第三章、 研究方法
第二節、 模型介紹
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淨財務結果(𝐹𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑠𝑡)則可以拆分為保險財務收益或費用 (𝐼𝑛𝑠𝑢𝑟𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑒 𝐼𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒 𝑜𝑟 𝐸𝑥𝑝𝑒𝑛𝑠𝑒𝑡)與投資損益
(𝐼𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒𝑡)，保險財務收益或費用的組成為保險合約負債中合約服 務邊際(𝐶𝑆𝑀𝑡)、最佳估計負債(𝐵𝐸𝐿𝑡)之利息。認列關係式如下：
𝐹𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑅𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑠𝑡 = 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑠𝑡𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒𝑡
+𝐼𝑛𝑠𝑢𝑟𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑒 𝐼𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒 𝑜𝑟 𝐸𝑥𝑝𝑒𝑛𝑠𝑒𝑡 𝐼𝑛𝑠𝑢𝑟𝑎𝑛𝑐𝑒 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑛𝑐𝑒 𝐼𝑛𝑐𝑜𝑚𝑒 𝑜𝑟 𝐸𝑥𝑝𝑒𝑛𝑠𝑒𝑡 =
𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑡 𝑜𝑛 𝐵𝐸𝐿𝑡+ 𝐼𝑛𝑡𝑒𝑟𝑒𝑠𝑡 𝑜𝑛 𝐶𝑆𝑀𝑡
第二節、模型介紹
本文透由不同資產配置下，進行預測模擬分析 IFRS 17 實施下對保險負債與 現時資訊連結產生之影響。壽險業之主要商業模式為設計與發行保單，透過大 數法則匯集相似之風險以提供社會大眾經濟上之保障，並將收受之資金運用於 合適之投資標的，以保持實現對保戶的長年期承諾的能力與獲得資本利得，隨 著壽險業持有大部位的長年期負債，同時壽險公司之資金運用績效也著重於長 期穩定之投資獲利，因此本文採用近30 年期之資料，並參考 Hardy, Freeland, and Till (2006)並選出眾所皆知的 Independent Lognormal 模型(ILN)，以及有較 佳模型配適能力二個模型，分別為Regime-Switching Lognormal 模型(RSLN2) 與GARCH(1,1) 模型，作為本文國內外股票與匯率模型選擇，而利率模型基於 需要模擬出不同財務報導日下之未來殖利率和債券價格，由於不同財務報導日 下重新衡量之市場資訊匱乏，不適合使用無套利利率模型，因此採用均衡利率 模型之 Cox, Ingersoll and Ross (1985)模型(以下簡稱 CIR 模型)，以期望產生合 理之長年期經濟情境模擬。
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一、資料來源
本文所使用的標準普爾五百指數(SP500)、美國 3 個月國庫券殖利率
(US_3MTB)、台灣加權股價指數(TWSE)、台灣 1-30 天期初級市場融資性商業 本票利率(TW_1MCP)以及美元兌新台幣匯率價格(FOREX)皆來自台灣經濟新報 (TEJ)，資料期間皆為 1988 年 12 月 31 至 2018 年 12 月 31。股票指數、台灣與 美國短期利率與匯率價格等變數之觀察值數目一致，共361 筆月資料。
表二、各指標變數敘述統計
標準普爾
五百指數 台股加權指數 美國三個月期
國庫券利率
台灣商業本票 1-30 天期利率
美元兌 台幣匯率
最小值 277.72 2,705.01 0.0001 0.0037 24.6500
中位數 1,148.08 7,177.22 0.0296 0.0220 30.7310
平均數 1,181.04 7,124.23 0.0293 0.0359 30.3844
最大值 2,913.98 12,054.35 0.0883 0.1474 35.1120
標準差 621.4803 1,930.5617 0.0244 0.0315 2.8342
偏態 0.6440 0.0740 0.3437 0.7790 -0.2773
峰態 0.0001 -0.7862 -1.0090 -0.3110 -1.0972
個數 361 361 361 361 361
圖六、台灣、美國短期利率走勢
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圖七、台灣、美國股市與匯率走勢
