第三章 模型設定
第一節 模型(一):廠商之間具有不同的技術與成本時
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(first-order-condition F.O.C)
(1+𝜃
𝐴)((−2𝑟
𝐴(1+𝜃
𝐴)+𝜃
𝐴(1−𝐾
𝐵+𝐾
𝐴𝜃
𝐴))𝜃
𝐵+𝑟
𝐵𝜃
𝐴(1+𝜃
𝐵))
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上述舉廠商 A 的網內費率𝑟𝐴為例子，可以看出當廠商 A 自己本身的品質(𝐾𝐴) 越好時，廠商所訂定的費率可以更高；而對手廠商的品質𝐾𝐵越高時，將使得廠 商 A 費率降低，從經濟直覺來看，原因為品質的提升使消費者的願付價格更高，
從價格競爭轉而利用品質來競爭，因此可以訂較高的價格，而對手廠商則因為其 品質相對來的低，因此只好利用價格的下降，來與對方品質相對上的提升競爭。
而由𝜃𝐴的大小可以看出，當廠商 A 所訂的網外費率太高時，表示相容性較低的 情況，產生的網路外部性對消費者來說太小，消費者的效用因網路外部性所增加 幅度不高，因此消費者的願付價格降低，導致透過費率下降來競爭。
我們將各係數帶入，觀察給定技術與對手廠商的相容性下，費率與自身相容性的 變化:廠商 A 的費率(𝑟𝐴)的變化如圖 3-2 與圖 3-3，下圖縱軸為廠商 A 的費率，縱 軸為廠商 A 的相容程度(𝜃𝐴)
𝜃𝐵=0.5 時:
圖 3-2 廠商價格與相容性的關係
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𝜃𝐵=1 時:
圖 3-3 廠商價格與相容性關係
由圖 3-2、圖 3-3 可以看出當廠商 A 的相容程度越大時，在廠商 A 與 B 的技 術不變，廠商所能夠對消費者收取更高的費率。以經濟直覺來看，由於消費者對 於品質的注重，消費者在選擇產品時，擁有較高技術的廠商能夠優先於較低技術 的廠商。可以看出對於廠商 B 相容性的提高使得網路外部性提高增加了消費者 購買 B 廠商所提供的門號的效用，因此可以對消費者收取的費率提高。而在當 對手的相容程度越高時，造成對手廠商的消費者相對產生的網路外部性提高，相 對也帶動起了購買 B 廠商門號的消費者的效用增加因此 B 廠商減少了在費率上 的競爭，廠商 A 的費率也因此而提高。並且由圖 3-2、3-3 中可以發現當廠商 A 本身的技術不變下，廠商 B 的技術進步會使得廠商 A 的費率下降，表示當廠商 B 的技術進步而廠商 A 技術相同時，為了與廠商 B 因技術進步競爭，廠商 A 只 好利用價格的減低來與廠商 B 的技術進步抗衡。
若是廠商 B 的技術不變時，廠商 A 的技術進步時，相容性提高時，廠商 A 所制定的費率提高幅度隨著與廠商 B 的技術差距越大，也就是說當廠商 A 因為 技術與廠商 B 的差距，使得產生的網路外部性增加幅度差距越大，因此使得廠
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商 A 相容性的提高時所增加的費率幅度能夠更高。
在先前我們所計算出來的 A、B 廠商的如圖 3-4，先假設當廠商的技術皆為 0.5 時，廠商 A 和 B 訂定𝜃值之大小對於廠商 A 價格的影響。平行的右邊為廠商 A 的𝜃之大小，左邊為廠商 B 的𝜃之大小，縱軸則為廠商 A 價格的大小。由此圖 可以看出當廠商 B 的θ固定時，廠商 A 的𝜃值越大對於自己的價格則會更加提高，
