國立臺中教育大學數學教育學系
國小教師在職進修教學碩士班碩士論文
指導教授：甯平獻教授
一個國小二年級學生的平分活動
研究生：鄭志誠撰
中華民國 102 年 7 月
1020501 -I-
謝 誌
1800 多個日子的學習，為的是一個進入研究所的初衷-對於知識的追求，如今 隨著論文的付梓也暫時告一段落。回想這一路的點點滴滴，雖然辛苦也甘之如飴， 沒有您們一路相挺，沒有今天這本論文的誕生。 首先要感謝三年多來對我一直照顧有加，愛之深責之切的指導教授甯平獻老 師。不論白天黑夜，不管寒暑與否，老師始終站在前方指引我，您對於學術的嚴 謹態度以及處事的經驗傳承，都是我在課業上、工作上，乃至於人際互動上的良 師益友，在老師身上我看見了學術研究的典範，能夠讓您指導是我莫大的福份。 當然，也要感謝謝闓如教授與李舜隆博士在百忙中費心審閱論文與所提供的寶貴 意見，讓論文得以往更臻完備的方向邁進。 其次，感謝父母親、岳父母與老婆的包容與寬諒，讓我得以在沒有家庭壓力 的情況下對論文進行全心的投入，當然，老婆斯寒與女兒詠心是我最佳的精神支 柱，感謝您們對於我的全力支持，幫我圓了一個多年的願望。 最後，要感謝研究所的同學一蘋及他的兩位寶貝，讓我可以有磨練晤談技巧 的機會；還有推薦原案的黃老師以及小兆同學，讓我的研究得以順利進行；感謝 大學同學孟君、鈺卿、莉茹、皓慈以及研究所的鈺欣學妹，對我一路的鼓勵與各 項的協助；感謝學校的同仁秋喬、雪玲、宜嫺、尚正、志璋以及環源老師在工作 上的協助及對論文的寶貴建議。 在此，我抱著一顆感恩的心將我的論文獻給曾經幫助過我成長的師長、同學、 同事以及家人，謝謝您們！ 志誠 謹致 中華民國 102 年 7 月1020501 -II-
中文摘要
本研究透過教學晤談法蒐集一位國小二年級學生的平分活動解題歷程，並以 恆常比較法進行整理與分析他的平分活動類型。 個案的平分活動類型在未涉及子分割方面的二等分問題情境中，以數數活動 與嘗試錯誤的方式調整分配物的數量；在三等分的問題情境中，以每輪發給相同 數量物件，而各輪調整分配量的方式進行。這兩種問題情境中皆透過確定各堆數 量來決定平分活動的繼續或停止。 在涉及子分割方面，個案先依據平分所需的堆數區隔各堆的預置空間範圍。 其次，透過標記刻度活動將連續量分割為可供分配的離散量，接著再比照未涉及 子分割的三等分活動類型進行平分，直到全部的物件被分配殆盡。 關鍵詞：教學晤談法、平分、國小數學科1020501
-III-
E
qually-divide Activity Patterns of a Second-grade Child.
Abstract
This study was conducted to analyze the equally-divide activity patterns of a second-grade child. Data were first collected from the child's problem-solving activities, while he was involving in the teaching interview processes, and then used to induce his activity patterns through the method of constant comparison.
The findings are sorted into two types according to the essence of units of quantity being shared: unit of quantity required further subdividing activities, like splitting or partitioning, to produce, or not required at all. For the type of quantity units produced without subdividing, the child used counting and, via trial and errors, adjusted the amount of shared entities to solve two-parts problems successfully. To solve three-parts problems, he dealed in turns equally amount of quantity into each of the three. His specifications the numerosity of each part, solving either 2- or 3-parts problems, were used to compare and determine if euqally-divide activites should be continued or not.
For the type of quantity units produced with further subdividing activities, the child first specified spaces for placing entities of different parts required by the problems. Next, via estimated marking activities, he subdivided the contiuous quantity into discrete units for further sharing activities. Finally, he used the same activity patterns, used in type of quantity units provduced without subdividing, to complete his
euqally-divide problem-solving processes.
1020501 -IV-
目 錄
謝誌………I
中文摘要………II
Abstract
………III
目錄
………IV
表目錄
………VI
圖目錄
………VII
第一章
緒論 ... 1
第一節 研究的背景及重要性 ... 1
第二節 研究目的 ... 3
第三節 論文架構 ... 4
第二章
文獻探討 ... 5
第一節 理論背景 ... 5
第二節 平分活動 ... 16
第三節 數學課程中的平分活動 ... 38
第三章
研究方法 ... 49
第一節 教學晤談法 ... 49
第二節 恆常分析法 ... 54
第三節 晤談 ... 54
第四章
小兆的平分活動 ... 65
1020501 -V-
第一節 未涉及子分割的平分活動 ... 65
第二節 涉及子分割的平分活動 ... 104
第五章
結論及反思 ... 169
第一節 結論 ... 169
第二節 反思 ... 172
參考文獻 ... 175
附錄一：原始晤談計畫... 181
附錄二：小兆的晤談文本 ... 187
附錄三：模擬晤談計畫... 271
1020501 -VI-
表目錄
表 1 主題為離散量的平分策略與解釋比較 ... 90
表 2 主題為離散量的總量計算方式比較 ... 92
表 3 不同的三等分情境下，所呈現的分割策略比較表 ... 130
表 4 不同情境對於圓形城堡的部署移動比較 ... 149
表 5 不同形狀周長的分割點比較 ... 152
表 6 不同情境的分割點位置確認文本片段整理表 ... 155
表 7 刻度化對於圓周上分割點的影響 ... 165
1020501 -VII-
圖目錄
圖 1 色紙平分問題下的師生互動範例 ... 15
圖 2 一條衛生紙的三階單位轉化示意圖 ... 20
圖 3 圓形麵食可能的平分方式 ... 22
圖 4 平分相關概念在四大教科書版本之比較 ... 48
圖 5 Reflection questions 一例 ... 52
圖 6 平分周界的情境圖的 50%縮小圖 ... 60
圖 7 未涉及子分割的平分活動類型 ... 103
圖 8 長度量的平分活動類型 ... 115
圖 9 面積量的平分活動類型 ... 144
