by the entry proportion, which is the covariance between the single asset return and the portfolio return divided by the variance of the portfolio return. Investors can use the deflated intertemporal asset allocation model to modify the allocated proportion in the asset portfolio dynamically during each period. The model describes two main covariance factors, namely, the covariance between the single asset and the portfolio as well as the covariance between the single asset and the inflation rate. This study derives the deflated intertemporal asset allocation model by the investors’ intertemporal utility function and the deflated pricing model. It contains two main factors, the intertemporal factor and the inflation rate. With the allocation model, we can construct the asset portfolio dynamically. We evaluate the performance of the portfolio with the intertemporal model and the deflated intertemporal model using Sharpe and Treynor Ratios. With the allocation model, investors will have better portfolio performance and need more positions to modify the asset portfolio to the optimal state comparing with the result of non-deflated model. Key Words：Epstein-Zin Utility, Deflated Intertemporal Capital Asset Pricing Model, GARCH Model, Asset Allocation Model, Portfolio Management, Sharpe Ratio, Treynor Ratio, Component Value at Risk. － ii －.

(5) 誌. 謝. 首先要感謝我的家人，阿媽的照顧、爸爸的訓勉、媽媽的支持，還有姑姑、阿姨、哥哥，有你們的鼓勵，志良才會有今天的學成。還要疼謝妞妞的陪伴，每當心情低落壓力環肆時，妳總是躺在電腦旁看著我工作。影響志良大學時期最多的是陳慧聰教授、謝登隆教授、與林灼榮教授。謝謝你們。回首研究所碩士班兩年來的教育訓練，志良在研究與學術上的探究實在微不足道。首先要感謝我的指導教授許和鈞老師，在學業、人格與生活上的教授與指導，並且謝謝論文的書面審查委員林國雄教授與沈華榮教授，口試委員林靖教授、李宗政教授與鍾惠民教授的不吝指正。另外，也感恩丁承所長對交大台北校區經營管理研究所在資源與環境的點滴奉獻，還要特謝胡均立教授在課堂的教導以及朱博湧教授在志良博士班考試中的強力薦舉。謝謝各位教授與師長們的鼓勵與教導，志良在未來交大管理科學系的博士班學程中，會謹記師長們的訓勉，盡心盡力尋求最深的自我突破。學長姐們在研究上的協助，讓志良獲益良多，包括時芳學姐、天德學長、雅森學長、煒朋學長、欽記學長、小 P 學姐、斯美學姐、孟芝學姐。當然還有計劃室的你們，才會讓志良有機會學習到更多，包括體貼的依純、心思細膩的光田、帥氣的哲緯以及可愛的珮君，特別感謝飽妹的支持與照顧！還有學弟妹們，包括可愛的宥任、用功的麗婷、漂亮的吟綺與少根筋的昭仁。另外感恩姿蓉、瑞華、又雅、麒文、坉熙與阿駿在成長過程中的互相砥勉，謝謝可愛又體貼的怡美在精神上的支持與相處的體諒、凱音的互相鼓勵與陪伴、螢儒、韻文，還有跳跳虎、Amy、Jim 與 SNOOPY。其實還有很多默默付出的無名英雄們，間接或是無求地為大家服務與照顧，包括所辦的廖姐、蕭姐、謝姐、圖書室的陳姐、收發室的邵先生、李媽媽、以及曾經扶持過志良的你們！民國九十三年七月五日志良于台北經管計劃室. － iii －.

(6) 目. 錄. 中文摘要 .....................................................................................................................i 英文摘要 ....................................................................................................................ii 誌謝 .......................................................................................................................... iii 目錄 ...........................................................................................................................iv 表目錄 .......................................................................................................................vi 圖目錄 ......................................................................................................................vii 符號說明 ................................................................................................................ viii 一、緒論 ....................................................................................................................1 1.1 研究背景.......................................................................................................1 1.2 研究目的.......................................................................................................2 1.3 研究架構.......................................................................................................2 二、文獻回顧 ............................................................................................................5 2.1 以傳統靜態資產定價理論為基礎之相關文獻...........................................5 2.2 以跨期資產定價模型為基礎之相關文獻.................................................15 三、研究方法與計量模型 ......................................................................................18 3.1 效用函數.....................................................................................................18 3.1.1 財富效用效函數..............................................................................18 3.1.2 Epstein-Zin Utility ...........................................................................21 3.2 跨期資產配置模型.....................................................................................23 3.2.1 模型建立之架構..............................................................................23 3.2.2 Euler Equation .................................................................................25 3.2.3 Intertemporal Capital Asset Pricing Model......................................28 3.2.4 Optimal Asset Allocation .................................................................30 3.3 時間序列分析.............................................................................................31 3.3.1 時間序列資料的波動群聚現象......................................................31 3.3.2 ARCH Model ...................................................................................32 3.3.3 GARCH Model ................................................................................33 3.4 投資組合績效評估準則.............................................................................34 3.4.1 Sharpe’s Measure .............................................................................34 3.4.2 Treynor’s Measure ...........................................................................35 3.4.3 Component Value at Risk, CVaR .....................................................35 四、資料設定與實證分析 ......................................................................................38 4.1 考慮物價膨脹下的跨期資產配置模型.....................................................39 4.2 實證資料選取與處理.................................................................................40 4.3 跨期資產報酬之預期.................................................................................42 4.4 考慮物價膨脹下跨期資產之最適配置比例.............................................46 － iv －.

(7) 4.4.1 以名目價格作為資產報酬的資產配置模型..................................46 4.4.2 以物價膨脹率平減資產報酬的資產配置模型..............................47 4.5 最適配置比例投資組合之績效評估.........................................................48 4.5.1 以Sharpe Ratio衡量投資組合績效.................................................48 4.5.2 以Treynor Ratio衡量投資組合績效 ...............................................50 4.5.3 以Component Value at Risk衡量資產配置比例的邊際貢獻度.....51 五、結論 ..................................................................................................................52 5.1 結論.............................................................................................................52 5.2 研究限制.....................................................................................................53 5.3 研究建議.....................................................................................................53 參考文獻 ..................................................................................................................54 附錄一、Euler Equation之求解 ..............................................................................57 附錄二、考慮物價膨脹下之跨期資產定價模式之求解 ......................................63 附錄三、線性化跨期預算限制式 ..........................................................................64 附錄四、元件風險值之導求 ..................................................................................66. －v－.

(8) 表目錄表 1 一般跨期效用函數與嵌入物價水準後的實質跨期效用函數之比較..............24 表 2 ARMA模型與GARCH模型基礎理論之比較 ................................................33 表 3 投資組合資產之敘述統計分析.........................................................................41 表 4 投資組合資產之常態分析.................................................................................42 表 5 投資組合資產之ARCH效果分析 .....................................................................43 表 6 投資組合之GARCH(1,1)變異數估計係數.......................................................43 表 7 台灣加權股價指數預期報酬率.........................................................................44 表 8 金融保險類指預期報酬率.................................................................................44 表 9 食品類指預期報酬率.........................................................................................44 表 10 電子類指預期報酬率.......................................................................................45 表 11 商業本票預期報酬率.......................................................................................45 表 12 名目資產報酬下的投資組合報酬率...............................................................46 表 13 名目資產報酬下的投資組合報酬變異數.......................................................47 表 14 物價膨脹率平減資產報酬下的投資組合報酬率...........................................47 表 15 物價膨脹率平減資產報酬下的投資組合報酬變異數...................................47 表 16 名目資產報酬投資組合之SHARPE RATIO .......................................................49 表 17 物價膨脹率平減資產報酬投資組合之SHARPE RATIO ...................................49 表 18 名目資產報酬投資組合之TREYNOR RATIO ....................................................50 表 19 物價膨脹率平減資產報酬投資組合之TREYNOR RATIO ................................50. － vi －.

(9) 圖目錄圖1 圖2 圖3 圖4 圖5. 研究流程圖 .....................................................................................................4 凹性效用函數示意圖 ...................................................................................19 二次效用函數示意圖 ...................................................................................20 當 λ × Wt +1 > 0 下……………………… .......................................................20 當 λ × Wt +1 < 0 下…………………………………………………………..20. 圖6 圖7 圖8 圖9 圖 10 圖 11 圖 12. Power Utility示意圖 .....................................................................................21 Log Utility示意圖 .........................................................................................21 RiskMetrics Group操作財富管理與資產配置之關係 ................................38 考慮物價膨脹因素下資產配置模型之建構 ...............................................39 考慮物價膨脹率與否對投資組合報酬率之影響 .......................................48 考慮物價膨脹率與否對投資組合Sharpe Ratio之影響 ..............................50 考慮物價膨脹率與否對投資組合Treynor Ratio之影響.............................51. －vii－.