也就是說當廠商 A 對於相容性提高，相容性越高時表示廠商在此時撥打網外與 撥打網內的使用者，相對的價格差距較小，將使得消費者對於商品 A 的網路外 部性提高。廠商 A 因消費者的願付價格提高，使得自己的價格提高。即使廠商 的技術程度不同時，我們依舊可以發現廠商的價格函數在技術較高的廠商於各個 不同的相容程度下所占的優勢更顯著，價格相對的可以訂的更高。
經濟含意:在我們此模型的考慮中，技術越高，相對地對消費者來說，所產生的 網路外部性越高，因此消費者的效用提高，而相容程度在給定對手的相容程度下 提高也會使得網路外部性的增加，消費者對於商品的願付價格更為提高，因此在 不考慮成本的情況下廠商的費率能更提高。
圖 3-4 廠商相互的相容性與價格關係圖
水平軸為廠商 A、B 的相容程度大小，Z 軸則為價格之大小
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在分析過各種技術數值後，我們將上面求解出的
𝑟 𝐴 、 𝑟 𝐵 、
𝑁𝐴、𝑁𝐵方程式(1) (2) (3) (4)帶入廠商的利潤函數後，求取一階條件=0 並且聯立求解時。我們發現 求解出的解過於複雜，因此將上述條件簡化，在給定 A、B 廠商的技術以及其協 調的成本情況下，對於相容性的影響並求出廠商最後所決定的費率：先假設當廠商的技術與成本相同時 𝐾𝐴
=𝐾
𝐵=1，a=b=1 ----(6)
𝜋𝐴
=𝑁
𝐴𝑃𝐴− 𝜃𝐴2，
𝜋𝐵=𝑁
𝐵𝑃𝐵− 𝜃𝐵2。由(1a)邊際消費者的等式為
V+ (𝑁
𝐴 + 𝜃𝐴𝑁𝐵)− 𝑃
𝐴 − 𝑁𝐴= V+ (𝜃
𝐵𝑁𝐴+ 𝑁𝐵)− 𝑃
𝐵− 𝑁𝐵，
將(6)帶入(2) (3) (4) (5)𝑟 𝐴 = 𝜃
𝐴(2𝜃
𝐴+𝜃
𝐵)
3(1+𝜃
𝐴) ---(2a)
𝑟 𝐵 = 𝜃
𝐵3(1+𝜃 (𝜃
𝐴+2𝜃
𝐵)
𝐵
) ---(3a)
𝑁 𝐴 = 3(𝜃 2𝜃
𝐴+𝜃
𝐵𝐴
+𝜃
𝐵) - ---(4a)
𝑁 𝐵 = 3(𝜃 𝜃
𝐴+2𝜃
𝐵𝐴
+𝜃
𝐵) ---(5a)
利潤函數為 πi=NiPi− θi2 將(1.1) (2.1) (3.1) (4.1) 帶入πA, πB得
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𝜋𝐴 = −9𝜃𝐴3+𝜃𝐴2(4−9𝜃9(𝜃 𝐵)+4𝜃𝐴𝜃𝐵+𝜃𝐵2
𝐴+𝜃𝐵) ，
𝜋𝐵= 𝜃𝐴2+𝜃𝐴(4−9𝜃9(𝜃𝐵)𝜃𝐵+(4−9𝜃𝐵)𝜃𝐵2
𝐴+𝜃𝐵) 。
由上述利潤函數求取符合 F.O.C=0，S.O.C 大於 0 的利潤最大化條件後可得到兩 組θ均衡解。
依照我們原模型假設 θi為 0~1 之間的數，因此符合一階以及二階條件的解有 (𝜃𝐴 = 0. 08，𝜃𝐵 = 0. 08)以及
(𝜃𝐴 = 0，𝜃𝐵 = 0) ， 將𝜃𝐴、𝜃𝐵帶入 𝑟𝐴
,
𝑟𝐵(𝑟𝐴 = 0.036，𝑟𝐵= 0.036) ，
將所求出的(𝜃𝐴 = 0. 08，𝜃𝐵 = 0. 08)帶入(2a) (3a) (4a) (5a) 𝑟𝐴 = 𝑟𝐵 = 0.036，
𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 = 0. 08，
𝑁𝐴 = 𝑁𝐵 = 0.5，
𝜋𝐴 = 𝜋𝐵 = 0.061。
若因協調相容性所產生的成本下降時：
將 a=b 改為 1/2 則可以求得 (𝜃𝐴 = 0.417，𝜃𝐵 = 0.417) ， (𝑟𝐴 = 0.1 3，𝑟𝐵= 0.1 3) ， 𝑃𝐴 = 𝑃𝐵 = 0.417，
𝑁𝐴 = 𝑁𝐵 = 0.5，
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𝜋𝐴 = 𝜋𝐵 = 0.1 。
