魔鏡多邊形科學教具研發

國立臺中教育大學科學教育與應用學系

科學教育碩士學位暑期在職進修專班碩士論文

指導教授： 葉聰文 博士

魔鏡多邊形科學教具研發

Magic-Mirror Polygon

Scientific Teaching aid Design

研究生： 陳嘉宏 撰

國 立 臺 中 教 育 大 學 博 碩 士 論 文 授 權 書

本授權書所授權之論文為立書人在國立臺中教育大學科學教育與應用學系系所

一Ｏ四 學年度取得碩士學位之論文。

論文題目：魔鏡多邊形科學教具研發

指導教授：葉聰文老師

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論文紙本

茲同意將本人擁有著作權之論文全文（含摘要），以非專屬及無償方式授

權本校圖書館，提供讀者在著作權法合理使用範圍之內閱覽或影印，不限

時間與地域，作為非營利學術研究目的之利用。

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論文電子全文

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為非營利學術研究目的之利用。

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立書人姓名： （請親筆正楷簽名）

學號： OSC099118

中 華 民 國 年 月 日

註：1. 論文紙本延後公開陳列上架不得晚於電子全文公開時間。 2. 授權事項未勾選者，分別視同同意即時公開。

致謝

回顧這些年的研究所生涯，首先最想感謝的是指導教授 葉聰文教授！感謝老師您 從研究方向的確立一直到最後論文產出的整個過程，不論我遇到任何問題，總能耐心地 教導我，在我遇到瓶頸時，也不辭辛勞、不厭其煩地給予我許多寶貴的建議與指導，使 論文得以順利完成，在此致上誠摯的謝意與感激。另外，也要感謝兩位在書審及口試時， 細心審閱並給予我許多珍貴建議的彰師大科教所秦爾聰教授、中教大數教系謝闓如教 授，使本論文能更趨完善。 感謝這幾年中陪著我一起努力的所有研究所同學們，雖然我手腳比較慢，但還是得 到各位滿滿的支持，以及在事業上一路相伴的好同事，因為你們，我的研究所時光過得 既充實又美好。 最後，感謝我親愛的家人，謝謝爸爸、媽媽一直以來默默地在背後給予我滿滿的關 懷與鼓勵，使我永遠都能充滿氣力勇往向前，感謝老婆對我的體貼，使我能無後顧之憂， 順利完成學業。 謹以此獻給所有關愛我的人，謝謝您們！ 陳嘉宏 2015 年 6 月

摘要

為發展正多邊形輔助教學用具，本研究根據幾何光學定律，利用雙平面鏡設計「魔 鏡多邊形」教具及教材。研究過程分為設計開發與推廣兩階段，並以專家檢核表、教師 與學生實作問卷等工具，來收集與分析研究成果。 設計開發階段分成科學內容分析與教具設計。利用幾何光學定律與數學三角函數定 理分析「魔鏡多邊形」科學內容。以使用者觀點分析進行教具的設計製作，研究歷程分 成學生實作及專家檢核，共分成二次循環修正過程。學生實作程序之研究對象來自台中 市某國中七、八年級學生經過成績抽樣選出二十位樣本學生實施實作研究，探究本教具 的製作方法與材料之適用性及教材內容之適切性。專家檢核程序則敦請四位國中數學專 任教師針對實作程序完成之教具與教材進行修正建議。 推廣方式分行教學推廣與專家推廣兩階段。教學推廣階段，敦請一位資深數學專任 教師，於台中市某國中七年級、八年級學生各遴選年段三個班級進行實作教學，以問卷 調查法探討國中學生對本教具與輔助教材的觀點與評價。國中數學教師實作是透過國中 數學領域研習，請二十位數學教師進行實作，並採取問卷調查來收集教師意見，以獲得 國中教師對本教具與輔助教材的觀點與評價。將問卷資料、觀察記錄、教師與學生訪談 資料進行三角校正。主要研究結果有： 一、可利用「魔鏡多邊形」教具能將等腰三行經過多次鏡面映射在鏡面內產生任意正多 邊形鏡像，包含許多尺規作圖法無法完成的特殊正多邊形。 二、利用由美耐板及鏡面貼紙完成的「魔鏡多邊形」教具最受施測者接受。 三、接受施測之國中數學科教師與學生皆認為該教具具備「能引起使用者的興趣及好 奇」、「易於組裝，操作簡便，效果明顯」、「教具有助於了解相關的科學原理」、「教 師於教學上的應用意願高」、「本教具的輔助教材設計符合九年一貫數學能力指標」 等優點。 四、本教具能幫助受測國中學生對「能用線對稱概念，理解正多邊形等平面圖形」、「能

理解線對稱的意義，以及能應用到理解平面圖形的幾何性質」、「能理解凸多邊形內 角和以及外角和公式」等概念達成有效學習。

五、程度或學習狀況較差的學習者，需教師的引導使用本教具。

Abstract

In order to develop supplementary teaching aids of regular polygon, this study based on the law of Geometrical Optics makes use of bi-mirror to design the teaching aids and materials of “Magic-Mirror Polygon.”The researching process was divided into two phases, including design and development, and popularization. Experts checklist, and the implementary questionnaires between teachers and students were used to collect and analyze the researching result.

The phase of design and development included the analysis of scientific contents and the design of teaching materials. The law of Geometrical Optics and Trigonometric Function were used to analyze the scientific contents of ” Magic-Mirror Polygon.”From the views of users to analyze and process the design and making of teaching aids, the process of the research included students’ implementation and experts’ checking which contained two processes of circular modifications. The studying objects of the procedure of students’ implementations were twenty seventh and eighth grade students in one junior high school in Taichung City, who were chosen through the filtering of grades. They were put into the implementation to explore the applicability of the manufacture and the materials of the aids and the suitability of the teaching contents. The procedure of experts’ checking was to invite four junior high school math teachers to modify and offer suggestions according to the teaching aids and materials which were completed by the process of implementation.

The way of popularization contained two phases, teaching popularization and experts’ popularization. In the stage of teaching popularization, a senior math teacher was invited to practice instruction in three randomly-chosen classes in one junior high school in Taichung City. The investigation of questionnaires was used to discuss junior high school students’ points of view and the evaluation of the teaching aids and materials. The implementation of teachers was through the group courses of junior high math teachers. Twenty teachers were invited to practice the implementation and questionnaires were used to collect teachers’ opinions to obtain the points of view and the evaluation of this teaching aid and material. The data of questionnaires, the records of observation and the data of teachers’ interview with students were tri-modified. The main researching results are as following:

(1) Isosceles triangles can produce random mirrors of regular polygons, including many regular polygons which cannot be produced by the construction with ruler and compass through multiple mirror reflections by the help of the teaching aids of ” Magic-Mirror Polygon.”

(2) The teaching aids of ” Magic-Mirror Polygon” which are completed by laminate panels and mirror stickers are most accepted by testees.

(3) The testees of junior high math teachers and students all think that the teaching aids have the advantages of “stimulating users’ interests and curiosity”, “easiness to assemble, simpleness to manipulate, and obvious effects”, “the help to understand related scientific principles”, “teachers’ high willness of application in teaching”, and “the design of the teaching materials corresponding to the math Competence Indicators of Grade 1-9 Curriculum.”

(4) The teaching aids can help tested students to achieve effective learning with the concepts of “being able to use the concept of line symmetry to understand plane figures such as regular polygons”, “being able to understand the meaning of line symmetry and apply it to the understanding of plane figures’ geometrical qualities”, and “ being able to understand convex polygons’ formulas of angle sum of a triangle and sum of exterior angles.”

(5) Teachers’ guides are necessary for low-level students and those in worse learning situations.

