第一章 緒論
本章為緒論，分為三個小節，依序對研究背景及重要性、研究目的與論文結 構進行說明。
第一節 研究的背景及重要性
在人類的歷史上，數學扮演多重角色。誠如課程綱要的基本理念所言，數學 是人類的重要資產，同時是一種語言的類型，而且他是人類天賦本能的延伸。「資 產」一詞在辭典中可解釋為財產或會計學上泛指具有經濟價值之事務，人類活動 在時間長河的不可復原特性之下，所留下如同考古學上所謂的化石遺跡為數不 少，但真正對於整個種族進步的貢獻佔有一席之地者，往往體現在實驗精神與嘗 試改良上。舉例來說，數字的使用在不同民族或的地域有不同的使用習慣，其一 開始的目的都在於紀錄事實以便於溝通，但隨著使用上的便利性以及流通的實際 驗證後，逐漸出現便於不同民族間可以接受的通用數字，即為印阿數字。經過實 驗與改良的數字系統，兼具便於呈現與避免誤解之外，以帶來新單位的出現，如 小點下的十分位、百分位等小數系統。就以對於人類文明的資產來說，先人的「嘗 試」對於後世來說，可能成為另一種「常識」。但文明資產如非透過教學的過程習 得則可能會曠日廢時。
教育或經驗的傳承對於人類以有限的生命面臨無限的挑戰來說十分重要，透 過教育行為或經驗的更迭能有效簡練嘗試錯誤的時間，俾以將有限的生命做更為 重要的發展，對於人類這個大團體是如此，對於兒童個人來說亦如此。桑代克的
「試誤學習」（trial-and-error learning, Thorndike, 1913）提示了兩件事情，一是避免 錯誤的再發生，二是確定錯誤可以再發生。這個理論對於兒童學習的影響可以由 以下的例子呈現。在教學現場提出以下的問題：「請將一條沒有刻度的繩子平分為 三等分，你會怎麼做？」來蒐集不同學生的解題行為，可能會出現隨意切割的類 型；也可能出現剪了三段等長的繩子後，剩下一段不分配的情況；甚至某些兒童
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會利用直尺進行測量，再將量到的長度利用除法運算求得每一段的長度量，接著 正確的將繩子三等分。上述三種不同的解題活動，分別都代表著對於平分活動的 不同解釋，但是透過大量的蒐集並進行整理後可以獲得數種解題的類型，這些類 型在解題前若經過刻意的提示或練習，則對於平分後的其他概念可能有提高學習 成效或降低可能出現的錯誤，當然也可能出現學習效果相反的情況。如果這樣的 嘗試對於往後的其他概念學習有卓著成效者，則應建議教師將其列於課程中，作 為某個數學概念的起點行為或預備概念；反之，無效的嘗試或可能造成其他錯誤 的平分活動，站在有效率的學習的立場，則應建議教師避免在教學活動中呈現。
因此，透過適當編排的教學活動得以提升學習的效率與效果。
而數學活動種類繁多，為何平分活動如此重要？就以下五個部分進行說明。
第一，人們利用數來區分量，進而控制量。但數值決定於被區分的量與單位量之 間的關係，在計數活動中可以被單位量計數者，其計數結果同時描述了該量的某 種程度，利用容量單位-公撮描述牛奶的數量可能是 500 公撮，當單位量改變為公 升時，牛奶本身並沒有增減，但是與新單位量的關係則必須重新測量及描述。此 時我們無法利用比一大的數進行計數，因為 500 公撮比一公升小，因此，找尋比 單位量更小的單位量變成了新的課題。而平分活動提供了系統化的刻度尺，便於 人類對於量的敘述，有效率的減少溝通所帶來的誤會。
第二，平分活動為除法的前置活動，透過教材的整理與比較可以發現多數的 版本對於平分活動都有編列，也都將他置於除法活動前，作為溝通除法的解釋之 一，並希望兒童透過平分活動建立除法的初步概念。在除法的活動中，即可以發 現等分除活動與包含除活動兩大類，其中等分除活動即是以平分活動作為根據。
第三，確保學生能學好數學題材的要素之一，在於引導並利用學生的前置經 驗進行有效的教學活動，這種數學的經驗或感覺或可稱之為直覺。想要讓學生數 學能力得以深入，關鍵在於新舊基模的揉合。在兒童數學智能發展的兩個重要指 標：一是在認知能力上，兒童得以思維流暢的具體表現出他的「直觀」行為；二 則在能力培養上，兒童可以擺脫數學既有形式規則的束縛，使其在抽象層次上的
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想像力與觀察能力可以豐富（教育部，2008）。平分活動作為單位分數的啟蒙有相 當的重要性，透過分割活動與單位量的建立與描述等活動，兒童習得單位分數概 念（甯自強，1993d），並透過平分、測量、比例與部分全體等四種概念建立有理 數的學習基礎（教育部，2008）。
第四，透過平分活動觀察兒童對於量的保留概念。量的平分活動是一種對於 量的操作，凡操作該物則必先獲得該物的意義，為了對長度量進行平分活動則必 須先掌握長度量，除此，面積量或離散物的數量在操作前也必須先掌握其意義，
否則，對於該量的操作則可以明顯發現其邏輯上的錯誤。當對於量的概念得以掌 握時，即能由對於量的操作方式來界定其在某量上的保留概念是否具備。
最後，平分活動在操作的過程涉及將整體進行分散或分割的活動，部分與整 體的區分能力與兩者間的數量關係將影響平分活動的正確性，透過觀察平分活動 可以判定兒童對於部分-全體概念的掌握程度。
雖然對於平分活動進行的研究也不在少數（Columba,1989；Lamon,1996；
Ning,1992；Piaget et al.,1960；Pothier,1981；Pothier &Sawada,1983）。但對於兒童 在不同情境下的平分活動特徵比較，以及不同平分活動間是否存在相互影響的可 能性，鮮少提出具體看法。因此，本研究希望透過對於個案的研究，建立一種解 釋兒童平分活動的方法，並試圖對於不同情境中的平分活動進行比較。
第二節 研究目的
本研究所呈現的情境範圍與操作對象為國小學習階段中的「量」，如：長度量 與面積量。研究對象為國小二年級的學生小兆，期待透過教學晤談法蒐集小兆在 平分情境下所呈現的活動，以建立一種解釋小兆的平分活動的方式，並透過小兆 處理平分活動的表現提出對於教材編寫上的建議。
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第三節 論文架構
本論文分為五個章節，分別是：第一章，緒論，包含研究背景及研究目的。