涉及子分割的平分活動

未涉及子分割的平分活動包含：單位化活動及數值化活動。為了使利益分配 極大化，兒童被要求「盡可能分完」所給的物件，當自然物被分配後沒有剩餘時，

他不會有剩餘量分配的困擾；但是，當他在處理三等分活動，分配後仍有剩餘量 時，原來他不打算繼續分配殆盡，但由於老師要求或鼓勵下，勉強進行了子分割 活動。此時進行的子分割活動與分割後進行的分配活動屬於兩種不同的活動，基 本上，前者希望透過子分割活動產生更多可以分配的新單位，其目的有兩種，第 一，新的單位可以提供識別之用，第二，提供新的分配活動使用。

本節所討論的平分活動特別之處在於活動涉及了「子分割活動」。所謂的「子 分割活動」以操作型定義來說，是將ㄧ個單位量打破（break）的活動，更進ㄧ步，

打破的方法有兩大類：打破不連通離散量的分散（separating）活動，與打破連通 連續量的破裂（breaking）活動。以操作對象區分是成人學習後成就所致，至於兒 童操作時是否視為不同則有待我們進行研究。

以下將小兆在涉及子分割活動的部份區分為長度量的平分活動、面積量的平 分活動、周界上的子分割活動及兼具兩種標準的平分活動等四類活動進行說明。

壹、 長度量的平分活動

長度為所有量的學習的基礎，也是兒童對於形狀認識的重要媒介，以目前的 研究總結，認為長度量的學習過程必須經歷直接比較、間接比較、個人單位、公 制單位及測量單位等五個階段。在第一個階段時，兒童通常能透過移動具體物的 方式進行比較長短，這表示兒童至少具備了這個量的保留概念。但在此情境中小 兆並沒有移動繩子，他利用自己所想的方法進行平分活動，雖然結果並未完全準 確，卻啟發了小兆對於平分長度量的解題基模。

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綜觀小兆在面對長度量範疇的平分活動，先是以目測進行準備活動，接著以 刻度化的方式做記號，並把握平分活動的等量概念進行截割活動，再將單位化後 的產物進行分配活動，然後根據剩餘量調整每次的截割活動內容，直到沒有剩餘 量為止。

一、 憑目測撕裂並移動長度量的表徵

目測為ㄧ種簡便但可能出現較大誤差的測量方式，以眼睛的視線取代手或測 量工具，利用視線的掃描位移程度作為測量依據，因此有推估及大概的意思。在 無法移動被測量物件或動手測量有困難時，目測估計活動為簡單而基本的解決方 式之一。撕裂活動為子分割活動的ㄧ種，與破碎活動不同在於產生子分割單位的 時間不同時，撕裂活動猶如撕紙ㄧ般有順序的產生子分割單位。

原案 19

小兆 000826 師： （在桌上鋪了一張白紙，並用膠帶固定一條長 102 公分 的紅線，在直線的兩端各放一輛車子，如圖-附兆 45。） 現在 有兩輛車子，一輛綠色的車子沿著這條路往這邊開，另外一輛 黃色的車子一樣沿著路往這邊開，如果兩個都開的一樣快，它 們會在哪裡碰頭？或是他們兩台車最後碰在一起停下來的地方 在哪裡？

圖-附兆 45

小兆 000827 生：（將雙手放在兩輛車車頭，並沿著線輪流移往對向，右手‧‧

先固定於一處後，左手也往右邊固定於一處

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，接著，右手食指 與中指往左邊移動約 3 根手指寬度，而左手也往右邊移動約 3 根手指寬度，最後在自己面前的一處，兩手手指相接觸，如圖-附兆 46 及 47，然後看著老師。）

圖-附兆 46

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圖-附兆 47

原案 19 中小兆為了解決「最後兩輛車子停在哪裡？」的問題，以兩手取代實 際的車子進行移動，他的解題過程有三個特點：第一，兩手輪流移動，而且右手 先於左手；第二，每一輪移動的距離越來越小；第三，不斷注意老師的眼睛及肢 體反應。雖然原案中並未出現「平分」字眼，但是其活動卻像是「如何找到一段 長度量的中點」，因為線段的中點在長度量上所代表的意義就是找到可以二等分長 度連續量的切割點。分配活動中其實不乏這個活動，只不過在離散量中，要求將 分配後的物件進行區隔活動，而連續量無法直接區隔，必須透過記號或是直接切 割物件的方式達到目的。

從車頭作為起點，兩手指模擬車子往前移動的情況，表現出將車子是為ㄧ個 點的思考方式，由車頭開始往對向移動，第一次停留的位置是採用跳躍式找到的，

也就是假設小兆已經知道這條線段中點位置，或稱之為長度量的ㄧ半處，那麼為 什麼小兆並沒有ㄧ次就跳躍到中點，而是透過多次移動找到，因此，我們推翻對 立假設並相信小兆ㄧ開始並不知道中點位置。但對於第一次跳躍的落點我們可以 進行討論，為何小兆可以ㄧ開始就跳躍將近線段的三分之一，實際測量約為三十 公分左右的長度？

