國小三年級學童正整數除法概念結構分析之研究
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(2) 摘. 要. 本研究之最主要目的在於編製一份能檢測國小三年級學童正整數除法概念 之測驗工具，並藉由試題關聯結構分析法(IRS)對施測結果進行分析，以探究學 童在正整數除法知識結構的發展。 本研究以學完九年一貫數學領域三年級課程的台中縣國小三年級學童為研 究對象。研究工具為研究者所編製之「國小三年級學童正整數除法試題」 ，施測 後，以試題關聯結構分析法(IRS)及相關之 IRSP 軟體，進行筆試資料的分析及 探討，以便於研究者從中獲得該班級學童在正整數除法概念之試題關聯結構圖。 研究結果如下： 一、試題平均難度為.64，屬中間偏易的試題。 二、試題平均鑑別度為 0.4096，屬 於 鑑別 度 非常 優 良的 試题 。 三、整份試卷信度值 Cronbach α係數為.8741，為信度良好的試卷。 四、整份試卷具有良好的內容效度。 五、受試學童大多具備「被除數在 10 以內」的概念。 六、 「被除數在 10 以上包含 10」的概念中，學童容易受題目中提供的數值直接 計算或試題文字描述而誤導。 七、 「被除數在 100 以上包含 100」的概念試題，概念表現屬中等，意即對此概 念需加強練習。 八、學童在「等分除和包含除」概念的表現，以一位數除以一位數和二位數除 以一位數的表現優於三位數除以一位數的概念。. 關鍵詞：三年級學童、正整數除法、試題關聯結構分析法. I.
(3) Abstract The main purpose of this research lies in establishing a test tool to examine 3rd year schoolchild in positive number division concept, and also to analyze the test result based on IRS(Item relational structure analysis). It helps to inquiry into the schoolchild in the positive number division knowledge structure development. The sample of this study was chosen from the third grade students in Taichung County elementary school who have studied 9 years consistent mathematics domain 3rd year curricula as the research object. Research tool is “3rd year schoolchildren positive number division test questions”established by researcher. After test, to proceed the written examination material analysis and discussion by IRS(Item relational structure analysis) and related IRSP software in order to obtain the Item relation structure drawing of these schoolchildrens’ positive number division concept. Findings as follows: Ⅰ.The average difficulty index of the items is .64, which belongs to the middle slanting simple items. Ⅱ.The average discrimination index of the items is 0.4096, which are the items with of excellent discrimination. Ⅲ.The reliablilty coefficient of Cronbachαof the test is .87, which is the test of good reliablilty. Ⅳ.The content validity of the test is good. Ⅴ.Most of schoolchildren have the consciousness about "the dividend in 10". Ⅵ."The dividend is above 10 containing 10" concept, the schoolchildren are easily mislead by direct calculation and the writing description of test questions.. II.
(4) Ⅶ.The performance of test questions of "The dividend is above 100 containing 100" concept is medium. It means more practice is necessary for this concept. Ⅷ.The schoolchildren’s performance of " Partition & Quotition "：Single figures divided by single figures and two figures divided by single figures are better than three figures divided by single figures.. Key word: 3rd year schoolchildren, positive number division, item relational structure analysis.. III.
(5) 目 第一章. 錄. 緒論....................................................1. 第一節 研究動機..................................................1 第二節 研究目的與待答問題........................................3 第三節 名詞釋義..................................................4 第四節 研究範圍與限制............................................6. 第二章. 文獻探討...............................................7. 第一節 正整數除法概念的相關研究..................................7 第二節 國民小學九年一貫數學學習領域.............................20 第三節 試題編製技術.............................................26 第四節 試題關聯結構分析理論.....................................31. 第三章. 研究方法..............................................41. 第一節 研究架構.................................................41 第二節 研究對象.................................................42 第三節 研究工具.................................................42 第四節 研究程序.................................................49 第五節 資料處理.................................................50. 第四章. 研究結果與分析......................................51. 第一節 試題性質分析.............................................51 第二節 試題關聯順序性係數之分析.................................55. IV.
(6) 第三節 試題關聯結構圖之分析與討論...............................56. 第五章. 結論與建議...........................................70. 第一節 研究結論.................................................70 第二節 研究建議.................................................73. 參考文獻.......................................................75 壹、中文部分....................................................75 貳、英文部分....................................................77. 附錄............................................................80 附錄一：A 卷預試試題.............................................80 附錄二：B 卷預試試題.............................................83 附錄三：正式試卷試題及解答.......................................86 附錄四：試題關聯結構係數一覽表..................................90 附錄五：試題關聯結構係數之 0-1 矩陣表............................91. V.
(7) 表. 目. 錄. 表 2-1. 量數同構型關係表...........................................14. 表 2-2. 量數同構型問題類型.........................................14. 表 2-3. 叉積型關係表...............................................15. 表 2-4. 叉積型問題類型.............................................15. 表 2-5. 多重比例型關係表...........................................15. 表 2-6. 多重比例型問題類型.........................................16. 表 2-7 （ I ， E ， E ' ）結構問題類型....................................16 表 2-8. Greer 等組型問題分類表.....................................17. 表 2-9. Greer 乘法比較型問題分類表.................................17. 表 2-10 Greer 卡氏積問題表........................................18 表 2-11 Greer 矩形面積/陣列型問題.................................18 表 2-12. 國小除法問題之相關研究....................................18. 表 2-13. 九十四學年度南一等版本的教材概況分析......................25. 表 2-14. A、B 組學生得分情形表.....................................32. 表 2-15. A、B 組學生得分情形簡表...................................32. 表 2-16. A、B 組學生試題得分排序表.................................33. 表 2-17. A、B 組學生試題得分、人數排序表............................33. 表 2-18. 試題ｉ與試題 j 關係表......................................36. 表 2-19. 試題順序性係數舉例........................................37. 表 2-20 試題的順序關係 0-1 矩陣表舉例.............................37 表 3-1. 預試試題之雙向細目表.......................................44. 表 3-2. 預試試題難度及鑑別度表.....................................46. 表 4-1. 正式試題難度及鑑別度表.....................................52. VI.