由此可知當廠商的成本越低時，廠商所訂定的相容程度會越高，而價格也會 因為網路外部性的提高而增加利潤也因此更高。若我們將不同的技術值帶入分析 時我們可以發現當協調的成本逐漸降低時，與上面的例子 a=b=1，a=b=1/2 時的 例子相比，可以發現上面的例子中協調的成本過高，使得廠商只有兩組均衡解符 合利潤最大的條件。而當協調的成本逐漸降低時，通常我們解出廠商的相容性策 略選擇中，符合利潤最大條件的解，會有相容性為 1 時與不為 1 時的兩種相容程 度策略作選擇，而由廠商的相容策略組合，可以得到四組符合利潤最大條件時的 利潤組合，因此我們可以將其化成賽局的形式來看當廠商選擇 1 或不為 1 時的利 潤，何者是廠商的均衡。
我們由上面的廠商利潤函數在給定廠商的技術與成本時的情況下，分為當廠 商的技術與協調的成本都相同時，以及當技術較高的廠商可能擁有較低的協調成 本來討論，以下由幾個簡單的例子表示:
假設廠商的技術與成本都相同𝐾𝐴 = 𝐾𝐵 ，a=b 令𝐾𝐴 = 𝐾𝐵
=1, a=b=1/3 時
𝜋𝐴
=𝑁
𝐴𝑃𝐴− 𝜃𝐴2/3 ， 𝜋𝐵=𝑁
𝐵𝑃𝐵− 𝜃𝐵2/3。表 3-1 中(，)中的數值表示在給定廠商的技術下，當廠商選擇相容性是否為 1 時 策略組合下的利潤。
當我們給定廠商了技術與成本面變數數值𝐾𝐴 = 𝐾𝐵
=1, a=b=1/3 時，可以得到下表:
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表 3-1 廠商決策賽局表
A , B
𝜃𝐵=1
𝜃𝐵<1𝜃𝐴=1 (0.167,0.167) (0.136,0.216) 𝜃𝐴<1 (0.216,0.136) (0.182,0.182)
我們可以發現對於廠商 A、B 來說的優勢策略為選擇相容性不等於 1，也就是再 給定其它廠商的策略下，另一廠商的最適策略都是選擇相容性不為 1 的策略，因 此我們可以知道 Nash 均衡解: 𝜃𝐴 = 𝜃𝐵 =0.625。
若協調所產生的成本更小時:
𝐾𝐴 = 𝐾𝐵
=1 , a=b=1/4 時，賽局策略如表 3-2
𝜋𝐴=𝑁
𝐴𝑃𝐴− 𝜃𝐴2/4 ， 𝜋𝐵=𝑁
𝐵𝑃𝐵− 𝜃𝐵2/4。表 3-2 廠商決策賽局表
A , B
𝜃𝐵=1 𝜃𝐵<1𝜃𝐴=1 (0.25,0.25) (0.235,0.257) 𝜃𝐴<1 (0.257,0.235) (0.243,0.243)
我們可以發現對於廠商 A、B 來說的優勢策略依舊為選擇相容性不等於 1 Nash 均衡解: 𝜃𝐴 = 𝜃𝐵 =0.833。
綜合以上我們可以發現，當兩家廠商的成本與技術相同時，廠商的相容程度 會選擇相同；當廠商的協調成本降低時，廠商將會提高相容的程度並且利潤提 高。
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由於通常我們的電信業市場中廠商的技術並非兩家廠商都會相同，在台灣市 場中以中華電信由於原本為國營的事業，也因此在建設基地台等基礎建設最多而 所能提供消費者更廣泛的收訊及品質，而在協調其相容程度時，也因此佔有較多 優勢，使得協調相容性的成本能相較對手較低。以下我們討論當廠商的技術不同 時以及協調的成本也不同時，廠商會選擇相容程度會如何改變。
假設廠商 A 擁有較高的技術，且在協調方面可能有較低的成本，因此我們在數 值的模擬有 𝐾𝐴 ≧ 𝐾𝐵
，a≧b
的假設。𝐾𝐴
=1 ,
𝐾𝐵=4/5 ; a=1/4 , b =1/3，廠商間賽局策略表 3-3 如下:
表 3-3 廠商決策賽局表
A , B