(10) 符. 號. 說. 明. 本研究在第二章文獻探討部分，為追求原著作詳實之介紹，係以各文獻不同之數學符號予以定義。自第三章研究方法起，為本研究模型之推導與實證分析，茲將本研究中除第二章文獻探討以外之數學符號予以定義，並整理如下。 1. 考慮物價膨脹下跨期資產配置模型之數學符號定義： Ct Et It Rt Rm ,t. 投資人在 t 期之消費 (Consumption) 第 t 期時間之期望值第 t 期之資訊集合 (Information Set) 第 t 期之資產報酬率 (Asset Return) 第 t 期場投資組合之報酬率 (Market Portfolio Return). R j ,t 第 t 期第 j 項資產之報酬率 (Asset Return) R1,t 第 t 期第 1 資產之報酬率，本研究設定為無風險報酬率 (Risk Free Rate) t 第 t 期時間 U t 投資人在 t 期之效用函數 (Utility Function) Vt 第 t 期之間接效用函數 (Indirect Utility Function) Wt 投資人在 t 期之財富 (Wealth) w j 第 j 項資產之投資權重比例 (Weight). γ δ λ ξ. 相對風險趨避係數 (Coefficient of Relative Risk Aversion) 時間偏好率 (Time Preference Rate) 絕對風險趨避係數 (Coefficient of Absolute Risk Aversion) 跨期替代彈性 (Intertemporal Elasticity of Substitution) Π t 第 t 期之消費者物價指數 (Consumption Pricing Index, CPI) π t 第 t 期之物價膨脹率 (Inflation Rate) φ (⋅) 函數模式. 2. 時間序列分析之數學符號定義： at. B rt. αi βj εt ηt µ ιi κj. 時間序列資料之誤差項 (Error Term) 遞延運算元 (Lag Operator) 具有時間序列性質之資料 (eg：資產報酬) (Time Series Data) ARCH 模型之估計參數. GARCH 模型之估計參數時間序列資料之隨機誤差項 (Stochastic Error Term) 為一隨機變數時間序列資料件平均數 (Conditional Mean) 自我廻歸(AR)模型之估計參數移動平均(MA)模型之估計參數－viii－.

(11) σ t2. 時間序列資料之條件變異數 (Conditional Variance). Ωt. 第 t 期之資訊集合 (Information Set). 註：本符號表區分為 3.2 跨期資產配置模型與 3.3 時間序列分析兩部分之數學符號，並且依照英文字母與希臘字母之順序排列。. － ix －.

(12) 一、緒論 1.1 研究背景財務理論的發展自 Markowitz 於 1952 提出平均數－變異數投資組合模型 (Mean－Variance Portfolio Model, MVP)，以變異數衡量報酬波動性的方式，將風險予以量化，並且提出投資風險分散的概念，財務學門對於報酬與風險之間的探討，便開始大放異彩。繼之而起，Sharpe (1964) 及 Lintner (1965) 以投資組合為基礎，提出資本資產定價模型 (Capital Asset Pricing Model, CAPM)，明確的指出，經由個別資產報酬和市場投資組合報酬的共變異數來決定資產的超額報酬，而此共變異關係即為市場風險。Grubel (1968) 將投資組合理論延伸至國際投資組合的範疇，指出國際資產間具有低度的相關性，透過跨國的資產配置，可以有效的分散投資組合的風險。Solink (1974) 亦將資本資產定價模型運用在國際投資組合的實證，將通貨風險(匯率變動風險)之考量納入國際資產定價模型。然而，運用 CAPM 此一報酬與風險的線性關係來解釋風險性資產，無法詮釋其它影響報酬變化的因素。只考慮市場風險且以靜態分析的 CAPM 備受質疑，投資者關切的不但是過去的報酬表現，對於未來的投資機會與風險變動，是資產定價需額外考慮的因素。Merton (1973) 觀察在考慮未來投資機會的過程中，投資者係以未來的跨期效用極大化為基礎，當未來投資預期報酬增加時，投資者會犧牲當期的消費，增加投資比率，以獲取未來更大的消費機會，提昇終身的整體效用。Merton 將連續時間下的投資組合，予以切割成極小的單位時間，成為線性的目標效用函數，超額報酬是來自於承擔市場風險和投資機會變動的貼水，爾後的研究，便以單期延伸的跨期模型為主。Sulz (1981) 將考慮貨幣因素的跨期資產定價模型運用在國際資產定價的實證中。未來投資機會的決策，係包括投資者的消費與未來投資報酬的考量，也就是投資者對風險趨避避程度的考量。 Lucas (1978) 、 Breeden (1979) 、 Hansen 與 Singleton (1982) 發展以消費為基礎的資產定價模型，指出資產的超額報酬來自於資產報酬和消費的共變異關係，而 Mankiv and Shapiro (1986) 以證券報酬對市場與消費之 β 值進行廻歸分析，皆發現消費無法確切描述其資產報酬之關係。為解決連續時間資產定價模型的複雜，以及投資者與非投資者之消費型態不同的問題，Campbell (1993) 提出以間斷時間分析的跨期資產定價模型，將消費因素透過轉換的方式予以替代。Campbell and Viceira 假設消費財富比為固定，以 Markowitz 的 Mean－Variance Portfolio Model 出發，結合 Power Utility 和 Epstein －Zin Utility，以間斷時間的方式將靜態資產定價模型一般化為多期形式，發展出跨期最適消費與投資組合配置模型。在此模型的考量下，投資者不需要考慮消費變數，便能對資產報酬作評價，而資產報酬率與消費成長率之關係，可以轉換－1－.

(13) 為資產報酬率與市場組合報酬率與未來跨期市場組合報酬率之關係，進而找出投資組合中各資產的最適配置比例。 1.2 研究目的資產配置模型的分析可以透過 Markowitz 報酬極大化或是變異風險極小化之線性規劃、VaR Sharpe Ratio 最適分配比例、以及跨期效用極大化配置比例來完成。本研究係以跨期效用極大化出發，在效用函數設定為跨期一般化的 Epstein-Zin Utility 下，可以推導出跨期資產定價模型，進而延伸為跨期資產配置比例模型。為了考慮物價膨脹因素，將此一設定嵌入極大化效用問題的限制式中，形成考慮物價膨脹下的跨期資產配置模型。本研究將透過考慮物價膨脹率下的跨期資產配置作分析，探討個別資產在納入投資組合中，考慮物價膨脹因素與否，是否會造成不同的投資組合績效，包括投資組合的報酬與總風險之變化。本研究目的歸納如下： 1. 考慮物價膨脹下的跨期資產配置模型作為投資組合的資產分配比例，相對於不考慮物價膨脹因素下，是否會有較高的投資組合報酬率。 2. 考慮物價膨脹下的跨期資產配置模型作為投資組合的資產分配比例，是否可以降低投資組合總風險，達到風險分散的效果。 3. 考慮物價膨脹下的跨期資產配置模型作為投資組合的資產分配比例，相較於未考慮物價膨脹因素，是否能提高投資組合績效。 4. 以元件風險值(Component Value at Risk)衡量資產配置比例對投資組合總風險的邊際貢獻度，考慮物價膨脹下之資產配置比例模型與不考慮物價膨脹因素下之資產配置比例模型，對投資組合總風險的邊際貢獻度孰者較佳。 1.3 研究架構在文獻探討中，依據過去學者在投資組合以及資產配置模型的建立予以探討，並且介紹近來的國際投資組合相關文獻。在研究方法中，首先介紹效用模型、跨期效用模型，推導並建立跨期資產配置模型。在跨期資產配置模型的建立過程中，本研究亦將探討模型的假設，以便接續的實證研究。在實證分析的部分，透過具有波動性效果可預測的金融性資產進行研究。透過 Campbell(2002)最適資產配置模型的計算，可以得到不同個別資產的投資組合報酬率與投資組合變異數。在風險分散的資產配置下，可以降低投資組合的風險，亦即群組內個別資產的變異風險，值得注意的是在不同的群組分析下，會有不同的共變異風險分散效果。最後本研究再以 Sharpe Measure 、 Treynor Measure 與 Component Value at Risk 等方法來判定考慮物價膨脹因素與否，對投資組合的風險分散效果。本研究之分析架構如下。第一章緒論－2－.

(14) 說明本研究之背景與目的，並且建立研究架構。第二章文獻探討分成三個部分說明，第一是針對投資組合理論的模式發展與投資組合理論中的資產配置比例，包括投資組合理論、資產配置模型、效用函數理論、跨期效用函數、與跨期最適投資組合資產配置模型。第二是資產報酬時間序列的分析工具介紹，包括 ARCH 模型與 GARCH 模型。第三是風險分散效果的衡量指標，包括 Sharpe Measure、Treynor Measure 與 Component Value at Risk 等方法等。第三章研究方法與計量模型在 Campbell and Veceira (2002) 跨期最適資產配置模型中，以效用函數的探討出發，延伸為跨期效用函數，在報酬極大化及波動風險極小化的最適模型下，導求出隱含投資者對於風險性資產與無風險資產的組合資產配置。第四章資料設定與實證分析 1. 投資組合最適配置比例； 2. 探討考慮物價膨脹因素與否對投資組合中資產配置的影響； 3. 比較考慮物價膨脹因素下的風險分散效果。第五章結論以研究流程圖介紹考慮物價膨脹下資產配置模型之建構與實證。. －3－.