(8) 表 4-2. 正式試題難度統計表.........................................53. 表 4-3. 正式試題鑑別度統計表.......................................53. 表 4-4. 正式試題題之雙向細目表.....................................54. 表 4-5. 被除數是一位數概念之解題相關知識與概念分析.................56. 表 4-6. 被除數是二位數概念之解題相關知識與概念分析.................58. 表 4-7. 被除數是三位數，且為等分除的概念之解題相關知識與概念分析...60. 表 4-8. 被除數是三位數，且為包含除的概念之解題相關知識與概念分析...62. 表 4-9. 等分除的概念之解題相關知識與概念分析.......................64. 表 4-10「包含除，可整除」的概念之解題相關知識與概念分析............66 表 4-11「包含除，有餘數」的概念之解題相關知識與概念分析............68. VII.
(9) 圖. 目. 錄. 圖 2-1. 教學模式圖.................................................27. 圖 2-2. A、B 組學生試題關聯結構圖..................................35. 圖 2-3. 試題關聯結構圖舉例.........................................38. 圖 2-4. 試題關聯結構圖之簡化舉例...................................39. 圖 3-1. 研究架構圖.................................................41. 圖 3-2. 正整數除法教材結構圖.......................................42. 圖 3-3. 正整數除法試題架構圖.......................................43. 圖 3-4. 試題編製流程圖.............................................45. 圖 3-5. 研究程序圖.................................................49. 圖 4-1. 被除數是一位數概念試題關聯結構圖...........................57. 圖 4-2. 被除數是二位數的概念試題關聯結構圖.........................59. 圖 4-3. 被除數是三位數，且為等分除的概念試題關聯結構圖.............61. 圖 4-4. 被除數是三位數，且為包含除的概念試題關聯結構圖.............63. 圖 4-5. 等分除的概念之試題關聯結構圖...............................65. 圖 4-6 「包含除，可整除」的概念之試題關聯結構圖....................67 圖 4-7 「包含除，有餘數」的概念之試題關聯結構圖....................68. VIII.
(10) 第一章 緒論 第一節 研究動機. 長久以來，數學一直被公認為科學、技術及思想發展的碁石，不僅與日常生 活息息相關，更是幫助知識文明的提升與促進經濟社會的繁榮，因而成為國民教 育階段的基礎學科與核心課程。數學不只有助於個人潛能的發揮，也關係著兒童 心智發展及思考能力的進步。而我國九年一貫數學學習領域基本理念中指出：在 進入二十一世紀且處於高度文明化的世界中，數學知識及數學能力，已逐漸成為 日常生活及職場裡應具備的基本能力（教育部，2003），由此可見，九年一貫課 程強調能力的開拓，希望培養學生問題解決的能力，為國民的終身學習奠下基 礎，以因應社會的變遷，此不但未減低數學的重要性，反而使數學課程加強與其 他領域的連結，同時強調解決問題，以及溝通講理等各種能力的培養。 在國小教育中，數學教育以協助兒童建立數學概念為目的，因此對位居教育 現場第一線的教師而言，了解學生具備已哪些數學知識，學習到哪些概念，以及 概念發展情形，除了提供教師在教學歷程中及時改進教學的參考，並能適時適地 的給予學童協助，此外，也可作為教師設計課程進度、編擬教材內容及編製評量 的依據。所以如何透過有效的研究過程來了解學童的數學知識就成為重要的課 題。 國小學童由三年級開始學習除法概念，此概念也是三年級的數學學習重點之 ㄧ，此時所學習到的除法知識與概念更是日後學生學習因數、分數與比例推理的 重要基礎（尤彥喬，2004），因此除法概念的重要性不容忽視。 目前國內有關學童除法概念問題，相關的研究如下：. 1.
(11) 1. 林碧珍（1991）參考 Vergnaud（1988）問題結構的分類方式來了解國小五、 六年級學童對乘除法應用問題的解題策略及思考方法。 2. 林原宏（1994）以無參數試題反應理論探討國小高年級學生在乘除文字題的列 式表現、策略及概念。 3. 李光榮（1997）以個案研究的方式，透過教學晤談法的實施,蒐集國小四年級 學童對正整數乘除問題的自發性解題作為。 4. 游麗卿（1998）透過實際在教室觀察二到三年級的除法教學，及訪談結果分析， 了解學童除法之錯誤概念，並於四年級教室驗證學生的除法錯誤概念，依此提 供教學建議。 5. 陳鵬全（2002）以紙筆測驗及訪談方式調查三年級學童在除法問題的解題表 現。 6. 尤彥喬（2004）研究的主要目的是要瞭解國小三年級學童在學習除法過程中對 除法文字題的解題表現及策略轉變。 綜觀以上有關除法的研究中，大多探討學童處理除法上解題的策略和思考過 程，但卻少有探討學童解題的內在概念結構。因此，為了瞭解並診斷一個班級學 生的知識結構，故本研究擬先透過試題編製方法完成一份具有信、效度的正整數 除法概念測驗，以作為研究工具，再使用試題關聯結構分析法（Item relational structure analysis，IRS）所產生的學習概念結構圖（許天維，1995），從中了 解學童的除法概念和知識結構的發展，以期能提供作為國小除法教學上之參考。. 2.
(12) 第二節 研究目的與待答問題 一、研究目的 根據上述的研究動機，本研究之最主要目的在於編製有關九年一貫課程數學 領域中，正整數除法相關概念結構的試題，希望透過測驗試題來分析學童的正整 數除法概念結構的發展。為了分析學童在正整數除法概念發展的情形，本研究以 國小三年級學童為研究對象，並藉由試題關聯結構分析理論畫出概念結構圖，探 討群體學童在正整數除法概念的概念結構圖所呈現之訊息，以提供教師在進行除 法教學時做為參考。具體目的如下： （一）編製一份具信度、效度，並且能檢視正整數除法相關概念的優良試題。 （二）應用試題關聯結構分析法，來了解國小三年級學童的正整數除法概念， 及相關概念的發展順序。. 二、待答問題 根據上述研究目的，本研究之待答問題為： （一）此測驗的難易度為何？ （二）此測驗的鑑別度為何？ （三）此測驗的信度為何？ （四）此測驗的效度為何？ （五）國小三年級學童正整數除法概念的發展順序為何？. 3.