圖 10 模擬 Angular measurement 示意圖 ... 157
-1-
第一章
緒論
本章為緒論，分為三個小節，依序對研究背景及重要性、研究目的與論文結 構進行說明。第一節 研究的背景及重要性
在人類的歷史上，數學扮演多重角色。誠如課程綱要的基本理念所言，數學 是人類的重要資產，同時是一種語言的類型，而且他是人類天賦本能的延伸。「資 產」一詞在辭典中可解釋為財產或會計學上泛指具有經濟價值之事務，人類活動 在時間長河的不可復原特性之下，所留下如同考古學上所謂的化石遺跡為數不 少，但真正對於整個種族進步的貢獻佔有一席之地者，往往體現在實驗精神與嘗 試改良上。舉例來說，數字的使用在不同民族或的地域有不同的使用習慣，其一 開始的目的都在於紀錄事實以便於溝通，但隨著使用上的便利性以及流通的實際 驗證後，逐漸出現便於不同民族間可以接受的通用數字，即為印阿數字。經過實 驗與改良的數字系統，兼具便於呈現與避免誤解之外，以帶來新單位的出現，如 小點下的十分位、百分位等小數系統。就以對於人類文明的資產來說，先人的「嘗 試」對於後世來說，可能成為另一種「常識」。但文明資產如非透過教學的過程習 得則可能會曠日廢時。 教育或經驗的傳承對於人類以有限的生命面臨無限的挑戰來說十分重要，透 過教育行為或經驗的更迭能有效簡練嘗試錯誤的時間，俾以將有限的生命做更為 重要的發展，對於人類這個大團體是如此，對於兒童個人來說亦如此。桑代克的 「試誤學習」（trial-and-error learning, Thorndike, 1913）提示了兩件事情，一是避免 錯誤的再發生，二是確定錯誤可以再發生。這個理論對於兒童學習的影響可以由以下的例子呈現。在教學現場提出以下的問題：「請將一條沒有刻度的繩子平分為
三等分，你會怎麼做？」來蒐集不同學生的解題行為，可能會出現隨意切割的類 型；也可能出現剪了三段等長的繩子後，剩下一段不分配的情況；甚至某些兒童
-2- 會利用直尺進行測量，再將量到的長度利用除法運算求得每一段的長度量，接著 正確的將繩子三等分。上述三種不同的解題活動，分別都代表著對於平分活動的 不同解釋，但是透過大量的蒐集並進行整理後可以獲得數種解題的類型，這些類 型在解題前若經過刻意的提示或練習，則對於平分後的其他概念可能有提高學習 成效或降低可能出現的錯誤，當然也可能出現學習效果相反的情況。如果這樣的 嘗試對於往後的其他概念學習有卓著成效者，則應建議教師將其列於課程中，作 為某個數學概念的起點行為或預備概念；反之，無效的嘗試或可能造成其他錯誤 的平分活動，站在有效率的學習的立場，則應建議教師避免在教學活動中呈現。 因此，透過適當編排的教學活動得以提升學習的效率與效果。 而數學活動種類繁多，為何平分活動如此重要？就以下五個部分進行說明。 第一，人們利用數來區分量，進而控制量。但數值決定於被區分的量與單位量之 間的關係，在計數活動中可以被單位量計數者，其計數結果同時描述了該量的某 種程度，利用容量單位-公撮描述牛奶的數量可能是 500 公撮，當單位量改變為公 升時，牛奶本身並沒有增減，但是與新單位量的關係則必須重新測量及描述。此 時我們無法利用比一大的數進行計數，因為 500 公撮比一公升小，因此，找尋比 單位量更小的單位量變成了新的課題。而平分活動提供了系統化的刻度尺，便於 人類對於量的敘述，有效率的減少溝通所帶來的誤會。 第二，平分活動為除法的前置活動，透過教材的整理與比較可以發現多數的 版本對於平分活動都有編列，也都將他置於除法活動前，作為溝通除法的解釋之 一，並希望兒童透過平分活動建立除法的初步概念。在除法的活動中，即可以發 現等分除活動與包含除活動兩大類，其中等分除活動即是以平分活動作為根據。 第三，確保學生能學好數學題材的要素之一，在於引導並利用學生的前置經 驗進行有效的教學活動，這種數學的經驗或感覺或可稱之為直覺。想要讓學生數 學能力得以深入，關鍵在於新舊基模的揉合。在兒童數學智能發展的兩個重要指 標：一是在認知能力上，兒童得以思維流暢的具體表現出他的「直觀」行為；二 則在能力培養上，兒童可以擺脫數學既有形式規則的束縛，使其在抽象層次上的
-3- 想像力與觀察能力可以豐富（教育部，2008）。平分活動作為單位分數的啟蒙有相 當的重要性，透過分割活動與單位量的建立與描述等活動，兒童習得單位分數概 念（甯自強，1993d），並透過平分、測量、比例與部分全體等四種概念建立有理 數的學習基礎（教育部，2008）。 第四，透過平分活動觀察兒童對於量的保留概念。量的平分活動是一種對於 量的操作，凡操作該物則必先獲得該物的意義，為了對長度量進行平分活動則必 須先掌握長度量，除此，面積量或離散物的數量在操作前也必須先掌握其意義， 否則，對於該量的操作則可以明顯發現其邏輯上的錯誤。當對於量的概念得以掌 握時，即能由對於量的操作方式來界定其在某量上的保留概念是否具備。 最後，平分活動在操作的過程涉及將整體進行分散或分割的活動，部分與整 體的區分能力與兩者間的數量關係將影響平分活動的正確性，透過觀察平分活動 可以判定兒童對於部分-全體概念的掌握程度。 雖然對於平分活動進行的研究也不在少數（Columba,1989；Lamon,1996； Ning,1992；Piaget et al.,1960；Pothier,1981；Pothier &Sawada,1983）。但對於兒童 在不同情境下的平分活動特徵比較，以及不同平分活動間是否存在相互影響的可 能性，鮮少提出具體看法。因此，本研究希望透過對於個案的研究，建立一種解 釋兒童平分活動的方法，並試圖對於不同情境中的平分活動進行比較。
第二節 研究目的
本研究所呈現的情境範圍與操作對象為國小學習階段中的「量」，如：長度量 與面積量。研究對象為國小二年級的學生小兆，期待透過教學晤談法蒐集小兆在 平分情境下所呈現的活動，以建立一種解釋小兆的平分活動的方式，並透過小兆 處理平分活動的表現提出對於教材編寫上的建議。-4-
第三節 論文架構
本論文分為五個章節，分別是：第一章，緒論，包含研究背景及研究目的。 第二章，文獻探討，包含知識論、基模論、共識域、平分活動及相關研究成果。 第三章，研究方法。第四章，研究成果。第五章，結論與反思。
-5-
第二章
文獻探討
本章將透過文獻探討對平分活動的相關問題定性。第一節針對知識的相關理 論進行介紹以建立本研究的知識論基礎，並說明蒐集資料將面臨的限制條件；第 二節進一步將「平分活動」進行定義，及分析影響「平分活動」的相關數學概念 及其學習特徵；第三節延續第二節對於「平分活動」的討論，討論關於「數學課 程中的平分活動」的相關文獻。第一節 理論背景
如果不斷的學習是為了充實知識，而活動是學習過程的主要媒介，那麼每次 的活動勢必帶來新的知識。本研究所談的平分活動，是兒童眾多學習活動之一， 也是兒童學習平分概念的必要過程。因此，本小節試圖先以「何為知識？如何取 得？」作為切入，說明何以透過活動能獲得知識的原因；並以「學習的方式：基 模論」解釋取得的知識如何不斷改變以適應環境。最後，以「改變的方向：共識 域」說明基模決定改變方向的機制。 壹、 知識論 在人類的日常活動中，許多行為的目的在於解決相關的問題，因此人類必需 不斷獲取知識。那麼知識要如何取得呢？傳統建構理論（trivial constructivism）認 為知識是個體主動建構的，不是被動吸收或是接受。如同老師常常對著學生說：「學 習是自己的事情，要靠自己。」的道理相近。如果不是平分活動在群體社會有其 必要性，以及個體對於解決該問題的主動性，平分的相關知識不可能自生，更非 單純經過訓練以熟練其技能。 主動學習使知識得以存活，並且為個體根據經驗自行建構，而僅存在於個體 中，只對自己有意義，那麼何以解釋充滿個人主義（individualism）的知識能對仰-6- 賴群體維生的個體能派上用場？Glasersfeld 提出主動及適應兩個觀點，王淑芬 （2004）解釋為： 一、知識並非基於透過感官或溝通的管道而被動地收穫的；而是由認知之主 體建構的。 二、知識的功能是適應的，適應一語用在此處是生物學涵義的，而且適應的 目標則是傾向於相容（fit）或可存活的（viability），認知是用來服伺主體組織其經 驗世界的，而非用來發現所謂現實的客觀本體的。 如果知識是個體為了適應環境而建構的個人化工具，何以保證個人所建構的 知識不需與旁人溝通？當我們請兒童將餅乾「平分」，兒童為了適應成人對於平分 活動所給的限制，必需不斷釋放信號以期待成人給予回應，如同社會建構主義認 為：「知識是個人與別人經由磋商與和解的社會建構」。該理論主要在強調個人的 知識是在社會文化的環境下建構的，所建構的知識與社會文化脫不了關係，雖然 意義相當主觀，但也不是隨意的。因此，書中的客觀知識也非讀者任意建構的， 而是與生活在相同社會文化中的他人有某種程度的「共識」（Vygotsky,1978）。社 會建構論者並不反對知識建構的主動特質及適應環境的功能，所著眼的是探討個 人建構知識的規範。 規範如何制定？量的平分活動牽涉到資源的分配也意味著協商的重要。以成 人的平分策略舉例，面對一條彩帶，成人會利用量化後的長度做為公平的判準； 面對一杯溶液，則量化的對象變成了容積。量化是成人在經過溝通後所約定的判 準方式，那麼當兒童在面對成人世界的平分問題，他的平分判準與運思如何改變 呢？運思無法具體呈現供人檢閱，唯有運思過程所伴隨的活動與釋放的信號可供 我們觀察，因此，探索兒童「平分」的知識必需透過紀錄平分活動過程，提供我 們可觀察的客觀事實。 不但如此，個人的知識類型是功能的、演化的，而且是相對的（甯自強，