表三、各指標變數對數報酬敘述統計
標準普爾 五百指數報酬率
台股加權指數 報酬率
美元兌 台幣匯率變化率
最小值 -0.4353 -0.1842 -0.0678 中位數 0.0061 0.0105 0.0000 平均數 0.0018 0.0061 0.0002 最大值 0.3324 0.1058 0.0789 標準差 0.0845 0.0413 0.0148 偏態 -0.3417 -0.7807 0.0370 峰態 3.9367 1.7321 4.4493
個數 360 360 360
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二、定態檢定與ARCH 效果
在配適時間序列模型前，我們需要確定資料為平穩的時間序列資料。若資 料為平穩資料，則其均值、方差和自協方差皆不會隨時間而改變且序列各階的 自協方差只與滯後之階數有關。本文採用 Augmented Dickey Fuller( ADF）檢定 進行定態檢驗。以下為各變數月資料走勢與對數月報酬率走勢圖：
圖八、台灣、美國股市與匯率變動率走勢
由月報酬率走勢圖初步判斷，台股、美股與匯率之變動率應該為定態資 料，再用ADF 檢定確定其是否為定態。從檢驗結果可知，ADF 統計量的 p value 皆小於 1 %，因此可認為序列資料沒有單根，是平穩的時間序列資料。
表四、台股、美股與匯率各變數ADF 檢定(lag=1) Q-statistic p-value
SP500 -7.0938 <0.01
TWSE -4.6195 <0.01
FOREX -5.9344 <0.01
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在GARCH（1,1）模型參數估計前，必須檢定模型配適出的殘差項是否具 有ARCH 現象，若存在 ARCH 現象，則可以適用 GARCH 模型進行配適。本 文採用落後一期Ljung-Box 的 Q 檢定以及 Lagrange Multiplier (LM)檢定去檢驗 報酬率資料的殘差項平方是否有序列相關的現象。由下表可知，其統計量的 p-value 皆小於 1%，說明殘差的平方項具有序列相關性，存在 ARCH 現象。
表五、台股、美股與匯率Ljung-Box 檢定
Ljung-Box test
Lag=1 Lag=5 Lag=10 Q-statistic p-value Q-statistic p-value Q-statistic p-value SP500 30.0270 <0.01 164.8178 <0.01 188.7665 <0.01 TWSE 14.1619 <0.01 49.2883 <0.01 59.7898 <0.01 FOREX 7.0618 <0.01 29.4203 <0.01 34.7682 <0.01
表六、台股、美股與匯率Lagrange Multiplier test 檢定
Lagrange Multiplier test
Lag=1 Lag=5 Lag=10
2 p-value
2 p-value
2 p-value SP500 29.9115 <0.01 87.7657 <0.01 90.4952 <0.01 TWSE 14.2720 <0.01 31.0684 <0.01 34.5304 <0.01 FOREX 6.9877 <0.01 29.1366 <0.01 36.6649 <0.01三、利率模型
在國內、國外債券評價部分，本文假設短期利率走勢為CIR 模型，考量此 短期利率模型能描述利率期間結構，並且能透過利率的歷史資料估計模型參數 之特性，較適合壽險業投資長期資產的特性。CIR 模型延伸自 Vasicek (1977)提 出之Vasicek 模型，為一單因子短期利率模型，假設連續利率為隨機微分方 程，並可以由下式表示：
𝑑𝑟𝑡 = 𝛼(𝛽 − 𝑟𝑡)𝑑𝑡 + 𝜎√𝑟𝑡𝑑𝑊𝑡
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改進Vasicek 模型中短期利率可能為負的缺點，將擴散項（Diffusion）的係數重 新定為𝜎√𝑟𝑡，因此短期利率波動度會隨利率上升而上升，並且當滿足2𝛼𝛽 > 𝜎2 𝐼𝑞(2√𝑢𝑣)為𝑞階之貝索函數（Bessel functions）在CIR 模型短期利率決定之後，年期為𝑇，於第𝑡期之零息債券價格計算方
本文採用最大概似估計法(Maximum Likelihood Estimator, MLE)，對 CIR 模 型進行參數估計如下表：
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表七、CIR 模型參數估計
𝜶 𝜷 𝝈
US_3MTB 0.1016 0.0105 0.0442
TW_1MCP 0.1992 0.0292 0.0901
四、多資產模型
1. Independent Lognormal 模型
資產價格之隨機過程𝑆𝑡滿足以下隨機微分方程(SDE)幾何布朗運動 (geometric Brownian motion)：
