第四章 研究結果與討論
第三節 資料與問卷分析結果
國中數學 教師實作
實作 國中校園 推廣實作 第一節、科學概念內容分析
科學分析階段
鏡中正多邊形 形成原理分析 數學性質分析
第一節、科學概念內容分析
本教具應用物理光學中的反射原理，透過雙面鏡多重反射從鏡中觀察到各種正多邊 形。本節先以光學中「多重反射」與「線對稱」的概念，探討正多邊形的形成進路，再 分析「正多邊形成像」與「鏡面夾角」、「鏡中多邊形形狀」及「邊長」的關係。以下，
將從「鏡中多邊形形成原理分析」與「數學性質分析」兩種面向，探求鏡面反射現象與 正多邊形間的關係及其性質。
一、 鏡中多邊形形成原理分析
本教具所觀察到的正多邊形，是運用雙面鏡反射，搭配雙面鏡不同的夾角度數，而 呈現不同的正多邊形。研究者以鏡面互相垂直(即雙鏡面夾角90 )為例，畫出正四邊形，
如下圖 4-1-1 所示，分別以「多重反射」及「線對稱」兩概念來分析其形成過程。
圖 4-1-1 正四邊形形成過程 (一) 「多重反射」分析：
1. 若鏡面夾角AOB ，設定 AOB90 為等腰直角三角形，則AOB 、90 45
OAB 及OBA ，且45 AO BO 。
2. AB 以AO為鏡面做第一次反射成像為AB'，故AB AB '。
3. OAB 以45 AO為鏡面做第一次反射成像為B AO' ，故45 B AB' 。 90
O
對稱軸（鏡面）
對稱軸（鏡面）
B A
B’ A’
O
4. AB 以BO為鏡面做第一次反射成像為A B' ，故AB A B ' 。
5. OBA 以45 AO為鏡面做第一次反射成像為A BO' ，故45 A BA' 。 90
6. 同理，AB'、A B' 分別再以BB'、AA'鏡面做第二次反射成像，則AB'A B' '、
' ' '
A B A B ，且AB A' 、90 BA B' ' 。 90
7. 因此，AB AB ' A B' ' A B' 且BAB' ABA' AB A' ' BA B' ' ，所以90
' '
ABA B 為一個正四邊形，即正方形。
(二) 以線對稱概念分析：
1. 若鏡面夾角AOB ，設定 AOB90 為等腰直角三角形，則AOB 、90 45
OAB 及OBA ，且45 AO BO 。
2. 由於鏡面反射，因此可以AA'為對稱軸，看出AOB'對稱於AOB，且 AOB' AOB
，對應邊AB AB '，對應角OBA OB A' 、OAB OAB'。 3. 由於鏡面反射，因此可以BB'為對稱軸，看出AOB' 對稱於AOB，且
AOB' AOB
，對應邊AB A B ' ，對應角OAB OA B' 、OBA OBA'。 4. 同理，AOB'與AOB' 分別再以分別再以BB'、AA'為對稱軸，可看出AOB'與
AOB'
均對稱於AOB' '，因此AOB' AOB' ' BOA'，對應邊AB' A B' '、
' ' '
BA A B ，對應角OAB' OA B' '、OB A' OB A' '、OBA' OB A' '、
' ' '
OA B OA B
。
5. 綜合上述，經過線對稱，AOB AOB' AOB' ' BOA'，且此四個三角形均為 等腰直角三角形。所有對應邊的關係為AB AB ' A B' ' A B' ，所有對應角的關係
為OBA OAB OAB' OB A' OB A' ' OA B' ' OA B' OBA' ，因45
圖 4-1-3 鏡面夾角、多邊形形狀、邊長示意圖(一)
sin sin
C C cos sin
2
故此三角形 C OC 之邊長為1 3 C C1 2 且a 1 3 2 3 1 sec
圖 4-1-4 鏡面夾角、多邊形形狀、邊長示意圖(二)
1 90
sin sin
m
同時 1 1 1 (1 tan( ( 1))cot )