-7- 1993b,1994,1996a），換言之，兒童解決「分配困境」所發展的活動類型是個人化 的。不同時空發展的個人化活動類型是否存在演化的性質，必須透過對兒童佈下 類似的情境，同時比對兒童對於類似情境所做的不同反應，據以歸納其對於平分 活動的經濟程度（economy）。舉例來說，當兒童利用徒手作為工具進行長度量的 平分活動，及在類似的情境下以量尺進行度量後再進行平分活動。兩者的差異在 於前者為了達到最適當的分配，反覆多次測量以避免徒手的「較大」誤差；相對 地，在不誤讀的前提下，兒童利用量尺可以減少測量次數，進而經濟了平分活動 的時間與提升分配的正確性。 因為知識是主體自行建構的個人化工具，不可諱言，在建構所觀察到的兒童 平分活動類型時，無法避免個人經驗的影響，因此，將其活動歷程客觀的記錄， 透過轉譯後以客觀的方式呈現，使兒童平分活動類型得以訴諸公眾評斷。 綜合來看，為了適應環境所進行的活動，不應該只是刺激與反應的聯結過程， 更強調以環境中所限制的條件進行聯結的修正。生物體取得知識的目的無異於其 他動物，唯有不斷修正才能提升存活的機會；對照於文明生活的溝通與問題的解 決，提升想法的適用性亦須不斷的修正既有的舊知識，而給予個人認知修正方向 的正是社會「共識」。在知識得以修正的基礎下，修正的機制將是下一個討論的對 象。在下一段中，Piaget 的基模論將提供解釋知識改變歷程的理論基礎。 貳、 基模論 認知發展論（Cognitive-developmental theory）在二十世紀的教育界已被公認 是最具影響力的教育心理學理論，由 Piaget 所提出有別於當代的研究方法，並對 於兒童智力評量有其不同見解。所謂的認知發展（cognitive development）是個體 在出生之後，與週遭環境接觸所產生的不同情境（situation），在情境中必須克服 客觀限制（restriction）所表現出的適應歷程（course）。雖然當時大多學者皆採用 標準化的試題對兒童進行測量以認定其認知能力；但是 Piaget 則以自己的孩子作 為觀察的對象進行記錄，並採用文字敘述的方式進行兒童年齡與智力發展的相關
-8-
研究。Piaget 提出了認知發展論的三個重要概念：基模（schema）、適應（adaptation） 以及平衡（equilibration）。
何謂基模（schema）？Rumelhart（1980）認為基模為「存在記憶中表徵類種 概念（generic concept）之資料結構」。Anderson（1990）又補充說明，認為基模提
供一種「登錄規則於範疇內之方法，無論這些原則是知覺性的或命題式的」。 國內學者張春興（1994）曾提出對於基模的解釋，他認為以 Piaegt 的說法， 基模式個體用以認識周圍世界的基本模式。此一模式是由個體在遺傳的基礎上學 得的各種經驗、意識、概念等所整合，構成一個與外在現實世界相對應的抽象的 認知結構（cognitive structure），儲存在記憶之中。當個體遇到外界刺激情境時， 他就使用此一架構去核對、了解、認識環境。此處所提的認知結構（cognitive structure）即所謂的基模（schema）。
McCormick 和 Pressley （1997）則以類化（generalize）的知識來解釋基模一 詞，認為基模是物體、事件或是情境的類化，是一種抽象的知識表徵，並且可以 在特定的情形（particular instance）下被例證化（instantiatize），如同骨骼結構一般， 大體來說都是相近的，差別在於附著於上的肌肉有因人而異的不同 （McCormick & Pressley, 1997, p62）。 Slavin （2012）則以寫作為例，將基模比喻為大綱（outline），在大綱之下有 不同的概念或是想法，彼此之間依靠著命題（propositions）或是關係（relationship） 互相聯繫。在一般化（general）的概念底下有著更一般化的概念，上下之間形成 緊密的層次結構（hierarchies）。 以上學者大多認為基模是一種「結構」，不論使用大綱或是人體的骨骼來舉 例，都凸顯了基模具備「結構」的特性。此一結構並非在構成後即永遠不變；反 之，基模可以根據情境進行調整，而且基模自身即是另一個基模的構成成份。換 言之，基模有其層次特性，愈是複雜的基模，其內在的構成基模愈是關係緊密。
-9- Piaget 將基模視為個體為了適應環境所自行合成的產物，而適應（adaptation） 則是基模演化的機制。依據演化論點，生物為了能在環境中存活，有時必須利用 基因變異來改變種族的生活或型態以提升存活度；同理，個體在認知失衡 （imblance）時，透過改變既有的基模，或是產生新的基模，促使認知恢復平衡。 Piaget 將吸收知識的過程中，基模進行的兩種的心智行為定義為「同化」
（assimilation）及「調適」（accommodation）（Piaget & Inhelder, 1969） 。
不論結果為同化或調適，個體面對外界刺激都將所接收到的信號與既有基模 比對。如果信號符合既有基模的啟動條件，將試圖運作此基模並測試其結果是否 解決問題，如獲得解決則得以恢復認知平衡，並將此一例證化內容收入經驗中， 使基模適用範圍加大及充實對於此概念的認識，認知心理學稱之為「同化」 （Piaget & Inhelder, 1969）。 如兒童早期習慣於將物品置入口中，「將物品放入口中」即是兒童對於陌生物 品的「辨識基模-置入口中」。當兒童啟動此基模來進行辨識「鈕扣大小」的物品時， 當然能順利完成基模運作；但「棒球大小」的物品則可能造成兒童困擾，因為此 類物品無法完全放入口中，致使基模無法啟動並形成認知失衡。特別說明，失敗 的基模啟動經驗並非沒有價值，相反地，失敗的經驗亦能使基模適用範圍的明確 化。兒童雖然無法將棒球大小的物品放入口中，卻也學習到棒球大小的物品無法 啟動「辨識基模-置入口中」。 雖然不能利用「辨識基模-置入口中」來認識類似棒球大小的物品，但是兒童 可能利用「辨識基模-嘴巴吸吮基模」或「辨識基模-顎齒咬合基模」來取代「辨識 基模-置入口中」，此時「辨識基模」必須調整內部的組織方式，進而改變肢體動作。 分析此活動的運思過程，當個體在試圖以既有基模同化無效後，改以調整部份運 思過程，可以稱為「調適」。（Piaget & Inhelder, 1969）
von Glasersfelf 認為「同化」並非將改變環境中的元素再合併入有機體的結構 中，因為個體是受者（recipients），沒有能力改變既有的客觀現實，面臨認知失衡