目次

摘要...I Abstract...III 目次...V 表次...VII 圖次...VIII 第一章 緒論...1 第一節 研究背景與動機...1 第二節 研究目的與問題...3 第三節 名詞解釋...4 第二章 文獻探討...5 第一節 線對稱圖形...5 第二節 正多邊形尺規作圖與棣美弗定理...8 第三節 平面鏡成像的理論基礎...14 第四節 數學教具及相關實徵研究...16 第三章 研究方法...19 第一節 發展架構...19 第二節 研究方法與流程...21 第三節 研究對象...25 第四節 研究工具...28 第五節 資料收集與分析...33 第四章 研究結果與討論...35 第一節 科學概念內容分析...36 第二節 魔鏡多邊形科學教具設計開發...46

第三節 資料與問卷分析結果...79 第五章 結論與建議...92 第一節 結論...92 第二節 建議...97 參考文獻...98 一、中文部份...98 二、英文部份...101 三、網路部份...102 附錄...103 附錄一 專家檢核表...103 附錄二 國中數學教師實作問卷...105 附錄三 教師國中校園推廣學生實作後問卷...107 附錄四 晤談記錄表...109 附錄五 「魔鏡多邊形」初稿...110 附錄六 「魔鏡多邊形」修正一稿...119 附錄七 「魔鏡多邊形」完整稿...128

表次

表 2-4-1 國內、外數學教具教學之相關研究...18 表 3-3-1 觀察對象資料表...25 表 3-4-1 國中數學教師實作問卷...29 表 3-4-2 國中校園推廣學生實作問卷...30 表 3-4-3 專家檢核表...32 表 3-5-1 資料編碼表...35 表 4-2-1 鏡面材質與組合方式比較表...51 表 4-2-2 九年一貫數學能力指標與分年細目統整表...53 表 4-2-3「魔鏡多邊形」專家審核結果(一)...63 表 4-2-4「魔鏡多邊形」專家審核結果(二) ...70 表 4-3-1 國中老師實作問卷結果...80 表 4-3-2 國中學生實作問卷結果...84 表 4-3-3 魔鏡表演秀概念學習成效對照表...85 表 4-3-4 正多邊形的秘密概念學習成效對照表...86 表 4-3-5 魔鏡表演秀動動腦答題狀況分析...86 表 4-3-6 魔鏡表演秀動動腦試題問卷分析...88 表 4-3-7 正多邊形的秘密動動腦答題狀況分析...89 表 4-3-8 正多邊形的秘密動動腦試題問卷分析...91 表 5-1-1 鏡面夾角、形狀、多邊形結果紀錄表...92

圖次

圖 2-1-1 線對稱說明圖...6 圖 2-3-1 多重反射示意圖...15 圖 3-2-1 研究流程圖...24 圖 4-1 第四章結構圖...35 圖 4-1-1 正四邊形形成過程...36 圖 4-1-2 鏡面夾角θ調整方式示意...38 圖 4-1-3 鏡面夾角、多邊形形狀、邊長示意圖(一) ...39 圖 4-1-4 鏡面夾角、多邊形形狀、邊長示意圖(二) ...41 圖 4-1-5 鏡面夾角、多邊形形狀、邊長示意圖(三) ...43 圖 4-2-1 多重面鏡科學教具...46 圖 4-2-2 隨身鏡測試一完成圖...47 圖 4-2-3 隨身鏡測試二安裝示意圖...47 圖 4-2-4 隨身鏡測試二完成圖...48 圖 4-2-5 隨身鏡測試三安裝示意圖...48 圖 4-2-6 隨身鏡測試三完成圖...48 圖 4-2-7 鏡面貼紙測試一完成圖...49 圖 4-2-8 美奈版示意圖...49 圖 4-2-9 鏡面貼紙測試二完成圖...49 圖 4-2-10 不鏽鋼板鏡面完成圖...50 圖 4-3-1 國中數學科老師實作...79 圖 4-3-2 國中校園推廣學生實作...83

第一章 緒論

本章共分三節，第一節為研究背景與動機，第二節為研究目的與問題，第三節為名 詞解釋。

第一節、研究背景與動機

幾何學是我國中、小學數學教育中一個重要課題。早年的數學教材分為數、量、形 等三部分，其中「形」即指與幾何相關的數學概念，而現行的九年一貫課程綱要裡，則 編列「圖形與空間」與「幾何」等教學內容(教育部，2003)。而課程綱要指出，教師在 教授幾何單元時，不應只以講述法來講解幾何性質，而應以探索活動探討形體的幾何性 質(教育部，2001)。 從幾何的學習歷程來看，學生學習過程是經由動手操作實在幾何物，透過觀察以歸 納幾何性質，而發展適當的思考能力以了解幾何規律性。因此若教師能採用操作、觀察、 思考等循序漸進的歷程設計教學，將能提升學生的學習效果(謝豐瑞，1994)，而其中動 手操作更是發展後續能力的關鍵(陳于倩，2002；陳碧鳳，2006)。楊子賢(2011)發現若 考量學生幾何思維發展歷程設計幾何課程教材，藉由學生生活情境來發展概念，並安排 適當探索活動，讓學生獲得足夠的具體經驗後，將有助於學生學習抽象與形式化的數學 語句。Nickson (2000)認為學生透過操作幾何物體的經驗，能有效幫助數學幾何知識的 學習。Duval(2002)指出讓學童有充分的操作經驗對學生發展圖形論證能力具有相當的 助益。而 Stein 和 Miller(1997)亦點出應用科學教具於教學中，能幫助學生達到對實物 的觀察、操作等能力，進而促進學生對科學課程的學習動機、了解科學現象，進而建構 科學概念。因此，若能於學習中透過動手操作教具，將能有效增進學生的學習成效。 本研究探討以國中正多邊形幾何作圖為例，發展動手操作教具及教學素材。在國中 數學幾何課程裡，採用講述法與尺規作圖繪製並介紹正多邊形。所謂尺規作圖即是利用 直尺和圓規來製圖，直尺只用來畫直線，不使用上面的刻度丈量，而圓規則是畫出以某

點為圓心，某線段為半徑的圓或弧(南一書局，2012)，內容包括常見如正三角形、正四 邊形、正五邊形、正六邊形等。然而尺規作圖對某些正多邊形有其限制性，如正七邊形 或正十一邊形等則無法以尺規法繪製。因此，是否存在有另一種作圖法或其他辦法能取 代尺規作圖以呈現任意正多邊形，則成為有趣又值得探討的課題。研究者曾參加一場由 國立台灣大學科學教育發展中心所辦的「科學實驗論文寫作工作坊」研習，發現雙面鏡 具有特殊的成像特性，能將一實物透過雙面鏡不同夾角形成一至無限多個虛像。而此特 性與多邊形對稱性具有類似性質，因此是否能利用雙面鏡成像性質，來設計一個可輕易 觀察正多邊形性質的教具，成為本研究欲探討的課題。 本研究的規劃如下：首先以數學分析法探討雙面鏡形成正多邊形的數學性質，進而 設計教具並據以發展相關教學素材。完成後的教具與輔助教材，透過使用者觀點進行問 卷調查及訪談內容，來進行三角分析，以改善教具設計的缺點及教材內容。設計完成的 教具與教材希冀能提供未來數學教師及學生進行正多邊形課程或學習時使用。

第二節、研究目的與問題

一、 研究目的 本研究依據九年一貫課程基本能力指標針對國中數學領域「線對稱圖形」與「正多 邊形」單元設計探究式教學活動，探討本教具呈現正多邊形的科學解釋與依據，同時開 發輔助教材，並探求國中數學教師與學生對開發完成教具與教材的使用者觀點。 本研究的目的為： (一)探討鏡面反射現象與正多邊形間的關聯性及其性質。 (二)發展「魔鏡多邊形」教具及輔助教材。 (三)探討國中教師與學生對「魔鏡多邊形」教具的使用者觀點。 (四)探討國中學生使用「魔鏡多邊形」教具的學習成效。 二、 研究問題 本研究針對以上的研究目的，擬研究下列問題： (一)鏡面反射現象與正多邊形間的關係及其性質為何？ (二)如何設計「魔鏡多邊形」教具及輔助教材？ (三)國中教師與學生對「魔鏡多邊形」教具的使用者觀點為何？ (四)國中學生使用「魔鏡多邊形」教具的學習成效為何？

第三節、名詞解釋

一、 科學教具： 本研究採用賴慶三與王錦銘(2010)的定義：所謂科學教具，是利用科學原理製成， 讓學生經由操作與現象觀察，去激發學生對科學的興趣及事物的尊重，進而啟發其科學 認知、推理與思考等能力的器具。 二、 正多邊形： 正多邊形是各邊等長且各內角都相等之多邊形。其可分為兩種：正凸多邊形與正凹 多邊形。談及「正多邊形」時，一般指前者，後者一般稱作正多角形。對於指定的邊數， 它們都是唯一的，比如正五邊形與正五角星形。

第二章 文獻探討

本章共分為四節，旨在說明本研究之理論基礎及探討相關文獻。第一節介紹線對 稱圖形；第二節說明正多邊形尺規作圖與棣美弗定理；第三節論述平面鏡成像的理論基 礎；第四節則介紹數學教具及相關實徵研究。