𝑑𝑆𝑡= 𝜇𝑆𝑡𝑑𝑡+ 𝜎𝑆𝑡𝑑𝑊𝑡
其中，𝑆𝑡為時點t 之資產價格，𝜇為資產報酬率之期望值，𝜎資產報酬率之標準
差，隨機項𝑊𝑡為布朗運動。
𝑆𝑡= 𝑆0exp[𝜇𝑡 + 𝜎𝑊𝑡]
由上式可知，股價報酬服從對數常態分配，即取對數後可得:
𝑦𝑡 = ln (𝑆𝑡 𝑆𝑡−1
⁄ ) ~𝑁(𝜇𝑡, 𝜎2𝑡)
本文利用最大概似估計法(Maximum Likelihood Estimator, MLE)估計對數常態模 型之參數。
表八、對數常態模型參數估計
𝝁 𝝈
SP500 0.0835 0.1428
TWSE 0.0641 0.2923
FOREX 0.0042 0.0511
2. Regime-Switching Lognormal 模型
根據Hardy(2001)、Hardy(2003)與 Hardy et al.(2006)於北美股市資料之實證 發現，狀態轉換對數常態模型(regime-switching lognormal model, RSLN)能有效
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捕捉資產價格之尾端風險(Tail Risk)，其主要應用於附投資保證型保險商品，且 對於長期資產資料有不錯的模型配適能力，此兩狀態轉換對數常態模型
(RSLN2)公式表示如下：
𝑟𝑡|𝜌𝑡= 𝜇𝜌𝑡𝑑𝑡 + 𝜎𝜌𝑡𝑍𝑡
其中𝜌𝑡為第t 期之狀態，𝑝𝜌𝑡−1,1與𝑝𝜌𝑡−1,2分別為前一個狀態已知下，維持原 狀態和轉移至其他狀態知機率，𝑍𝑡為第t 期之隨機項服從標準常態分配，𝜇𝜌𝑡與 𝜎𝜌𝑡分別為狀態𝜌𝑡下之平均數與標準差。本文利用最大概似估計法(Maximum Likelihood Estimator, MLE)之 RSLN2 模型參數估計匯總於下表：
表九、RSLN2 模型參數估計
𝝁𝟏 𝝈𝟏 𝝁𝟐 𝝈𝟐 𝒑𝟏𝟐 𝒑𝟐𝟏 SP500 0.0259 0.1810 0.1259 0.0787 0.0307 0.0276 TWSE -0.0134 0.3702 0.0666 0.1345 0.0155 0.0075 FOREX 0.0106 0.0782 -0.0011 0.0277 0.1779 0.3325
3. GARCH(1,1) 模型
Mandelbrot (1963)發現金融資產具有波動性叢聚現象（volatility clustering），
亦即大的變化常伴隨大的變化，小的變化常伴隨小的變化；金融商品具有高峽 峰、厚尾及變異數隨著時間而改變的特性。Engle(1982)為了解釋此現象，提出 自回歸條件變異數模型（Autoregressive Conditional Heteroskedastic model,
𝜌𝑡|𝜌𝑡−1= { 1，𝑝𝑟𝑜𝑏 = 𝑝𝜌𝑡−1,1
2，𝑝𝑟𝑜𝑏 = 𝑝𝜌𝑡−1,2 = (1 − 𝑝𝜌𝑡−1,1)
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Bollerslev(1986)修正 ARCH 模型的條件變異數方程式，提出一般化自回歸異質 條件變異數模型（Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedastic model, GARCH）假設條件變異數不僅受前期之預測誤差項平方的影響，同時也受前期
本文利用最大概似估計法(Maximum Likelihood Estimator, MLE)估計 GARCH(1,1)模型之參數並匯總於下表：
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本文之資產相關性建構方法採用 Cholesky decomposition，對資產報酬之相 關係數矩陣進行分解，本文共假設五種資產，分別為標準普爾五百指數
(SP500)、美國 3 個月國庫券殖利率(US_3MTB)、台灣加權股價指數(TWSE)、
台灣一個月商業本票利率(TW_1MCP)以及美元兌新台幣匯率價格(FOREX)，並
資產隨機過程之相關係數矩陣為正定矩陣(positive-definite matrix)經過 Cholesky decomposition 後可以形成一個下三角矩陣與其共軛轉置之乘積，下三 角矩陣(lower triangular matrix)表示為𝐿5×5。於t 時點下，資產隨機過程結合相 關性結構之隨機項之向量𝛦5×1可以表達如下：
其中，根據Cholesky-Banachiewicz 及 Cholesky-Crout 演算法，可以得到矩 陣𝐿5×5元素的計算公式如下：
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𝐿𝑗,𝑗 = √1 − ∑ 𝐿𝑗,𝑘2
𝑗−1
𝑘=1
𝐿𝑖,𝑗 = 1
𝐿𝑗,𝑗(𝛭𝑖,𝑗− ∑ 𝐿𝑖,𝑘𝐿𝑗,𝑘
𝑗−1
𝑘=1
) ，𝑖 > 𝑗
六、模型選擇