(13) 第三節 名詞釋義 本研究的主要目的乃在於編製並分析一份「三年級正整數除法概念試題」。 茲將研究中之重要名詞定義，作一詮釋如下： 一、除法 （一）數學辭典的定義 1.幼獅數學大辭典的定義 根據幼獅數學大辭典（1982）的定義，除法（division）乃是自兩量求第 三量，使第三量為以第一量乘之即得第二量的運算。第一量稱之為除數 （Divisor） ，第二量稱之為被除數（Divident），第三量稱為商（Quotient） ， 除數可定其義為：已知所與量第一因子而求第二因子之運算。 2.貓頭鷹出版社出版之數學辭典的定義 根據貓頭鷹出版社出版之數學辭典（2004）的定義，除法（division）有 兩種意義： （1） 乘法的逆運算，計算給定數的乘數，使它們的積等於另一個數；因此 若 a（被除數，divident）除以 b（除數，divisor） ，其結果 q（商， quotient）寫成 a／b 或 a÷b，具有性質 bq=a。 （2） 大於一位數的除法，它從被除數的初段減去小於初段的除數之最大倍 數，此過程重複對增加了被除數的下一位餘數進行。例如 379 除以 16，第一步從 37 中減去 2×16，餘數為 5，第二步將餘數擴大被除數 的最後一位 9，得到 59，再除以 16 得到 3 餘 11，於是其商為部份商 的序列 23，餘數為 11。 二、被除數 根據幼獅數學大辭典（1982）的定義，除法所用之實數，稱被除數，恆寫 於除號之左，以除號右之除數除之，則得商數。被除數比除數大，則商必有整數；. 4.
(14) 比除數小，則商必為小數，或不除成小數而寫為分數，則分母即除數，其分子即 被除數。被除數若為不名數，則除數與商數必皆為不名數；被除數若與除數同為 名數，除數為不名數，則商數必為與被除數同名之數。 三、除數 根據幼獅數學大辭典（1982）的定義，除法所用之法數，稱為除數，也稱為 因子，恆寫於除號之右，用以除被除數者。除數若為不名數，其被除數可為不名 數可為名數。除數若為名數，其被除數比亦為名數。 四、試題分析 根據英漢教育辭典（1989）的定義，試題分析（item analysis）是為改進 測驗起見，對測驗中學生對每一項目（item）的反應進行研究。方法是刪除難度 過大、過分容易的題目或學生一概回答得很好的題目。 本研究對於試題係採用日本學者竹谷. 誠所提出的試題關聯結構分析法，以. 學童進行試題測驗後所得結果為資料，分析此資料彼此間的反應得一順序性關 係，依此繪製成具有指向性的圖形結構，來分析試題的特性。. 5.
(15) 第四節 研究範圍與限制 本研究以國小三年級學童為研究對象，藉由試題關聯結構分析法，探究學童 在正整數除法的知識結構。所採行的研究範圍與研究限制，茲說明如下：. 壹、研究範圍 本研究為達成前述之研究目的，先進行相關理論及文獻之分析，再自編測驗 施測作探究。茲將研究範圍說明如下： 一、研究對象 本研究對象以台中縣某智類國民小學，從一到三年級都使用南一書局版本的 數學教材的三年級某一班學童為研究對象。 二、研究內容 本研究之測驗其主要內容為國民小學三年級數學科的「正整數除法」教材。. 貳、研究限制 本研究旨在透過試題關聯結構分析法之分析，探究受測學童在正整數除法的 知識結構，雖在研究方法及研究體系中力求嚴謹，但因受限於研究時間、人力與 經費等客觀因素，仍有未盡周延之處，茲將本研究可能之限制陳列如下： 一、研究對象：本研究係以台中縣某智類國民小學三年級一個班級的學生為研究 對象，因此所分析出的研究結果僅是指受測的群體而言，雖具參考價值，但 在進行研究結果的解釋及推論時，受限於地域因素，不宜推論於其他地區、 其他學校及其他年級之學童，不能過度解釋（over generalized） 。 二、研究方法：本研究係以編製的『國小正整數除法相關概念試題』為研究工具。 透過試題關聯結構分析法探討國小三年級學童正整數除法相關概念結構，對 學童的學習策略和思考過程，則需仰賴其他相關研究的輔佐。. 6.
(16) 第二章 文獻探討 第一節 正整數除法概念的相關研究 壹、除法概念的形成 一、知識結構的分析 認知心理學家 Gagné (1993)認為人類知識的表徵可分為兩種，一種是程序性 知識（procedural knowledge） ，另一種是陳述性知識（declarative knowledge） 。 程序性知識所表徵的是人類產生行為的知識，大多是指如何執行事務的知識，包 含心理機能、認知技能與認知策略等事務的一連串動作或步驟，以除法為例，程 序性知識是指執行除法運算的過程，通常是比較動態，較不容易學習，但是達到 習慣性自動化反應後就不易改變。 而陳述性知識所表徵的是一般事實性包含理論和事務的知識，以及這些知識 的功能和含義，以除法為例，陳述性知識是指語文知識，如瞭解平分、等分除、 包含除…等基本概念，及瞭解除法問題或算式中各數字所代表的意義，通常是比 較靜態的，比較容易學習及修正。 陳述性和程序性知識兩者雖有不同處，但彼此間關聯密切。例如解決除法的 程序性知識時，必須仰賴減法、乘法、除法的陳述性知識，而除法陳述性知識也 在程序性知識的執行中逐漸發展成形。 （一）陳述性知識的形成 1.命題網路的形成 Gagné (1993)曾指出，陳述性知識的記憶結構如同為了使人能了解命題(知 識)而建構的網路，其組成是由不同類型的陳述性知識所連結而形成。新命題的 形成需要先將新知識轉換成新命題結構，再經由精緻化的過程，將新命題予以意. 7.
(17) 義化，並使新舊命題產生連結，進而內化形成新的命題(知識) （岳修平譯， 2001） 。 2.基模的形成和精緻化 基模（schema）為個體與環境事物接觸時，為求了解或認知事物性質而產生 的心智模式，其表現的方式分為外顯的身體動作及內蘊的認知結構(cognitive structure)，此處的認知結構是指個人對該事物的看法。如人們會利用基模知識 將數學問題依結構來分類，如加、減、乘、除法的分類。 基模與命題網路的形成不僅同時產生，而且息息相關，兩者的形成歷程也大 致相同，都是把關聯的事物連結在一起，但基模的形成歷程還需找出相關事例的 共同特徵，並將之形成一個新表徵。所以命題網路的組識是將相關的命題知識串 聯，而基模則是進一步的聯結共同的特徵，通常新形成的基模都較為粗略，而且 容易有過度類化的情形發生，所以基模的精緻化是必要的歷程（岳修平譯，2001） 。 例如學習者在開始學習除法時，會根據已具備的減法知識解決除法問題，從 解題歷程中，逐漸將相關的命題連結而形成命題網路。而除法基模的形成則是進 一步的把除法或甚至把除法和減法知識依照共同特徵串結，以便於訊息提取和精 簡知識結構。 （二）程序性知識的形成 程序性知識是指個體在特殊情境下所運用的數學算則、認知技能，或用來解 決問題、思考及做決策的知識。通常可分為一般性程序和領域特定的程序。在問 題解決策略的發展上，其理論是自動化的假設，意即學習者將許多基本運作加以 串聯而使成為單一的運作，並逐漸脫離陳述性知識，經熟練後而達到自動化（岳 修平譯，2001）。自動化處理是程序性知識學習的最後境界，此時，在操作過程 中就不再需要隨時注意去處理某些訊息（張春興，1996），這也是程序性知識形 成的最終階段。如剛開始學習除法直式運算，要先瞭解位值及相關的除法概念（陳 述性知識），配合著這些陳述性知識來理解直式算則的操作，當直式算則較為熟. 8.
