兒童幾何概念之發展，依據 Clement 和 Battista（1992）的分析，指出有：
皮亞傑（Piaget）理論、van Hiele 理論。此外九年一貫課程正式綱要也提到的 Duval 幾何圖形認知理論，因此本節將針對這三種理論加以探討。
一、皮亞傑的認知發展理論
瑞士心理學家皮亞傑（Piaget，1896-1980）對兒童的學習發展研究的貢獻最 為卓越。他認為兒童的認知是由四個階段來發展，這四個階段是：1、感覺動作 期（出生到兩歲）：以反射性動作為基礎發展複雜的行為，兒童的身體與物體的 互動提供發展的動力；2、前運思期（兩歲到六或七歲）：透過表徵（心象、語言、
繪畫）來解決問題，思考和語言均以自我為中心，不能適切的表徵轉換，而只能 表徵靜止情境；3、具體運思期（六或七歲到十一或十二歲）：具反推能力，能正 確的表徵轉換及靜止情境，對於守恆概念較能理解，但無法將所有合乎邏輯的可 能性都考慮清楚，無法了解高度抽象概念；4、形式運思期（十一或十二歲以上）： 以邏輯解決各類問題，能合乎科學的思考，在理論的考慮下設計實驗，並在邏輯 的架構下加以解釋。依皮亞傑的想法，孩子的認知發展須依順序經過上述四個階 段，無法跳過任一階段，只是有些孩子認知發展快，有些可能會在某一階段停留 較久，但是認知發展的順序是不會變的。皮亞傑的理論可以歸納如下：人們為了 配合環境的需求，會在環境中積極求取新的、有用的訊息來自我修正，並在學習 過程中將舊知識組織起來，成為一個整體。而新知識的學習是建立在舊知識基礎 上，所以要成為知識體系的一部分，必須新、舊知識融合，因此不正確的舊知識 會影響新知識的吸收，也會讓人對新知識產生誤解。因為認知發展有階段性，在 不同的時候會有不同訊息需求的種類和了解層次的變化。
皮亞傑的認知理論可說明兒童的學習是有階段性、有順序性的，而且和年齡 有關，也和幾何概念發展有關聯。
（一）、Piaget 的幾何概念
皮亞傑等人（Piaget，Inhelder＆Szeminska，1960；Piaget＆Inhelder，1967）
研究兒童幾何概念發展，認為兒童認知幾何性質隨著年齡的增長對於空間知覺能 力有下列漸進之分化：（1）拓樸性（topological）：幾何形體整體性質，如聯通性、
封閉性和連續性等，和大小形狀無關；（2）射影性（projective）：由不同角度觀 看物體的臆測；（3）歐幾里德性（Euclidean）：考慮物體的大小距離及方向，涉 及角度、平行和長度等。児童空間幾何概念的形成經歷上述三個階段，在 3~4 歲時為拓樸幾何概念，依據圖形是否封閉或開放而定，完全忽視有關邊長、角度、
大小等歐氏幾何關係，完全是屬於基本拓樸幾何概念。約 4~6 歲為過度時期是投 影性空間概念，一直到 6~8 歲才有歐氏幾何概念。現將這三種幾何體系敘述如下
（Piaget，1967；吳貞祥，1990；劉秋木，1996）：
1、拓樸學概念階段（3~4 歲）：
此一階段的兒童與運思前期認知發展階段有關，只能注意圖形的內或外的拓 樸學圖形概念，對於直線與曲線，還未具有嚴格區分的能力。對於角度或長度的 差異也不能做詳細觀察。例如要求兒童複製長方形或正方形，常常會畫成各邊凹 凸不直或劃成接近圓的形狀。
另外兒童對左右位置的變換也比較不清楚，他們能感覺左右或曲直的不同，
只是在認知上無法了解構成左右或曲直的差異因素罷了。児童只能從接近、分 離、包圍、連續、順序等觀點來考慮事物的性質。例如：圓或四邊形都是一個連 續簡單封閉圖形，可是這階段的兒童卻不能區分兩者的不同。他們對於物體的角 度、形狀、大小等要素都不會留意。
2、投影幾何學概念階段（約 4~6 歲）：
此一階段的兒童約相當於運思前期到具體運思期認知發展階段。Piaget 和 Inhelder（1967）認為這個階段的兒童對外界的認知，是以自己本身所在觀點的 視覺比其他條件都來的重要，只要是視覺所承認的事物才認為是真實的存在，而 在視覺之外的事物都不真實，因為他們深信各種形狀都會照著視覺的感受而變 化。例如：教室內排整齊的課桌椅，會覺得近處排的較寬，而遠處排的較窄；或 是一張正方形的色紙，將它放在較遠的地方，兒童的心目中會認為變成菱形或長 方形，而且也變小。如果又放回原處兒童會認為形狀、大小會回復到原來的樣子。
這種因為距離越遠使得平行線變的越窄或是同一物體變的較小甚至形狀改變的 情形，對兒童來說是認為真的變窄或形狀真的變小。總而言之，這階段的兒童對 界的認知，都以視覺為主，深信形或量都會照著視覺的感覺而變化。
3、歐幾里德幾何學階段（6~8 到 11~12 歲）：
