結論

本研究旨在建立一種從文本中，透過歸納分析獲得的平分活動。藉由第四章 的分析，本章提出關於小兆的平分活動的假設。由於是否涉及子分割活動影響兒 童平分活動的活動進行，因此，本小節區分為兩個部分進行說明。分別是未涉及 子分割的平分活動，與涉及子分割的平分活動。

壹、 未涉及子分割的平分活動

未涉及子分割的平分活動可以區分為單位化活動及數值化活動，前者目的在 於將物件進行定位，藉以解決老師所要求的平分活動；後者目的在於將量進行描 述藉以使用之。因此，整個平分活動如未涉及子分割概念，則兒童原則上以先解 決「如何分？」的問題，其次，才是回答「分到多少？」的問題。

由於本次研究所設定的晤談問題針對二等分及三等分進行設計，因此，大多 數呈現的結果偏重於二等分活動與三等分活動的操作流程。以下將依照第四章第 一節末所提出之未涉及子分割的平分活動進行論述。

一、 單位化活動

此活動使物件有了新的集合劃分，無論提針對二等分或三等分的平分活動都 影響著活動的進行原則，本次研究所歸納出的小兆的平分活動中，出現了所謂的 等量分堆活動，它包含了共識的建立、空間的區隔方式及平分活計畫的擬定。兒 童在進行等量分堆活動時，會區隔出分配的作業區域，以方便自己進行平分活動，

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加上平分前的計畫，也就是平分活動的藍圖，進行物件的分堆活動，配合兒童與 老師對於平分的共識，解決老師給予的平分問題。如果遭遇平分前尚無經驗或無 平分計畫的情境時，兒童將在平分活動的過程中進行各堆數量的挪移，其原則仍 是比較各堆數量是否均等。

有了等量分堆活動的基本活動模型，小兆針對二等分及三等分有不同的活 動。當他遇到二等分問題時，會先進行數數活動，確定總量以及各堆的分量，配 合自己的嘗試經驗進行分配量的調整。當遇到三等分活動問題時，二等分活動的 經驗給予了他新的想法，他開始嘗試以逐堆進行少量分配的方式進行分堆活動，

經過經驗的累積逐漸調整出自己較為有把握的分配量，最後他的逐堆分配數量大 多為每次每堆分配兩個的方式進行。

當等量分堆活動完成每一輪的分配之後，小兆利用比較活動進行是否公平分 配的判定。雖然，在過程中似乎出現類似比較餘數與除數的判斷法則，但是，經 過原案的分析辯證後確認這樣的活動僅止於嘗試經驗的階段，並未完全成熟穩 定，但對於兒童在聯絡除法與估商的活動有重大的意義。

二、 數值化活動

經過單位化活動，兒童將物件的分配處進行確定，完成了「如何分？」的問 題，緊接著，他必須將分配後的量進行描述，也就是數值化的活動。透過集聚活 動以及數數的活動，小兆確認了每一堆的分量，也由於確認每一堆的分量讓小兆 察覺分量之間的數量關係與平分活動的進行有著相互影影響的必然關係。

小兆在察覺逐堆的分配活動在每次分配相等的前提下，當完成每一輪的分配 活動後，每一堆的分量一定會相等。當他察覺分配活動的穩定以及複製特性之後，

影響了他對於老師詢問分堆數量的解題方式。換言之，對於他認定每一輪都正確 分配的平分活動結果，他會以其中一堆的數量作為其他各堆的數量依據。這除了 說明小兆對於平分活動的可預期性，以及控制能力之外，同時也隱含他解決問題

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的簡化問題模式。舉例來說，小兆對於較為複雜，無法一次分配完完成的平分問 題，選擇利用這個特性來簡化問題，提高自己正確解題的機會。

貳、 涉及子分割的平分活動

根據小兆的晤談文本，由涉及子分割的平分活動中，依據平分客觀性質區分 出以下四個活動類型：長度量的平分活動類型、面積量的平分活動類型、周界上 的子分割活動類型及兼具兩種標準的平分活動類型，但是此四種客觀性質各異的 平分量對於小兆而言，皆能透過以下四種活動類型作為平分活動的準則，分別是

「區隔活動-確定範圍並預置分割空間」、「逐堆分配活動-處理離散量平分」、「離散 化活動-連續量的離散化過程」、「判斷活動-判斷停止條件是否滿足」，分述如后。

一、 區隔活動-確定範圍並預置分割空間

當小兆面對平分問題情境時，會先確定的客觀條件包含：平分份數為兩份或 三份、四分等。平分物件的內容範圍。如：積木數量、繩子範圍、紙片大小等。

在確定須分配的內容後，小兆會有意識地將空間進行區隔，以便平分活動的操作。

這個過程通常不占用太多的時間，而且多數是與晤談者或情境進行交談，透過與 晤談者的溝通或平分物件的物理性質探索，小兆可以據此進行分配活動的擬定。

二、 逐堆分配活動-處理離散量平分

小兆在確定平分內容及目標後，將利用逐堆分配的方式進行分配對象的給 定，逐一為最基本的分配方式，逐三或更多則因為小兆企圖縮短分配時間，當兩 者無法兼顧時，小兆會選擇逐二的方式進行分配。分堆時，堆與堆之間會形成明 顯的空間區隔；每一輪的分配大多為固定的順序；分配物的排列方式並非固定，

主要在於每堆分量經過點數後，離散物的數量是否相等。

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三、 離散化活動-連續量的離散化過程

小兆面對分配活動不足以應付或分配結果不符合成人期望時，會利用離散化 的方式將連續量進行分割活動。透過比較、複製、截割以達到刻度化的目的。小 兆在面對直線長度、面積或曲線長度的分割時，會利用個別的單位進行截割活動，

形成個人化刻度後再予以分配。

四、 判斷活動-判斷停止條件是否滿足

平分活動的停止條件在小兆的晤談過程中曾出現四個階段。第一，可分但不 必完全分盡；第二，盡可能分但不做分割；第三，必須分盡但無法公平；第四，

成人的平分要求。「可以分但不完全分盡」與「盡可能但不做分割」的差別在小兆 能注意剩餘量是否能進行接下來的分配活動，並且根據餘量來調整逐堆的 N 值。

「盡可能但不做分割」與「必須分盡但無法公平」的差別在於小兆為了滿足成人 的要求，以直覺的方式將連續量分割，如使用對摺、百葉窗式的方割或無窮分割，

其目的在於製造足夠分配的離散個體，以便將餘量利用逐堆進行分配，同時避免 剩餘量再被要求分配的困境。當小兆可以使用離散化連續量的技巧後，便可以同 時滿足「公平」及「分盡」兩個要求。