(18) 練時，就會逐漸脫離陳述性知識，達到自動化處理的境界，此時學童會很自然的 知道該數字應放在哪裡以執行運算，這就是除法程序性知識的形成（許清陽， 2001） 。自動化基本技能的形成有三個階段，分別是認知、連結和自主階段。 以下茲就自動化基本技能的三個階段加以說明： 1.認知階段（cognitive stage） ： 當學習者在執行程序前，必須先觀察當下的情形，才能決定接下來的步驟， 並在執行過程時，專注且持續監控每個步驟的執行並注意其結果的發展。 2.連結階段（associative stage）： 指學習者把原本陳述性知識轉換成由較少意識監控的系列動作，也就是學習 者把個別的步驟，組合成一個步驟。在程序執行過程中，學習者會漸漸脫離陳述 性知識線索的依賴，慢慢增強連結的部份，達到技巧自動化。 3.自主階段（autonomous stage） ： 自主階段是連結階段的延續，在此階段已不需要有意識的控制特定領域程 序，更不需要使用口語輔助執行程序，透過不斷的練習，執行程序已經愈細微， 技巧愈純熟。 （三） 陳述性和程序性知識之關聯. 1.陳述性和程序性知識兩者在互動中同時發展 Hiebert & Lefevre(1986)認為陳述性和程序性知識是不可截然劃分的，兩 者在互動中同時發展。在發展過程可分為兩個階段：在第一階段，學習者觀察並 理解問題情境，首先以陳述性知識表徵問題的情境、條件，並思考問題解決方式， 執行解題歷程；第二階段為學習者以陳述性知識執行解題程序，此時陳述性知識 的表徵與程序性知識連結。以除法為例，除法的陳述性知識轉換成適當的程序形 式解決問題，而在執行歷程中，除法的陳述性知識同時也發展為基模，並使得基 模和程序反應的連結自動化。學習者可以執行一系列的步驟解決問題。 2.數學概念需要連結陳述性和程序性知識才能穩固發展. 9.
(19) 數學概念要穩定發展，必須在陳述性和程序性知識上建立良好連結。例如在 解決除法問題時，解除法的程序性知識依賴除法、乘法、減法的陳述性知識，而 除法陳述性知識也在程序性知識的執行過程中逐漸發展。如果陳述性和程序性知 識兩者之一有所不足，或者兩者知識都已具備，但各自獨立沒有關聯，則學習者 只會在類似於學習時的情境中運用數學知識，卻無法舉一反三，或不知道如何執 行該程序。 3.數學概念性和程序性知識連結的發展 Hiebert & LeFevre(1986) 整理有關數學能力發展之相關研究，歸納出陳述 性與程序性知識間關係的發展，可分學齡前及學齡期兩部分。 （1）學齡前： 此時期兒童的陳述性知識和程序性知識二者息息相關，他們從生活脈絡中學 習計數，藉著數數（程序性知識）來理解數概念（陳述性知識）。而他們從計數 的程序和數的概念中，也可以理解問題的語意，如「拿走多少，剩下多少」的結 構，進而選澤適當的程序解題。 （2）學齡期： 學齡期的兒童在課堂上學習正式的數學符號語言，假如兒童能將這些符號及 符號的意義與生活經驗結合，則具有意義的符號就成為記錄及溝通數學思考活動 的最佳工具。但是，若兒童進入學校學習數學符號後，不清楚符號的意義，而不 經思索的使用，將會造成符號間所表徵的陳述性知識各自獨立，而使本應同時發 展的陳述性知識和程序性知識脫節。例如，二、三年級學生會進行等分活動，但 是不了解表徵解題活動的累減算式和解題活動有什麼關係(游麗卿，1999b)，可 見學生的算式表徵並沒有與相關的陳述性知識及經驗結合。 Hiebert & LeFevre(1986) 認為此現象的原因可能是一般教學者一直把重心 放在程序性知識上，強調符號及運算符號規則的學習和演練，使得運算規則雖和 符號相連結，但未與支持規則原理的陳述性知識相連結，因此三、四年級的學生. 10.
(20) 雖學了很多符號的運算規則，對符號的運算規則的限制較清楚，但對於規則的概 念意義仍不清楚。 雖然學生未產生陳述性和程序性知識的連結，仍能正確的解決一些自己並不 理解的問題，但因缺乏概念基礎的程序性知識，將造成學生只記得部分程序，甚 至和其他支節的程序步驟七拼八湊。且這些程序性知識常只侷限於學習時特定的 情境．難以類推到其它情境解決新問題，由此可見學生雖具備程序技巧，增進解 決問題的效率，但是唯有連結相關的陳述性知識，才可以獲得有效且穩定的程序 性知識。 二、除的概念 （一） 除的概念 除的意義在於「平分」 ，所謂「平分」就是平均分配（趙錫如，1997） ，意指 分量相等，沒有輕重大小或長短之分。依據國外學者(Clements & Lean, 1988； Hunting ＆ Sharpley, 1988；Miller, 1984)研究學童平分概念的報告指出，二 年級以前的兒童具平分物品的能力，兒童能反覆分配物品到每個位置，且每次分 配到每個位置的物品一樣多，一直分到沒有剩下為止，最簡單的形式是一次分一 個，每回一個位置分一個。而平分可分為「離散量」的平分和「連續量」的平分， 它是學習除法的基礎，其中離散量大多透過「數數」獲得答案，比連續量較能為 學童所理解，因此通常先透過等分多個具體物（離散量），來讓初學者理解平分 的意義。 但研究結果也指出雖然學童在進入小學之前，就具有解決除法問題的經驗， 而經驗主要來自「平分東西」的處理，但大多數二年級的兒童無法根據處理平分 的程序上，就確認是「平分」了（楊瑞智，1997），他們經常需要透過點數才能 確認是否平分，亦即他們知道循序地分給每一位玩偶的程序，直到所有餅乾分 完。但是此階段多數的小孩還無法察覺到「分」的過程中的關係不需要再計數， 分完後每堆的餅乾個數，就能確認等分。. 11.