𝜃𝐵=1 𝜃𝐵<1𝜃𝐴=1 (0.318,0.102) (0.292,0.195) 𝜃𝐴<1 (0.324,0.088) (0.296,0.181)
雖然利潤相差不太，但是可以看出對於廠商 A、B 來說選擇相容程度低於 1 時仍 是優勢策略，因此:
Nash 均衡解: (𝜃𝐴
,
𝜃𝐵)=(0.874,0.459)。在上面的例子中我們可以發現，擁有較高技術的廠商選擇的相容程度會比技 術較低的廠商來的高，並且利潤也較高。在經濟直覺來看，因為技術較高所以廠 商 A 所產生的網路外部性較高，因此廠商 A 可以利用提高相容程度來增加消費 者的效用減少費率的競爭。而廠商 B 由於技術較低，只能利用較低的費率與廠 商 A 競爭，因此擁有高技術的廠商能夠擁有較高的利潤。
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若當廠商技術不同時，協調的成本並沒有較低時：
KA=1 ， KB=4/5 ; a=1/3, b =1/3，廠商間賽局策略表 3-4
表 3-4 廠商決策賽局表
A , B 𝜃𝐵=1 𝜃𝐵<1
𝜃𝐴=1 (0.235,0.105) (0.205,0.195)
𝜃𝐴<1 (0.280,0.068) (0.249,0.159) Nash 均衡解: (𝜃𝐴
,
𝜃𝐵)=(0.651,0.469)當擁有較高技術的廠商 A，其協調的成本沒有因為本身的優勢使得成本較低 時，我們可以發現在雖然廠商 A 的相容性還是會較廠商 B 來的高，但是與上個 例子中相比，相容性還是在協調成本也具有優勢時高。而廠商 B 的相容策略與 上面的例子相比並沒有相差太多，但是利潤下降主要原因為廠商 A 因為協調成 本的考量而減少了相容程度，因此產生的網路外部性減少，只好降低費率最後使 得兩家廠商的利潤都下降。
下表中 3-5、3-6 為各種技術與成本情況下之比較。
在廠商給定的技術不變下：𝐾𝐴=1， 𝐾𝐵=4/5，可以得到廠商的均衡表如下:
表 3-5 廠商均衡表
(𝑟𝐴，𝑟𝐵) (𝑃𝐴，𝑃𝐵) (𝑁𝐴，𝑁𝐵) (𝜃𝐴，𝜃𝐵) (𝜋𝐴，𝜋𝐵)
a=1/4,b =1/3 (0.391，0.189) (0.839，0.603) (0.58 ，0.418) (0.874，0.459) (0.296，0.181) a=1/3,b =1/3 (0.273，0.170) (0.69 ，0.533) (0.564，0.435) (0.651,0.469) (0.249,0.159)
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給定廠商的協調成本相同下：a=1/3, b =1/3
表 3-6 廠商均衡表
由上表得到當技術相同但成本不同時，可以看出擁有較低協調成本的廠商，
能夠在費率上明顯的比對手廠商來的高、對於消費者所收的總價格也來的高，廠 商的市占率之影響並沒有如價格的差距來的大。而在廠商的協調成本相同而技術 不同時，當廠商 A 的技術不變而是廠商 B 的技術較低時，廠商 A 因為擁有技術 而產生較高的網路外部性，而可以提高費率，雖然沒有提高太多的相容性但是透 過提高消費者的網路外部性，使得費率提高使得總價格提高，並且擴大市占便可 以使得利潤增加。因此可以歸納出擁有較高的技術或者較低的協調成本都會使得 的利潤增加。
由此節我們可以得到幾個定理：
定理(一)：當市場上的廠商所擁有的技術不同時，擁有較高技術的廠商，將願意 將相容程度提高，以增加了更高的網路外部性，而得提高價格以獲取更高的利
定理(一)：當市場上的廠商所擁有的技術不同時，擁有較高技術的廠商，將願意 將相容程度提高，以增加了更高的網路外部性，而得提高價格以獲取更高的利