第一節、線對稱圖形

幾何學是一門研究物體形狀、大小、位置及其相互關係的學科（朱建正、廖淑麗、 魯炳寰、謝堅，2006）。一般幾何圖形的基本變換包括平移、旋轉及線對稱變換，其中 平移與旋轉兩種變換可由兩次線對稱變換組合而得。而在大自然及生活經驗中也經常可 見線對稱現象，因此線對稱是幾何學中一個重要的基本概念。(洪珮芬，2009)。本章共 分為三節，旨在說明本研究之理論基礎及探討相關文獻。第一節介紹線對稱圖形；第二 節說明正多邊形尺規作圖與棣美弗定理；第三節平面鏡成像的理論基礎。 一、 線對稱的意義 自然界中許多物體都具有對稱的特性，而對稱圖形中又包含了線對稱及點對稱。 線對稱圖形，是以「一條線」為基準，在線的兩側以「等距離延展開」，同時兩側所形 成的圖形須大小形狀均相同，且此基準線可以是鉛直、水平或傾任一角度。換而言之， 將圖形沿著基準線對摺，兩側圖形可以彼此完全重疊，此種圖形就稱為「線對稱圖形」， 而基準線稱為「對稱軸」（王世鑫，2007）。茲整理下述對線對稱的定義如下： (一) 簡明數學百科全書(洪萬生譯，1979)中提到，線對稱是指平面上一條直線L將 此平面分割成兩半平面，其中任一半平面在空中以L為軸作180 的旋轉，然後映射到另 一半平面上。以下頁圖 2-1-1 說明，L軸上任一點S 會映射到本身，即S S 。而 AS 和' ' A S 分別與 L 所夾之角相等，且AS A S' 。點A與其映射的點A'，其連線段點AA'會 被L垂直平分。因此平面F會全等於平面F'。

圖 2-1-1 線對稱說明圖 (二) 根據日本數學教育協會對線對稱的定義(引自林宜臻，2000)： 1. 一平面圖形以直線L為摺線，於空間翻轉180 後，完全重合，稱之。 2. 兩平面圖形以直線L為摺線，於空間翻轉180 後，其中一個與另一個完全重 合，稱之。 (三) 國民小學數學科新課程概說（高年級）平面教材的處理(劉好，1998)一文中， 將線對稱定義為： 1. 操作型定義：若一圖形可沿著某一直線對摺，對摺後使兩側圖形完全重合。 2. 幾何的定義：一個圖形，若可以找到一條直線將其平分成兩半，在其中一半內 的任何點都可以在另一半內找到一個對應點，使得這兩個互相對應的點所連成 的直線段恰好垂直原直線 綜合上述所列，本研究所採用的線對稱主要定義為： 1. 對稱線段等長，對稱角相等。 2. 對稱軸垂直平分相異兩個對稱點的連線，亦即一組對稱點其兩點到對稱軸之垂 直距離會相等。 二、 線對稱的作圖策略 線對稱的作圖策略，可以下列四種方法完成： (一) 剪圖法(邱俊宏，2004)： F F' ( ') S S L A A'

將一張紙對摺，在其上依所要的圖形之一半的形狀剪下，然後展開，則可得一個 線對稱圖形。 (二) 描繪法(邱俊宏，2004)： 將一張紙對摺，把複寫紙插入對摺紙其中，使可透色的面和紙之兩個內面接觸， 於對摺紙的表面畫出所要的對稱圖形的一半圖形。畫好後將複寫紙取出，展開白紙，即 完成對稱圖形。 (三) 利用對稱軸垂直平分對稱點的連線之特性(邱俊宏，2004)： 在一張白紙上適當位置畫出一條直線當做對稱軸，接著於軸線的一邊畫出所要的 對稱圖形的一半圖形，定出一些關鍵點，過每一個關鍵點分別畫出和軸垂直的直線段， 使其通過軸線至另一側的適當位置，於此直線段上取一點使其至軸之距離等於原關鍵點 至軸的距離，則此點即為原關鍵點的對稱點。接著利用這些對稱點連出原來的一半圖形 中各邊之對稱邊，即得一個線對稱圖形。 (四) 釘點紙鏡射成像與線對稱(陳莉萍，2002)： 由於線對稱圖形為幾何變換中的反射全等，因此可利用鏡射現象加以詮釋，而線 對稱概念其實就是把線對稱看作為平面上的鏡射。若提供一張釘點紙並在紙上畫出一條 直線，用以放置鏡面。將此鏡子視為摺線，利用鏡子兩側的對應點與鏡子連線等長的性 質，觀察鏡面內外兩側的圖形。同時可透過各個頂點與鏡子或頂點與頂點之間的關係， 加上釘點上的水平與垂直位移來決定對應鏡像點位置，進而畫出一個線對稱圖形。 三、 小結 於線對稱圖形中，對稱軸一側的圖形皆能在另一側找到相對應全等之圖形，同時 軸線兩側對稱線段須等長，對稱軸垂直平分兩側對稱點連線，對稱角度也相等。若以鏡 子成像的物理現象言之，好比將鏡子放在對稱軸上，圖形上的每一點均可在鏡子所呈現 的鏡像中找到相對應點(陳莉萍，2002)。因此，我們可以鏡射成像的物理現象說明線對 稱圖形的關係。

第二節、正多邊形尺規作圖與棣美弗定理

古希臘人運用直尺和圓規建構出廣大的幾何世界，並嘗試以最簡單的法則去堆砌 出所有的幾何物件，並在堆砌過程中，思索著世界運作的原理。而當複數的概念被引進 後，正n邊形的作圖問題，就可藉助於分圓方程式 (cyclotomic/equation)_{Z  來解決}n 1 (林琦焜，2003)。以下對正多邊形尺規作圖和棣美弗定理的關聯性，進行介紹： 一、 尺規作圖的意義 在國中數學教科書指出，利用直尺和圓規畫圖，我們就稱為尺規作圖。其中直尺 只用來畫出通過兩點的直線或線段，不使用上面的刻度丈量，用圓規以一點為圓心，某 線段為半徑，畫出一圓或弧(南一書局，2012)。根據林琦焜(2003)研究，所謂尺規作圖， 按歐幾里德定義，僅可使用圓規與直尺。在這種限制下只能作出有理數，平方根以及經 由有限次的有理運算或開方所得的數。范志軒(2013)指出，古希臘人作圖時，規定只使 用直尺與圓規，也因這是最基本的兩種工具，故不定義度量單位，是想保有度量的彈性， 避免僵化的刻度限制了度量的自由。尺規可作的圖形看似變化萬千，但經觀察後能發 現，可作出的物件不外乎以下五種： (一) 可作一直線 (二) 可作一圓 (三) 可作二直線交點 (四) 可作一直線和一圓的交點 (五) 可作二圓交點 依九年一貫數學領域課程綱要分年細目中8-s-11所列「能認識尺規作圖並能作基 本的尺規作圖」，在國中數學的尺規作圖中，教科書內容通常以下列六種作圖為基本要 求： (一) 等線段作圖 (二)

(三) 中垂線作圖 (四) 過線外一點作垂線作圖 (五) 過線上一點作垂線作圖 (六) 角平分線作圖 二、 正多邊形的尺規作圖與棣美弗定理 正多邊形是所有角都相等、並且所有邊都相等的簡單多邊形，簡單多邊形是指在 任何位置都不與自身相交的多邊形(維基百科，2013)。正n 邊形基本的性質： (一) 正n 邊形每個內角為180 360 n    或者表示為(n 2) 180 n    角度。 (二) 正n 邊形的所有頂點都在同一個外接圓上，每個正多邊形都有一個外接圓。 古希臘數學家很早就知道如何使用尺規作出某些正多邊形，而在「幾何原本」第 四卷中，也給出正3、4、5、6和15邊形的作法。若運用二等分角的技巧，可再作出邊數 為2n_{倍的正多邊形，但仍沒有人知道怎樣用尺規作出正7、9、11、13或正17邊形等多邊} 形。西元1796年，年僅十九歲的數學家高斯(Karlgriedrich Gauss)提出了正17邊形的 尺規作圖法，並指出正多邊形是否可用尺規作圖的判別方式(范志軒，2013)： 正n邊形可用尺規作出 2k n  或 2k _{1 2} m n    P P P ，其中P P， ， ， 是不相等的費馬數 _{1 2} P_m 費馬數指形如 ₂2k ₁ k F   的質數，是由1640年法國數學家費馬（Pierre de Fermat） 所提出的一個猜想，認為所有的費馬數都是質數。當n＝0、1、2、3、4時，F_n都是質數， 因為這些值分別是3、5、17、252、65537，但數學家尤拉(Euler,1707~1783)卻發現可 將F ₅ 225  1 232 1 4294967297分解成641x6700417，所以F 不是一個質數。因此₅

