正整數除法概念的相關研究

壹、除法概念的形成

一、知識結構的分析

認知心理學家 Gagné (1993)認為人類知識的表徵可分為兩種，一種是程序性 知識（procedural knowledge），另一種是陳述性知識（declarative knowledge）。 程序性知識所表徵的是人類產生行為的知識，大多是指如何執行事務的知識，包 含心理機能、認知技能與認知策略等事務的一連串動作或步驟，以除法為例，程 序性知識是指執行除法運算的過程，通常是比較動態，較不容易學習，但是達到 習慣性自動化反應後就不易改變。

而陳述性知識所表徵的是一般事實性包含理論和事務的知識，以及這些知識 的功能和含義，以除法為例，陳述性知識是指語文知識，如瞭解平分、等分除、

包含除…等基本概念，及瞭解除法問題或算式中各數字所代表的意義，通常是比 較靜態的，比較容易學習及修正。

陳述性和程序性知識兩者雖有不同處，但彼此間關聯密切。例如解決除法的 程序性知識時，必須仰賴減法、乘法、除法的陳述性知識，而除法陳述性知識也 在程序性知識的執行中逐漸發展成形。

（一）陳述性知識的形成 1.命題網路的形成

Gagné (1993)曾指出，陳述性知識的記憶結構如同為了使人能了解命題(知 識)而建構的網路，其組成是由不同類型的陳述性知識所連結而形成。新命題的 形成需要先將新知識轉換成新命題結構，再經由精緻化的過程，將新命題予以意

義化，並使新舊命題產生連結，進而內化形成新的命題(知識) （岳修平譯，

2001）。

2.基模的形成和精緻化

基模（schema）為個體與環境事物接觸時，為求了解或認知事物性質而產生 的心智模式，其表現的方式分為外顯的身體動作及內蘊的認知結構(cognitive structure)，此處的認知結構是指個人對該事物的看法。如人們會利用基模知識 將數學問題依結構來分類，如加、減、乘、除法的分類。

基模與命題網路的形成不僅同時產生，而且息息相關，兩者的形成歷程也大 致相同，都是把關聯的事物連結在一起，但基模的形成歷程還需找出相關事例的 共同特徵，並將之形成一個新表徵。所以命題網路的組識是將相關的命題知識串 聯，而基模則是進一步的聯結共同的特徵，通常新形成的基模都較為粗略，而且 容易有過度類化的情形發生，所以基模的精緻化是必要的歷程（岳修平譯，2001）。

例如學習者在開始學習除法時，會根據已具備的減法知識解決除法問題，從 解題歷程中，逐漸將相關的命題連結而形成命題網路。而除法基模的形成則是進 一步的把除法或甚至把除法和減法知識依照共同特徵串結，以便於訊息提取和精 簡知識結構。

（二）程序性知識的形成

程序性知識是指個體在特殊情境下所運用的數學算則、認知技能，或用來解 決問題、思考及做決策的知識。通常可分為一般性程序和領域特定的程序。在問 題解決策略的發展上，其理論是自動化的假設，意即學習者將許多基本運作加以 串聯而使成為單一的運作，並逐漸脫離陳述性知識，經熟練後而達到自動化（岳 修平譯，2001）。自動化處理是程序性知識學習的最後境界，此時，在操作過程 中就不再需要隨時注意去處理某些訊息（張春興，1996），這也是程序性知識形 成的最終階段。如剛開始學習除法直式運算，要先瞭解位值及相關的除法概念（陳

練時，就會逐漸脫離陳述性知識，達到自動化處理的境界，此時學童會很自然的 知道該數字應放在哪裡以執行運算，這就是除法程序性知識的形成（許清陽，

2001）。自動化基本技能的形成有三個階段，分別是認知、連結和自主階段。

以下茲就自動化基本技能的三個階段加以說明：

1.認知階段（cognitive stage）：

當學習者在執行程序前，必須先觀察當下的情形，才能決定接下來的步驟，

並在執行過程時，專注且持續監控每個步驟的執行並注意其結果的發展。

2.連結階段（associative stage）：

指學習者把原本陳述性知識轉換成由較少意識監控的系列動作，也就是學習 者把個別的步驟，組合成一個步驟。在程序執行過程中，學習者會漸漸脫離陳述 性知識線索的依賴，慢慢增強連結的部份，達到技巧自動化。

3.自主階段（autonomous stage）：

自主階段是連結階段的延續，在此階段已不需要有意識的控制特定領域程 序，更不需要使用口語輔助執行程序，透過不斷的練習，執行程序已經愈細微，

技巧愈純熟。

（

1.陳述性和程序性知識兩者在互動中同時發展

Hiebert & Lefevre(1986)認為陳述性和程序性知識是不可截然劃分的，兩 者在互動中同時發展。在發展過程可分為兩個階段：在第一階段，學習者觀察並 理解問題情境，首先以陳述性知識表徵問題的情境、條件，並思考問題解決方式，

