正多邊形尺規作圖與棣美弗定理

古希臘人運用直尺和圓規建構出廣大的幾何世界，並嘗試以最簡單的法則去堆砌 出所有的幾何物件，並在堆砌過程中，思索著世界運作的原理。而當複數的概念被引進 後，正n邊形的作圖問題，就可藉助於分圓方程式 (cyclotomic/equation)Z  來解決ⁿ 1 (林琦焜，2003)。以下對正多邊形尺規作圖和棣美弗定理的關聯性，進行介紹：

一、 尺規作圖的意義

在國中數學教科書指出，利用直尺和圓規畫圖，我們就稱為尺規作圖。其中直尺 只用來畫出通過兩點的直線或線段，不使用上面的刻度丈量，用圓規以一點為圓心，某 線段為半徑，畫出一圓或弧(南一書局，2012)。根據林琦焜(2003)研究，所謂尺規作圖，

按歐幾里德定義，僅可使用圓規與直尺。在這種限制下只能作出有理數，平方根以及經 由有限次的有理運算或開方所得的數。范志軒(2013)指出，古希臘人作圖時，規定只使 用直尺與圓規，也因這是最基本的兩種工具，故不定義度量單位，是想保有度量的彈性，

避免僵化的刻度限制了度量的自由。尺規可作的圖形看似變化萬千，但經觀察後能發 現，可作出的物件不外乎以下五種：

(一) 可作一直線 (二) 可作一圓

(三) 可作二直線交點

(四) 可作一直線和一圓的交點 (五) 可作二圓交點

依九年一貫數學領域課程綱要分年細目中8-s-11所列「能認識尺規作圖並能作基 本的尺規作圖」，在國中數學的尺規作圖中，教科書內容通常以下列六種作圖為基本要 求：

(一) 等線段作圖 (二)

(三) 中垂線作圖

(四) 過線外一點作垂線作圖 (五) 過線上一點作垂線作圖 (六) 角平分線作圖

二、 正多邊形的尺規作圖與棣美弗定理

正多邊形是所有角都相等、並且所有邊都相等的簡單多邊形，簡單多邊形是指在 任何位置都不與自身相交的多邊形(維基百科，2013)。正n 邊形基本的性質：

(一) 正n 邊形每個內角為180 ³⁶⁰ n

  或者表示為^{(n 2) 180} n

  

角度。

(二) 正n 邊形的所有頂點都在同一個外接圓上，每個正多邊形都有一個外接圓。

古希臘數學家很早就知道如何使用尺規作出某些正多邊形，而在「幾何原本」第 四卷中，也給出正3、4、5、6和15邊形的作法。若運用二等分角的技巧，可再作出邊數 為2ⁿ倍的正多邊形，但仍沒有人知道怎樣用尺規作出正7、9、11、13或正17邊形等多邊 形。西元1796年，年僅十九歲的數學家高斯(Karlgriedrich Gauss)提出了正17邊形的 尺規作圖法，並指出正多邊形是否可用尺規作圖的判別方式(范志軒，2013)：

正n邊形可用尺規作出

2^k

n  或n2^k   P P_{1 2} P_m，其中P P， ， ， 是不相等的費馬數 _{1 2} P_m

費馬數指形如F _k 2^2k 1的質數，是由1640年法國數學家費馬（Pierre de Fermat）

所提出的一個猜想，認為所有的費馬數都是質數。當n＝0、1、2、3、4時，_Fn都是質數，

因為這些值分別是3、5、17、252、65537，但數學家尤拉(Euler,1707~1783)卻發現可 將F ₅ 2²⁵  1 2³² 1 4294967297分解成641x6700417，所以F 不是一個質數。因此₅ 一般人認為當n  時，所有費馬數均不是質數。高斯(Karl Griedrich Gauss)去世後，5 為了紀念這位偉大的數學家，後人在他的紀念碑上刻了這個正17邊形的圖樣(科技部高

瞻自然科學教學資源平台，2014)。西元1832年，Friedrich Julius Richelot和

Schwendenwein發表了正257邊形的尺規作圖法，共有217個步驟。西元1894年，Johann Gustav Hermes更是發表了正65537邊形的尺規作圖法，作圖極其繁複，共花費了十年的 時間填滿了200多頁的手稿，現存於哥廷根大學(Georg-August University of

Göttingen)。

綜合上述，若以費馬數為邊數的正多邊形，可用尺規作圖作出。舉例來說，「5」

cos sin 5 _i 5

因此 ^{1 5}

因此，如果我們可以針對y尺規作圖，當然也就可以針對cos 作圖。所以若能證 構出正七邊形(曾健威、夏芷惠、黃奕妮，2006)。而Andrew M. Gleason在1988年發表 的一篇文章中，介紹了一個構作正七邊形的方法，而曾健威的方法正與Andrew M.

Gleason的構作方法相同。綜合上述，我們可知若能以二刻尺和圓規去構作三次方程的 解，就能用二刻尺和圓規去構作正七邊形。

四、 小結

數學家高斯(Karlgriedrich Gauss)在他19歲的時候畫出正十七邊形，也提供了以 費馬數為邊數的正多邊形，可用尺規作圖繪出的特殊條件。而洪萬生(2008)證明出正七 邊形無法透過尺規作圖繪出。因此我們可知，並非所有的正多邊形均能利用尺規作圖順 利構出。然而曾健威、夏芷惠、黃奕妮(2006)透過「三次方程式的一般解」與「二刻尺」

的方法，便能將正七邊形構作出來，但這並非原本單純只能畫直線的「直尺」與「圓規」

的尺規作圖。故正七邊形乃至於其他正多邊形，其實很少出現於數學教科書中，也因此 學生也鮮少見過此類的正多邊形。