(21) 而國小三年級學童在分的策略上，由陳鵬全（2002）在其研究中發現，三年 級學童對解決包含除問題都是『將花片分給一個人應分的數量後，再分給另一個 人應分的數量，直到花片分完為止』；而對等分除問題大致上採用是『一個一個 分』或『先多個分，再一個一個分』或『多個多個分』的策略。 （二）單位量與單位數的轉換 甯自強（1993）指出正整數乘除法的引進是為解決量的單位量間的問題。 其中包含除是將低階單位表示的量化為高階單位表示的量的單位量轉換活動，例 如：阿吉想把 8 隻寄居蟹裝在盒子裡，1 盒裝 4 隻，全部裝完，可以裝幾盒？將 「4」隻寄居蟹轉換為「1」盒；等分除則是新高階單位量未知的單位量轉換問題， 即以總數除以組數以求得每一組有多少個，如 8 顆蘋果平分給 4 個小朋友，每個 小朋友得幾顆？就是以「1」個小朋友得到的蘋果為新高階單位量未知的單位量 （陳吟米，2002）。 在本研究中，為增加研究的試題範圍，將擴充試題數值的範圍，進一步討論 包含除問題中，「除得進及除不進」的相關問題。此外，因為在真實生活的分配 活動中，並不一定會將所有物品分完，等分情境的要求為特殊情況，因此本研究 中的「等分除」問題，乃是強調求得「每個單位所分得的最大數量，且每個單位 分的一樣多」。. 貳、兒童除法運思的發展 學童乘除運思發展可分為四個階段（甯自強，1993），研究者僅就除法部分 整理摘要如下： 一、合成運思期 合成運思期的兒童無法處理單位量的轉換問題，如利用 20 個積木，4 個一 排，每排有 5 個，他們沒有辦法同時掌握排數和每排的個數。對他們而言，合成 運思期建構出的每個集聚單位彼此沒有關係，各自獨立，兒童需透過具體操作，. 12.
(22) 才能得到答案。 二、累進性合成運思期 此時期的兒童利用累進性合成運思將一個數內嵌於另一數中，從而建構出兩 數的關係。此時使用的除法是利用較大集聚單位的元素製作較小且等價集聚單位 的活動，在包含除問題方面，如： 「12 個 1 可以包含幾個 3？」當第一個「3」 被建構出時， 「12」已經不再存在，而只剩下一個「3」和一個「9」 。在累進性合 成運思期的學童認為一旦部分從全體中移去，則全體就不再存在，此時的除法問 題通常會採用連減的策略。而在等分除問題方面，如： 「將 12 個 1 分成三等分， 每等分有多少？」兒童容易混淆 3 等分與一份三個，也就是混淆「單位數」與「單 位量」的意義，而國小二年級學童大約處於此階段。 三、部分全體運思期 在部分全體運思期的兒童，不但把「1」視為「3」的一個內嵌元素，也將「1」 脫嵌而出，使其與「3」互為獨立的一部份。意即能清楚區別「1」與「3」的差 別。對於包含除問題，如： 「12 個 1 可以包含幾個 3？」他們所採取的策略是截 割活動，雖然學童已察覺到「3」和「12」之間部分群體的關係，但「3」仍然不 被認為是構成「12」的單位。 而對於新單位量未知的等分除問題，如： 「將 12 個 1 分成三等分，每等分 有多少？」學童仍然使用截割活動加以解決，但其截割的方式則是先估計每個單 位量的大略數值後，利用估計值去分割全體，並比較分割數是否與題意吻合。如 果不能吻合，則重新估算，直到求得答案為止。雖然在表面上，學童會利用乘法 的算則來求解，但學童並不認為乘除法互為反運算，因乘除法互為反運算蘊含兩 個階層的部分全體關係。 四、測量運思期 此時期的學童不僅能確切掌握「1」與「3」間的部份全體關係，更能把部分 全體的關係物化，使成為聚集單位（1，1，1）中的一部份，並把（1，1，1）當. 13.
(23) 成構成其他集聚單位的明顯部分。對於包含除問題，如： 「12 個 1 可以包含幾個 3？」學童採取的策略仍然是所謂的截割活動，但分割的結果「3」是獨立於全體 「12」的部分，「3」被認為是構成「12」的單位。在等分除問題方面，如：「將 12 個 1 分成三等分，每等分有多少？」學童明瞭將全體以每次分配每個聚集單 位一個元素的方式進行全體的截割活動，並以截割數作為每個聚集單位的數值。 此時期的學童會利用乘法的算則來求解，也認為乘除法互為反運算。. 參、除法文字題的研究取向 一、Vergnuad 的觀點 Vergnaud（1983）從「測度空間與維度」的觀點，將乘除問題依運算結構分 為量數同構、叉積型、多重比例三類，因本研究之研究重點在於除法，因此研究 者用除法為例，加以說明。 （一）量數同構型 指兩個度量空間 M1 及 M2 的直接比較。在同一度量空間存有放大或所小的 關係，或不同度量空間中存有函數關係。如表 2-1 所示。 表 2-1 量數同構型關係表 M1 M2 X1 f（X1） X2 f（X2） 若 X1=1，探討其他三值的關係，依其未知數所在位置，可分為乘法、包含除 及等分除等問題，在此僅提出除法為例。如表 2-2 所示。 表 2-2. 量數同構型問題類型. 包含除 有 30 枝鉛筆平分給小朋友，每人得 5 枝，請問可分給幾人？ M1=人 M2=鉛筆 X1=1 f（X1）=5 求 X2 f（X2）=30. 等分除 30 枝鉛筆平分給 5 個人，請問每個人 得到多少枝鉛筆？ M1=人 M2=鉛筆 X1=1 求 f（X1） X2=5 f（X2）=30. 14.