(15) 文獻探討. 投資組合配置比例與跨期資產定價模型之文獻探討. 考慮物價膨脹下之跨期效用函數以及跨期限制式. 研究方法. 考慮物價膨脹下之跨期資產定價模型. 考慮物價膨脹下之跨期資產配置模型. 計量模型. 以 GARCH(1,1)模型估計未來資產報酬. 配置比例模型計算下之投資組合報酬率與變異數實證分析. 結論. 以 Sharpe Measure、Treynor Measure 與 CVaR 來比較考慮物價膨脹下風險分散效果. 結論與建議. 圖 1 研究流程圖. －4－.

(16) 二、文獻回顧 2.1 以傳統靜態資產定價理論為基礎之相關文獻張慈惠(1993) 以國際投資組合來分析三種資產定價模型何者對報酬率的解釋能力較佳。作者分別以單一世界指數模型、多國指數模型與多指標廻歸模式分析，判斷三個模式孰者之判定係數1、調整後判定係數2與Mallows3具有較高的解釋能力。因各國股價報酬為低度相關，作者假設其彼此之間為獨立，作為線性投資組合的可加性基礎。在單一世界指數模型方面，Solnik 於 1973 根據資本資產定價模式(Capital Asset Pricing Model, CAPM)推導出國際資產定價模式(International Capital Asset Pricing Model, IAPM)，以估計國際單一指數投資組合報酬率的解釋能力。其理論模式為： E ( Ri ) − Ri , f = β i ( Rw − R f ) 其中， Ri , f 為證券或投資組合 i 所屬國家的無風險利率， Rw 為世界指數報酬率，以各國股價指數的市場價值比重加權而得， R f 為國際無風險利率，即各國加權平均無風險利率。在多國指數模型方面，Jensen 是以超額報酬作為績效的衡量。其理論模式為 d ij = Rij − E ( Rij ) = Rij − R f + β ij ( Rmj − R f ). [. ]. 而 McDonald 延伸此一概念，將多國投資組合的績效模式設定為： Ri − R f. = X 1 (d i1 + β i1 ( Rm1 − R f ) ) + X 2 (d i 2 + β i 2 ( Rm 2 − R f ) ) + Λ + X n (d in + β in ( Rmn − R f ) ). [. = φi + β i∗1 ( Rm1 − R f ) + β i∗2 ( Rm 2 − R f ) + Λ + β in∗ ( Rmn − R f ). ]. 其中， φ i = X 1 d1 + X 2 d 2 + Λ + X n d n ， β = X j β ij 。 ∗ ij. 多國指數模型是以各國 j 的股價指數線性加總為基礎，包括八家投資於美國與法國的國際基金資料為實證樣本。在多指標廻歸模式方面，Lessard 在 1974 提出多指標的國際廻歸模式，其理論模式為： k. Ri = α i + β i × Fm + ∑ γ ij F j + ε i j =1. 其中， Fm 為世界指數報酬率， F j 為殘餘國家因素，即為各國市場的股價指數報酬率對世界指數報酬率廻歸的殘差。. 1. n. ∧. R 2 = SSR SSTO = ∑ ( Ri − R) 2 i =1. n. ∑ ( R − R) i =1. 2. i. ∧. n ⎛ SSE k − 1 ⎞ ( Ri − R ) 2 Adjusted R = 1 − ( MSE MSTO ) = 1 − ⎜ ⎟ = 1 − ∑i k − 1 ⎜ SSTO n − 1 ⎟ ⎠ ⎝ 3 C = ( SSE MSE ) − (n − 2k ). 2. 2. －5－. ( Ri − R ) 2 ∑ n −1 i =1 n.

(17) 張慈惠(1993) 實證結果顯示，以世界主要 23 個國家在 1987 年 1 月至 1998 年 6 月的證券市場股價指數月資料為樣本，發現各個國家的系統風險有很大的部分在世界市場來看並非是系統風險，而且是可以透過國際投資的方式分散掉。分析中考慮了國際投資組合，然而未考慮匯率因素與投資組合之配置比例，另外，以上三種投資組合模型皆是以資本資產定價模型為基礎，為靜態的事後分析。沈新裕(1993)探討新興股市與成熟股市報酬風險之特性，以瞭解台灣股市國際投資人的貢獻效果，另外再加入外幣期貨契約來管理匯率風險。亞洲新興股市具有高報酬高風險之特性，與成熟股市之相關性甚低，故投資於新興股市具有投資組合風險分散的效果。然而，納入台灣股市並且使用外幣期貨契約於國際投資組合中，一般而言可使效率前緣向外移動，但是效果並不明顯。在國際投資組合模型方面，以 Markowitz 平均數變異數 (Mean－Variance Portfolio Model) 考慮股市報酬率以及匯率變動下的投資組合理論模式為： Ri = (1 + ri )(1 + ei ) − 1 ≈ ri + e i 透過加權可以求取投資組合報酬率 n. R p = ∑ wi Ri i =1. 其期望值與變異數分別為： E ( Ri ) = E (ri ) E (ei ). σ i , j = E [(Ri − E ( Ri ) )][(R j − E ( R j ) )] = σ r ,r + σ r ,e + σ e ,r + σ e ,e i. j. i. j. i. j. i. j. 在極大化投資組合報酬率或是在極小化報酬率變異數下， n. n. n. i +1. i =1. max E ( R p ) = ∑ wi E ( Ri ) = ∑ wi E (ri ) + ∑ wi E (ei ) i =1. n. n. i=1. j=1. s.t. Var ( R p ) = ∑∑ wi w j (σ r2,r + σ r2,e + σ e2 ,r + σ e2 ,e ) ； ∑wi =1； ∑wj =1 n. n. i =1 j =1. n. i. j. i. j. i. j. i. j. n. min Var ( R p ) = ∑∑ wi w j (σ ri , r j + σ ri , e j + σ ei , r j + σ ei , e j ) i =1 j =1. n. n. n. n. n. i =1. i +1. i =1. i =1. j=1. s.t. E ( R p ) = ∑ wi E ( Ri ) = ∑ wi E (ri ) + ∑ wi E (ei ) ； ∑ wi = 1 ； ∑wj =1 其中， ri 為國際資產報酬率， ei 為匯率資產報酬率。在投資組合避險理論模式方面，John (1960) and Stein (1961)將 Markowitz 投資組合理論應用於現貨部位的避險，而導求出最適險比率(Hedge Ratio)，模式為： E ( R) = wS E ( S1 − S 0 ) + wF E ( F1 − F0 ) 爲導求避險比率，可以透過完全避險的觀念來分析，極小化變異風險條件 min Var ( H ) = wS2σ S2 + wF2 σ F2 + 2 wS wF σ SF 以 wS 一階微分等於零，可以求得最適避險比率 σ w b∗ = F = SF2 wS σ F 而避險效率的衡量為 σ2 Var ( H ) HR = 1 − = 2 SF 2 Var (U ) σ S σ F －6－.

(18) 其中， wS 為現貨部位比率， S i 為第 i 期現貨價格， wF 為期貨部位比率， Fi 為第. i 期期貨價格，σ S2 為現貨價格變異數，σ F2 為期貨價格報酬率，σ SF 為現貨價格。與期貨價格關係數， Var ( H ) 為避險後投資組合變異數， Var ( R) 為避險前投資組合變異數。實證分析中考慮了匯率因素，並且以二次規劃法求取投資組合資產比率，然而分析模型為事後的靜態分析，投資組合配置比率以事後觀點出發，採取固定的配置比率方式齊仁勇(1996) 以資產配置觀點，探討加入海外資產之配置組合是否能比僅有由國內資產所建構之配置組合有更佳的效率前緣表現。樣本選取為台灣股價指數、台灣債券指數、台灣票券市場利率、道瓊世界股價指數、摩根史坦利全球債券指數等。實證結果顯示，國內資產與國際資產之間呈現低度負相關，所以透過資產配置組合，可以降低投資單一資產風險，使資產配置組合效率前緣向外移。關於資產最適配置權數求解的部分，係以 Lagrange 目標數值極小化之方式，求解變異數最小之投資組合資產配置權數，在滿足一階微分為零的條件下，可以對所每個資產的權數 wi 與 λ 值偏微並令其為零。另外，作者將權重向量之負值予以刪除，以確保資產的權數為正值。 n. n. min Var ( R p ) = ∑∑ wi w jσ ij σ. i =1 j =1. n. E ( R p ) = ∑ wi E ( Ri ) i =1. n. ∑w. =1. i. i =1. 在探討匯率變動對國際資產配置組合績效的影響，以及匯率避險策略的運用的部分，最適避險資產配置比率與完全避險資產配置比率不同的是資產配置決策與貨幣配置決策分離，所以資產配置權數與貨幣配置權數不一定相同。考慮最適匯率避險下的資產配置報酬率可以區分為投資資產部位與貨幣避險部位，其理論模式為： R p = ∑ [( wi − hi )((1 + Ri )(1 + ei ) − 1)] + [hi ( Ri − FPi )] i. max ∑ E ( R p ) = [wi ( Ri + FPi )] + [( wi − hi )(ei − FPi )] i. min ∑ wi2Var ( Ri ) + ∑ hi2Var (ei ) + ∑ ∑ wi w j Cov ( Ri , R j )∑∑ hi h j Cov (ei , e j ) + + ∑∑ wi hi Cov ( Ri , ei ) i. i. i. j. i. j. i. i. ∑ wi = 1 ； ∑ hi = 1 i. i. 實證結果顯示，匯率變動風險對於國際資產配置風險沒有明確的影響效果，而最適避險策略可以涵蓋完全避險策略的效率前緣組合。此研究中加入國際資產進入投資組合的探討，並且考慮了匯率避險與資產配置比例，然而配置比率係以過去資產價格資料作為計算之基礎，為事後之分析，且配置比例維持固定，為靜態之資產配置模型分析。李瑞琳(1997)指出，亞洲新興證券市場主要特色之一是投資者可獲取較高的證券投資報酬率，探討以 PPP 購買力平價成立簡化模型、名目條件簡化模型、與無二階條件之簡化模型三種不同實證模型是否造成當地資產偏差現象。－7－.