一般人認為當n  時，所有費馬數均不是質數。高斯(Karl Griedrich Gauss)去世後，5

瞻自然科學教學資源平台，2014)。西元1832年，Friedrich Julius Richelot和 Schwendenwein發表了正257邊形的尺規作圖法，共有217個步驟。西元1894年，Johann Gustav Hermes更是發表了正65537邊形的尺規作圖法，作圖極其繁複，共花費了十年的 時間填滿了200多頁的手稿，現存於哥廷根大學(Georg-August University of Göttingen)。 綜合上述，若以費馬數為邊數的正多邊形，可用尺規作圖作出。舉例來說，「5」 是費馬數中的F ，因此正五邊形可以尺規作圖作出，而「7」不是費馬數，因此無法作₁ 出正七邊形的尺規作圖。此處，我們利用棣美弗定理與分圓方程式的概念，分別以正五 邊形與正七邊形為例，說明正五邊形可用尺規作圖作出，而正七邊形則無法用尺規作圖 繪製出來： (一) 正五邊形尺規作圖證明： 考慮方程式z  ，假設5 1 zcosisin，其中0  2。由棣美弗定理可知，

5 _{(cos sin )}5 _{cos5 sin5 1}

z  i   i  --- 2(1) 所以cos5 ，sin51   。由正弦、餘弦函數可知 50  、 20  、4 、6、8 、 10，因此  、0 2 5  、4 5  、6 5  、8 5  、2 ，所以方程式的5 個根就是z 1、 2 2 cos sin 5 i 5  _  、cos4 sin4 5 i 5  _  、cos6 sin6 5 i 5  _  、cos8 sin8 5 i 5  _  。這些點剛好把 單位圓分成五等分，因此 5 _{1 ( 1)(} 4 3 2 _{1) 0} z   z z      --- 2(2) z z z 現在我們考慮z4 z3 z2  z 1 0，將上式等號兩邊同除以z ，則可得 2 2 2 1 1 1 0 z z z z      --- 2(3) 令u z 1 z   ， 2 2 2 1 2 u z z    ，則 2 2 1 1 1 0 z z z z      利用變數變換，將上式寫成 2_{  }

因此 1 5 2 u  。另外由u 之定義可知z滿足二次方程式z2  uz 1 0，所以 2 ₄ 2 u u z   。再利用 1 5 2 u   可以將z表為與棣美弗定理所得相同之答案。 現在我們考慮_{z  其中一個解，}5 _{1 cos}2 _sin2 5 5 z  i  ， 1 2cos2 5 u z z     ，因此 2 2 2 4cos 2cos 1 0 5 5  _  _{ } ，所以cos2 1 5 5 2  _  ，又cos2 0 5  _ ，故cos2 5 1 5 2  _  。 因此這個數可以用有限個有理數與平方根來表示( 5 可由1與5 的比例中項而得)。換句 話說，正五邊形就可由尺規作圖作出(林琦焜，2003)。 (二) 正七邊形無法由尺規作圖作出： 考慮方程式_{z  }7 _{1 0，其中z x yi  。顯然它的七個根，恰好是複數平面上單位} 圓內正七邊形的七個頂點。由於 7 _{1 ( 1)(} 6 5 4 3 2 _{1) 0} z   z z        --- 2(5) z z z z z 因此，它的七根除了z 1之外，其它的六根都是下列方程式的根： 6 5 4 3 2 _{1 0} z  z z  z z   z --- 2(6) 現在，讓我們將(1)式等號兩邊同除以z ，則可得下式： 3 3 2 3 2 1 1 1 1 0 z z z z z z        --- 2(7) 再進一步作代數變換，又可以得到下式： 3 2 1 1 1 (z ) (z ) 2(z ) 1 0 z z z        --- 2(8) 令y z 1 z   ，則(3)式可以變換成為下列方程式： 3 2 _{2 1 0} y y  y  --- 2(9) 另一方面，由於z是1的七次方根，所以它可以表示為：zcosisin，其中 2 7   。另外，再由於1 cos isin z   ，因此 1 2cos y z z     。

因此，如果我們可以針對y尺規作圖，當然也就可以針對cos 作圖。所以若能證 明y無法作圖，那麼cos 或z當然也無法作圖，換言之，正七邊形也就無法繪製。 現在，我們假設方程式2(9)有一個有理根，令其為r s（r和 s 互質），則 3 2 ₂ 2 3 ₀ r r s rs  s 。由此可知，r 有因數 s 且3 _s3_{有因數r。但r和s 可能的公因數必須} 是1，因此如果方程式2(9)有一個有理根的話，那麼它不是1就是1。而這兩個數都 無法滿足方程式2(9)。因此方程式2(9)沒有有理根，故y乃至於z當然就無法尺規作圖， 因此正七邊形也就無法運用尺規完成了(洪萬生，2008)。 三、 從解三次方程到構作正七邊形 雖然數學家高斯在他19歲的時候提出能用尺規構作正多邊形的條件，但依據上述 文獻可知，正七邊形仍是無法用尺規作圖構出。不過曾健威、夏芷惠、黃奕妮(2006)指 出正七邊形是可以用二刻尺和圓規來構作的。所謂二刻尺，即是有兩個刻度的直尺，與 尺規作圖中的直尺功能性是不相同的。下列將探討如何運用二刻尺和圓規去構作一個正 七邊形。 若要構製一個正七邊形於單位圓上，須構作長度cos2 7 ，因為此長度可用來找出 正七邊形的頂點。而我們知道， ₁ cos2 sin2 7 7 x   i 是_x6_x5_x4_x3_x2_{  x 1 0的} 其中一個根。假設 1 1 1 2 2cos 7 x x _{ }  _  _{，透過運算我們可知道符合三次方程式} 3 2 _{2 1 0}      。而從三次方程的一般公式解得出 1 1 tan 3 3 ( 28 cos 1) 3 3    。因此 透過「三次方程式的一般解」與「二刻尺」，我們可構作出 2cos2 7   的長度，進而 構出正七邊形(曾健威、夏芷惠、黃奕妮，2006)。而Andrew M. Gleason在1988年發表 的一篇文章中，介紹了一個構作正七邊形的方法，而曾健威的方法正與Andrew M. Gleason的構作方法相同。綜合上述，我們可知若能以二刻尺和圓規去構作三次方程的 解，就能用二刻尺和圓規去構作正七邊形。

四、 小結 數學家高斯(Karlgriedrich Gauss)在他19歲的時候畫出正十七邊形，也提供了以 費馬數為邊數的正多邊形，可用尺規作圖繪出的特殊條件。而洪萬生(2008)證明出正七 邊形無法透過尺規作圖繪出。因此我們可知，並非所有的正多邊形均能利用尺規作圖順 利構出。然而曾健威、夏芷惠、黃奕妮(2006)透過「三次方程式的一般解」與「二刻尺」 的方法，便能將正七邊形構作出來，但這並非原本單純只能畫直線的「直尺」與「圓規」 的尺規作圖。故正七邊形乃至於其他正多邊形，其實很少出現於數學教科書中，也因此 學生也鮮少見過此類的正多邊形。

第三節、平面鏡成像的理論基礎

光學是自然科學中不可或缺的主題，而且生活中的事物幾乎都和光脫不了關係， 人類對於世界的認識更是由光對眼睛的刺激所造成的視覺開始。隨著科技的進步，由各 種透鏡、面鏡製成的光學儀器對我們生活和娛樂上均有很大的貢獻，同時雷射、光纖等 在醫學技術的精進及促進通訊傳輸的便利迅速之運用，都在在顯示出光學的重要性(黃 鴻達，2002)。 一、 平面鏡成像 從眾多研究學生概念的文獻中可以看到，雖然每個人幾乎每天都有看到平面鏡成 像的經驗，但是對於平面鏡成像的性質和如何解釋卻常常無法正確地說明，即使是大學 生、甚至連中學自然科教師也存有不少迷思概念（黃鴻達，2002）。故以下將先針對「單 一平面鏡成像」與「兩平面鏡夾θ角成像」作說明： (一) 單一平面鏡成像： 1. 性質： (1)成像在鏡子後面的對稱位置。像到鏡面垂直的距離（像距）與物到鏡面的 垂直距離（物距）相等，即物距等於像距。 (2)平面鏡成像的大小與物體的大小相等。 (3)平面鏡成像與物體的左右相反，且為正立的虛像。 2. 原理： 物體發出的光線，經過平面鏡反射後進入我們的眼睛後，由於我們認為光 線是直線前進的，因此我們會認為又有一個相同物體在鏡子後面，而其實那就 是物體的像。 (二) 兩平面鏡夾θ角之成像： 其規則如下： 1. 只要「物」或「像」在平面鏡「之前」，就會在鏡後成像。所謂「之前」是包