-10- 個體只能選擇「調適」一途。他同時認為較低層次的基模調整必然影響較高層次 的基模結構（Glasersfeld, 1995）。在平分活動，兒童所面對的平分難題除了選定判 準外，運用判準解決困境是另一個要面對的問題，給予不同性質的物品將影響平 分活動的基模操作。當兒童對連續量進行平分時，原本對於可數值化的離散量平 分原則可能被迫改變。那麼改變平分物的物理性質及不同抽象程度的平分物是否 影響兒童解題活動呢？ 首先，國內學者甯自強 （1992a, 1992b, 1993b）曾針對兒童發動基模後，對 於運作結果的預期能力以及運作時對於感官材料的依賴程度，將解題活動的層次 區分為感官活動（sensori-motor activity），表徵活動（re-presenting activity）及心智 活動（mental activity），三者與運思材料的種類有密切的聯繫。 Bruner（1966）從運思方式區分三種被運思的材料，分別為動作的（enactive）、 圖像的（iconic）、符號的（symbolic）。動作的運思材料可以透過與具體物的直接 接觸來獲得意義並進行操弄，一旦具體物消失其意義也隨之不見；圖像的運思材 料延續對於動作的材料的印象，在心中產生心象（image）作為在心中操弄得對象。 而符號的運思材料則打破心象必須與實際物品類似的規定，也無需實際物品的出 現作為刺激，是個體在發展過程中逐漸累積經驗的成就。 把握三種運思材料的差異，我們定義出「感官活動」，也就是兒童解題時必須 透過具體物操作而且無法預期操作後的結果。而「表徵活動」，則是不需透過具體 物的操弄，而是藉由一些代表的物件加以表徵來解題，此時可以預期具體物被操 作的效果。因此，才能用替代物進行演練，這也是內化（internalization）的特徵。 至於「心智活動」則不需透過具體物及其具體表徵來解題，而且心智活動將解題 行為經濟到極致，形成看似反射的行為。我們稱之為內蘊化（interiorized）。以 12 片餅乾的平分活動為例，當兒童移動餅乾並配合一對一對應的方式來進行，直到 全部的餅乾都移動定位後，詢問是否平分？他仍不能確定是否平分，那麼他的感 官活動並未替他帶來成功的解題；即便當兒童能回答『因為一個對一個，所以會 一樣多。』也還不能說他能利用「表徵活動」進行解題。必須觀察到兒童以象徵
-11- 餅乾的任何符號作為解題工具，例如：他以錢幣象徵餅乾來進行平分活動，或是 在紙上畫出 12 個圈圈象徵他的餅乾，都可以視為以表徵活動進行解題，同時他具 備了內化了象徵物進行平分活動的基模。如果發現兒童直接將 12 視為表徵，也就 是運思的對象，我們可以發現他省略了對應或是眼神假裝有餅乾在移動等象徵意 涵的舉動，則可以推測兒童已具備了內蘊化「平分該種量」的基模。 知識雖然不顯於外，但是透過活動的歷程可以推測基模建立的方式，從而確 立概念的發展程度，基模理論提供知識建立與演化的可行性，並給予透過活動建 立概念的理論基礎。 參、 共識域 共識應從互動談起。兩個有機體在環境中，對於對方的行為有所解釋，並做 出回應，互動便產生了。針對以上的現象，社會學者發展出符號互動（symbolic interaction）一詞；此一用語源於 Blumer 的「人與社會（Man and Society）」一書。
Blumer 對符號互動的定義為：「兒童在人們或團體所共有的象徵系統及理解系統中 學習和認知。」所以符號互動論（symbolic interactionism）是以社會心理學的觀點 出發，研究人的自我如何體認社會性，及與他人互動的社會行為如何發生（林美 玲，1993），目前所發展出與符號互動論有關的學說，多以 Mead（1863-1931）的 社會學理論為基礎；Blumer 則提出符號互動的方法論使 Mead 的理論得以觀察與 實現。 Blumer（1986）的符號互動論主張人是在具有意義的事物上行動，並且此一 事物的意義乃是社會互動歷程中所獲得，當意義在不斷的互動之後，其解釋的內 容將被修正，而過程中個體將不斷反省並與眾人進行符號的互動。Newman, Griffin and Cole（1989）認為互動過程中的雙方必須對於事物進行意見的交換，也就是磋 商行為的產生有助於意義的明確，教師對於文化的解讀並代表社會文化與學生進 行磋商，有如某公司委任一名律師代行其事，此一律師有義務將公司的想法與當 事人磋商，而教師之功能在於促使個人意義與文化意義間的和解（mediate）。
-12- 將上述與社會進行互動的想法落實在兒童的學習上，Vygotsky（1979）認為「時 間上和事實上，意識的社會維度是首要的，意識的個體維度是衍生的（derivative） 與次要的」言下之意認為個體的發展被包覆於社會文化之下，如：學生平時購物 的經驗、與家人的對話、看到路旁建築工人的工作情形都是影響學生對於概念發 展的因素，個體無法脫離社會文化而獨立發展。 然而，國內學者張淑怡（2004）認為 Blumer、Newman、Vygotsky 等人忽略 了教師代表文化進行磋商的完整性，對於學習者而言，難道就必然毫無反抗的接 受教師所傳遞的符號嗎？教師所傳達的文化是個人在學習歷程與成長環境培養出 的解釋方式，個人化的經驗可能影響學生接受文化的程度。即使教師能夠正確的 將概念進行完整傳遞，而且學生也在理想狀況下完整的接受，難道學生對文化毫 無貢獻嗎？ 當社會學無法完整解釋學習中的互動行為時， Maturana（1978, 1987）試著 以蘊含生物學觀點的社會耦合論（social couplings）進行解釋。從英文的 coupling 一詞與 connect、associate together 有關，意指兩者進行連結，而中文的「耦合」一 詞尚有「磨合」之意，Maturana 認為人是一可連續自我修補而且處於封閉狀態的 結構體；以教室的教學現場來說，教師與學生都屬於上述的結構體。 但是處於封閉狀態的有機體間如何進行互動呢？Maturana 認為當結構體面對 封閉系統外的各種干擾時，會改變結構體中的連結方式，如同看著電視學習英語 的學生，會改變自己的聲帶結構進行發聲，以達到學習目的；同理而言，教師亦 能進行此一結構的改變。Maturana 認為結構體為了適應環境必須進行個體結構的 改變，而環境中屬於同種族的成員彼此皆有此行為，如此形成社會個體同步改變 結構的情況，換言之，社會行為的共識必須在上述行為中不斷發生演進。接著， 他提出社會耦合的概念，認為同種族間的結構體進行互相干擾，同時自行改變結 構以達到有機體的平衡，整個平衡構築在「互動者之間的耦合」、「觀察者與互動 者之間的耦合」、「互動者與環境的耦合」，因而謂之為「三階耦合」（third-order couplings）。
-13-
互動提供了共識域的可能性，也就是參與互動的人進行有意義的結構改變， 直到參與者之間行為同構（homomrphism）並產生溝通行為，這也表示溝通行為存 在於社會耦合中。共識（consensual domain）在 Maturana 看來是耦合所產生的相 互鏈結產物，而文化則是跨世代的共識，對於封閉的系統來說，想要完全改變或 是模仿互動的對方有其困難性，因此，Maturana 所認為的共識包含著相容 （congruence）。老師與學生對於教室中的某一現象可能有不同的解讀，但是只要 雙方的解讀可以不衝突即達到基礎的共識，想要提升共識的程度則有賴於積極的 協調而非消極的妥協或默許，因此，教室中的共識域區分為廣義與狹義兩種。（張 淑怡，2004） 舉例來說：學生看到另一位同學上台寫出他的算法，並正確解決答案可能有 以下反應：一是認同他的算法並舉手發表他的認同觀點，此稱為他與這個教學環 境達成狹義的共識域，也就是積極的共識產生；二則是他不認同同學的算法，但 可能刻意的沉默不表示意見，或不瞭解同學的算法，或是礙於個人表達習慣與能 力，選擇隱忍不言；此時教室的互動環境並沒有受到破壞，至少對於其他觀察者 來說如此；換言之，沒反應不代表認同，充其量僅是讓環境達到廣義的共識域。 若要區分兩者的根本差異，在於廣義共識域的客體對象為社會文化範疇；而狹義 的共識域為社會文化範疇中的數學文化，一般來說，後者被包含於前者。 再從語言的觀點來看互動歷程的活動序列，Varela 將語言行為定義為「連續定 向（orientation）的歷史過程」，與 Maturana 的社會耦合理論是相容的，皆認為環 境中充斥著信號（signs） （Maturana & Varela, 1980）。Glasersfeld 則強調溝通時， 從發信者至受信者的溝通管道中流動的是脈衝（impulses），亦即某種能量形式的 改變。這些脈衝是信號，並沒有攜帶一般所認為的意義，取而代之，它們攜帶的 是指示（instructions），受信者可從清單中選擇特別的意義，這些信號與意義的清 單形成溝通碼（Glasersfeld, 1995）。觀察者有權力對於信號進行捕捉，並利用個人 的解釋清單進行翻譯。舉例來說，當老師在黑板上畫出五個圓圈時，兒童可以選 擇進行五個圓圈信號的捕捉，並利用個人解釋清單進行比對，選擇個人在當前環