(19) Frankel and Engel (1984) 之國際平均數變異數理論模型假說，假設風險趨避投資者追求效用極大化財富、報酬率為常態分配、變異數共變數矩陣為固定、相對風險趨避係數為固定、投資者均質性並為理性預期者。其對國際證券投資所定義的標準理論模型為： max E (U ) = w′N × E ( RN ) − 0.5 × δ × ( w′N × Ω × wN ) wN. s.t. w′N ×1N = 1 其中， wN 為(N×1)向量的投資組合權數， E ( RN ) 為(N×1)向量的預期實質資產報酬， δ 為相對風險趨避係數(Relative Risk Aversion)，為一純量， Ω 為(N×N)實質資產報酬共變異矩陣， 1N 為(N×1)項的 1 向量。而 Macedo 定義購買力指數符合 Cobb-Douglas 形式 N −1. Q = Π ( Pi × Ei ) −α ( i ) i =1. 其中， Pi 為該國當地財貨物價指數， Ei 為該國當地匯率(美元/當地通貨)， α (i ) 為投資者消費支出比例。Glassman and Riddick (1996) 將布朗運動實質資產價格 ( Brownian motion Real Prices )、匯率價格與購買力物價指數，透過 Taylor’s Series 與 Ito’s Lemma 分別求得實質貨幣資產價格之期望值與變異數： E ( Ri ) = si + ei + q + σ ( si , q) + σ (ei , q) Ω ij = σ ( si , s j ) + σ (ei , e j ) + σ (si , e j ) + σ (ei , s j ) + σ (si , q) + σ (q, s j ) + σ (ei , q) + σ (q, e j ) + σ 2 (q) 其中， si 為資產 i 的當地名目預期報酬， ei 為通貨 i 對美元的預期升值率， q 為購買力的變化率預期期望值， σ 2 (q) 為購買力的變化率變異數值，最後可以整理成： E ( RN ) = E (rN ) + 1N E (q) + Φ Nα ；Ω N = ∑ N + Φ Nα1'N + 1N α 'Φ N + 1N σ 2 (q)1'N 。其中，. E (rN ) 為以某一通貨計價之預期名目資產報酬率向量， ∑ N 為名目報酬率的變異. 數與共變異數矩陣， Φ N 為名目資產報酬率與物價膨脹率間的共變異數矩陣， α 為每一國家投資者在財貨上支出比例向量。若允許賣空而且假設有 N-1 個風險性資產，則其 N-1 個風險性資產之最適權數解為： 1 w = ( )Ω −1 [E ( R) − 1× RN ]. δ. 加入共變異矩陣後的一般化模型之表現方式為 1 1 w = ( )∑ −N1 [E ( R) − 1 × R N ] + (1 − )∑ −N1 (Φ × α ). δ δ 最後考量不同的跨國投資購買力因素，可以得到 1 1 w = ( )∑ −N1 [E ( r ) − 1 × rN ] + (1 − )∑ −N1 (Φ × α k ) δk δk 一般模型為 E ( Ri ) = si + ei + q + σ ( si , ei ) + σ ( si , q) + σ (ei , q) ； Ω ij == σ ( si , s j ) + σ (ei , e j ) + σ ( si , e j ) + σ (ei , s j ) + σ ( si , q) + σ (q, s j ) + σ (ei , q) + σ (q, e j ) + σ 2 (q ) wk = (. 1. δk. )∑ −1 [E (r ) − 1× rN ] + (1 −. 1. δk. )∑ −1 (Φ × α k ). 1. PPP 成立簡化模型為： E ( Ri ) = si + ei + q ∗ + σ ( si , ei ) + σ ( si , q ∗ ) + σ (ei , q ∗ ) －8－.

(20) Ω ij == σ ( si , s j ) + σ (ei , e j ) + σ ( si , e j ) + σ (ei , s j ) + σ ( si , q ∗ ) + σ (q ∗ , s j ) + σ (ei , q ∗ ) + σ (q ∗ , e j ) + σ 2 (q ∗ ) w=(. )∑ −1 [E ( r ) − 1× rN ] + (1 −. 1. δk. 1. δk. )∑ −1 (Φ × α ∗ ). 2. 名目條件簡化模型為： E ( Ri ) = si + ei + σ ( si , ei ) Ω ij = σ ( si , s j ) + σ (ei , e j ) + σ ( si , e j ) + σ (ei , s j ) w=(. 1. δk. )∑ −1 [E ( r ) − 1× rN ]. 3. 無二階條件之簡化模型為： E ( Ri ) = si + ei + q Ω ij = σ ( si , s j ) + σ (ei , e j ) + σ ( si , e j ) + σ (ei , s j ) + σ ( s i , q ) + σ (q, s j ) + σ (ei , q ) + σ ( q, e j ) + σ 2 ( q ). wk = (. 1. δk. )∑ −1 [E (r ) − 1× rN ] − ∑ −1 (Φ × α k ). 國際投資組合理論模型中，各國有不同的證券報酬率、匯率變動與物價變動。在證券價格之殘差未符合常態分配下，求取採取最適權數解時，以似無相關廻歸 ( Seemly Unrelated Regression, SUR )作為聯立方程式的求解過程，最後再以 Durbin-Watson Test 來檢定殘差之獨立性。若殘差具有自我相關性，則可以 Cochrane-Orcutt 法來修正廻歸模式，以利作進一步的統計分析。研究中，探討風險趨避態度高低是否對國際證券投資具有影響性效果。若投資者採取不同的風險態度，則會造成國際投資組合內，投資比率變動的資金移轉效果。探討配置比例的部分參酌證券報酬率、物價膨脹率與匯率之變動，然而，對於風險態度沒有較深入的建議。曾廣治 (1997) 以遠期匯率契約作為避險工具，採取樣本：台灣、日本、美國、香港、新加坡與澳洲來探討不同避險比率下，各投資策略的匯率風險規避效 ~ ~ ~ 果。考慮匯率影響因素下的國際投資組合報酬率為 Ri = (1 + R )(1 + e~ ) − 1，其中，Ri 為本國貨幣計價之報酬率， ~ e 為本國貨幣兌換 i 國貨幣的匯率報酬率， ~ ~ ~ ， ~ 為 t 期之即期利率， ~ 為 t－1 期之即期利率。 ~ St −1 St e = ( St − S t −1 ) St −1 若考慮遠期外匯之避險工具，則國際投資組合之報酬率為. [(. ). ] [(. ). ]. ~ ~ ~ ~ RiH = 1 + E ( Ri ) (1 + f ) + R − E ( R ) (1 + e~ ) − 1 精簡化之後，可得： R~iH ≈ R~ + f ，若遠期匯率為未來即期匯率之不偏估計值，則 ~ ~ ~ ~ f = E (e~) 且 E ( R H ) ≈ E ( R ) + E (e~ ) ，則可知： E ( R ) = E ( R H ) 。其中， R~ H 為避險後以本國 i. i. i. i. 貨幣計價之預期報酬率， f 為遠期外匯貼水 (Forward Exchange Premium) ， f = ( Ft − St ) St ， Ft 為第 t 期外匯匯率。以最適避險比例模型探討匯率偏誤性問題，結果發現，匯率偏誤對投資組合績效或是避險比率無顯著影響。普遍避險比率(Universal Hedging Tolerance)為 h = 1− λ =. U m − δ m2 U m − 1 / 2δ e2. 其中， h 為最適避險比率， λ 為平均風險容忍程度(Aversion Risk Tolerance)，以匯率風險對市場風險之比值表示， U m 為加權平均之世界市場組合之預期報酬率，δ m2 為加權平均之世界市場組合之報酬變異數，δ e2 為加權平均之匯率變異數。－9－.