括鏡面的延長線(面) 「之前」，但「之前」不包括該延長線(面)。 2. 上述規則是遞迴定義，一直畫到所成的像落於鏡後，則停止作圖。 3. 若成像正好在平面鏡的延長線上，視為鏡後成像，則根據條件二停止作圖。 二、 小結 若是將物體放在夾θ角的兩平面鏡之間觀察所成之像（物體放置在鏡面夾θ角之 分角線上，且夾角θ可整除360°時），則其成像數為N n  ，其中1 n 360    。成像數 可由光線在兩平面鏡之間產生的反射次數分析得知。如下圖2-3-1所示中，所成的三個 像，是由兩個一次反射及一個二次反射所產生的像（邱博文，2010）。 圖2-3-1 多重反射示意圖 二次反射 一次反射 物體 一次反射

第四節、數學教具及相關實徵研究

許多數學教育者均認為數學是依附在學習者主觀的意識中，因此最好能於學習過 程中，提供學生實際物體讓他們觀察，並在觀察中歸納數學基本原理(黃敏晃，1994)。 幾何是從具體形象進而形成抽象，再運用於不同情境中的概念。若教師可透過豐富且多 樣性的教學方式來協助學生學習，則其能力便可透過有意義的學習而提升。因此，若能 在幾何教學的情境中使用數學教具，定能增進學生的學習成效(林佳貞，2009)。以下將 針對「數學教具」、「數學教具的功能與益處」、「相關實徵研究」進行分析。 一、 數學教具： 一般數學教具我們可分為兩類進行探討： (一) 具體數學教具 具體數學教具是利用實際物體，由教師引導並融入數學概念，讓學生可觀察並操 作移動，使抽象的數學概念，轉化成學習者有意義的學習內容(洪萬生，2004)。Terry(1995) 認為具體數學教具是能被學生和教師操作與安排的物體，並增進抽象數學概念的理解。 Perl(1990)認為具體數學教具是可以被拿起、旋轉、排列且被收集的實在物體。因此， 我們可解釋所謂具體數學教具是能被學生和教師拿起、旋轉、排列並收集等實際操作， 進而幫助學生理解抽象的數學概念的實在物件。而王智弘(2006)將具體數學教具分為平 面教具和立體教具兩種。國中常見的平面教具有圖表、圖卡等，用於直角座標系統、統 計圖表和機率等教學上。教師通常使用這些平面教具來展示圖形、標示方位以節省畫圖 時間。而常見的立體教具包括有各式立體模型、圓規、骰子等，用於幾何、尺規作圖、 機率的教學中，教師通常使用這些立體教具來呈現立體圖形與展開圖、繪製尺規圖形等。 (二) 虛擬數學教具 虛擬數學教具是一種運用電腦技術產生的數位影像，看得到但無法實際觸摸，但 可以幫助學生建構抽象數學概念的學習工具(王智弘，2006)。張玉琪(2009)指出，網際

具的動態視覺呈現。靜態視覺呈現是透過電腦繪製出來的虛擬影像，投射於投影布幕 上。本質上雖是圖片，且有些類於具體數學教具，但其實仍無法以具體教具方式操作。 而動態視覺呈現則是一種呈現於電腦的視覺圖像，雖然被投射在投影布幕上，但學生可 以利用滑鼠或相關電子設備做出翻轉、移動、旋轉等動作，類似於在立體空間中操作的 具體數學教具。 二、 數學教具的功能與益處 林王碧貞(2013)指出，數學教具可有以下六項功能： (一) 具有具體表徵功能 (二) 能增進學童注意力與學習動機 (三) 可提供立即與矯正性回饋 (四) 可提升理解與解決問題能力 (五) 具備具體到抽象的橋梁功能 (六) 深化對於數學理解的功能 周文忠、林宗翰(2010)指出，教師利用教具創造不同教學策略，如此應用具體數 學教具於教學中，可有以下五項益處： (一) 提高學童的興趣與動機 (二) 能減低學童學習焦慮 (三) 有助於學習內容的連結 (四) 有助於達成教學目標 (五) 提供具體操作機會能協助加深學習印象 三、 相關實徵研究 有關國內、外數學教具教學的相關研究成果，其研究結果整理如下頁表 2-4-1 所 示：

表 2-4-1 國內、外數學教具教學之相關研究 研究者 研究主題 研究對象 研究結果 Reimer & Moyer (2005) 分析學習分 數概念之成效 低年級學生 研究顯示概念知識顯著提高但計算技巧並 無差異。學生認為教具可以操作與立即回 饋，也更喜歡學數學。 Moyer & Bolyard (2002) 分析利用正六 邊形、菱形、正 三角形等教具 進行幾何教學 中年級學生 藉由不同教具和呈現方式，可促進學生幾何 學習，且可使學生發展數學推論，並使用適 當的幾何語言以分析其特徵。 Drickey (2000) 空間推理技巧 六年級學生 教具組專注度較高，但各組沒有顯著差異。 Bolyard (2005) 分析教具在整 數加法和減法 的應用 國小六個班 級學生 教學中融入教具對學生進行整數加法和減 法的學習有助益。 王智弘 (2006) 探討多方塊教 具之教學成效 兩班國中學 生 低分組比高分組有較大的進步；男生表現比 女生表現好；能提升學生的學習興趣。 林瑞蘭 (2007) 運用教具學習 周長與面積之 成效 兩班國小三 年級學生 使用萬用揭示板教具教材教學具立即性學 習成效 彭健彰 (2008) 運用萬用揭示 板分析重量概 念 國小四年級 使用萬用揭示板的學生表現較佳，且能提升 學習興趣。 袁媛 (2007) 探討教具之教 學成效 國中二年級 學生 兩組學生表現並無顯著差異，但兩組學生在 解題策略上有所不同。其觀察結果顯示，實 驗組學生在學習上較為專心、解題也較多 元。 綜合上述可發現，教具是有助於數學的學習，教具本身的設計、教師的經驗與單 元的不同等，都可能影響到教具使用的成效。隨著資訊科技的日新月異，愈來愈多的教 具陸續被開發出來，因此對於教具我們必須有更多的了解，同時進行更多的實證研究， 以了解其對學生的影響。基於此，倘若我們能以探究方式來設計教具，活絡教學過程， 則成了一個有趣且新穎的數學課題。

第三章 研究方法

本章共分為五節，依序為本研究的「發展架構」、「研究方法與流程」、「研究對象」、 「研究工具」、和「資料收集與分析」，以下加以說明。

第一節、發展架構

本研究旨在設計開發數學科學教具，期望藉由本教具，讓學生透過實際操作，提升 對數學概念的理解和學習興趣。研究者規畫流程如下：針對本教具之相關數學概念與內 涵，與本教具演示後所呈現之結果，進行教具科學概念內容分析與整理，接著依據概念 內容設計「教具」及「輔助教材」兩部份。同時為探求教具與輔助教材之可用性，將採 用專家審查及學生實作測試，經兩階段修正教具設計及輔助教材內容。以下就發展架構 分成四部份進行說明： 一、 數學及物理概念內容分析 研究者依文獻資料，針對本教具之相關數學及物理的概念與內涵，與本教具演示後 所呈現之結果，進行教具科學概念內容分析與整理。 二、 「教具」與「輔助教材」開發 本教具先進行結構設計、材料開發和輔助教材開發。完成初步設計後，請 20 位國 中生進行本教具實作測試，然這 20 位國中分各分為 10 人，進行兩梯次循環測試修正。 每次測試研究者均從旁觀察記錄，再進行半結構式晤談，於完成每梯次循環的實作測試 後，立即將記錄與晤談結果，與指導教授進行檢討與修正二次，使教具內容更臻完整。 於學生兩梯次的實作測試與修正之同時，亦請四位經驗豐富之國中數學專任教師， 將其分為 2 組，進行兩次專家審核實作測試修正，而四位專家背景如下： 【A 專家】彰化師範大學數學系畢業，於國中任教數學資歷 2 年 【B 專家】高雄師範大學數學教育所畢業，於國中任教數學資歷 7 年 【C 專家】彰化師範大學數學系、科教所畢業，於國中任教數學資歷 15 年