-14- 境下最容易達到內在平衡的解釋。若老師認為兒童對於 5 個圓圈的解釋需修正， 則他可以藉由釋放出干擾的信號，迫使學生進行再選擇（re-select）與再表達 （re-expression）。對於老師來說，解釋學生的信號必須倚賴個人清單來選擇想要表 達的意義，並依賴其專業能力進行後續行為的選擇予以回應。如此一來，我們可 以觀察到如「暗示—選擇—暗示—選擇—...」的行為序列（張淑怡，2004），而 Bauserfeld（1988）也說互動類型就如同教室內語言文法，將規範著互動環境中的 師生行為。 我們試著將「兒童面對平分情境時所採取的行為」提出以下假設性的解釋。 如圖 1 所示，兒童在面對老師給予的「請給我半張色紙」的信號，接受「暗示」 的兒童比對自己的意義清單，可能「選擇」將紙張對摺來平衡老師釋放出的干擾， 接著老師看到了學生對摺的動作，對於他來說也是一種具有「暗示」的干擾信號， 他必須「選擇」是否進行肯定的反應，而學生接受到老師的默許「暗示」時，便 繼續將對摺後的紙張繼續對摺，此時，老師看到「繼續對摺」的「暗示」信號時， 便「選擇」進行阻止的行為反應，而在老師的明顯干擾行為後，學生選擇停止對 摺的動作以求個人的認知平衡。
-15- 圖 1 色紙平分問題下的師生互動範例 當處於教室的其他同學觀察到了上述同學的對摺行為「信號」，與原來自己的 想法相容（congruence），而「選擇」了默許不表示意見，並使自己與環境耦合的 情形屬於「狹義共識域」；但是，某個學生可能認為自己知道如何解決此問題，礙 於種種因素他也選擇了默許不表達意見，此時他與環境的耦合關係只達到「廣義 共識域」，單就教室中的社會規範進行遵守。蒐集學生對於平分問題的「暗示」所 做出「選擇行為」，將有助於老師提升解釋學生行為的能力，進一步提供老師選擇 適合的方式進行目標導向的暗示行為。 肆、 小結 為了解決問題，兒童必須主動建構自己的活動類型，也就是面對特定情境的 反應基模，這個基模雖說用於服務自己以經驗活動的歷程，但是在經過與文化客 體互動後，為了恢復認知上的失衡必須進行同化或調適，來迫使自己與環境、互
-16- 動者之間產生共識域，這樣的歷程即為兒童學習平分活動的過程，可惜的是運思 無法具體呈現供人檢閱，唯有運思過程所伴隨的活動與釋放信號提供我們觀察。
第二節 平分活動
本研究的平分活動對象為「量」主題，自然界的量被人類賦予指涉事實之任 務，並藉由不同的數區分不同的量。因此，本文有必要對數學上所謂的「量」進 行界定與區分，並對平分活動過程中不斷發生的「單位量」建構與轉化進行立場 說明，最後，將提出離散量與連續量的「平分活動特徵」以說明當前研究的進展 與發現。以下依序就「數學中的量-連續量與離散量」、「單位量的建構與之間的轉 化」、「平分活動及其相關的課題」、「判斷平分能力的指標」、「連續量的平分活動 特徵」、「離散量的平分活動特徵」、「連續量與離散量的學習成就比較」進行論述。 壹、 量的區分-連續量與離散量 量是人類在描述所見所聞時，所採取便於溝通的方式之一，透過量的描述給 予不同時空的人有對於相同事物討論的機會。當我們面對不同的情境，自然必須 演變出不同的量，以 97 課程綱要中所明示的八種量中的前七種：長度、面積、體 積、重量、角度、容量及時間稱之為外延量，外延量用於描述事物的的某種程度 （Schwartz,1996）。例如：長度是某點在路徑上的位置變化程度；面積則是某區域 覆蓋的程度；佔據空間的程度稱為體積；物體與地球間互相吸引的程度則稱為重 量；角度則是一端共點的兩半線所張開的程度；容量則形容容器內部可容納物品 的程度；最特別的則屬時間量，我們利用工具進行時空刻痕，以描述同一事物連 續存在的程度。 依照甯自強的定義，量在被測量之後必然產生以數為主體，單位為輔的描述 詞。例如：測量了正方形的一邊為 4 公分長。描述詞包含了「4」這個數字及「公 分」此一單位詞，針對「4 公分」這個描述因子，因為他可以「分散」（discrete） 為數個更小的單位「1 公分」。因此，認定此時的邊長為「離散量」。對反地，「1-17- 公分」為連續量的原因在於無法進行區分或分解為更小的同單位量，離散量必須 透過分解產生比自己更小的同單位量才能稱為離散量。另外一個例子，可以試想 利用正方形的邊長為單位量來度量對角線的長度，此時對角線長度可以分散為邊 長及另一段比邊長小的線段，兩個線段可以區別，因此可以把對角線視為離散量； 但是作為單位長度的邊長本身無法進行分散為更小可區分的單位，因而視為連續 量。 量的區分與轉換畢竟是成人對於除法概念了解之後所持的推論，站在兒童的 觀點可能有不同的想法，Steffe & Olive（1991）認為兒童眼中的連續物件（continuous items）與離散物件（discrete items）在感官上的差異其實不大，連續物件都與某種 移動有關，例如：將一條繩子視為連續物件時，須移動視線與繩子的接觸點，直 到繩子的輪廓可以被接觸點的歷程所涵蓋。視線移動的路徑稱為圖像長度 （figurative length），如果兒童可以將移動之後的物件視為同一物件，則稱此長度 為知覺長度（perceptual length）。可以掌握知覺長度的兒童將掃描物件的時間視為 物件的路徑。如果舉一條萬國旗為例，國旗在繩上都是頭尾相接而且布滿整條， 當視線在某面旗子與萬國旗相接的邊上游走，而且每次游走皆可以進行區別並保 留不遺失，稱為具備了複數性質的「被段落化的關聯物件」（continuous but segmented unitary item），這也是段落（segment）的長度性質。那麼兒童對於這一 條萬國旗的每面國旗皆可以區別並視與整體相關，也就是段落化的活動得以圖像 化，如此提供了兒童往後將此一經驗投射到連續物件上的基礎，這也是連續物件 源於離散物件的原因。
綜合 Steffe & Olive 與甯自強的看法，量無論是否處於離散或連續狀態，皆可 將其離散化，實際層面來說，離散量有機會在平分活動中被分盡，而連續量則可 以利用刻度化來形成段落化的關聯物件，因此，平分活動時不必過於拘泥於被平 分物是否為連續量或離散量，應該可以著眼於平分活動停止的條件是否形成共識 及需求。
-18- 貳、 單位量的建構與之間的轉化 一、 建構單位量 兒童在學習數概念的過程，單位量的建構是一個重要的活動，不論建構的正 整數或是單位分數，都必須經歷單位形成的幾個步驟。文獻中可以發現，羅素、 杜威或高斯皆認為數是單位一（unit）的倍數，也就是想要產生數之前，假設了最 基底的單位（unit）的存在可能，如同原子核中的質子或中子。以正整數的數概念 來說，單位即為一，標準數詞序列除了可以讓兒童朗朗上口，作為確定數詞順序 的工具；數列中的每個數亦是以單位一為基底的「未分割集聚單位」（non-partitve composite unit ）。 「未分割集聚單位」按照甯自強（1993c）所提成為新的單位量的四項條件定 義：可再製（reproducable）、可重複複製（repeatable）、可重複製作的單位結構 （iterating unit）及測量單位（measurement unit）。
「未分割集聚單位」由單位一所形成，如新單位五是基底單位一的五倍，我 們考慮的「未分割集聚單位」五必須「可再製」，也就是當這個五在不同時空下， 可以一再出現，但是此時的五僅只於出現，卻無法被計數個數；必須在這個單位 加入「可重複複製」的性質，也就是擁有可被計數的特性，換言之，不同時空出 現的單位五可以被區別其順序並被保留。 如果對於「可重複複製」單位五進行計數，卻將「可重複複製」單位五與計 數過程中出現的次數五混淆，這表示此單位尚未結構化，也就是結構中不同層級 單位無法被區別。當製作出的新單位五與原單位中的五以及計數過程中出現的次 數五不會有所混淆時，我們才稱此時的五為「可重複製作的單位結構」。最後，如 果「可重複製作的單位結構」單位五可以打包成一個新集聚單位，再利用此一新 集聚單位進行更大單位的合成，則稱這樣的五為「測量單位」，也是完整的單位性 質。
-19-
二、 單位量與數概念的同構關係
如果比較甯自強（1996a）的單位量的形成過程與數概念的發展方式，可能會 發現兩者之間存在同構現象（homomrphism）：前者的形成過程為可再製