歐幾里德幾何學和距離、角度、直線、平行線等的保守量有關，以歐幾里德 幾何學的概念建構來說，長度保留不變性質與距離保留不變性質二者是最為基本 的。兒童獲得長度與距離保留概念，特別是長度保留概念之後，就自然能發展出 測量的概念。児童最早是以本身最熟悉、最靠近自己的工具（自己的手或軀幹）
來測量，皮亞傑稱這種策略為「手的遷移」及「軀幹遷移」；之後隨著認知的發 展，兒童漸漸會用量尺工具來輔助測量，另外，面積保留觀念也大概在本階段發 展。小學階段兒童的圖形概念大部分都發展到歐幾里德幾何學概念階段，因此依 皮亞傑的說法本階段的兒童應該都具備有線段長短、角度大小或面的大小等的意 識。
由此可知，皮亞傑理論的重點在於兒童發展幾何概念的思考模式，探討幾何 概念形成的運思程序，由最初的拓樸關係到投影再到歐幾里德關係，是年齡取向 的階段論，注重發展的過程。
三、van Hiele 幾何思考層次
荷蘭數學家 van Hiele 夫婦，根據完形心理學的結構論，以及皮亞傑的認知 理論，在 1957 年提出幾何思考的發展模式包含了五個層次，對於這五個層次國 內外有學者有不一樣的說法，一部份學者使用層次零到層次四（譚寧君，1993；
劉湘川，1994；劉好，1998），一部份學者則用層次一到層次五（van Hiele，1986；
吳德邦，1998）來表示這五種幾何思考層次。甚至 van Hiele 本人在不同年代也 有不同的說法，本研究中對層次的說法，一律採用 van Hiele 在 1986 年其最近作 品的說法，使用層次一到層次五的說法，並綜合各學者的敘述（譚寧君，1993；
劉好，1998；吳德邦，1999），現將這五個層次分述如下：
層次一（Level 1）：視覺的層次（visualization）
這個層次是視覺層次，此層次的兒童是藉由視覺觀察圖形整體的輪廓，可以 分辨圖形的形狀、複製給定的圖形，但無法分析圖形的性質，也不知道圖形的真 實意義。例如：像門的形狀是長方形，像盤子的是圓形，正方形是方方的。雖然 知道形狀是「長方形」、「圓形」、「正方形」，可是並不能了解真正意義，而且將 正方形擺成斜的兒童就認為不是正方形，也不清楚正方形和長方形都有四個直角 或對邊是平行。此階段兒童的思考推理受視覺外觀影響很大。
層次二（Level 2）：描述的層次（descriptive）
這個層次的兒童具有辨別圖形特徵的能力。兒童可依據圖形構成的要素發現
圖形共有的性質或規則，但無法說明這些圖形之間的關係。例如：能察覺長方形 有四個邊、四個直角，而且有兩個長邊，兩個短邊，對邊相等，但無法了解長方 形、菱形、正方形之間的關係，此階段的兒童無法推理出邊長不相等時，面積可 能相等的關係。
層次三（Level 3）：非形式化演繹的層次（informal deduction level）
這個層次的兒童除了能夠了解、掌握、運用各種圖形的構成要素，並且能夠 進一步探究各種幾何圖形的內在屬性以及各圖形間的包含關係，但不能夠了解整 體定義或公設，也無法用演繹推理的方式來證明幾何定理的能力。例如：四邊形 的兩雙對邊平行就是平行四邊形，不必將所有屬性均描述出來才能確認其圖形。
在了解圖形內在關係後，可以建立平行四邊形中有一個角為直角時此四邊形即為 長方形；長方形的長邊和短邊相等時，此四邊形即為正方形；可以知道凸 n 多邊 形的內角和為（n-2）180 等概念。
層次四（Level 4）：形式化演繹的層次（formal deduction level）
此層次的兒童可以運用演繹邏輯證明定理，用幾何方式推論所理解幾何圖形 的意義，不是只記憶圖形的性質和公式；他們知道幾何圖形的充分必要條件及發 現正逆命題間的差異性。例如：對三角形兩邊中點連線平行第三邊，且其長為第 三邊的一半的幾何證明問題，能確切說出已知的條件是什麼？要證明的是什麼？
並且能用多種方法證明，能運用邏輯推理去思考、分析。
層次五（Level 5）：嚴密的層次（rigor level）
這層次的兒童的學習能了解並比較不同的幾何公設系統，也可了解抽象推理 幾何，甚至可自創一種幾何公設系統。一般人很難達到這層屬於最高層次的層 次，就算是以數學為專業者也不易達成。在教學上並沒有實用的價值，只是理論 上的需要而已，因此不是教學研究的重點。
根據 van Hiele 研究顯示，上述五個層次有其順序性，學習者必須具備前一 層次的先前知識後，老師才能依據該能力，進行更高層次的教學活動。同時，由 於教材內容屬性的差異，會影響學習者落入不同層次中。劉好（1998）的研究指
出國小低年級學童大都在層次一的階段，中年級學童大概可以達到層次二，高年 級的學童大約再層次二到層次三之間的過渡時期。本研究中的研究對象為國小四
出國小低年級學童大都在層次一的階段，中年級學童大概可以達到層次二，高年 級的學童大約再層次二到層次三之間的過渡時期。本研究中的研究對象為國小四