1 2 180 1 2
360 360
1
180 360 108 2
sin sin
m
因此
第二節、魔鏡多邊形科學教具設計開發
本教具設計開發階段分成「教具材料」與「輔助教材」兩大主軸。教具材料是以取 材方便、低成本且成功率高的方式，同時運用簡易的製作方法加以設計。輔助教材參考 坊間科學遊戲書籍的編寫方式，說明如何進行教具的製作、操作演示、科學原理，協助 使用者了解教具的製作、操作與原理。完成初步設計後，由 20 位國中生與 4 位專家分 成兩階段循環審核與修正。故本節分成「教具與輔助教材設計開發」、「教具與輔助教材 設計開發實作修正」兩部分加以說明。
壹、 教具與輔助教材設計開發
本教具根據市售隨身鏡與文獻資料來發想，發展教具材料設計構想，找出較為安全 與方便的設計模式，並請專家與學生實作來測試其安全性，觀察現象的呈現及趣味性。
以下分「材料與教具構想發展」及「輔助教材編寫」二個部分詳述。
一、 材料與教具構想發展
在科學教育月刊第 335 期刊載一篇「物體在任意夾角的兩平面鏡之間會成幾個像」
文章，發現其中對於多重面鏡的反射做了深入的探討。之後研究者參加了一場由國立台 灣大學科學教育發展中心所舉辦的「科學實驗論文寫作工作坊」研習，過程中看到一種 由數片面鏡共同組成多重面鏡的科學教具，可以從鏡面中看到經由多重反射的物像，如 圖 4-2-1。因此本研究將參考此多重面鏡科學教具，進行設計與開發。
圖 4-2-1 多重面鏡科學教具 (一) 鏡面材料選擇：
(二) 組合方式測試：
本教具之組合方式，以簡便、安全及價格便宜為原則。而各種組合方式，以三種材 質：隨身鏡、鏡面貼紙、不鏽鋼板面為基礎，分別測試如下：
1. 隨身鏡：實驗測試三種組合方式，分述如下：
<測試一>
準備兩個市售隨身鏡，將其中之一隨身鏡的小鏡子小心取下，並黏於另一個隨 身鏡蓋面上，如圖 4-2-2 所示。
圖 4-2-2 隨身鏡測試一完成圖 <測試二>
準備兩個市售隨身鏡，將兩個隨身鏡的小鏡子小心取下，並將兩個小鏡子黏於 門轉軸的五金材料，如圖 4-2-3，使兩面鏡子能進行開闔。完成品如圖 4-2-4 所示。
圖 4-2-3 隨身鏡測試二安裝示意圖
圖 4-2-4 隨身鏡測試二完成圖 <測試三>
準備兩個市售隨身鏡，將兩個隨身鏡的小鏡子小心取下，並將兩個小鏡子直接 以膠帶黏貼，如圖 4-2-5，使兩面鏡子能進行開闔動作。完成品如圖 4-2-6 所 示。
圖 4-2-5 隨身鏡測試三安裝示意圖
圖 4-2-6 隨身鏡測試三完成圖
膠 帶 黏 貼 處
2. 鏡面貼紙：實驗測試兩種組合方式，分述如下：
<測試一>
將市售的鏡面貼紙貼於西卡紙上，再進行對折，如圖 4-2-7 所示。
圖 4-2-7 鏡面貼紙測試一完成圖 <測試二>
準備兩個相同大小，且具有光滑平面的美奈板，如圖 4-2-8 所示。再將市售的 鏡面貼紙分別平整的貼於兩美奈板上，如圖 4-2-9 所示。
圖 4-2-8 美奈版示意圖
圖 4-2-9 鏡面貼紙測試二完成圖
3. 不鏽鋼板面：實驗測試一種組合方式，敘述如下：
準備兩個不銹鋼板，將兩個不鏽鋼板黏於門轉軸的五金材料，使兩不銹鋼板能 進行開闔動作。完成品如圖 4-2-10 所示。
圖 4-2-10 不鏽鋼板鏡面完成圖
綜合上述「鏡面材料」與「組合方式」之實驗測試，發現「鏡面材料」以隨身鏡的 成像效果最好，而鏡面貼紙或不鏽鋼板的成像較為模糊，但使用安全性較佳。此外，不 鏽鋼板的取材不易，價格也較昂貴。
而「組合方式」若以膠帶直接黏貼，教具則不易於使用，且整體穩定性較差，容易 受損。若以「門轉軸」固定於鏡面使用，教具的穩定性較佳，且易於旋轉便於觀察，但 因門轉軸卡在兩鏡面中間，致使兩鏡面中間會有小縫隙，進而影響觀察效果。若將鏡面 貼紙黏於西卡紙與美奈板上，則發現西卡紙因重量太輕，導致鏡面穩定度不足，而美奈 板的重量與厚度足夠，因此能穩定置於桌面上觀察。研究者將各種實驗測試之優、缺點，