【D 專家】彰化師範大學數學系、科教所畢業，於國中任教數學資歷 20 年 三、 國中數學教師實作 在台中市立某國中的數學領域研習會議中，請 20 位國中數學教師進行實作，並請 老師填寫問卷以蒐集意見，並檢討修正。 四、 國中校園推廣 由研究者協同台中市某國中數學科曾姓教師，針對六個班級的學生進行實作，於實 作結束後請此六個班級的學生填寫問卷，以了解國中生對於本教具的看法，最後再與曾 姓教師進行訪談並記錄。

第二節、研究方法與流程

本小節分為「研究方法」與「研究流程」兩部份，分述如下。 一、 研究方法 本研究目的旨在設計開發數學科學教具，並探索本教具呈現正多邊形的幾何性質。 為達上述之研究目的，研究者首先利用直接觀察法了解學生實作測試本教具時，可能遭 遇或發生的困難，並以半結構式晤談法訪談實作學生的意見與看法，經兩梯次檢討與修 正教具及輔助教材，同時請數學科教師進行專家檢核，以完成本教具與輔助教材之開 發。而完成教具與輔助教材開發後，研究者再進行教師實作測試與國中校園推廣，本階 段採取問卷調查法蒐集老師與學生對於本教具與輔助教材的意見，並以半結構式晤談了 解教師帶領學生使用本教具與輔助教材的想法。研究過程同時採取內容分析法，針對文 獻與本教具之科學內涵進行分析討論。針對本研究所使用之研究方法，分敘如下： (一) 直接觀察法 從觀察者的介入方式，可以將觀察法分為直接觀察與間接觀察。直接觀察是指受過 訓練的觀察者，到觀察現場直接觀察受試者活動，獲得具體而初步第一手材料的方法， 但受試者容易因被觀察而表現出不真實的行為。間接觀察是指研究者不直接介入受試者 的活動與情境，而是以間接的方式，請團體中特定成員代為觀察。 而在本教具與輔助教材的發展過程中，請國中生實作測試，研究者直接在旁進行觀 察，以了解其中可能會發生的困難。在實作前，研究者先向學生說明實作的目的，所以 請實作學生盡力完成本教具製作，以減低實作學生對操作本教具與輔助教材的緊張焦 慮。於實作過程中，研究者在旁記錄學生的行為舉動，倘若於製作過程中發現學生有製 作錯誤或探索一段時間後無法持續往下進行時，研究者會從旁協助使其能完成整個實 作，並在之後與實作學生討論想法與反應，並對照使用輔助教材的內容敘述，比較其差 異性。於完成每一次實作後，進行觀察記錄。 (二) 問卷調查法

林生傳(2003)指出，問卷調查的優點是經濟方便、可利用郵寄或電子郵件超越時空 的限制、被調查者可自選時機作答且回答自由、便於比較易標準化，然而其限制為被調 查者對問題的理解若有困難會無從得到協助、填寫問卷的意願無法把握、問題不易深入 等。 在「在國中數學領域教師實作」、「國中校園推廣」二項活動中，皆採用問卷調查法， 以了解國中數學科老師和國中學生對本教具與輔助教材的看法，並於「國中數學科老師」 問卷中設計二題開放性問題。 (三) 半結構晤談法 半結構晤談為先向受訪者發問一系列結構性問題，後採開放性問題，以獲得更完整 資料的方法。此種方式易量化且能收集較深入的資料，而本研究在國中校園推廣時，請 該校老師帶領學生實作，因此為了解老師在使用本教具與使用輔助教材來教導學生可能 會遭遇的困難，於活動完成後，進行半結構晤談的方式。晤談前，多次當面會談，確認 活動內容，說明研究目的與重點，並提供本教具材料與輔助教材，營造友善的氣氛，使 受訪者對活動內容更有把握。活動完成後，先提供晤談大綱，讓受訪者對晤談內容有心 理準備，並先思考整理其想法，研究者同時設想其可能會有的回應與應對的方式。進行 晤談時，再次說明研究目的，並在受訪者的同意下進行錄音。晤談過程中，適度的表達 自己的經驗與感受，使受訪者感受到研究者的真誠與同理，以期受訪者能安心的暢所欲 言，再根據受訪者的意見，提出更深入的問題，以了解其真實感受。 (四) 內容分析法 內容分析法亦稱資訊分析或文獻分析。在許多領域研究中，常需透過文獻獲得資 料，因此內容分析研究法，便有其價值與採用的必要。而內容分析法有六種類別，依序 為：(一)概念的分析(二)編撰(三)描述性分析(四)詮釋性分析(五)比較分析(六)普遍化 的分析(王文科，2007)。本研究針對教具所可能包含的科學概念先進行內容分析，並依 分析結果所得設計輔助教材，同時參考相關文獻，整理出相關的科學概念。

二、 研究流程 本研究首先蒐集文獻資料，擬定研究問題與方法後，遂進行科學概念內容分析，並 設計本教具與相關輔助教材。初步教具與輔助教材設計完成後，經過兩階段的學生實作 測試與專家檢核修正後，完成本教具組的開發。之後再由台中市某國中的數學領域老師 群進行實作評估，同時也在校園內對於學生進行推廣。過程中透過直接觀察法、問卷調 查法、半結構式晤談法與內容分析法，從各項實驗數據與訪談資料，進行質與量的分析， 並與指導教授共同討論，進而對所設計之數學科學教具與輔助教材進行各項修正。而本 研究之研究流程圖如下頁圖 3-2-1 所示。

圖 3-2-1 研究流程圖 與 指 導 教 授 討 論 及 文 獻 探 討 再 修 正 蒐集文獻資料 撰寫論文 國中數學教師 實作評估 完成數學科學教具開發 專家檢核與修正 資料整理與分析 學生實作測試與修正 國中校園 推廣評估 科學概念內容分析 結論與建議 輔助教材 編寫與設計 擬定研究問題與研究方法 教具材料 開發

第三節、研究對象

本研究之研究對象分成觀察對象、問卷調查對象和晤談對象三部分，分述如下。 一、 觀察對象 本研究之觀察對象為參與開發階段兩梯次實作測試的台中市某國中學生，該校共約 1500 位學生。研究者自一年級與二年級裡，依照學生其數學段考平均成績的在校名次， 分成校排名 1~10 名、11~50 名、51~100 名、成績中等、成績中低五群，進行分層抽樣， 共抽取二十人，爾後各分十人進行兩梯次循環修正，學生背景狀況如表 3-3-1 所示。 表 3-3-1 觀察對象資料表 晤談對象身分 編號（梯次） 資料介紹 國一生 1-T-1(一) 男，全校 1~10 名 國二生 1-T-2(一) 女，全校 1~10 名 國一生 1-T-1(二) 女，全校 11~50 名 國二生 1-T-2(二) 男，全校 11~50 名 國一生 1-T-1(三) 女，全校 51~100 名 國二生 1-T-2(三) 女，全校 51~100 名 國一生 1-T-1(四) 女，學業成績中等 國二生 1-T-2(四) 男，學業成績中等 國一生 1-T-1(五) 女，學業成績中低 國二生 1-T-2(五) 男，學業成績中低 國一生 2-T-1(一) 女，全校 1~10 名 國二生 2-T-2(一) 男，全校 1~10 名

二、 問卷調查對象 本研究之問卷調查對象主要分兩類：(1)國中數學教師 20 人(2)國中七、八年級共 六個班級的學生，各班約 40 人。在完成本教具與輔助教材之開發後，藉由台中市某國 中的數學領域研習進行數學教師群的實作，採取填寫問卷的方式來收集各方意見，希望 透過多位數學教師之意見回饋，來修正與檢討本教具與輔助教材的內容，以彌補本教具 組之不足。而國中數學領域研習實作的老師，皆為現任的國中數學科教師，填寫的問卷 及回饋更能針對數學概念給予較深入之意見。在國中校園推廣階段，以台中市某國中七 年級、八年級為主，以隨機抽樣方式，分別選出各年段 3 個班級學生參與實作，根據問 卷資料來了解國中學生對本教具與輔助教材的觀點與評價。 三、 晤談對象 本研究在國中校園推廣階段中，研究者對帶領學生實作的老師進行半結構式晤談， 以了解校園推廣的可行性。該位老師教學經驗七年，畢業於某國立師範大學數學教育 國一生 2-T-1(二) 男，全校 11~50 名 國二生 2-T-2(二) 女，全校 11~50 名 國一生 2-T-1(三) 男，全校 51~100 名 國二生 2-T-2(三) 男，全校 51~100 名 國一生 2-T-1(四) 男，學業成績中等 國二生 2-T-2(四) 女，學業成績中等 國一生 2-T-1(五) 男，學業成績中低 國二生 2-T-2(五) 男，學業成績中低 編碼說明 數字第一碼表示循環測試階段；T 表示學生；數字第二碼表 示國中年級；括號內數字表示梯次