(24) （二）叉積型 指兩個度量空間 M1 及 M2 叉積合成第三個度量空間 M3。如表 2-3 所示。 表 2-3. 叉積型關係表 （M2） X2 （M1）X1 f（X1，X2）＝（M3）. 其問題類型如表 2-4，屬於面積、陣列型問題。 表 2-4. 叉積型問題類型. 長方形面積為 100 公分，若寬為 20 公分，則 長為幾公分？ （M2）=長 求 X2 f（X1，X2）＝100 （M1）=寬 X1=20 （M3）=面積 （三）多重比例型 包含 M1、 M2 及 M3 三個度量空間，且 M3 與度量空間 M1 和 M2 成比例。如 表 2-5 所示。 表 2-5 多重比例型關係表 （M2） X2 X2’ （M1） X1 X1’. f（X1，X2） f（X1’， X2’） （M3）. 依其未知數所在位置，可分為乘法、包含除及等分除等問題，在此僅提出除 法為例。如表 2-6 所示。. 15.
(25) 表 2-6. 多重比例型問題類型. 包含除 小華家的人，8 天共吃掉 112 個布丁， 每人每天吃 2 個布丁，請問小華家共 有多少人？ （M2）=人 X2=1 求 X2’ （M1）=天 f（X1，X2）=2 X1 =1 f（X1’， X2’） X1’=8. 等分除 小華家有 7 個人，每人每天吃的布丁數一 樣多，8 天共吃掉 112 個布丁，請問小華 家每人每天吃幾個布丁？ （M2）=人 X2=1 X2’=7 （M1）=天 求 f（X1，X2） X1 =1 f（X1’， X2’） X1’=8. =112. =112. （M3）=布丁. （M3）=布丁. 二、Schwartz 的觀點 Schwartz(1988) 從「量所指示之意義」的觀點對乘除情境來分析，以語意 關係分成乘法結構的三元組，包含（ I ， E ， E ' ） 、 （ E ， E' ， E' ' ） 、 （ I ， I '， I '' ） 與（ S ， E ， E ）等四種結構。其中（ I ， E ， E ' ）結構關係，相當於 Vergnuad 的量數同構型，依三個量為已知或未知的關係，而可分為包含除及等分除問題， 如表 2-7 所示。 表 2-7. （ I ， E ， E ' ）結構問題類型. （ I ， E ， E ' ） 結構關係. E' / I E. E' / E I. 除法名稱. 包含除. 等分除. 問題範例. 有 30 枝鉛筆平分給小朋 30 枝鉛筆平分給 5 個 友，每人得 5 枝，請問可 人，請問每個人得到多少 分給幾人？ 枝鉛筆？. I. 5 枝/人. 未知. E. 未知. 5 個人. 30 枝鉛筆. 30 枝鉛筆. E'. 16.
(26) 三、Greer 的觀點 Greer（1992）將整數乘除問題依情境模式分為四類：(1)等組型問題(2)乘 法比較型問題(3)卡氏積問題(4)矩形面積/陣列型問題。其中等組型問題，再細 分為離散量、連續量以及比值三種問題。 （一）等組型問題 此類問題是指每組所分得的物件個數相等，除了分為等分除及包含除，尚可 因物件性質分為「離散量」 、 「連續量」兩種，因此等組問題可分為四種類型，如 表 2-8 所示。 表 2-8 問題類型. Greer 等組型問題分類表 包含除. 等分除. 有 30 枝鉛筆平分給小朋 30 枝鉛筆平分給 5 個 等 離散量. 友，每人得 5 枝，請問可 人，請問每個人得到多少. 組 分給幾人？. 枝鉛筆？. 型 媽媽將 20 公分長的綵帶 媽媽將 20 公分長的綵帶 問 連續量. 平分成每段 5 公分，請問 平分成 4 段，請問每一段. 題 可分成幾段？. 長幾公分？. （二）乘法比較型問題 此類問題通常以「某一個是另一個的多少倍」進行描述，此問題情境也分為 等分除及包含除，如表 2-9 所示。 表 2-9 問題類型. 乘法比較型問題. Greer 乘法比較型問題分類表 包含除. 等分除. 小至有 6 元，小湘有 36. 小至的錢是小湘的 9. 元，請問小湘的錢是小至 倍，小至有 36 元， 請問 的幾倍？. 小湘有多少元？. 17.
(27) （三）卡氏積問題 此類問題是指一集合中的每一元素與另一集合所有元素依序結合，例如：8 件不同的襯衫，想要搭配成 24 套不同的衣服，需要幾件不同的長褲？此種情境 中，只有一種除法問題。如表 2-10 所示。 表 2-10. Greer 卡氏積問題表. 問題類型. 問題範例 小宣有 8 件不同的襯衫，想要搭配成 24 套不同的. 卡氏積問題 衣服，需要幾件不同的長褲？ （四）矩形面積/陣列型問題 此類問題又可稱為長方形「長×寬」之面積問題，此種情境中，也只有一 種除法問題。如表 2-11 所示。 表 2-11. Greer 矩形面積/陣列型問題. 問題類型. 問題範例. 矩形面積/. 長方形面積是 56 平方公分，已知長為 3 公分，. 陣列型問題. 則寬是多少公分？. 肆、國內相關研究 目前國內學者有關國小除法問題之研究，整理如表 2-12： 表 2-12 國小除法問題之相關研究 研究者. 研究問題. 研究主題. 國小兒童對乘除法應用問題 了解國小五、六年級學童對乘除法 林碧珍 之認知結構。. 應用問題的解題策略及思考方法。. 國小兒童正整數乘除概念之 以教學晤談法的實施,蒐集兒童的 研究:一個國小四年級兒童之 自發性解題作為,成為分析的主要 李光榮 個案研究. 素材,從而掌握兒童的正整數乘除 概念。. 18.
(28) 表 2-12. 國小除法問題之相關研究（續） 透過實際在教室觀察二到三年級的 除法教學，及訪談結果分析，了解. 除法概念形成歷程中的錯誤 游麗卿. 學童除法之錯誤概念，並於四年級 分析對教學的啟示。 教室驗證學生的除法錯誤概念，依 此提供教學建議。 研究國小學童對於正整數除法問題 國小學童正整數除法問題解. 的解題策略在二、三、四年級階段. 題策略之分析研究。. 中演變的情形，及除法算式摘要使. 鄭秋定 用情形。 探討學生之乘除文字題解題能力與 認 知 型 式 及 後 設 認知 能 力 之 相 關 國小學童乘除問題的解題表 性，並分析全體學生、場地獨立型 丁春蘭 現、後設認知與認知型式之分 學生及場地依賴型學生在各乘除類 析研究。 型之解題類型，以了解學生乘除概 念的學習情形。 國小三年級學童在除法問題 以紙筆測驗及訪談方式調查三年級 陳鵬全 的解題表現。. 學童在除法問題的解題表現。. 運用除法教學模組於國小三 設計除法教學模組，並運用於國小 胡家戀 年級除法補救教學之研究。. 三年級之補救教學，進而探討其成 效。 研究的主要目的是要瞭解國小三年. 國小三年級學童除法文字題 尤彥喬. 級學童在學習除法過程中對除法文 解題情形及策略轉變之研究。 字題的解題表現及策略轉變。. 19.