(21) 在最適配置比例的部分，各國當地證券風險皆佔經匯率調整後的實質投資風險的 70%以上。其配置策略包括： 1.相同投資權數策略(Equally Weighted Portfolio, EQ) 2.Markowitz 最適投資組合策略(Markowitz Optimal Tangency Portfolio, TG)：以效率前緣(Efficient Frontier)與資本市場線(Capital Market Line)相切點的資產組合點。 3.最小變異數投資組合策略(Minimum Variance Portfolio, MV)：在效率前緣上，選取一變異數最小的組合，其中包含各項投資組合內涵資產的配置比例。 4.貝氏史坦投資組合策略(Bayes-Stein Portfolio, BS)： Jorion 於 1985 提出以最小變異報酬率與平均報酬率來建立未來預期報酬率。其認為最適投資組合應該建立在為未來報酬率向量的可預測機率密度函數 (Density Function)上，而此函數為多變量常態分配(Miltivariate Normal)。期望報酬的立論模式為： ) ) R = (1 − w) ⋅ r + w ⋅1 ⋅ r0. 其中， R 為未來期望報酬率向量， r 為N個資產中N-1 個的報酬率樣本平均數向 ) 量， 1 為單位向量， r0 為以最小變異投資組合得出的報酬率樣本平均數， w 為收縮因素4(Shrinkage Factor)，T 為樣本觀測值的時間序列長度，∑ 為N×N之樣本變異數共變數矩陣。而Jorion於 1984 年說明收縮估計值可以顯著減少變異數共變數矩陣的估計偏誤，所以顯著確定投資組合減少風險的效果。投資組合之績效指標透過以下方式比較各投資組合的最適配置比率： 1. Treynor Ratio = ( Ri − R f ) β i. 2. Sharpe Ratio = ( Ri − R f ) σ i 3. Jensen α i = Ri − β i ( Rm − R f ) 4. Modified Jensen = α i β i 較以往不同的是，研究中探討投資組合最適比率問題，但未深入探討投資組合最適資產配置比率的估計方法。葉宗穎(1999) 對國際資產定價模型(International CAPM)進行修正，將單一因素擴展為雙因素模型。傳統的國際資產定價模型僅考慮市場風險，此研究以固定風險價格與隨時間而變動的風險價格作為資產價格的設定，透過 Fractional Integrated GARCH(多變量 FIGARCH-in-Mean)模型實證。結果發現，美國、英國和全球權益市場波動都有緩長記憶的性質，代表這些國家的指數走勢與全球市場的走勢有強烈的互動關係。陳榮茂(2000)以事後之有利資訊集合推估事前的觀點，進行國際資產配置，其投資策略包括：均權法 (Equally Weighted) 、確定等值切點法 (Certainty Equivalence Tangency)、最小變異法(Minimum Variance Portfolio)、貝氏史坦法. 4. ) w=. ( N + 2)(T − 1) ( N + 2)(T − 1) + (r − r0 ⋅1)T ⋅ ∑ −1 (T − N − 2)(r − r0 ⋅1). －10－.

(22) (Bayes Stein)、摩根史坦利模擬法(MSCI Simulation)與多元情境分析法(Multiple Scenario Analysis)。 1. 均權法(Equally Weighted, EW) 以過去資訊無用論的觀點出發，認為過去的歷史資料，無法有效的區別不同資產間報酬表現的差異。其方法為： ⎡1 N ⎤ ⎢1 N ⎥ ⎥ w=⎢ ⎢Μ ⎥ ⎥ ⎢ ⎣1 N ⎦ 2. 確定等值切點法(Certainty Equivalence Tangency, CET) 假設過去的資訊沒有任何的估計誤差，也就是以歷史資料作為變異數與共變異數下，以歷史平均報酬作為未來即期報酬率的預測。其理論模式為： ⎡ E ( R1 )⎤ ⎢ E ( R )⎥ 1 ⎥ R=⎢ ⎢Μ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ E ( R1 )⎦. 3. 最小變異數法(Minimum Variance Portfolio, MVP) 4. 貝氏史坦法投資組合策略(Bayes Stein, Portfolio, BS) 5. 摩根史坦利模擬法(MSCI Simulation) 假設全球證券市場為一效率市場且處於均衡狀態，以 International Capital Asset Pricing Model(ICAPM)為基礎，估計出各國證券指標的系統風險值，以估算國際投資組合之風險溢酬。其理論模式為： E ( Ri ) − R f = β i (E ( Rm ) − R f ) 6. 多元情境分析法(Multiple Scenario Analysis, MS) 盡可能地蒐集所有相關資訊，透過事後的歷史資料，計算各情境下的機率，進而推估各類資產的報酬表現，例如 GDP 成長率、通貨膨脹率、長短期利率等。當所考慮的因素越多，資訊越完整，情境便可估計的越精確，預期報酬率也能越接近實際報酬率。另外，研究中亦探討匯率風險對不同資產之影響以及各投資組合策略間績效之優劣，最後搭配不同的投資期間，藉由敏感度分析，觀察投資組合績效與避險效果是否隨著投資期間的長短而有所變化。結果發現，各國債券市場間的相關係數，明顯低於各國股票市場，表示債券市場的風險分散能力優於股票市場。在投資組合策略中，以貝氏史坦策略表現最佳。文中透過事後的歷史資料，推估未來的事前資訊，部分的模型已經開始探討投資組合配置比率的問題。投資組合的績效衡量指標中，大多以報酬率與變異數作為分析的基礎，然而衡量標準的不同會影響到實證研究的結果，除了常見的衡量指標外，張志成(2002) 另外以不同形式的 Sharpe Ratio 來衡量資產配置的效果。投資組合的選取準則除了 Markowitz 的平均數-變異數法之外，還包括： 1. 風險安全優先考量準則 Safety First (SF) －11－.

(23) Roy(1952)提出投資者關心的是能否在投資過程中有所保障，所以投資者皆存在一個最低報酬水準，投資人為了避免實際報酬會低於最低報酬水準，將盡可能地壓低實際報酬低於要求水準的機率。其理論模式為： P (ξ − m ≥ m − d ) ≤. σ2 (m − d ) 2. 然而當投資者所考慮的是報酬低於 d 的部分時，模式可簡化為 P(ξ ≤ d ) = P(m − ξ ≥ m − d ) ≤. σ2 (m − d ) 2. 其中， ξ 為最後的實際報酬水準， m 為預期報酬水準， d 為投資人的最地要求報酬水準， σ 2 為報酬的標準差。由上式可知，投資者追求的是機率的極小化，也就是欲使 σ 2 (m − d ) 2 極小化，或是追求極大化 (m − d ) 2 σ 2 ，仍為追求報酬波動比之極大化的概念。 2. 平均數-半變異數準則(Mean Semi-variance, MS) Markowitz(1959)提出對於風險衡量的修正，一般變異數是衡量報酬率波動風險的代理變數，包括高於平均值與低於平均值的風險，然而平均數半變異數衡量的只有低於預期報酬的下界風險，亦即半變異數只關心低於預期報酬的部分。其理論模式為： n. [. SV = ∑ (rt − b) −. ]. 2. (n − 1). i =1. 其中， rt 為實際報酬率， b 為報酬率下限， (rt − b) − = min[(r − b),0]， n 為樣本數，而共變異數為 SVij = ∑ [(rik − b)(r jk − b)] n 表示有 n 期中有 K 個期間的實際報酬率是低 K. k =1. 於預期報酬率 b 的。 3. 對角線模型(Diagnal Model) 為了減少參數的估計，Sharpe(1963)提出較為簡化的單一指數模型，也就是將所有的股票報酬皆以一個共同因素來決定，包括：GNP、物價指數、市場投資組合等。其理論模式為： Ri = α i + β i I + γ i ，其中， Ri 為股票 i 之報酬，α i 與 β i 為參數，γ i 為一隨機變數，其期望值為 0，變異數為 Qi，I 為共同因素，I = α t +1 + γ t +1， α t +1 為係數， γ t +1 為隨機變數，其期望值為 0 ，變異數為 Qt +1 ， n +1. Var ( Ri ) = ( β i ) 2 ⋅ (Qt +1 ) + Qi 。而投資組合的報酬率與變異數分別為 E ( R p ) = ∑ wiα i ； i =1. n +1. n. i =1. i =1. n. n. Var ( R p ) = ∑ wi2Qi = ∑ wi2Qi + ∑∑ wi w j β i β j Qt +1 i =1 j =1. 由上述可知，個別股票的變異數包括系統風險 Qt +1 與非系統風險 Qi ，而非系統風險在投資組合中是可以被分散掉的。. 4. Mean Lower Partial Moment (MLPM) 當報酬率之分配為偏態，而且股票的平均報酬與變異數相同時，以最小變異法無法對投資組合提供恰當的選取準則。Bawa(1975)提出 Lower Partial Variance 作為風險衡量的標準： LPVF (d ) ≡ ∫ ( R − d ) 2 dF ( R) ，其中， R 為股票酬率率， d 為股票報酬之下界，當股票報酬低於下界，實為風險的來源。Bawa(1977)將 LPV －12－.