本段主要目的在針對匯率模型與股價模型進行模型選擇，以及做整體樣本之模 型配適度及樣本外模型預測，並比較各模型間預測能力與配適程度之優劣以作為模 型選擇之依據。在模型配適能力的衡量，由於樣本觀察值數目一致，本文採用赤池 資訊準則（Akaike Information Criterion, AIC）和貝葉斯資訊準則（Bayesian
Information Criterion, BIC），利用概似函數(Likelihood Function)以及對使用參數數 目的懲罰以衡量模型的配適程度，數值越小表示配適能力越好，其公式呈現如下：
𝐴𝐼𝐶 = −2 × 𝑙𝑜𝑔( 𝐿𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑) + 2 × 𝜑，𝜑為參數個數
𝐵𝐼𝐶 = −2 × 𝑙𝑜𝑔(𝐿𝑖𝑘𝑒𝑙𝑖ℎ𝑜𝑜𝑑) + 𝜑 × 𝑙𝑜𝑔(𝜔) ，𝜑為參數個數，𝜔為樣本數目
表十一、台股報酬率模型配適結果
TWSE ILN RSLN2 GARCH(1,1)
𝜔 360 360 360𝜑 2 6 4
Loglik 379.2070 441.2986 450.2440 AIC -754.4141 -870.5972 -892.4880 BIC -746.6419 -847.2806 -876.9436
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Loglik 637.2674 672.4881 664.8304 AIC -1270.5347 -1332.9761 -1321.6607 BIC -1262.7625 -1309.6595 -1306.1163
表十三、匯率變動率模型配適結果
FOREX ILN RSLN2 GARCH(1,1)
𝜔 360 360 360𝜑 2 6 4
Loglik 1007.4940 1045.5070 1017.3860 AIC -2010.9880 -2079.0140 -2026.7720 BIC -2003.2160 -2055.6970 -2011.2270
本研究另外採用RMSE、MAE 與 MAPE 三種指標來評估各模型之預測能力，
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其中，𝑌𝑡為現實觀察值，𝑌̃ 為預測值，𝑇為樣本期間，此三種方法皆為衡量模𝑡 型預測值與實際觀察值的差距，因此數值越小代表模型預測能力越好。為了觀察模 型配適度，首先須採用全部樣本用以建構模型並模擬預測路徑1000 組，其樣本期 間為1989 年 1 月 31 日至 2018 年 12 月 31 日。另外，取用最近五年之月資料進行 預測能力檢測，樣本期間為2013 年 1 月 31 日至 2018 年 12 月 31 日，然而由於保 險事業發展中心(TII)之模擬路徑為年資料，資料數目不同，因此僅列出經百分比化 之指標MAPE 結果，並且以 Lewis (1982)之分類等級來評估，其依 MAPE 大小將 模式預測能力分為以下四個等級：
表十四、MAPE 預測能力分級表
MAPE <10% 10%~20% 20%~50% >50%
預測能力 高度精確 良好 合理 不正確
表十五、台股價格預測能力結果
TWSE TII ILN RSLN2 GARCH(1,1)
𝑅𝑀𝑆𝐸 4911 4037 4675
𝑀𝐴𝐸 3535 3055 3157
𝑀𝐴𝑃𝐸 0.7496 0.3743 0.3234 0.3342
表十六、美股價格模型配適結果
SP500 TII ILN RSLN2 GARCH(1,1)
𝑅𝑀𝑆𝐸 527 523 666
𝑀𝐴𝐸 411 414 454
𝑀𝐴𝑃𝐸 0.2748 0.1856 0.1871 0.2049
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表十七、匯率價格模型配適結果
FOREX TII ILN RSLN2 GARCH(1,1)
𝑅𝑀𝑆𝐸 2.7103 2.7588 2.7713 𝑀𝐴𝐸 2.1880 2.2199 2.2685 𝑀𝐴𝑃𝐸 0.0876 0.0706 0.0717 0.0732
在模型配適與預測能力的比較中，台股模型以RSLN2 之有次低之 BIC 指 標-847.2806，最低且屬於合理預測能力之 MAPE 指標 0.3234，而 GARCH(1,1) 的結果與RSLN2 相當，有最低之 BIC 指標-876.9436，次低且屬於合理預測能 力之MAPE 指標 0.3342，本文選擇 RSLN2 模型。同時，美股以及匯率模型的 綜合比較中，RSLN2 模型優於其他二者，因此本文之台股、美股與匯率三者皆 選用RSLN2 模型進行資產情境模擬。此外，依據 MAPE 以及下圖所示，民國 102 年保發中心提供負債是足性測試之 1000 組情境的預測能力皆明顯弱於本文 所採用的模型，因此同樣不為本文採用。
圖九、保發中心與本文TWSE 模型情境走勢比較
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圖十、保發中心與本文SP500 模型情境走勢比較
圖十一、保發中心與本文匯率模型情境走勢比較