執行解題歷程；第二階段為學習者以陳述性知識執行解題程序，此時陳述性知識 的表徵與程序性知識連結。以除法為例，除法的陳述性知識轉換成適當的程序形 式解決問題，而在執行歷程中，除法的陳述性知識同時也發展為基模，並使得基 模和程序反應的連結自動化。學習者可以執行一系列的步驟解決問題。

2.數學概念需要連結陳述性和程序性知識才能穩固發展

數學概念要穩定發展，必須在陳述性和程序性知識上建立良好連結。例如在 解決除法問題時，解除法的程序性知識依賴除法、乘法、減法的陳述性知識，而 除法陳述性知識也在程序性知識的執行過程中逐漸發展。如果陳述性和程序性知 識兩者之一有所不足，或者兩者知識都已具備，但各自獨立沒有關聯，則學習者 只會在類似於學習時的情境中運用數學知識，卻無法舉一反三，或不知道如何執 行該程序。

3.數學概念性和程序性知識連結的發展

Hiebert & LeFevre(1986) 整理有關數學能力發展之相關研究，歸納出陳述 性與程序性知識間關係的發展，可分學齡前及學齡期兩部分。

（1）學齡前：

此時期兒童的陳述性知識和程序性知識二者息息相關，他們從生活脈絡中學 習計數，藉著數數（程序性知識）來理解數概念（陳述性知識）。而他們從計數 的程序和數的概念中，也可以理解問題的語意，如「拿走多少，剩下多少」的結 構，進而選澤適當的程序解題。

（2）學齡期：

學齡期的兒童在課堂上學習正式的數學符號語言，假如兒童能將這些符號及 符號的意義與生活經驗結合，則具有意義的符號就成為記錄及溝通數學思考活動 的最佳工具。但是，若兒童進入學校學習數學符號後，不清楚符號的意義，而不 經思索的使用，將會造成符號間所表徵的陳述性知識各自獨立，而使本應同時發 展的陳述性知識和程序性知識脫節。例如，二、三年級學生會進行等分活動，但 是不了解表徵解題活動的累減算式和解題活動有什麼關係(游麗卿，1999b)，可 見學生的算式表徵並沒有與相關的陳述性知識及經驗結合。

Hiebert & LeFevre(1986) 認為此現象的原因可能是一般教學者一直把重心 放在程序性知識上，強調符號及運算符號規則的學習和演練，使得運算規則雖和

雖學了很多符號的運算規則，對符號的運算規則的限制較清楚，但對於規則的概 念意義仍不清楚。

雖然學生未產生陳述性和程序性知識的連結，仍能正確的解決一些自己並不 理解的問題，但因缺乏概念基礎的程序性知識，將造成學生只記得部分程序，甚 至和其他支節的程序步驟七拼八湊。且這些程序性知識常只侷限於學習時特定的 情境．難以類推到其它情境解決新問題，由此可見學生雖具備程序技巧，增進解 決問題的效率，但是唯有連結相關的陳述性知識，才可以獲得有效且穩定的程序 性知識。

二、除的概念

（一） 除的概念

除的意義在於「平分」，所謂「平分」就是平均分配（趙錫如，1997），意指 分量相等，沒有輕重大小或長短之分。依據國外學者(Clements & Lean, 1988；

Hunting ＆ Sharpley, 1988；Miller, 1984)研究學童平分概念的報告指出，二 年級以前的兒童具平分物品的能力，兒童能反覆分配物品到每個位置，且每次分 配到每個位置的物品一樣多，一直分到沒有剩下為止，最簡單的形式是一次分一 個，每回一個位置分一個。而平分可分為「離散量」的平分和「連續量」的平分，

它是學習除法的基礎，其中離散量大多透過「數數」獲得答案，比連續量較能為 學童所理解，因此通常先透過等分多個具體物（離散量），來讓初學者理解平分 的意義。

但研究結果也指出雖然學童在進入小學之前，就具有解決除法問題的經驗，

而經驗主要來自「平分東西」的處理，但大多數二年級的兒童無法根據處理平分 的程序上，就確認是「平分」了（楊瑞智，1997），他們經常需要透過點數才能 確認是否平分，亦即他們知道循序地分給每一位玩偶的程序，直到所有餅乾分 完。但是此階段多數的小孩還無法察覺到「分」的過程中的關係不需要再計數，

分完後每堆的餅乾個數，就能確認等分。

而國小三年級學童在分的策略上，由陳鵬全（2002）在其研究中發現，三年 級學童對解決包含除問題都是『將花片分給一個人應分的數量後，再分給另一個 人應分的數量，直到花片分完為止』；而對等分除問題大致上採用是『一個一個

而國小三年級學童在分的策略上，由陳鵬全（2002）在其研究中發現，三年 級學童對解決包含除問題都是『將花片分給一個人應分的數量後，再分給另一個 人應分的數量，直到花片分完為止』；而對等分除問題大致上採用是『一個一個