未涉及子分割的平分活動

第一節 未涉及子分割的平分活動

以下將分為九個主題對小兆在未涉及子分割的平分活動進行介紹。由於原案 中除了文字以外，尚存在不少有利於解釋的相關圖片，為了方便檢索及避免圖號 的重複，以下呈現原案的內容所出現圖號以附錄為主。

壹、 利用三個要素解決等量分堆問題：空間區隔、藍圖、等量共識

一、 利用空間形成區隔

當我們必須對不同物件進行分堆時，如果物件的移動限制存在，那麼以指標 來做為分堆的符號是被允許的，但是若物件已然各自分散，那麼直接採取移動物 件位置的方式則應該是較為直接與立即的手段。同時，在利用空間作為物件之間 的第二層區隔時，必須確保第一層的自然物的標準數詞沒有被遺忘與混淆。首先，

簡單介紹原案 1 的布題情境，老師呈現了十二個藍色正方體積木並排成四乘以三 的方陣，口語提示則要求小兆將積木分成兩份。

原案 1

小兆 000001 師： （將十二個藍色正方體積木排成 4X3 方陣）老師這裡有 藍色的方糖，老師請你把他分成兩份。你會怎麼做？

小兆 000002 生： （用雙手將 3X4 方陣從中分成兩堆，如圖-附兆 1。）

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圖-附兆 1 小兆 000003 師： 分完了嗎？

小兆 000004 生： （點頭）

小兆 000005 師： 那請你跟老師說，你是怎麼做的？

小兆 000006 生： 我剛剛數過，有十二顆，就把六個六個分。

小兆 000007 師： 你是怎麼數的？把過程比給老師看。

小兆 000008 生： 四個四個數。

Ps.數字為點數順序 圖-附兆 2

面對聚集在一起做為藍色方糖的藍色立方體積木，利用中間的空間將積木堆 區分為左右兩堆，是小兆對於「分成兩份」的理解，而我們可以在行 6 及行 8 看 到他對於單位詞「個」與「顆」是混用的，單位詞對於平分活動是重要的，當離 散量必須被迫分割以應付平分活動的成人要求時，不同的單位詞將表示對於不同 層次單位的指涉。

當小兆將聚集形成長方形的十二個積木直接分散為兩堆極為整齊的積木堆 時，是否意味著兒童將積木視為「ㄧ堆」而非「十二個積木」？老師要求他將這 堆積木分成兩份，所用的詞彙為「這堆」方糖而非「幾個方糖」，因此，假設兒童 此時將待分物視為ㄧ堆積木群，那麼對於這堆積木的點數就不會出現行 6 的「十 二顆，六個六個分。」的用語解釋平分過程，是以應該推翻對立假設，而同意兒 童此時將集聚的積木堆視為包含數個的積木群，也因此在積木群中分堆勢必利用 標籤作為區別，又或者利用移動積木作為區辨之用。由圖附兆 2 可以清楚看到兩 堆積木群中被刻意留下ㄧ條空間帶，並在進行點數時依舊保留，此代表這個空間 被刻意形成並持續存留於此位置上。

當然也許從行 6 中會讓觀察者有誤以為平分活動已經進行完成，而操作僅是 為了迎合成人對於問題必須要有解釋的需求，因此就大膽推測平分活動是小兆已

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經先求出平分 12 個積木的結果，然後直接將結果塑造成六個六個成堆的假象，那 麼可能無法解釋何以在行 8 中對於操作動作的形容用語。「四個四個數」與「六個 六個分」在平分的活動中都能確保每一輪的等量，差別在於前者是小兆誤以為老 師問的是「你如何知道有十二個？」而後者回應了平分活動的步驟─先數總量，

再決定多少為一堆，這樣的現象在行 50 中也可以看到類似的情況。

二、 平分的藍圖

藍圖在工程設計施工時，可以做為複製或校對之用。在藍圖之後尚有最原始 的設計依據，也就是俗稱的「藍本」。ㄧ次分堆活動形同ㄧ次工程的施行，施工者 必須在施工前有所依據，並根據藍圖上的計畫與步驟完成工作。同理，分堆活動 也應該在分堆之前有計畫與預定的工作步驟，作為活動者在活動進行中的自我監 控之用。

原案 2

小兆 000017 師： （將圖-附兆 2 中，方陣聚集後旋轉九十度，變成圖-附兆 3 左邊的 4X3 方陣）請你幫我把他分成兩堆，你會怎麼分？

小兆 000018 生： （沉默了五秒，用眼注視積木。動手將積木分成如圖-附 兆 3 右邊。先利用單手將右半部移離開中間，接著利用同一隻‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧

手將剩下的左半部往左手邊移動約五公分。

‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧

） 好了。

圖-附兆 3

為了觀察同樣物件在不同觀察角度下，對於平分活動是否影響，老師刻意將 同樣的積木堆旋轉九十度之後，再ㄧ次請兒童進行分乘兩堆的活動。除了情境為 前ㄧ個問題的變型，在用字遣詞上也將「兩份」改為「兩堆」。兒童先觀察積木堆 的組成，視乎擔心平分物件有所不同，並做了兩個動作來完成平分的分堆活動，

首先，在積木群中移出「L」型的六個積木群，並刻意與原來的積木群有所區隔，

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接著將剩下的積木群一併移往左半部的空間，似乎刻意讓原來的空間與新的集合 有所區隔。兩個新的積木群中有著五公分左右的空間距離，並刻意保持兩堆積木 群的集聚圖形。