(24) 一般化，定義 F 分配的 n 階 Lower Partial Moment 為： ) ) LPM n ( R, F ) ≡ ∫ ( R − R ) n dF ( R ) ) 其中， R 為目標報酬率， R 為股票報酬率，n 為階數，當 n < 1 時為風險愛好者，當 n > 1 時為風險趨避者，當 n = 2 時，LPM 為半變異數，當 n = 0 時 LPM 會等於 SF 準則。 5. 平均數變異係數準則(Mean Coefficient of Variance, MCV) Osteryoung et al.(1977)提出以修正後的變異數作為投資組合的選取準則，其理論模式為： E ( Ri ) = R f + (E ( Rm ) − R f )β i = R f + (E ( Rm ) − R f ). Cov ( Ri , Rm ). σ m2. 再令 λ = E ( Rm − R f ) σ m ，可以推導出修正變異係數 (Modified Coefficient of. Variation, MCVAR)： σi 1 = ρi ,m E ( Ri ) − R f λ 此極小化修正變異係數的選取方法與與一般的 Sharpe Ratio 和 Safety First 的結果相一致。 6. 平均數-絕對差準則(Mean-Absolute Deviation, MAD) Konno(1988)提出風險係數(Absolute Deviation)，作為風險衡量的標準，其理論模式為： n ⎛ n ⎞ w( x) = ⎜ ∑ R j x j − E (∑ R j x j ) ⎟ ⎜ j =1 ⎟ j =1 ⎝ ⎠ 其中， w(x) 為風險係數 (絕對差)， x j 為投資於證券 j 的金額， R j 為證券 j 的報. 酬率。在股票為多變量常態分配的假設下， w( x) = 2 π ∑ x ，其中， ∑ x 為 ( R1 , R2 , Λ , Rn ) 之共變異矩陣。. Konno and Yamazaki(1991)提出最小化風險係數的模式： n ⎛ n ⎞ min w( x) = ⎜ ∑ R j x j − E (∑ R j x j ) ⎟ ⎜ j =1 ⎟ x j =1 ⎝ ⎠. s.t.. n. n. j =1. j =1. ∑ E(R j ) x j ≥ ρ ⋅ M 0 ； ∑ x j = M 0 ； 0 ≤ x j ≤ u j. 其中， ρ 為投資人要求的最低報酬水準， M 0 為總投資金額， u j 為投資於股票 j 的最低金額。 7. 小中取大(Mini Max)投資組合模式 Young(1998)提出以最低報酬極大化之準則，作投資組合選取之依據，其理論模式為： max R p Rp ,w. s.t.. N N ) ；； w r R ≥ w r − R ≥ 0 ∑ j j ∑ j jt p ∑ x j ≤ X ； x j ≥ 0 ； j = 1,2,Λ , N N. j =1. j =1. j =1. 其中， r jt 為在期間 t 投資於股票 j 所獲得的報酬率， r j 為股票 j 的平均報酬率. －13－.

(25) T. r j = ∑ rjt T t =1. 其中， w j 為投資於股票 j 的組合比率， rpt 為投資於期間 t 的報酬率 N. rpt = ∑ w j rjt j =1. N. E pt 為投資組合的平均報酬 E pt = ∑ w j r j =1. j. ) 其中， R p 為投資組合的最低要求報酬， R 為預期投資組合的最低要求報酬， x j 為投資於股票 j 的金額， X 為投資總金額。 ) 此模式所代表的涵義為：在投資組合平均報酬 E pt 大於最低要求報酬 R 下且投資總金額不超過 X 下，以極大化 R p 值的組合為最適投資組合。換句話說，由每一期最小獲利組合中找出獲利最大的那一期，或是由每一期最大損失組合中找出損失最小的那一期，就是最適投資組合。另外，Young 亦指出，當報酬為常態分配下，Mini max 準則會近似於變異數極小化準則。 8. Sharpe Ratio Sharpe(1966)提出衡量共同基金的指標： r −r Sharpe Ratio = p f. σp. 其中， rp 為基金報酬水準， r f 為無風險利率， σ p 為基金報酬標準差。然而投資者關切的是投資事前的預測標準，所以 Sharpe(1994)提出分別以事後與事前的觀點衡量指標，分別為：事前： S ≡ d ； σd 事後： S h ≡. D. σD. 其中， d 為事前的平均差額報酬， D 為事後的平均差額報酬，而差額報酬 (Differential Return)為投資組合的報酬與基準投資組合報酬之間差額的平均， σ d 為事前差額報酬的標準差， σ D 為事後差額報酬的標準差。以事前來看，在差額報酬每單位風險下，獲得報酬最高的投資組合即為最適投資組合。. 9. LPM 形式的 Sharpe Ratio Elton et al.以 Sharpe Ratio 為基礎，提出最適投資組合下的證券權重，其中： SR = θ =. Rp − R f. σp. 1/ 2. N N N ⎛ N ⎞ = ∑ wi ( Ri − R f ) ⎜⎜ ∑ wi2 β i2σ m2 + ∑ ∑ wi w j β i β jσ m2 + ∑ wi2σ ε2i ⎟⎟ ； i =1 i =1 j =1 i =1 ⎝ i =1 ⎠ N. N. ∂θ = ( Ri − R f ) − ∂wi. ∑ w (R − R i =1. i. i. σ p2. f. ). N ⎡ ⎤ 2 2 2 2 + w β σ β ⎢ i i m i ∑ w j β jσ m + wiσ ε i ⎥ = 0 j =1 ⎣ ⎦. 其中， Ri 為個股 i 的平均報酬， R f 為無風險利率， β i 為個股 i 對市場投資組合報酬率的反應參數，σ ε2i 為個股 i 的變異數，σ m2 為市場投資組合的報酬率變異數。再定義. －14－.

(26) Zi ≡ (. Rp − R f. σ. 2 p. ) wi ， Z i = (. Ri − R f. σ ε2. i. N ⎡ Ri − R ) − ⎢σ m2 ∑ ( βj) ⎢ σ ε2 i j =1 ⎣. 而個股 i 的投資權重為 wi = Z i. N. (1 + σ m2 ∑. j =1. β j2 ⎤ β i )⎥. σ ε2 ⎥⎦ σ ε2 i. i. N. ∑Z j =1. j. 。. 10. VaR 形式的 Sharpe Ratio Dowd(1999)將風險值的觀念應用在 Sharpe 上，也就是將原本 SR 值的標準差以風險值代替，成為一般化的 GSR(Generalized Sharpe Ratio)。其理論模式為： GSR =. Rp − R f VaR p. 而在常態分配下，風險值的計算公式為 α ⋅ σ ⋅ S 0 5，其中，α 為標準係數值， σ 為標準差， S 0 為期初投資額。是否加入新資產的決策準則為：當 SR new ≥ SR old 下，表示加入新資產後可使 SR 增加，提昇投資組合的績效。以新資產報酬 RA 來分析，若 R pold VaR new old RA ≥ R p + ( − 1) VaR old wA 則新資產 A 的納入可使投資組合的績效提高。實證結果顯示，Mean Lower Partial Moment 法與 Lower Partial Sharpe Raito 法之表現大致上優於 Minimum Variance 法與 Sharpe Ratio 法，而 Mean Coefficient Variance 法、Minimum Variance 法與 Mean Lower Partial Moment 法而言，都有較高的報酬與標準差。因為 Mean Coefficient Variance 法是以每單位報酬所承擔的標準差作為風險的衡量標準，所以在選取過程中，對於較高報酬高標準差的證券會給予較高的投資權數。因此，對於承擔高風險以追求高報酬的投資者而言，Mean Coefficient Variance 法是個較佳的風險衡量標準，而高險承擔程度較低的投資者，則可採取較傳統的 Minimum Variance 法作為投資組合選取準則。 2.2 以跨期資產定價模型為基礎之相關文獻張焯然(2000)將條件二因素定價模型來解釋國際證券市場間的橫斷面(cross. section)定價關係。在此設定下，資產可以透過兩因素來定價：一是資產報酬與市場組合 (market portfolio) 的共變異數，二是資產報酬與避險組合 (hedging portfolio)的共變異數，而在資產的未來報酬方面，此研究以 GARCH 模型來描述資產報酬的動態行為。實證結果指出，跨期的二因素資產定價模型(intertemporal asset pricing)與傳統的國際資產定價模型(international asset pricing)相較，傳統模型將會產生模型誤設(misspecified)與變數遺漏(omitted variable)之偏誤，當購買力評價理論無法成立之下，也就是不同國家的投資人對相同證券的實質報酬有不同. 5. GSR ⋅α ⋅ S0 = SR =. Rp − R f. σ －15－.