(29) 表 2-12. 國小除法問題之相關研究（續）. 超越建構主義在數學科上的 透過教學晤談法的實施，蒐集兒童 應用--二個小三學生的除法 在晤談情境中，所展現的自發性的 陳泰勳 解題歷程。. 解題行為，從而掌握兒童的思維模 式，並據以說明兒童的解題模式。. 國小學童整數乘除概念知識 探究國小學生解乘除應用問題時， 結構與認知型式相關之探討- 其知識結構與認知型式之相關，並 以六年級為例。. 深入分析不同乘除能力組別、不同. 鐘世帆 認知型式及乘除測驗分數相同之學 生其知識結構圖形之差異情形，以 供教學診斷和教學設計之參考。. 第二節 國民小學九年一貫數學學習領域 民國九十二年教育部公佈的九年一貫課程綱要（教育部，2003） ，有關數學 學習領域的課程重點，作以下介紹：. 壹、國民中小學九年一貫課程數學學習領域基本理念 數學的學習注重循序累進的邏輯結構，因此，過去國內外數學教材的演進， 概遵循此邏輯結構，以保證數學教育的穩定性。再者，數學是較能進行國際性評 比的學習領域，教學的成效亦有較客觀的標準，因此，數學教育成效的評估應有 其客觀基礎。 數學之所以被納入國民教育的基礎課程，有三個重要的原因： 一、數學是人類最重要的資產之一 數學被公認為科學、技術及思想發展的碁石，文明演進的指標與推手。數學 結構之精美，不但體現在科學理論的內在結構中及各文明之建築、工技與藝術作 品上，自身亦呈現一種獨特的美感。. 20.
(30) 二、數學是一種語言 簡單的數學語言，融合在人類生活世界的諸多面向，宛如另一種母語。精鍊 的數學語句，則是人類理性對話最精確的語言。從科學的發展史來看，數學更是 理性與自然界對話時最自然的語言。 三、數學是人類天賦本能的延伸 人類出生之後，即具備嘗試錯誤、尋求策略、解決問題的生存本能，並具備 形與數的初等直覺。經過文明累積的陶冶與教育，使這些本能得以具體延伸為數 學知識，並形成更有力量的思維能力。 九年一貫課程強調以學習者為主體，以知識的完整面為教育的主軸，以終身 學習為教育的目標。在進入二十一世紀且處於高度文明化的世界中，數學知識及 數學能力，已逐漸成為日常生活及職場裡應具備的基本能力。基於以上的認知， 國民教育數學課程的目標，須能反映下列理念：(一)數學能力是國民素質的一個 重要指標；(二)培養學生正向的數學態度，了解數學是推進人類文明的要素；(三) 數學教學（含教材、課本及教學法）應配合學童不同階段的需求，協助學童數學 智能的發展；(四)數學作為基礎科學的工具性特質。 基於前節所述的基本理念，九年一貫課程數學學習領域的課程目標規劃，除 了應反映數學學習的特性，亦應考量環境條件的限制。首先是教學時數的限制。 目前國民中小學數學領域教學的時數每週三至四節。然而，數學領域新題材的學 習（包括操作觀察、概念學習、新演算方法或應用問題解題等），往往需要較寬 裕的時間來融會貫通；而且，數學領域相較於其他領域學習場所多樣化的特質， 其學習仍以課堂活動為主體，家庭作業與溫習僅能輔助學習，因此上課時數將直 接影響數學教學的成效。 在既有限制之下，九年一貫數學領域的課程綱要，是由下列四個原則來界定： 一、參考施行有年且有穩定基礎的傳統教材。 二、採用國際間數學課程必備的核心題材。. 21.
(31) 三、考慮數學作為科學工具性的特質。 四、現有學生能夠有效學習數學的一般能力。. 貳、國民中小學九年一貫課程數學學習領域課程目標 一、九年一貫數學學習領域的教學總體目標為： （一）培養學生的演算能力、抽象能力、推論能力及溝通能力。 （二）學習應用問題的解題方法。 （三）奠定下一階段的數學基礎。 （四）培養欣賞數學的態度及能力。 其中，國民小學階段的目標為： （五）在第一階段（一至三年級）能掌握數、量、形的概念。 （六）在第二階段（四至五年級）能熟練非負整數的四則與混合計算，培養流暢 的數字感。 （七）在小學畢業前，能熟練小數與分數的四則計算；能利用常用數量關係，解 決日常生活的問題；能認識簡單幾何形體的幾何性質、並理解其面積與體 積公式；能報讀簡單統計圖形並理解其概念。 二、九年一貫數學學習領域能力指標： 九年一貫課程綱要將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至三年級， 階段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級。另將數學內 容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。 前四項主題的能力指標以三碼編排，其中第一碼表示主題，分別以字母 N、S、 A、D 表示「數與量」、「幾何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；第二碼 表示階段，分別以 1, 2, 3, 4 表示第一、二、三和四階段；第三碼則是能力指 標的流水號，表示該細項下指標的序號。 以下是五大主題之『數與量』中有關除法的能力指標：. 22.
(32) N-1-04 能理解除法的意義，解決生活中的問題，並理解整除、商與餘數的概 念。 N-1-06 能理解九九乘法。 N-1-07 能理解乘除直式計算，熟練較小位數的乘除直式計算。 N-1-08 能在具體情境中，解決簡單兩步驟問題。 N-2-02 能熟練整數加、減、乘、除的直式計算。 N-2-03 能熟練整數四則混合運算，並解決生活中的問題。 N-2-05 能用四捨五入法，對某數在指定位數取概數，並作加、減、乘、除之 估算。 N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。 N-3-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 N-3-04 能用直式處理除數為小數的計算，並解決生活中的問題。 A-1-05 能在具體情境中，認識乘除互逆。 A-2-01 能在具體情境中，理解乘法結合律、乘法對加法的分配律與其他乘除 混合計算之性質，並運用於簡化計算。 A-2-02 能理解乘除互逆，並運用於驗算與解題。. 三、分年細目及除法教材地位分析： 九年一貫課程綱要的能力指標係依主題及階段學習能力而訂定，然因多數指 標須採分年進階式教學方能達成其教學目標。因此，由階段能力指標演繹出更細 緻的分年細目及詮釋，以利分年進階式教學進度目標的明確掌握。 分年細目亦以三碼編排，其中第一碼表示年級，分別以 1，…，9 表示一至 九年級；第二碼表示主題，分別以小寫字母 n、s、a、d 表示「數與量」、「幾 何」、「代數」和「統計與機率」四個主題；第三碼則是分年細目的流水號，表 示該細項下分年細目的序號。. 23.