查閱附錄圖-附兆 1、3 與 5 並進行比對後，可以明顯的發現平分為兩份的活 動都有利用一段空間來進行區隔的共通處，這樣的現象可以提出「平分前沒有平 分藍圖存在」的對立假設。配合圖-附兆 3 以及行 18 中的一段文字，我們可以推測 此時的平分活動並未實際操作，一般來說，對於超過一個以上的積木進行整堆的 移動必須要有一定的把握，否則為什麼在移動時還刻意將群聚的特徵保留。只有 在大腦中預先想像平分後的圖象，才能保證移動可以與目標圖象相容。因此，應 該推翻對立假設，同時認可「平分前已有藍圖存在」的假設。

其實所謂的平分藍圖包含「平分的結果」及「平分的步驟」兩項。前者在移 動積木之前，先對平分的結果有圖象產生，因此，移動只是為了讓腦中圖象得以 實現於現實中；後者從原來的集合中取出部分元素形成新的集合，直到原集合與 新的集合兩者等價為目的。前者可以看成平分活動已在大腦中進行完畢，後者可 以看成平分活動在現實中進行，如果不從平分活動的細微之處觀察，觀察者是不 容易區分。

三、 共識：相容的平分方式

「相容」的用法並非「相同」的方法，隱含著不同事物間有著共同的目的及 用途，形成共識的階段最容易出現不認同卻可以接受的類似情境。在平分活動中，

不同處理的解題方式未必都ㄧ律被視為錯誤，有時候不同的解題步驟或方式，在 行為者以目的為出發點的考量下，都會被視為可以接受的「相容」方法。

原案 3 小兆 000035 師： 為什麼可以？

小兆 000036 生： 因為也是一樣六個。

小兆 000037 師： 也是一樣六個。另外一堆也是六個。

小兆 000038 生： （點頭）

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小兆 000039 師： 只要是分出來是六個都可以嗎？‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧‧

小兆 000040 生： （‧ 點頭‧‧

）‧

當老師將另ㄧ位同學的方法示範後，邀請兒童對於示範的過程給予意見時，

老師詢問「這樣的方式對不對？」兒童先是表現出不以為意的反應，並沒有立即 認同做法；接著，當老師追問「可以不可以？」時，兒童立即給予認同並解釋認 同的原因為「都是六個即可」。

行 39 可以有兩種解釋，首先，「可以」不代表「對」，僅止於「相容」的看法，

當被問到圖-附兆 5 的分法對不對時，並沒有點頭認可，而是認為這樣的方式僅止 於「可以」的層次；其次，可以視為對平分活動的「等價」的看法，換言之，平 分積木必須將積木堆的形狀特徵忽略，而僅需要求數量上的一致，也就是平分為 兩份時，並沒有特別要求的話，平分活動以數量為判準，而不同的呈現方式只要 立基於等數量的前提，不同的平分形狀是被允許的相容情況。

平分活動是對集合進行分割的數學活動，與另一種將圖形進行等形切割的活 動類似，前者著眼於量的等價，後者在意分割的圖形形狀是否相等，必須能將等 形的概念從平分活動中抽離，才能在往後的平分活動操作中不至於受制於形狀。

能夠將不同的分配結果視為相容情況，如此確保了平分活動在操作上的可行性。

四、 小結

等量分堆的目的在於將集聚的物件進行等量分配，才不至於讓分配者或觀察 者混淆不清。除了利用指標將分配的物件進行註記外，改變物件位置而使其與欲 區分的物件形成空間上的不連貫或不群聚也是可行的辦法。不論是二等分活動或 是三等分活動，都可以發現小兆在處理等量分堆活動時，會使用「利用空間形成 區隔」與「平分的藍圖」來進行有目標的活動，最後以「比較兩堆的數量是否相 等」作為判斷是否重新分堆或結束活動的共識標準

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貳、 利用數數活動、經驗法則、數的比較活動解決二等分問題

一、 以數數活動確定分配數量

「數數活動」ㄧ詞中，前ㄧ個數讀作「ㄕㄨˇ 」，作為為動詞之用；後ㄧ個 數讀作「ㄕㄨˋ 」，作為名詞解釋，數數活動泛指利用「標準數詞序列：ㄧ、ㄦ ˋ、ㄙㄢ、ㄙˋ、ㄨˇ…」對離散物件進行「標識」，並能找到數詞、數辭或數字 表示數數的對象。在兒童學習數概念的過程中，雖可能透過背誦標準數詞序列來 試圖對物件進行「指標目的」的活動，若是僅止於識別用途的活動其實僅完成平 分活動的上半場，清點活動則是完備平分活動的下半場。

原案 4

小兆 000041 師： 那老師增加一些積木（增加八個積木，但是將全部的積 木分散放置，如圖-附兆 6 左邊），請你把這堆分成兩堆。

小兆 000042 生： （右手點了右手邊的積木八個後，將八個積木移動右手 邊約五公分處；接著左手數了八個積木，最後雙手同時各拿兩 個往左右兩邊移動到各堆中，如圖-附兆 6。） 好了！

小兆 000042 生： （右手點了右手邊的積木八個後，將八個積木移動右手 邊約五公分處；接著左手數了八個積木，最後雙手同時各拿兩 個往左右兩邊移動到各堆中，如圖-附兆 6。） 好了！