(27) 的評價，投資者會承擔貨幣風險(currency risk)。此研究將 Campbell(1993)的模型擴充為跨期資產定價模型，以衡量特定時點下的避險風險溢酬(hedging risk premium)與市場風險溢酬(market risk premium)之關係。在市場風險溢酬為正，避險風險溢酬為負的情況下，可以解釋為何無法以資本資產定價模型評價國際資產時，市場風險價格的估計並不顯著的原因。另外，此研究將通貨風險與通貨避險風險從市場風險中分離出來，明確的分辨市場風險與通貨風險對資產評價的貢獻。林哲丞(2000)以 Campbell(1993)的跨期資產定價模型為基礎，納入物價膨脹的因素，探討物價膨脹對資產評價的影響。除了考慮市場風險之外，亦加入物價風險的探討，突破跨期資產模型對物價因素設定為狀態變數的限制。實證結果顯示，物價風險亦會影響到資產的風險貼水，不考慮物價風險的資產定價模型會低估資產報酬的總風險。所以只考慮到名目報酬的效果，並不能適切的描述資產面臨的物價風險，另外也指出物價膨脹率與股票報酬率違反向連動關係。 Campbell 將靜態的資本資產定價模型拓展為跨期資產定價模型，並且建議將預測變數以 VAR 模型建構，然而卻無法避免經濟變數會有結構轉換的問題。吳鴻彬(2002) 將結構轉換模型加入 Campbell 的跨期資產定價模型，允許風險趨避係數可以隨時間而改變，並且利用 ALRS2 模型來建構結構轉換。實證結果發現，風險趨避係數與資產報酬間的相關係數會隨市場狀態的不同而有所改變，當市場波動度較為強烈時，投資人的風險態度較為保守，資產和市場報酬間的相關係數亦較低；而在市場較為穩定下，投資人的風險趨避程度較低，資產和報酬間的相關係數較高。我國投資人的投資活動大致上可以分為三個方向：國內股票市場、國內貨幣市場與國外貨幣市場，陳仙穎(2003)以 Campbell 與 Viceira 結合 Markowitz 的 Mean-Variance Portfolio 和 Power Utility 與 Epstein-Zin Utility，發展出跨期最適消費與投資組合配置模型。以三組資料 1.台灣與美國 2.台灣與英國 3.台灣與日本，作為國際投資組合之樣本。 Epstein-Zin Utility 的理論模型為： θ. (1−γ ) 1 (1−γ ) ⎡ ⎤ ； θ ≡ (1 − γ ) (1 − 1 / ξ ) U t = ⎢(1 − δ )Ct θ + δ ( EtU t1+−1γ ) θ ⎥ ⎣ ⎦. 當θ=1 時效用函數為線性，γ = 1 /ψ 為相對風險係數(the coefficient of the Relative Risk Aversion)，ψ 為跨期替代彈性(the elasticity of intertemporal elasticity)。探討 Heifner (1972)的最適避險比率的部分，其理論模型為： E ( R ) = X S E (S1 - S 0 ) + X F E ( F1 - F0 ). Min : Var ( R) = X S2σ S2 + X F2σ F2 + 2 X S X Fσ Sσ F 可以導求出最適避險比例： σ σ X* X F* = X S (- S 2,F ) ； h = F = (- S 2,F ) σF XS σF －16－.

(28) 探討最適效費投資之跨期資產配置比率的部分，其理論模型為： 1 E t rt +1 − r f ,t +1 + σ t2 ⎛ 1⎞ 1 ∞ 2 αt = + ⎜⎜1 − ⎟⎟ 2 Cov t rt +1, − ( E t +1 − E t ) ∑ j =1 ρ j r f ,t +1+ j 2 γ σt ⎝ γ ⎠σt 1. [. ]. 其中， α t 為在時間 t 下的風險性資產最適配置比例， γ 為相對風險係數(Relative Risk Aversion；RRA)，rt +1 = Log (1 + Rt +1 ) 為在時間 t 下的風險性資產對數報酬率，. r f ,t +1 = Log (1 + R f ,t +1 ) 為在時間 t 下的無風險性資產對數報酬率，σ t2 為在時間 t 下的風險性資產變異數， ρ ≡ 1 − exp(ct − wt ) 為再投資財富佔財富的比例， ct = Log (1 + Ct ) 為消費變動率， wt = Log (1 +W t) 為財富變動率。實證結果顯示，國內股市與國外貨幣市場以及國內貨幣市場與國外貨幣市場階呈現低度相關性，顯示將國內資產與國外資產納入投資組合中，可以達到風險降低的效果。當國內採取連續降息措施，資金寬鬆的政策下，投資人對於資產配置會趨於保守，會採取降低風險性資產配置的比率。然而當股市景氣回升下，投資人會採取叫積極的投資策略，增加風險性資產的配置比率。至於匯率的影響因素，若貨幣市場報酬率與遠期匯率契約報酬率相關性越高，則避險的效果越好，而且避險的效果都在五成以上。研究中，以經濟的觀點切入探討資產配置的最適比率，考慮了消費因素與跨期因素，而在實證過程中，其設定的配置比率為固定不變，風險趨避係數亦為定值。以下本研究將針對上述模型提出較為適切的模型，予以推導其理論模型，並且設計實證分析。資產定價模型由靜態轉變成為動態的模型，以跨期的角度檢是投資者對於未來效用以及風險的態度。Campbell(1993)、張焯然(2000)、林哲丞(2000)、吳鴻彬 (2002)與、陳仙穎(2002)皆以跨期資產定價模式為基礎，本研究亦以上述之跨期資產定價模型出發，延續其資產配置之理論。透過投資者之效用極大化函數，並且嵌入考慮物價膨脹下之跨期預算限制式，導求出考慮物價膨脹下的跨期產定價模型，最後延伸成為考慮物價膨脹下之跨期資產配置模型，作資產配置與投資組合風險分散效果的分析。. －17－.

(29) 三、研究方法與計量模型本研究先以投資者的財富效用函數切入，引進包含消費與財富兩個參數的 Epstein-Zin Utility，再將 Utility Function 以間接效用函數和限制式的嵌入轉換為 Euler Equation ，透過函數的轉換與消費參數的替代，形成跨期資產定價模式 (Intertemporal Capital Asset Pricing Model, ICAPM)，最後建立跨期的資產配置模型(Intertemporal Asset Allocation Model)。未來一期的參數預測，則以時間序列模型衡量，在 ARIMA (Autoregressive Integrated Moving Average Model) 模式無法描述時間序列變數本身過去的自我相關特性下，再引進以 GARCH (Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity) 模式作為分析與預測的工具。跨期資產配置模型下的投資組合績效衡量，以 Sharpe Measure、Treynor Measure 與 CVaR (Component Value at Risk) 作為投資者衡量風險分散的依據。 3.1 效用函數經濟領域中，效用函數(Utility Function) 描述了各種參數變動及其影響效用的變化，應用在財務領域中，可以突顯出財富效用函數裡參數的特性與投資者的風險態度。風險態度的衡量分為絕對風險趨避係數與相對風險趨避係數。絕對風險趨避係數 (Coefficient of Absolute Risk Aversion, ARA) 衡量隨著財富增加，投資者對風險性資產的配置總額增量。模式為： ARA ≡ λ = −. U '' (W ) U ' (W ). 其中， U ' (W ) 是效用函數對財富水準參數的一階微分，為效用遞增的概念，而. U '' (W ) 是效用函數對財富水準參數的二階微分，為邊際效用遞增(減)的概念。投資者隨著財富的增加，效用遞增，若邊際效用遞減，絕對風險趨避係數大於零，. 表示投資者會減少風險性資產的投資總量；若邊際效用函數遞增，絕對風險趨避係數小於零，表示投資者會增加風險性資產的投資總量。相對風險趨避係數 (Coefficient of Relative Risk Aversion, RRA) 衡量隨著財富增加，投資者對風險性資產的配置比例增量。模式為： ⎡ U '' (W ) ⎤ RRA ≡ γ = W × ARA = W × ⎢− ' ⎥ ⎣ U (W ) ⎦. 若邊際效用遞減，相對風險趨避係數大於零，表示投資者會減少風險性資產的投資比例；若邊際效用遞增，相對風險趨避係數小於零，表示投資者會增加風險性資產的投資比例。 3.1.1 財富效用效函數. －18－.