（reproducable）、可重複複製（repeatable）、可重複製作的單位結構（iterating unit） 及測量單位（measurement unit）；後者的形成過程為合成運思、累進性合成運思、 部分全體運思、測量運思。合成運思的特點為數之間是獨立的，因此在使用過程 有諸多限制，如同單位量形成的可再製階段，僅是能夠再次出現。當數可以重複 被複製出現時，兒童的數概念會進行累進性合成運思，如同單位量形成階段的可 重複複製階段；一但重複出現的單位量可以被區別時，這包含注意到不同單位間 的隸屬關係，單位量進入了可重複製作的單位結構，如同數概念中的部分-全體運 思期。最後，當數的內部結構被兒童區辨後，兒童可以以此為基礎製造新的數時， 如同單位量可以作為其他單位量形成元素一般。兩者之間諸多的雷同之處，隱含 著兩者在形成結構上的相似處。 三、 單位量的轉化 單位量的的轉化（transform）活動以甯自強（1993c）的看法，在國小的數與 量課程中區分為：一、高階單位量轉換成低階單位量的乘法運思；二、低階單位 量轉換成高階單位量的包含除運思；三、原單位量轉換成未知單位量的等分除運 思。 至於在乘除法運思過程中，所涉及到的單位量有高階與低階的區別，如同一 盒餅乾與一片餅乾，高階單位量中包含著的低階單位量。因此，高階單位量轉換 成低階的過程中，必須協調（coordinating）兩個單位量的關係，與察覺兩者的包 含關係，也就是部分與全體（part-whole）關係。為了具備等分除運思必須具備截 割關係，截割關係則是將高階單位量中置入空間以形成低階單位量的一種活動， 該活動為平分活動的一個關鍵能力（甯自強，1993c）。
-20- 協調兩個不同階級的單位量必須具備「可共存」（co-existable）及「可區辨」 （distinguishing）；而部分-全體的關係依據上述三種運思的需求，還區分為基底單 位量一與低階集聚單位 n、低階集聚單位 n 與高階集聚單位 N、以及基底單位量一 與高階集聚單位 N 等三個層次的關係。圖 2 所示，一條衛生紙有十二盒，每一盒 有五百張衛生紙，引用上述的三種部分全體關係來形容就是一張衛生紙與一盒衛 生紙的關係、十二盒衛生紙與一條衛生紙的關係、一張衛生紙與一條衛生紙的關 係。而針對截割關係視為除法運思中的重要成就，截割是一個心智活動的運作， 應為集聚活動的逆活動，在兒童具備加減互逆概念後，合與分的活動可以進行不 同情境的類化，兒童可以將形成數概念過程中的「分」轉化為單位量集聚後的「分 散活動」，其困難之處反而在於分散時是否關注「均量」？也就是平分活動的「等 價」要求。 圖 2 一條衛生紙的三階單位轉化示意圖 等分活動前的乘法運思與活動中須具備的等分除運思為影響兒童等分概念是 否完整的關鍵(甯自強，1993c)，乘法運思是低階單位量之間的空間隔閡被操作者
-21- 暫時視而不見，單位量轉化的過程中，操作者必須同時區辨兩個不同等級的單位 量，並且察覺兩個等級的單位量間存在的部分-全體關係。等分除運思則是將高階 單位量往未知的低階單位量轉換，其運思過程相較於包含除活動應更為困難，舉 例來說，將十二頂帽子分給三個小朋友時必須考慮的問題如下：每個階段的平分 活動必須一再確認是否等分？此時牽涉到比較活動，不同問題中的比較標準不 一，本題比較的標準為數量。在第一輪的分配後，必須同時掌握四個集合，包含 每個小朋友所分得的內容物以及剩餘未分盡的內容物，此時必須同時能區辨不同 集合間的關係，以及理解這四個集合皆內嵌於十二頂帽子的母集合中，此為部分-全體的其中一種關係，以上述所言的部分-全體關係應屬於「基底單位量一與高階 集聚單位 N」。 當察覺第一輪分配後並未解決問題，必須再次重演分配的過程，將第二輪分 配的帽子與第一輪分配的帽子視為不同，此為協調關係的能力，並保留兩次分配 的結果。對於尚未有分數概念的兒童而言，盡量分完意謂著必須使剩餘量不足再 進行平分一輪，因此，兒童必須確認是否停止分配活動。 確認分配活動告一段落後，兒童必須將每一輪分配的內容進行合成並以要求 的單位進行數值化，有時兒童會針對每一個小朋友所分配到的內容進行點數確 認，這表示兒童尚未將等分除活動內化，也就是尚未達到能預期逐一的分配活動 必然使每個小朋友得到一樣多的內容物。待兒童具備等分除運思後，才有能力利 用該運思用於連續量進行平分的活動，也才可能往單位分數的概念邁進。 參、 平分活動及其相關的課題 一、 平分活動的意涵 人類在遠古時期，為了增加生存機會，不同的家族必須群聚生活並進行集體 狩獵，而衍生「分」獵物的需求，是否與今日的公平原則一樣，我們不得而知。 時至今日，沒有了狩獵的場景，取而代之的是糖果、餅乾、披薩等食物在群體集
-22- 資購買時，所產生的「平分」需求。 本研究所主張的「平分活動」依據待分物件可否找到更小的單位量，而區分 為以下兩類： 1. 待分物為連續量時，在整體中產生一種分割（partitioning，甯自強， 1997a），致使分割後的各部份皆符合以某種判準（standard）下的等量（equal quantity）。 2. 待分物為離散量時，在整體中產生一種分散方式（distributing style），致 使分散後的各部份基數 （cardinal number，甯自強，1993d） 相同。 舉例來說，「將 24 瓶飲料平分活動」的情境下，整體為 24 瓶飲料，整體的分 散方式可以是｛2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2、2｝、｛4、4、4、4、4、4｝、 ｛6、6、6、6｝或｛12、12｝，但是像｛5、5、5、5、4｝及｛11、11、2｝則非平 分活動下的合法分割。另外一個例子為連續量的情境，在「一個圓形麵食的平分 活動」中，整體為此圓形周界內部所覆蓋區域，其合法分割如圖 3 所列皆可。此 時等價判準為量化後的面積大小。 而 Columba（1898）曾提出平分概念在不同情境下，有不同的解釋：在離散 量的情境下，是將一堆分散的物體，分成等量的子集合；在連續量的情境下，則 圖 3 圓形麵食可能的平分方式
-23- 是將全部分成相等的幾個部分。
二、 平分活動與保留概念
針對兒童在面對分割（partitioning）或分散（distribute）後的結果如何進行等 價的判斷，應該與兒童的保留概念有關。Piaget & Inhelder （1964）認為智能發展 是結構化（structuration）的歷程，而運思（operation）則是轉換物體並了解其歷程 的內在化活動。保留概念則是個體對物體在轉化過程中，能瞭解物體物質轉換前 後的不變性，換言之，必須能進行可逆性的運思活動，兒童才有可能在不同的時 空中對於轉換前後的事物進行不變性的提取。唯有將不變性運用在比較部分（part） 與部分（part）之間的大小關係，才有等價判準使用的可能。以連續量的情境來說， 分割後的部分通常需透過疊合（superposition）、比對（comparison）、對應 （correspondence）、變形（distortion）及測量（measure）才能比較是否等量。例 如：請兒童將一個派實際平分成 3 等份時，兒童必須能將分割後的部分進行疊合 比較，這必須具備面積或是體積的保留概念。同理，在離散量的情境下，分散後 的部分必須移動並透過一對一對應來確認數量的相等。例如：請兒童將 20 顆糖果 分給 4 個人，如果採用分半法，則必須能掌握一對一對應的能力；而即使採用逐 一分配（dealing）的方式，都必須體會到保留概念中的補償作用（compensation）。 Piaget 根據結構的變化方式將智能發展區分為三期，感覺動作期（0~2 歲）、 具體運思期（2~11 歲）及形式運思期（11 歲~），姑且不論眾多學者對於上述時期 區分的方式及名稱有所爭議，但是許多的研究認為保留概念確實對於兒童的智能 發展有重大影響（Elkind,1961a, 1961b; Lovell et al.,1960）。在 Piaget 的理論中，兒 童在具體操作期必須發展可逆性特質（reversible）、分類結構（classification）及排 列結構（seriation），以上三種都與等價判準有密切關係。
可逆性（reversible）為保留概念形成的重要特徵之一，根據 Piaget 的看法， 具備可逆性有三種特徵：同一論證（identity argument）、簡單可逆論證（simple reversibility）及補償作用（compensation）（Piaget, 1963）。舉例來說：當詢問兒童
