線對稱圖形

幾何學是一門研究物體形狀、大小、位置及其相互關係的學科（朱建正、廖淑麗、

魯炳寰、謝堅，2006）。一般幾何圖形的基本變換包括平移、旋轉及線對稱變換，其中 平移與旋轉兩種變換可由兩次線對稱變換組合而得。而在大自然及生活經驗中也經常可 見線對稱現象，因此線對稱是幾何學中一個重要的基本概念。(洪珮芬，2009)。本章共 分為三節，旨在說明本研究之理論基礎及探討相關文獻。第一節介紹線對稱圖形；第二 節說明正多邊形尺規作圖與棣美弗定理；第三節平面鏡成像的理論基礎。

一、 線對稱的意義

自然界中許多物體都具有對稱的特性，而對稱圖形中又包含了線對稱及點對稱。

線對稱圖形，是以「一條線」為基準，在線的兩側以「等距離延展開」，同時兩側所形 成的圖形須大小形狀均相同，且此基準線可以是鉛直、水平或傾任一角度。換而言之，

將圖形沿著基準線對摺，兩側圖形可以彼此完全重疊，此種圖形就稱為「線對稱圖形」，

而基準線稱為「對稱軸」（王世鑫，2007）。茲整理下述對線對稱的定義如下：

(一) 簡明數學百科全書(洪萬生譯，1979)中提到，線對稱是指平面上一條直線L將 此平面分割成兩半平面，其中任一半平面在空中以L為軸作180 的旋轉，然後映射到另 一半平面上。以下頁圖 2-1-1 說明，L軸上任一點S 會映射到本身，即S S 。而 AS 和'

'

A S 分別與 L 所夾之角相等，且AS A S' 。點A與其映射的點A'，其連線段點AA'會 被L垂直平分。因此平面F會全等於平面F'。

圖 2-1-1 線對稱說明圖

(二) 根據日本數學教育協會對線對稱的定義(引自林宜臻，2000)：

1. 一平面圖形以直線L為摺線，於空間翻轉180 後，完全重合，稱之。

2. 兩平面圖形以直線L為摺線，於空間翻轉180 後，其中一個與另一個完全重 合，稱之。

(三) 國民小學數學科新課程概說（高年級）平面教材的處理(劉好，1998)一文中，

將線對稱定義為：

1. 操作型定義：若一圖形可沿著某一直線對摺，對摺後使兩側圖形完全重合。

2. 幾何的定義：一個圖形，若可以找到一條直線將其平分成兩半，在其中一半內 的任何點都可以在另一半內找到一個對應點，使得這兩個互相對應的點所連成 的直線段恰好垂直原直線

綜合上述所列，本研究所採用的線對稱主要定義為：

1. 對稱線段等長，對稱角相等。

2. 對稱軸垂直平分相異兩個對稱點的連線，亦即一組對稱點其兩點到對稱軸之垂 直距離會相等。

二、 線對稱的作圖策略

線對稱的作圖策略，可以下列四種方法完成：

(一) 剪圖法(邱俊宏，2004)：

F F'

( ') S S L

A A'

將一張紙對摺，在其上依所要的圖形之一半的形狀剪下，然後展開，則可得一個 線對稱圖形。

(二) 描繪法(邱俊宏，2004)：

將一張紙對摺，把複寫紙插入對摺紙其中，使可透色的面和紙之兩個內面接觸，

於對摺紙的表面畫出所要的對稱圖形的一半圖形。畫好後將複寫紙取出，展開白紙，即 完成對稱圖形。

(三) 利用對稱軸垂直平分對稱點的連線之特性(邱俊宏，2004)：

在一張白紙上適當位置畫出一條直線當做對稱軸，接著於軸線的一邊畫出所要的 對稱圖形的一半圖形，定出一些關鍵點，過每一個關鍵點分別畫出和軸垂直的直線段，

使其通過軸線至另一側的適當位置，於此直線段上取一點使其至軸之距離等於原關鍵點 至軸的距離，則此點即為原關鍵點的對稱點。接著利用這些對稱點連出原來的一半圖形 中各邊之對稱邊，即得一個線對稱圖形。

(四) 釘點紙鏡射成像與線對稱(陳莉萍，2002)：

由於線對稱圖形為幾何變換中的反射全等，因此可利用鏡射現象加以詮釋，而線 對稱概念其實就是把線對稱看作為平面上的鏡射。若提供一張釘點紙並在紙上畫出一條 直線，用以放置鏡面。將此鏡子視為摺線，利用鏡子兩側的對應點與鏡子連線等長的性 質，觀察鏡面內外兩側的圖形。同時可透過各個頂點與鏡子或頂點與頂點之間的關係，

加上釘點上的水平與垂直位移來決定對應鏡像點位置，進而畫出一個線對稱圖形。

三、 小結

於線對稱圖形中，對稱軸一側的圖形皆能在另一側找到相對應全等之圖形，同時 軸線兩側對稱線段須等長，對稱軸垂直平分兩側對稱點連線，對稱角度也相等。若以鏡 子成像的物理現象言之，好比將鏡子放在對稱軸上，圖形上的每一點均可在鏡子所呈現 的鏡像中找到相對應點(陳莉萍，2002)。因此，我們可以鏡射成像的物理現象說明線對 稱圖形的關係。