透過目測可以克服兒童手臂不夠長的問題，當兒童發現視線可以做為假設的 區分物進行操作時，他試著將自己的視線作為工具進行測量活動，先是移動右手 指到線上的一處並停止，接著移動左手指到線上的另一處並停止，此時兩手指停 留的位置必然為他自己在兩眼可以同監視手指移動的範圍內，依據ㄧ般人的眼睛 位置及注視習慣，兩眼在不擺頭並同時注視的張開角約為 25 度，與本次晤談中小 兆選擇的兩個落點所形成的張開角度大致相近，也就是小兆移動第一次的落點目 的在促使自己可以在接下來的移動過程中可以同時監控兩根手指的位置。

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其次，小兆在移動時所採取的方式為輪流的，先移動右手再移動左手，這足 以證明我們假設小兆第一次移動手指的目的在於使手指可以都落入視線範圍中，

如不是這樣，為何這第一次是以輪流的方式進行，而之後的兩根手指能同時移動？

因此，我們可以推論小兆可以用視線監控到的範圍約為身體中心線左右張開 25 度 的範圍，約為兩隻手臂自然垂下後往前平舉的方向線所形成的區域。

此時小兆以輪流的方式找到第一次的落點位置，從起點開始計算，可以視為 第一次分配給兩台車子的行駛距離，占了繩子的三分之一左右約為三十公分。其 後採取同時移動的分配方式，因為兩根手指分別代表兩台車子的行駛位置，又兩 手指都在可監控範圍內，因此採取較有把握的同時分配方式。但是，從他移動手 指的方式可以發現，與第一次的跳躍型移動相比，這之後的同步移動顯得保守許 多。推測原因為第一次的跳躍型移動採取估計的方式，而之後的移動因為視線的 原因較容易同時控制，採取短距離的同步移動時，僅需要利用手指的感覺調整移 動的速度即能確保分配量的相近。

二、 刻度化-以個別單位截割長度量

長度的比較活動中，如果可以移動兩量配合點的ㄧ對ㄧ對應，不必量化也可 以進行長度量的比較活動。但是，當長度無法進行移動時，兒童必須透過複製進 行間接比較，此刻單位的形成必須依賴他對於長度單位的掌握程度，如果單位屬 餘個人所製造並且適用於自己使用的或小團體所共識的，則屬於間接比較活動中 的形成個別單位。

截割則是利用記號在單位上形成區隔的子單位，猶如利用粉筆在牆壁上畫上 刻度ㄧ般，並非真的將量進行子分割後再分散之。由撕裂邁向截割的過程，兒童 必須學習比較與複製的兩種活動。有了複製的活動才能子分割單位並進行分配活 動，以完成平分量需窮盡的成人要求。當連續的截割活動進行時，如果有「刻度」

作為記號將有助於分割活動的進行。而「刻度化」在連續量的「間接比較」中時 常出現，所謂的「刻度化」是先選定刻度的長度，再進行長度的複製，最後形成

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意即兒童對於不斷在移動的右手食指的寬度可以進行移動而不失原量，對於此年 齡的兒童來說，能移動白色積木並且了解到此長度可以不變並非難事，而在學習 數概念時常使用的白色積木單位ㄧ，與自己的食指寬度有相近，能夠將食指作為 類似積木的單位使用，是此階段兒童學習比較長度量的常用工具。

能將左手與右手工作進行分配這件事情值得再看，這段輪流使用複製、比較、

標示、移動的過程形成了我們所謂的刻度化現象。當長度量學習進行到個別單位 比較後，兒童可以在老師的引導下發現不同階段的個別單位所形成的記號在被測 量或子分割的單位上形成類似直尺上的刻度。刻度化活動在學習長度的過程中被 不斷經驗，而且此活動是將連續量轉換為離散量的重要關鍵之一，在兒童建立完 整的平分活動中佔有重要地位。

三、 利用等量截割線段進行分配長度量的活動

截割活動是將長度量進行子分割活動。等長度量的截割必須能掌握長度量的 測量活動，以某個長度量作為基準，接著進行複製活動以找到新的截割點，反覆 進行此活動以達到子分割長度量的目標。截割活動的產物即是分配的原料。

原案 21

小兆 001026 師： 接下來你第四件事情做了什麼？

小兆 001027 生： 從這邊（比了另一邊的磁鐵處）開始數。

小兆 001028 師： 你看你數到哪哩，你就把磁鐵放到那裡。

小兆 001029

小兆 001029