-24- 為何這樣操作會得到目前的結果時，回答如『他根本就沒有改變！』、『他還是同 一個東西，沒有增加或減少什麼！』等解釋都可以視為同一論證；回答『如果再 把他們倒回去，還是會跟原來一樣的！』則屬於簡單可逆論證；而回答『這邊增 加的部分和那邊減少的一樣！』、『這個比較寬，可是另一個比較長，所以他們是 一樣的。』則可視為具備補償作用的能力。 分類結構（classification）隱含著內涵（intension）及外範（extension）兩個重 要特性（Piaget,1952）。界定某種品質的判準即為「內涵」，如：《哈密瓜、西瓜、 青蘋果、紅蘋果》可以用「水果」作為「內涵」，此時就僅將這些物品的眾多特質 作某特定「內涵」的提出。再利用「數量」作為符合該「內涵」的指涉即為「外 範」，如：《哈密瓜、西瓜、青蘋果、紅蘋果》以「水果」作為「內涵」，並用「4」 作為「外範」。真正能掌握分類結構的兒童必須具備內涵關係（inclusion relation）， 延續上述的例子，以《哈密瓜、西瓜、青蘋果、紅蘋果》詢問兒童，可能會得到 下列的對話內容： T：「如果將這些水果（A）中把蘋果（B）拿走，會剩下東西嗎？」 S：「會！會剩下瓜類（B′）。」 T：「如果將這些水果都拿走？會剩下東西嗎？」 S：「沒有剩下了！」 T：「那蘋果（B）比較多？還是水果（A）比較多？」 S：「一樣多！」 以上對話可推測兒童已能將集合 A 區分出 B 和 B′兩個子集合，但僅能直接比 較同一層級「不同內涵」物件的「外範」，對於上下有包涵關係的「內涵」所指涉 的「外範」無法比較，必須等到能同時掌握 B=A－B′或 B′＝A－B 時，才表示兒童 已經可以掌握種類的意義。 三、 平分活動與除法概念 兒童可能在逐一分配的過程演化出除法運算的技巧，這說明了除法是解決平 分活動的一種方法。呂玉琴（1994a, 1994b, 1994c, 1994d）曾對除法的運用進行結 構型的分析，他區分出同單位比率及異單位比率兩大類，進一步根據除法與乘法
-25- 之間的關係發展出五類的除法應用類型：同單位比率、異單位比率、異單位比率 除數、改變大小的除數、反求因子等，第一類的同單位比率所進行的活動，以數 學課程研究的說法，稱之為包含除，該比率即是除法中的包含除活動的產物。特 別是 a 與 b 兩個同單位的量進行比較時，不論 a 除以 b 或是 b 除以 a 都是能被兒童 普遍皆受的。而第二類的異單位比率，則可以稱之為等分除活動的產物。 由於平分活動的產物，通常會保留單位進行解釋，兒童對於此類的應用常常 只能解受單一方向的解釋，如：九個人平分五十四塊餅乾，每個人平分到六塊餅 乾，如果將除的方向改變為每塊餅乾被 6 1 個人吃，將會造成兒童的解讀困擾。這 樣的困擾有時恰好成為兒童在判斷除法運算的巧門，也因此老師不容易發覺兒童 對於等分除活動的一知半解。 針對以上兩種除法的使用，我們可以說第一種的同單位比率之所以能普遍具 備兩種除法方向的解釋，在於兩個同單位量的比較結果為一個數，嚴格來說，是 以除數為基準單位量的單位數，兩個不同方向的除法比較結果都是容易被接受 的，也因此容易被被兒童所混淆。反之，異單位比率中的除法是由兩個不同單位 的量進行比較，在單位量未知的情形下，兒童必須同時掌握兩個不同單位量，當 然會增加其解讀的困難。（甯自強，1993a） 就平分活動而言，第二類的異單位比率發生於採取逐堆發放的活動策略中， 舉例來說：請兒童三等分十根巧克力棒，如果兒童採取每堆各放三根的方式會剩 下一根，他可以選擇繼續分割剩下的一根，並集聚分配結果為 3 1 3 根為平分活動的 結果，並以每人 3 1 3 根作為十根與三人的異單位比率，看似無法以第一類的同單位 比率進行解題，但換個角度看平分的策略，如果將每一輪各分一根將消耗三根視 為單位量，據此測量十根的單位數即可獲得同單位比率的 3 1 3 一值，只要能理解此
-26- 處的 3 1 3 背後的單位為分配回合數-分了幾輪，那麼就可以解釋為分配結果為每位分 到 3 1 3 根。這也說明了等分除與包含除在平分活動中可以透過分配過程的詮釋進行 溝通。 四、 部分與全體的概念 平分活動除了平分操作之外，整合平分前後的單位量關係是理解平分活動過 程的重要關鍵。平分前後的單位量間存在著部分與全體的包含關係，我們可以從 Piaget（1960）的研究中發現幾項可供教學者判斷兒童是否具備完整的平分概念的 準則，這幾項判準之間並沒有決定的包含關係或階層關係，至少對於兒童的平分 活動結果來說是這樣。他說明，兒童在平分活動之初必須了解可分割的（divisible） 前提，也就連續量可以被進行平分的必要條件；其次必須理解分配物與分配者之 間的隸屬關係，如此才能對分配量進行確定（determinate）；緊接著，兒童必須發 覺「被要求盡可能分完」一語的意義，並有意的分盡（exhaustive）；第四項為發現 分配份數與分配者之間存在固定的（fixed）關係；第五項為判斷平分活動是否公 平的等量（equal）準則；第六項則是構成分數概念與除法概念的主要觀念：具備 巢狀關係（resting）而非己僅止於並置關係（juxtaposed）；最後，必須能將分配後 的部分進行集聚以證明整體不滅的性質（invariant）。這樣的特徵描述出現於 Piaget 對於兒童平分面積量時所歸納的發現，他說明了平分活動在認知過程中的複雜 度，也提供我們區辨兒童平分能力的依據。 五、 平分活動與建構單位分數 甯自強（1993d）曾提到「被界定量的分割」（高斯，1800）稱之為量的子分 割活動（subdivisional activity）。並提到分數概念的啟蒙到單位分數的形成過程中 必須經歷：分割活動、單位化結果、合成子分割單位、並置集聚單位、單位量的 轉換稱呼、子分割單位的數值化等六個階段，茲將分述如下。
-27- 1. 分割活動 從定義中可以發現分割在「平分活動」中所扮演的重要角色，兒童的分割活 動是情境化的（Lamon, 1996），在尚未接觸正式除法課程前，就已經有許多經驗足 以做為他學習分數課程的基礎，而他們也憑藉著非正式的分割與等價知識進行除 法學習前的「平分活動」。「平分活動」之於除法概念，如同「數數活動」之於正 整數概念。Lamon（1996）認為分割是一種產生量的操作，是以經驗為基礎，亦是 分數概念的先備知識之一，因此，分割活動的表現反應出平分意義在兒童的心理 結構與基模的運作方式。 分割活動根據待分物的性質區分為分散離散量（甯自強，1993d）與破裂連續 量兩種，後者根據發生的順序尚區分為：逐一發生的撕裂（splitting），及同時發生 的碎裂（fragmenting）。舉例來說，發給兒童一張方形紙片，並要求將紙片分給連 同他在內的 3 個小朋友，你可能會看到小朋友依序地撕下紙張的部分，當然我們 暫不考慮利用折疊的方式進行裁切以同時形成多個部分。如果情境改成發給兒童 一塊蘇打餅，並請他分一些給另外兩個小朋友，那麼小朋友有可能會將餅乾壓碎， 這時候你可以發現被分割的物品同時分成好幾個部分。上述紙片的例子中，所進 行的是撕裂活動，而蘇打餅的例子則是碎裂活動。 利用產生分量的時間不同而區分為撕裂與碎裂，在兒童學習分數概念時非常 重要，姑且不論是否能真的等分，上述動作必須在同一個時間完成，兒童才會有 等分割的概念；如果是依序的進行分割可能無法強調部分與全體的關係，像這樣 的同時分割方式普遍出現在目前使用的課本或多媒體中；反而在傳統使用板書進 行教學的活動中無法看到，因為有實際進行上的困難度，也因此學生在兩種不同 的呈現方式中，容易對於分數的等分割概念存在盲點。至於離散量中的分割活動， 容易與連續量的撕裂活動進行關聯教學，這可以解釋何在教學設計中，除法的平 分活動是先離散量的平分，接著才是連續量的平分；但是，在單位分數的教學時， 卻改成利用連續量的分割活動作為一開始的例子，原因在於平分活動的對象是離 散個物，每個待分內容物彼此在視覺上是分散的，在分配時僅是對占有的空間位