所，平時與學生相處融洽，樂於創新教學，承辦二次科學園遊會，兩次均得獎，成績斐 然。希望透過該位老師的專業教學與良好的班級掌控能力，提供本研究更深入的意見回 饋。

第四節、研究工具

本研究之研究工具分為半結構式晤談大綱、問卷與專家檢核表，其分述說明如下。 一、 半結構晤談大綱 針對國中校園推廣，國中教師帶領班級學生實作的部分，對帶領教師進行半結構晤 談，晤談大綱如下： (一) 您願意帶領學生實作「魔鏡多邊形教具研發」的動機為何？ (二) 您對「魔鏡多邊形教具研發」的內容或方式有什麼看法或意見？ (三) 在帶領學生實作的過程中，您是否遇到什麼困難？如何解決？ (四) 經歷了此活動，您認為學生在數學的概念理解或態度上是否有影響？ (五) 經歷了此活動，您有什麼收穫和心得？ (六) 您會對「魔鏡多邊形教具」在校園推廣部分給予何種建議？ 二、 問卷 為有效率獲得多數人的意見，在國中數學科教師實作與國中校園推廣二個活動使 用問卷，並以五點式量表依「非常同意、同意、沒意見、不同意、非常不同意」來作答。 為提高問卷的效度，在擬定問題後與指導教授討論問卷問題的適切性。分述如下。 (一) 國中數學教師實作問卷： 由研究者發下實作材料，經國中數學科教師實作後，針對本教具對國中老師而言， 其製作是否簡便、現象是否易於觀察及在教學上有何價值，請教師填寫問卷以了解其看 法。最後增列兩題開放性問題，以期獲得對於本教具材料的選取和操作，與輔助教材的 內容敘述上的建議。 本研究參考賴季如（2013）的「國中教師實作問卷」，從中篩選與修正題幹項目， 經過與指導教授討論後，訂立本研究之國中數學教師實作問卷，內容如下頁表 3-4-1。

表 3-4-1 國中數學教師實作問卷 題目 非常 同意 同意 沒意 見 不同 意 非常 不同意 1. 本教具能引起我的興趣或好奇 □ □ □ □ □ 2. 本教具讓我覺得有趣 □ □ □ □ □ 3. 本教具的輔助教材之『目的』符合九 年一貫數學能力指標 □ □ □ □ □ 4. 本教具的製作過程簡易 □ □ □ □ □ 5. 本教具的輔助教材內容淺顯易懂 □ □ □ □ □ 6. 本教具所呈現的現象明顯，易於觀察 □ □ □ □ □ 7. 本教具能讓我了解數學線對稱圖形的 性質 □ □ □ □ □ 8. 本教具能讓我了解數學正多邊形性質 □ □ □ □ □ 9. 本教具輔助教材的『動動腦』問題能 符合輔助教材之『目的』 □ □ □ □ □ 10. 我會想要嘗試應用於教學之中 □ □ □ □ □ (二) 國中校園推廣學生實作問卷： 在老師帶領學生實作後，為了解本教具與輔助教材對國中學生而言，是否感到好 奇、操作是否簡便、現象是否易於觀察、能否引起學習該數學原理的興趣、教具材料的 選取與輔助教材的內容是否合宜，請國中生填寫問卷以了解多數學生的看法。本研究的 國中校園推廣學生實作問卷，亦參考賴季如（2013）提出的「國小校園推廣問卷」，經 過與指導教授討論後，訂立本研究之國中校園推廣學生實作問卷，內容如下頁表 3-4-2。

表 3-4-2 國中校園推廣學生實作問卷 一、請您對以下敘述的同意程度，再□內打「V」 題目 非常 同意 同意 沒意 見 不同 意 非常 不同意 1. 本教具能引起我的興趣或好奇 □ □ □ □ □ 2. 本教具讓我覺得有趣 □ □ □ □ □ 3. 本教具的輔助教材(講義)清楚易懂 □ □ □ □ □ 4. 本教具的製作過程簡易 □ □ □ □ □ 5. 本教具所呈現的現象明顯易於觀察 □ □ □ □ □ 6. 本教具的操作簡便 □ □ □ □ □ 7. 本教具能讓我了解數學正多邊形性質 □ □ □ □ □ 8. 本教具能讓我了解數學線對稱圖形的 性質 □ □ □ □ □ 9. 本教具能引起我更進一步探討相關的 數學原理或知識 □ □ □ □ □ 10. 我會介紹其他人使用本教具組 □ □ □ □ □ 二、請您對以下魔鏡多邊形動動腦問題敘述的同意程度，再□內打「V」 題目 非常 同意 同意 沒意 見 不同 意 非常 不同意 1. 我能理解正三角形定義與性質 □ □ □ □ □ 2. 我能理解正多邊形定義與性質 □ □ □ □ □ 3. 我能了解正三角形為何是線對稱圖形 □ □ □ □ □ 4. 我能理解線對稱圖形的幾何性質，並

能應用於解題和推理 5. 我能理解線對稱圖形幾何性質 □ □ □ □ □ 6. 我能將線對稱圖形應用於解題和推理 □ □ □ □ □ 7. 我能理解線對稱圖形的幾何性質與反 射原理 □ □ □ □ □ 三、請您對以下正多邊形的秘密動動腦問題敘述之同意程度，再□內打「V」 題目 非常 同意 同意 沒意 見 不同 意 非常 不同意 1. 我能理解等腰三角形與正多邊形外角 的關係 □ □ □ □ □ 2. 我能學會計算正多邊形的外角與內角 □ □ □ □ □ 3. 我能理解外角和定理與三角形、多邊 形內角和定理的關係 □ □ □ □ □ 4. 我能理解等腰三角形與正多邊形的關 係 □ □ □ □ □ 5. 我能理解特殊四邊形與正多邊形的幾 何性質 □ □ □ □ □ 三、 專家檢核表 本教具在材料選取上，以容易取得，成本低，容易完成，無危險性為原則；而輔助 教材的編寫力求適合一般大眾及學生的閱讀習慣，並能清楚的呈現內容。因此在教具開 發階段，同時請四位經驗豐富的國中教師進行專家審核。參考賴季如（2013）提出的「專 家審查表」，經過與指導教授討論後，訂立本研究之專家檢核表，內容如下頁表 3-4-3。

表 3-4-3 專家檢核表 一、檢核項目 修訂意見 ▲教具演示 1. 教具演示活動簡易，可行性高 □是 □否 2. 教具演示呈現的現象明顯，易於觀察 □是 □否 3. 教具演示能引起學生的興趣或好奇 □是 □否 4. 教具演示能引起學生進一步探討與學習相關數學原 理之動機 □是 □否 ▲教具組適宜性 1. 教具組合製作簡易 □是 □否 2. 教具組合製作過程無危險性 □是 □否 3. 本教具適合國中以上的學生學習與操作(如不適合， 請建議) □是 □否 ▲輔助教材編排設計 1. 輔助教材中之『目的』符合九年一貫數學能力指標 □是 □否 2. 輔助教材中『魔鏡製作方式』之說明淺顯易懂 □是 □否 3. 輔助教材中『正多邊形的秘密』之說明淺顯易懂 □是 □否 4. 輔助教材中『魔鏡表演秀』之說明淺顯易懂 □是 □否 5. 輔助教材中行距、字體適當 □是 □否 6. 輔助教材中圖文之位置配置恰當 □是 □否 7. 輔助教材中圖形圖片清晰，大小適合 □是 □否 8. 輔助教材的遣詞用字流暢 □是 □否 9. 本教具之輔助教材的『動動腦』問題能符合輔助教材 之『目的』 □是 □否 二、其他建議

第五節、資料收集與分析

本節將對研究過程中所蒐集的資料種類、編碼方式及分析方法說明如下。 一、 資料種類 (一) 問卷： 為有效率的獲得多數人的意見，本研究在「在國中數學領域教師實作」、「教師 國中校園推廣」兩個活動皆採取問卷調查法，以了解國中老師和國中學生對本教具的看 法。 (二) 訪談紀錄： 本研究在教師國中校園推廣時，由該校老師帶領學生實作，為了解老師在使用本 教具來教導學生可能會遭遇的困難，在活動完成後，與該老師進行半結構晤談的方式， 以作更深入的研究。 (三) 觀察記錄： 在開發教具階段時，請國中學生實作測試，研究者在旁直接觀察，以了解可能會 遭遇的困難及學生對本教具的看法。每完成一次實作，將與指導教授討論學生反應與如 何修改，完成觀察記錄。 二、 編碼方式 為方便分析資料，研究者將資料依據收集的時間和類別予以歸納及編碼，編碼方式 如下表 3-5-1 所示。 表 3-5-1 資料編碼表 資料種類 代號編碼舉例 編碼說明 問卷 國中數學科教師實作 Q1-012 Q 代表問卷 中間數字 1 為國中教師實作 教師國中校園推廣 Q2-012