(30) 在投資理論中，未來的效用如果包含報酬與風險的觀念，則效用極大化求解過程中，可以將報酬與風險以未來的財富來表達，並且轉換成以下極大化模式： MaxEtU (Wt +1 ) s.t. Wt +1 = (1 + Rt +1 )Wt 在此一效用極大化的求解問題中，本研究將投資者對效用 U (Wt +1 ) 定義為風險趨避的效用函數，Von Neuman and Morgenstern (1944) 提出個人效用函數期望值的推導方法，其理論模式為： E[U (W )] = P × U (W − X ) + (1 − P) × U (W + Y ). 效用函數期望理論納入加權的概念，將不同的效用組合透過權重賦予投資者對不同效用的重視程度。其中 U (W ) 為凹性效用函數(standard concave utility function)，亦隱含投資者為趨避的風險態度，P為不同效用的權重比例，也就是投資者對不同效用的偏好重視程度， U (W − X ) 與 U (W + Y ) 為效用期望值中不同的效用函數，在風險趨避投資者的模式中，加權後的效用期望值會小於本身的效用值，亦即 E[U (W )] < U (W ) ，而 E[U (W )]與 U (W ) 之間的差異，就是風險溢酬。此一效用函數可以將不確定性的觀念表達在其中，運用效用函數期望理論可以瞭解投資者在面臨未來不確定的形況下的選擇行為。 U U(Wt+1+Y) U(Wt+1) E[U(Wt+1)] U(Wt+1－X). Wt+1－X. Wt+1 Wt+1+Y. W. 圖 2 凹性效用函數示意圖追求期望效用極大化的過程中，亦可將其觀念轉換成追求資產報酬平均數與變異數之線性組合的極大化問題。而資產報酬變異數可透過報酬的二次形式來表示。Quadratic Utility 二次效用函數的理論模式為： U (Wt +1 ) = a × Wt +1 − b × Wt 2+1. 二次效用函數為一拋物線的效用特性，表示當財富為 b / 2a 下對投資者有最大的效用。當財富逐漸增加時，投資者的效用亦會提高，透過此一效用函數，可以找出以效用極大化下的財富水準；當財富水準超過最大效用並且繼續增加時，投資者的效用不但沒有增加，反而開始減少，此時出現一負向的邊際效用。二次效用函數下，隨著投資者的財富增加，投資於風險性資產的總量與比例都會隨之減少，絕對風險趨避係數為 ARA = 2b /( a − 2b × Wt +1 ) > 0 ；而相對風險趨避係數為 RRA = (2b × Wt +1 ) (a − 2b × Wt +1 ) > 0 。. －19－.

(31) U U(W). a / 2b. a/b W. 圖 3 二次效用函數示意圖將風險態度直接嵌入效用函數模型中，可以較為明確的比較各種不同風險態度下的效用變化程度。Exponential Utility 指數效用函數的理論模型為： U (W t +1 ) = − exp( − λ × W t +1 ) 指數效用模式之假設條件為資產報酬符合常態分配(Normal Distribution)，在對數前面加上負號，讓財富與效用為反向變動，此時的絕對風險趨避係數即為一定值 ARA = λ ；而相對風險趨避係數為 RRA = λ × Wt +1 ，隨著投資者的財富增加，相對風險趨避係數會隨之增加，配置於風險性資產的比例會隨之減少。 λ. U. λ. U W. 圖 4 當 λ × Wt +1 > 0 下之指數效用函數示意圖. W. 圖 5 當 λ × Wt +1 < 0 下之指數效用函數示意圖. Power Utility 之假設條件為資產報酬符合 Lognormal Distribution，其模式為： U (Wt +1 ) = Wt1+−1γ (1 − γ ) 此效用函數可以相對應 Exponential Utility。Exponential Utility 的絕對風險趨避係數為一定值，而 Power Utility 之絕對風險趨避係數為 ARA = γ Wt +1 ，當投資者的財富增加，絕對風險趨避係數隨之遞減，會相對增加風險性資產的投資總額，而相對風險趨避係數為一定值 RRA = γ 。. －20－.

(32) U. U(W). (－) γ. 0. (+). W. 圖 6 Power Utility 示意圖將 Power Utility 簡化後形成 Log Utility，其理論模式為： U (Wt +1 ) = ln(Wt +1 ) 對數效用函數可以突顯財富水準的變動，也就是效用遞減的觀念，當投資者的財富逐漸增加，效用也會跟著提高，但是效用增加的速度會逐漸減小。此效用之絕對風險趨避係數為 ARA = 1 / Wt +1 ，當投資者的財富增加，絕對風險趨避係數會隨之減少，亦會相對增加風險性資產的投資總額。相對風險趨避係數為 RRA = 1 。另外，對數效用函數為 Power Utility 之特例，當 Power Utility 之相對風險趨避係數 RRA = γ = 1 時，Power Utility 即為 Log Utility。. U U(W). 1. W. 圖 7 Log Utility 示意圖 3.1.2 Epstein-Zin Utility 探討跨期可分期的效用函數可以透過效用期望值的方法求得。前文敘述效用期望值的理論模式為 E[U (W )] = P × U (W − X ) + (1 − P) × U (W + Y ) ，觀念就是在給予不同期間不同的重視程度，分配不同的權重比例。分配比例的主觀意見易造成求取效用期望值的失真，當投資者的效用函數為凸函數(Convex Function)，則投資者較偏好未來的不確定性，當投資者的效用函數為凹函數(Concave Function)，則投資者較偏好早期的不確定性。在投資者為風險趨避的態度下，隨著投資者的財富增加，風險性資產應該下降或是維持不變，所以應該保留絕對風險趨避係數小於零或是為一定值，或是相對風險趨避係數應該小於零或是為一定值的效用函－21－.

(33) 數，以描述風險態度的特徵。而在效用函數中，唯有 Power Utility 符合此一條件。Epstein and Zin(1989) 提出非期望效用函數(Non-Expected Utility Function)，將未來期望值、時間偏好與不同考慮的參數嵌入模型中，不但符合風險趨避的條件，且考慮更多投資者偏好的參數，較能適切的描述投資者的效用分析。 Epstein & Zin(1989)提出的效用函數中，假設經濟體系為一個期間無限期的個人，以單一的貨幣計價，其財富來源全部來自前期的投資組合報酬，並且採用固定的消費財富比例。本研究亦設定投資者的財富來自於前期的投資組合報酬，觀念近似法人投資機構，消費與投資組合的資產報酬為 Jointly Lognormal，而消費財富比亦將設定為一固定比例。跨期投資效用的偏好包含了過去的資訊，也就是過去資訊下的條件期望值，加上當期消費的考量，構建財富水準函數。其理論模式可以表示為：. ~ Vt = W [C t , Et (Vt +1 I t )] 其中， W 為財富水準， C t 為當期消費水準， I t 為當期的資訊集合， Et (⋅) 為當期資訊集合下的對未來財富的數學期望函數。投資者考量未來的效用包含當期與未來的參數，包括時間偏好率、相對風險趨避係數與跨期替代彈性。本研究引進 Epstein-Zin(1989) 包含三參數化的非期望效用函數：. [(. ]. ξ /( ξ − 1 ) ( ξ −1 ) / ξ ⎧ ( ξ −1 ) / ξ ⎫ 1− γ ( 1 − γ ) 1 /( 1 − γ ) U t = ⎨ (1 − δ ) C t + δ E t φ t + 1 (W t + 1 ) (1) ⎬ ⎭ ⎩ 三參數分別是：ξ 為跨期替代彈性(the elasticity of intertemporal elasticity)，γ 為相. ). 對風險趨避係數(coefficient of the Relative Risk Aversion)，以及 δ 為時間偏好率 (time preference rate)。Epstein-Zin Utility 考慮了投資者的跨期決策，一是當期消費，另一是未來一期效用函數期望值。跨期替代彈性 ξ 表示投資者跨期消費的意願，其定義為： ξ≡. ∂ log(C t +1 C t ) ∂ log(∂C t +1 ∂C t ). 當 ξ > 1 時，表示投資者較願意跨期替代，可以承受波動較大的消費型態，此時 ( ξ −1) / ξ. (ξ − 1) / ξ > 0 ， C t 可以突顯出當期消費的偏好狀況；當 ξ < 1 時，表示投資者較不願意跨期替代，投資者希望能有較為穩定的消費型態，此時 (ξ − 1) / ξ < 0 ，. Ct. ( ξ −1) / ξ. 為一小於 1 的穩定序列。相對風險趨避係數 γ 表示投資者面對風險的態度為何，其定義為：. γ ≡ −W ×. U ' ' (W ) U ' (W ). (2). 當 γ < 0 時為一風險喜好者，當 0 < γ < 1 時為一弱風險趨避者，當 γ > 1 時為一強風險趨避者。當 γ > 1 時，每增加(減少)一單位財富所帶來的效用變動，會減少(增加)大於一單位的邊際效用變動，也就是財富變動所帶來的影響，邊際效用遞減的速度大於邊際效用遞增的速度；當 0 < γ < 1 時，每增加(減少)一單位財富所帶來的效用變動，會減少(增加)小於一單位的邊際效用變動，也就是財富變動所帶來的影響，邊際效用遞減的速度小於邊際效用遞增的速度。－22－.