-28- 置進行重新分配，不像單位分數的概念可能涉及單一個物的等分割活動，單一個 物的等分割必須先進行分割才能進行像離散物的平分活動。 2. 單位化結果 由於單位量須滿足「存在性」的「可再製性質」、「可計數」的「可重複複製 性質」、及「具結構化」的「可重複製作的單位結構」三個性質，而單位化活動則 是在進行分配或分割活動時，不論是感官活動、表徵活動或是心智活動都必須操 作或運思的階段，如果每次分割後的分量都沒有固定標準，則在計數上及溝通表 達上將造成不便，是故兒童必須將每次子分割後的產物與某個內蘊化的標準進行 比對，如果沒有某個標準已被內化作為心中的尺，將無法繼續進行合成子分割單 位及學習單位分數概念。 根據甯自強的研究（1993d），兒童在進行連續量的單位化活動時，通常以個 體數量或是面積；而離散量則有可能是以每堆中的數量為標準進行分堆，或是沒 有進行計數堆數中的個數，而是以堆為一個單位進行分堆。後二者關於離散量的 分配方式可以區辨出兒童是以何種標準為心中的尺，當兒童選擇以堆數為基準 時，成人可能會利用對每堆進行數數活動以暗示兒童，其選擇的標準與成人世界 不同；反之，如果選擇以每堆中的數量作為標準，則成人可能不加以阻止子分割 的活動，以作為暗示兒童其選擇的標準與成人世界相容。 3. 合成子分割單位 當單位化活動進行後，兒童需同化學習數概念時的合成運思於單位化產物 上，將單位化產物合成為分子與分母的個別單位量，此時兒童所合成的兩個單位 量都具備單位量的三個性質，如：兒童將一張長方形紙條利用對摺再對摺的方式 撕裂為四等分後，如果其目的在於將其中一等份分配給某人，則兒童將同時形成 三個單位量：欲分配給目標的單位量 4 1 條、分配後所剩餘的三個 4 1 條的合成單位
-29- 量 4 3 條及被平分為四等份的四個 4 1 條的合成單位 4 4 條。須注意的，此時兒童對於 上述的分量無法使用分數詞進行命名活動，但是可以透過追問的方式檢查是否達 到了合成子分割單位的階段。 當兒童將連續量利用各種方式進行等分割後，其所看到或感受到的量已然由 一張紙條的連續量轉化為具備四張小紙條的段落化的關聯物件（Steff, 1991），這應 該就是何以 Steff 所言兒童眼中的連續物件與連散物件並沒有太大區別的原因。而 且在一旁觀看的成人如果不經過詢問可能無法確認兒童進行分配的是具備連續量 性質的 4 1 條或是四個等價的小紙片。 4. 並置集聚單位 如果兒童能將子分割產物視為三個合成單位量，那麼僅表示兒童能進行分配 活動，也就是如果不要求兒童對於分配後的結果作量化或命名活動，則無法確定 是否具備單位分數的概念。因此，甯自強（1993d）提出並置類型（juxtaposed pattern） 概念，他認為並置概念為分數概念的重要成關鍵，分數的眾多意義皆與兩個量的 比較有關，而分數詞所指並非單一的單位量，以「拿出八個積木的 4 1 」為例，兒 童必須理解八個積木須子分割為四等份，一份則是將八個積木進行等分除活動所 獲得的結果，必須同時掌握一與四在並置活動中所扮演的角色才能視為具為並置 類型的概念。能進行分配活動不代表掌握了並置類型，在「請將長方形紙條平分 給四個人，並說明每個人獲得多少？」的情境中就不一定能阻撓兒童分配活動的 進行，僅具備合成運思的兒童可以利用對摺後的其中一份，再進行對摺這一份來 進行分配活動，但兒童可能將所分配的一份與整條紙條視為兩個不同大小的單位 量一，此時雖有並置類形的影子，卻並非完整的部分全體概念，原因在於兩個單 位量不具備結構化的單位量性質。
-30- 5. 單位量的轉換稱呼 縱使兒童具備累進性合成運思（甯自強，1992a）能將子分割的分子與分母進 行聯絡，如：能將 4 1 的分子一視為四個中的一個，但如需對 4 1 進行合成與分解活 動，則分數中的四個會因為分子一個被拿走而消失，則可能出現 8 2 4 1 4 1 的現象。 此時的並置關係稱之為「內嵌並置類型」，甯自強認為並置類型並非真正的部分與 全體關係。另一方面，能具備並置類型的兒童多半從整數數概念時的巢狀數概念 （甯自強，1992b）調適而來，因為此時的兒童可以同時考慮兩個單位量之間的關 係。 6. 子分割單位的數值化 當兒童可以利用「平分為 N 份中的一份」作為子分割單位量的意義，則部分 全體運思已經可以讓部分脫嵌於全體之外而進行運算（甯自強，1993d），此時兒 童可以處理以單位分量進行的合成與分解活動，諸如三個 4 1 合成 4 3 也可以被理解 與解釋，數值化是形成單位分數的里程碑，這表示兒童可以藉由表徵來進行運思 與計算而不會混淆單位分量與總量。也可以說兒童已然具備單位分數的概念。 六、 平分活動與分數概念 詹婉華（2003）以紙筆測驗來蒐集國內五、六年級兒童分數概念，結果顯示 高年級學生僅注意到題目中的待分物是否有足夠的分割數，也就是當題目詢問是 否為 5 1 時，約有 12%~18%僅注意到圖形中是否被分割為五個區域或是五片，並未 確定這五個區域或是五片是否等分。更進一步，他還發現雖然有 12%的學生注意 到題目中的待分物沒有等分，但是卻認為只有其中一份沒有與其他等份一樣，因 此覺得無所謂；而 6%的學生則認為雖然一開始題目給的待分物沒有等分，但是經
-31- 過自己的二次分割後會形成一樣得更多分量，卻忽略了在自己二次分割時，已經 改變了整體的分割數。顯然此類學生對於等分活動的根基-確定每一份等量或等價 沒有注意，這並非兒童沒有學習過此一重要觀念，而是學生在進行此類活動時， 對於此一現象沒有某種程度上的重視。 兒童在面對「某量所占全部的多少？」或「斜線占全部的幾分之幾？」的問 題時，受到學習時的舊經驗影響。根據經驗，中年級數學老師在學生已經了解分 數定義後的分數教學時，需要借助圖形表徵分數以協助學生解題時，可能認為學 生對於分數定義已經固著，因此在進行板畫表徵分數時，往往過於隨便，講求效 率的教學方式下，給予了學習者潛在的暗示行為，如此可以解釋為何剛學習完分 數定義的學生對於沒有等分的表徵圖形會有所警惕；反而高年級的同學對於「是 否等分每一份？」的問題通過率比中年級的學生低的異常現象！ 綜上所述，平分活動與保留概念、除法概念、部分-全體概念、分數概念等四 個重要數學概念有關，因此，有待於我們對兒童如何運思以上概念進行相關的研 究。 肆、 判斷平分能力的指標 雖然平分活動隱含著「逐一」、「窮盡」、「公平」三個重要概念，能否透過具 體的外顯活動來察覺其掌握平分活動，則有賴於對於前述概念的活動解理。 一、 逐一（dealing） 逐一從其字面上應該掌握「逐」及「一」，前者在活動中不時改變操作對象， 同時使用工具或記憶來標記已完成及未完成者，後者的「一」在連續量與離散量 的界定上甚為重要，初期的「一」應為連續量，指的是無法在使用更小單位進行 測量的單位量，一般以自然呈現的物理界線為主；後期的「一」可能為離散量的 方式呈現，此時的「一」具備巢狀特性，逐二、逐三都是逐一的延伸，圖的是快
-32- 速及減少錯誤。 二、 窮盡（exhausted） 能夠逐一不保證能完成平分活動，兒童可能在任何時刻中止平分活動，中止 的理由包含無法處理及認為達成目的。例如：要求兒童將一盒巧克力分給兩個娃 娃，兒童在各分三個後中止，即使盒中仍有超過三個以上的巧克力；或者是剩下 一個巧克力時中止，並回應「這個巧克力必須丟掉！」都屬於能逐一卻無法完成 平分的例子，「逐一」加上「窮盡」才能補足上述出現的可能情況。「窮盡」對應 於向兒童佈題時的提示語「請盡量分完」有些微的不同處：前者必須設法不剩餘 任何待分物；後者在某些時候可能會剩餘不足再分一輪的「合法餘數」。強迫分盡 的結果可能導致兒童將剩餘物隨意納入某一堆中，而無法兼顧到平分活動的主要 原則：「公平」。 三、 等量（equal） 公平在平分活動中最為重要，也是平分活動的發韌，卻同時令人難為。公平 的定義在不同情境下有不同的解釋方式，例如：對嬰兒來說，兩個娃娃都有分到 一個的「都有就好」的公平；對於哥哥來說，分給弟弟五個，然後自己剩下六個 並解釋為因為第弟吃不完的「需求導向」的公平；甲分三個蘋果，乙分二顆梨子， 而丙分一顆木瓜的「截長補短」的公平。當然，數學上的公平在無特別要求時， 以數量為公平與否的圭臬，以課程綱要中所要求的平分活動來說，此時平分的對 象為離散量，應使用自然數為計數的工具，同時利用數的大小比較來判斷是否等 量。對於連續量的平分也止於已經具備刻度的「假連續量」，目的在於讓兒童可以 使用已經學習一段時間的自然數做為比較的工具，例如：請小朋友將一條十二公 分的繩子三等分，如果已經具備十二個積木可以平分成三推的經驗，將可能轉化 成十二個積木分成三堆的活動來轉化題目，再利用所得的答案反求繩子的情境答 案。因此，現行教材中多呈現離散量或已被賦予刻度的連續量作為平分對象。