中間數字 2 為國中校園推廣 最後的數字為編號第 012 號的 問卷 訪談 紀錄 Q01-1 Q01 為國中校園推廣的帶領老 師 -1 為該老師的訪談紀錄 學生 觀察 記錄 2-T-1(一)-0915 數字第一碼表示循環測試階 段；T 表示學生；數字第二碼 表示國中年級；括號內數字表 示梯次；後四碼表示實驗晤談 日期 專家 審查 A 有四位專家，分別以 A、B、C、 D 為代號 三、 分析方法 本研究使用三角校正法來分析資料，三角校正法強調運用多元化的資料對同一主題 進行分析檢驗，降低研究者投入研究情境偏見與個人主觀意見的錯誤，讓研究結論更趨 近真實，以提高研究的信度。本研究採用了資料的三角校正，說明如下： 資料的三角校正：本研究的資料來源有問卷、晤談紀錄和觀察記錄，透過此三種來 源的資料，來詮釋分析同一主題。 問卷的分析為本研究的量化資料。問卷的題目採李克特氏五點量表作答，作描述性 統計以了解多數人的意見。為提高問卷的效度，在擬定問題後與指導教授討論問卷問題 的適切性。

第四章 研究結果與討論

本章節共分為三小節，其結構如下圖 4-1，主要分為「科學分析階段」、「設計開發 階段」、「推廣階段」三部分。 「科學分析階段」為研究者依據教具的科學原理，針對所呈現的科學概念，進行內 容分析。而「設計開發階段」中，研究者針對教具和輔助教材的開發，請專家與國中生 以兩階段循環測試進行修正，以了解專家與學生對教具和相關教材的看法。「推廣階段」 計有兩項活動，分別為國中數學科老師實作、教師國中校園推廣，並於活動中以問卷方 式收集老師和學生對本教具的使用觀點。 因此，本章第一節為「科學概念內容分析」，第二節為「魔鏡多邊形科學教具設計 開發」，第三節則為推廣階段的「資料與問卷分析結果」。 圖 4-1 第四章結構圖 設計開發階段 第二節、魔鏡多邊形科學教具設計開發 第一次循環修正 第二次循環修正 教具與輔助教材 設計開發 第三節、資料與問卷分析結果 推廣階段 國中數學 教師實作 實作 國中校園 推廣實作 第一節、科學概念內容分析 科學分析階段 鏡中正多邊形 形成原理分析 數學性質分析

第一節、科學概念內容分析

本教具應用物理光學中的反射原理，透過雙面鏡多重反射從鏡中觀察到各種正多邊 形。本節先以光學中「多重反射」與「線對稱」的概念，探討正多邊形的形成進路，再 分析「正多邊形成像」與「鏡面夾角」、「鏡中多邊形形狀」及「邊長」的關係。以下， 將從「鏡中多邊形形成原理分析」與「數學性質分析」兩種面向，探求鏡面反射現象與 正多邊形間的關係及其性質。 一、 鏡中多邊形形成原理分析 本教具所觀察到的正多邊形，是運用雙面鏡反射，搭配雙面鏡不同的夾角度數，而 呈現不同的正多邊形。研究者以鏡面互相垂直(即雙鏡面夾角90 )為例，畫出正四邊形， 如下圖 4-1-1 所示，分別以「多重反射」及「線對稱」兩概念來分析其形成過程。 圖 4-1-1 正四邊形形成過程 (一) 「多重反射」分析：

1. 若鏡面夾角AOB  ，設定 AOB90  為等腰直角三角形，則AOB  、90

45 OAB   及OBA ，且45 AO BO 。 2. AB 以AO為鏡面做第一次反射成像為AB'，故AB AB '。 3. OAB 以45 AO為鏡面做第一次反射成像為B AO'  ，故45 _{B AB}' _{  。 90} O 對稱軸（鏡面） 對稱軸（鏡面） B A B’ A’ O

4. AB 以BO為鏡面做第一次反射成像為A B' ，故AB A B ' 。 5. OBA 以45 AO為鏡面做第一次反射成像為A BO'  ，故45 _{A BA}' _{  。 90} 6. 同理，AB'、A B' 分別再以BB'、AA'鏡面做第二次反射成像，則AB'A B' '、 ' ' ' A B A B ，且AB A'   、90 _{BA B}' ' _{ 。 90} 7. 因此，AB AB '  A B' ' A B' 且BAB'  ABA'  AB A' '  BA B' '   ，所以90 ' ' ABA B 為一個正四邊形，即正方形。 (二) 以線對稱概念分析：

1. 若鏡面夾角AOB  ，設定 AOB90  為等腰直角三角形，則AOB  、90

45 OAB   及OBA ，且45 AO BO 。 2. 由於鏡面反射，因此可以AA'為對稱軸，看出AOB'對稱於AOB，且 ' AOB AOB

   ，對應邊AB AB '，對應角OBA OB A' 、OAB OAB'。

3. 由於鏡面反射，因此可以BB'為對稱軸，看出AOB' 對稱於AOB，且

'

AOB AOB

   ，對應邊AB A B ' ，對應角OAB OA B' 、OBA OBA'。

4. 同理，_AOB'_與AOB' _{分別再以分別再以BB}'

、AA'為對稱軸，可看出AOB'與

'

AOB

 均對稱於AOB' '，因此AOB'  AOB' ' BOA'，對應邊AB' A B' '、

' ' '

BA A B ，對應角OAB' OA B' '、OB A'  OB A' '、OBA' OB A' '、

' ' '

OA B OA B

   。

5. 綜合上述，經過線對稱，_{AOB AOB}' _{ AOB}' ' _BOA'

，且此四個三角形均為

為OBA OAB OAB'  OB A'  OB A' '  OA B' '  OA B'  OBA' ，因45 此AB AB '  A B' ' A B' 且B AB'  ABA'  BA B' '  A B A' '  ，故90 _{ABA B 為一}' ' 個正四邊形，即正方形。 二、 數學性質分析 調整鏡面夾角的大小，經鏡面多重反射後，從鏡中觀察正多邊形。以下依照「鏡 面夾角」0   120 與120   180 與360 360 2 1 n  n  _{ }    三種不同的夾角範圍，討論所 呈現的正多邊形，並分析每個正多邊形的「形狀」與「邊長」兩項特徵。 在平面鏡OA、OB 之前方有一線段為 1 1 2 2 m m C C_{ } ，形成正n 多邊形。兩鏡面夾角為， 如下圖 4-1-2 所示。 圖 4-1-2 鏡面夾角調整方式示意 (一)若鏡面夾角落在範圍120   180 時，設 _{1 1} 2 2 m m C C_{ }  ： a 1. 鏡面夾角：120   180 2. 形狀：等腰鈍角三角形、等腰直角三角形、等腰銳角三角形。 3. 邊長：C C1 2  ，a 1 3 2 3 1 sec 2 C C C C   a  以下針對「形狀部分」與「邊長部分」作說明： 如下頁圖 4-1-3 所示， 1 2 m

C

_ 1 2 m

C

_

A

B

O



圖 4-1-3 鏡面夾角、多邊形形狀、邊長示意圖(一) 形狀部分： 在 C C C 中，因為_{1 2 3} C C C_{3 1 2}  C C C_{3 2 1}180 ，而且 C C C_{1 3 2}2180再加 上120   180 ，所以0  C C C_{3 1 2}  C C C_{3 2 1}  ，同時60 60  C C C_{1 3 2}180 。故 此多邊形為鈍角三角形、直角三角形或是銳角三角形。 邊長部分： 在 C OC 中，設_{1 3} C C_{1 2}  ，a _{1 2} 2 a C D C D  ，OC₁  。因為r _{1 3} 180 2 C OC      並 且C C O_{1 3}   。由正弦定理可知，  90 1 3 1 3 1 3 sin sin C C r C C O  C OC   所以 1 3 sin( 90 ) _{sin(180 )} 2 C C r     _{ } ，則 1 3 cos _sin 2 C C r     ，因此 1 3 sin 2 cos C C r      。 然而 1 csc 2 2 r a  ，所以 _{1 3} 1 sec 2 C C   a 。 1

C

C

2 3

C

O

D