試題關聯結構圖之分析與討論

接著，將測驗結果經過 IRS 分析，畫出此四題的試題關聯結構圖如圖 4-1：

答對率 0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

圖 4-1 被除數是一位數概念試題關聯結構圖

一、被除數是一位數的概念，一共包含 4 個試题 ，就結構圖 4-1 上可觀察得知，

試題 2 位於結構圖之最下方，答對率為百分百是其餘三道試題的共同下位概 念。

二、就試題內容而言，試題 1、試題 2、試題 5 和試題 6 都是被除數在 10 以內的 概念，但試題 1 和試題 2 可被整除，而試題 5 和試題 6 有餘數，其中試題 5

2 1

6

5

為被除數小於除數，受試學童容易受既有的習慣想法所影響，認為必是數字

答對率 0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

圖 4-2 被除數是二位數的概念試題關聯結構圖

一、由結構圖 4-2 得知，在此概念中最下位的概念是試題 3， 接著是試題 7，最 上位概念是試題 9。

二、就試題內容而言，此 3 道試題內容都屬於「二位數除以一位數」，其中試題 9 尚需進行兩次計算。在試題 3 及試題 7 之中，由於試題 3 的內容較單純，只 需將連續量進行等分除，並且可整除，所以在此結構圖中就成了最下位的概 念。檢視受試學童在試題 7 的作答情形，發現錯誤者多為商數或餘數的計算 錯誤，更甚者將 10 月份的 10 當作除數進行計算。

而試題 9 的試題內容以「倍」的方式呈現，受試學童須先釐清試題中倍數間 的關係，再進行兩次除法計算，所以在此結構圖中成為上位概念，檢視錯誤 的受試學童，其作答多僅進行一次計算或是認為以乘法計算，此種情形可提

3 7

9

醒教學者在教學時多提供「倍」的概念予以學童反向思考的機會。

答對率 0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

圖 4-3 被除數是三位數，且為等分除的概念試題關聯結構圖

一、由結構圖 4-3 得知，試題 18 是最下位的概念，試題 15、22、23 是等價的試 題，試題 18、15、23 亦為等價試題，但試題 18 是試題 22 的下位概念。

二、就試題內容而言，此五道試題內容屬於「三位數除以一位數」概念試題，其 中試題 18 屬於單一步驟的除法計算，答對率為.84，可見受試學童對「三位 數除以一位數」單一算式，大都能予掌握。試題 15 的答對率為.53，大約只 有半數受試者答對，屬答對率中等的題目，檢視錯誤原因， 除了未作答外，

部分受試者雖已分別進行二次除法計算，卻誤將打字字數少者當做打字速度 快者，而選錯誤答案，此現象在試題 25 同樣出現類似情形。試題 22 的答對

22

15

18

23

率為.28，試題 23 的答對率為.22，足見此二試題造成許多受試者困擾，推

答對率 0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

圖 4-4 被除數是三位數，且為包含除的概念試題關聯結構圖

一、由結構圖 4-4 得知，試題 20 是此結構圖最下位的概念，試題 20、14、12 是 等價群的試題，試題 10、20 亦為等價群試題，但試題 10 與試題 14、試題 12 之間並未有試題關聯線。

二、就試題內容而言，此四道試題內容都屬於「三位數除以一位數」的包含除概 念試題，試題 20 和試題 10 具有等價關係的試題，試題 20 為基礎的包含除 單一步驟的除法，試題答對率為.84，對受試學童而言，是極為容易作答的 試題。試題 10 為「三位數除以一位數」概念中帶有餘數的試題，受試學童 若是能細心計算，便不會產生錯誤。而試題 20、14、12 是具有等價關係的 試題，可能因為受試學童在試題 12 容易疏忽，而將餘數加入計算，所以產 生的錯誤較多。試題 10 與試題 14、試題 12 之間並未有試題關聯的指向，推 測可能原因是試題 12 和試題 14 都需要將餘數列入最後的答案計算中，而試 題 10 只需依據所得的商及餘數，即可立即回答試題。因此受試學童必須清 楚知道算式中各個數字所代表的意涵，才能依試題內容的要求，而找到正確

10 14

12

20

答案。

接著，將測驗結果經過 IRS 分析，畫出此四題的試題關聯結構圖如圖 4-5：

答對率 0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

圖 4-5 等分除的概念之試題關聯結構圖

一、由結構圖 4-5 得知，此結構圖最下位的概念是試題 3，試題 1、19、24 是等 價群的試題，試題 24 是最上位概念。

二、就試題內容而言，此四道試題內容屬於「等分除」概念的試題，試題 1 為一 位數除以一位數；試題 3 為二位數除以一位數；試題 19 及試題 24 皆為三位 數除以一位數。試題 1 本應為基礎概念，即最下位概念，但因有兩位受試學

1

19 24

3

童作答錯誤，故答對率降低，探究其原因，發現此兩位受試者為低能力者，

答對率

0.8

0.9

1.0

圖 4-6 「包含除，可整除」的概念之試題關聯結構圖

一、由結構圖 4-6 得知，此結構圖最下位的概念是試題 2，試題 4、20 是上位概 念。

二、就試題內容而言，此三道試題內容屬於「包含除，可整除」概念的試題，試 題 2 為一位數除以一位數；試題 4 為二位數除以一位數；試題 20 為三位數 除以一位數。此三道試題間的概念由下位到上位應為試題 2試題 4試題 20，但由結構圖發現，試題 4 與試題 20 間並無概念聯結，檢視學童原始作 答情形，試題 4 只有一位學童答錯，該生在試題 20 答對；而有另五位學童 在試題 4 答對，但試題 20 未得分，其中有三位未作答，二位計算錯誤，推 測應是造成試題 4 與試題 20 未產生聯結之因。

柒、 「包含除，有餘數」概念試題之試題關聯結構圖分析

以被除數為一位數、被除數為二位數及被除數為三位數的試題為例，如試題 6、7、12、21 等四題，進行試題的內容與相關概念分析，如表 4-11 所示：

4

20

2

表 4-11 「包含除，有餘數」的概念之解題相關知識與概念分析

一、由結構圖 4-7 得知，等價群試題 6、7 是最下位概念，接著指向試題 21，最 後指向最上位概念試題 12。

二、就試題內容而言，此四道試題內容屬於「包含除，有餘數」概念的試題，試 題 6 屬於「一位數除以一位數，問題答案是商數加 1」的概念；試題 7 屬於

「二位數除以一位數，商數與餘數皆是答案」的概念；試題 12 為「三位數 除以一位數，問題答案是商數加 1」的概念；試題 21 為「三位數除以一位數，

問題答案即是商數」的概念。

三、試題 6 與試題 7 的答對率高達.81，可見此班三年級群體受試者，大多已具 備計算「包含除，有餘數」的能力。試題 21 本為「三位數除以一位數」的 基本概念題，探究其原因，受試學童雖知本題「商數即是答案」，但受計算 錯誤影響，故答對率降低。試題 12 的答對率僅約.56，檢視學童作答錯誤情 形，大多數雖計算正確，但誤將商數作為答案。綜合上述，此班受試學童在

「包含除」概念的表現，仍以一位數除以一位數和二位數除以一位數的表現 優於三位數除以一位數的概念，歸因於被除數的數值增大，計算錯誤機會提 高或學童作答時，思慮欠缺周密，故影響答對率。