整理如下頁表 4-2-1 所示。
由於本教具開發主要以簡便、安全及價格便宜為考量原則，因此比較「鏡面材料」
與「組合方式」之各項優缺點，同時經過一群暑期進修的中小學老師測試後，研究者決 定「鏡面材料」以鏡面貼紙為主，而「組合方式」以美奈板當作基底，進而製成本研究 之教具，並將其命名為「魔鏡多邊形」。
表 4-2-1
並描述本教具將產生令人驚奇之處。
內容分為「目的與適用範圍」、「魔鏡製作方式」、「正多邊形的秘密」、「魔鏡表演秀」
四大項，其分述如下：(輔助教材內容詳見附錄五) (一) 目的與適用範圍
本項分成「目的」與「適用範圍」兩項目：
1. 目的：本輔助教材之目的是依據九年一貫數學能力指標進行設計，其目的如下 列說明：
(1)能理解線對稱的意義，以及能應用到理解平面圖形的幾何性 質。
(2)能用線對稱概念，理解正多邊形等平面圖形。
(3)能理解凸多邊形內角和以及外角和公式。
2. 適用範圍：本輔助教材的適用範圍主要為國民中學八年級數學「線對稱圖形」
與「正多邊形」單元。
(二) 魔鏡製作方式
本項分成「器材準備」與「製作流程」兩項目：
1. 器材準備：列出所需使用的零件和數量。
(1)大小相同方形美奈板兩個、剪刀。
(2)市售鏡面貼紙。
2. 製作流程：以文字方式進行說明。
(1)將兩個美奈板併排對齊，形成一個大長方形。
(2)剪裁一張稍大於美奈板長方形的鏡面貼紙，再將鏡面膜撕下，
緊密貼於步驟一的美奈板長方形上。
(3)緊密黏好後，「魔鏡」就大功告成！
(三) 正多邊形的秘密
本活動分為「實驗研究活動」與「動動腦」兩項目：
數學能力指標S-4-01 說明：
● 生活中的平面圖形已於國小階段 4-s-02 學習，本細目的重點在於 明確定義及符號的理解。
● 舉生活中例子並用直觀概略說明和三角形、四邊形、多邊形及圓 形有關的圖形。
● 多邊形：
＊ 認識一般凸多邊形（四邊以上）形狀。
＊ 認識正多邊形（四邊以上）形狀。
問題二：你如何確定這是一個正多邊形？
本問題依據九年一貫數學能力指標S-4-08「能理解線對稱圖形的幾何 性質，並應用於解題和推理。」而設計。
數學能力指標S-4-08 說明：
● 以生活中的平面圖形為例，來理解單一圖形透過格子點作出線對 稱的鏡射圖形。
● 認識對稱點、對稱線、對稱角、對稱軸。
● 兩對稱點連線被對稱軸垂直平分。
● 透過格子點作出直角三角形的線對稱圖形。
問題三：等腰三角形「頂角」與「底角」的度數，和所觀察到的正多邊形「內 角和」與「每一內角」度數有什麼關係？
本問題依據九年一貫數學能力指標S-4-06「能理解外角和定理與三角 形、多邊形內角和定理的關係。」、S-4-13「能理解特殊四邊形(如正 方形、矩形、平行四邊形、菱形、梯形)與正多邊形的幾何性質。」
而設計。
數學能力指標 S-4-06、S-4-13 說明：
● 可以多邊形分割成三角形的組合，來理解多邊形的內角與外角性 質：
＊ 多邊形的內角和為（n－2）×180 度及外角和為 360 度。
＊ 計算正多邊形每一外角度數。
＊ 計算正多邊形每一內角度數。
(四) 魔鏡表演秀
標題下提問對於正多邊形的常見與否，再進入活動探索。本活動分為「活動步驟」、
「學習單」、「觀察記錄表」與「動動腦」四項：
1. 活動步驟：以文字方式說明。
(1)拿出魔鏡表演秀學習單，上面有一點 P 與一線段 AB。
(2)將「魔鏡」打開，把魔鏡中間底部交接處放在 P 點上，同時兩 鏡面分別壓在直線 A、B 兩點上。
(2)將「魔鏡」打開，把魔鏡中間底部交接處放在 P 點上，同時兩 鏡面分別壓在直線 A、B 兩點上。