(33) 以下是一至三年級中與正整數除法有關的分年細目： 一年級： 1-n-04 能從合成、分解的活動中，理解加減法的意義，使用＋、－、＝作橫 式紀錄與直式紀錄，並解決生活中的問題。N-1-02 二年級： 2-n-07 能在具體情境中，進行分裝與平分的活動。N-1-04 2-n-08 能理解九九乘法表。N-1-06. N-1-06. A-1-03. 三年級： 3-n-04 能理解除法的意義，運用÷、＝作橫式紀錄（包括有餘數的情況）， 並解決生活中的問題。 N-1-04 3-n-05 能熟練三位數除以一位數的直式計算。N-1-04. N-1-07. 3-n-06 能在具體情境中，解決兩步驟問題（加、減與除，不含併式） 。N-1-08 3-a-01 能將具體情境中單步驟的乘、除問題列成算式填充題，並能解釋式 子與原問題情境的關係。A-1-02 3-a-02 能在具體情境中，認識乘除互逆。A-1-05. 四、九年一貫除法教材地位分析： 在九年一貫數學綱要中，國小一到三年級正整數除法問題可以區分為平分的 概念、等分除與包含除，其中等分除是單位量的轉換，包含除是單位數的轉換。 能力指標中明確一二年級指出小朋友應具備以下能力，「能從合成、分解的活動 中，理解加減法的意義；使用＋、－、＝作橫式紀錄與直式紀錄，並解決生活中 的問題；能在具體情境中，進行分裝與平分的活動」，三年級小朋友「能理解除 法的意義，運用÷、＝作橫式紀錄（包括有餘數的情況）並熟練二位數除以一位 數及三位數除以一位數的直式計算」。. 24.
(34) 在現行國小數學課程各版本引入除法的方式與時機不盡相同，學生接觸除法 的時候也不一樣，但是基本上仍是概念知識與程序知識的認識、連結與運用。本 研究以一到三年級都使用南一書局版本的數學教材的三年級學童為對象，故表 2-13 是針對九十四學年度南一版本的教材概況分析，並將暫行綱要能力指標與 現行正式綱要作對照比較。. 表 2-13 年 段. 九十四學年度南一版的教材概況分析. 除法概念及內容 （暫行綱要能力指標）. 除法概念及內容 單元名稱 （正式綱要能力指標） 及內容 單元四 N-1-4 N-1-03 能透過累加活動連結倍的語 能理解乘法的意義，解 多少倍 言，理解乘法的意義，並解 決生活中簡單整數倍 決生活中簡單（積≦100）的 的問題。. 二 整數倍問題（例如：單位數 N-1-06 能理解九九乘法。 上 ≦12，單位數≦15）。 單元七 N-1-5 N-1-04 能用具體分的活動，理解除 能理解除法的意義，解 平 分 與 分 法意義並解決生活中有關除 決生活中的問題，並理 裝 法的問題。 解整除、商與餘數的概 念。 N-1-7. 二 上. N-1-09. 在等分好、整體 1 能明顯出 能在具體情境中，初步 單元七 平分與分 現之具體生活情境中(包含 認識分數，並解決同分 裝 連續量、離散量)，能以真分 母分數的比較與加減 數(分母在 20 以內)描述內容 問題。 物為單一個物的幾份，並能 延伸真分數的意義，進行同 分母真分數的合成、分解活 動(和<1)。. 25.
(35) 表 2-13. 九十四學年度南一版的教材概況分析（續） 單元五 N-1-4 N-1-03 能透過累加活動連接倍的語 能理解乘法的意義，解 乘法 言，理解乘法的意義並解決 決生活中簡單整數倍 生活中簡單(積≦100)的整 的問題。 三 上. 數倍問題(例如：單位數≦ N-1-06 12，單位量≦15)。. 能理解九九乘法。. N-1-5. N-1-04. 法的問題。. 解整除、商與餘數的概. 單元八 能用具體分的活動，理解除 能理解除法的意義，解 除法 法意義並解決生活中有關除 決生活中的問題，並理 念。 單元九 能用具體分的活動，理解除 能理解除法的意義，解 整 數 的 除 法 法意義並解決生活中有關除 決生活中的問題，並理 三 下. N-1-5. N-1-04. 法的問題。. 解整除、商與餘數的概 念。. N-1-6. N-1-02. 能在生活情境中，經驗概數 能理解加法、減法的意 的意義。. 義，解決生活中的問 題。. 第三節 試題編製技術 壹、教學評量 一、教學評量意義 評量是教學歷程中最重要的一環，舉凡教師所欲在教學歷程中所了解的內 容，如學生是否具備學習前的起點行為、如何進行教學活動、教學目標是否達成 等等，都仰賴教學評量才能提供有參考價值的資訊。其中教學評量是基本教學模 式中的一環，而教學模式是指有系統處理整個教學歷程的過程(張春興、林清山，. 26.
(36) 1993)，如圖 2-1。 教學目標. 起點行為. 教學活動. 教學評量. 提供回饋 圖 2-1 教學模式圖(Glaser, 1962) 二、教學評量的功能 教學評量具有下列功能（Airasian,1994）： 1.了解起點行為及適當安置學生。 2.規劃教學活動及調適教學步調。 3.診斷學習困難及激勵學習動機。 4.評定學習成就及報告學業成績。 三、教學評量的種類 教學評量的種類很多，可分別依據評量目的、解釋評量結果的方式，或所使 用的工具和形式而有不同的分類（邱淵，1991；Bloom,Madaus & Hastings,1981； Gronlund,1993；Stiggins,1994；Stiggins & Conklin,1992）。 （一）依據評量目的： 1.教學前的評量—安置性評量。 2.教學中的評量—形成性評量及診斷性評量。 3.教學後的評量—總結性評量。 （二）依據解釋評量結果的方式： 1.常模參照評量—解釋個別評量結果時，以該樣本團體的平均數為標準的參考 對象，依其在團體中所佔的相對位置來解釋個別評量的結果。常模參照評量 的目的，在於區分學生之間的成就水準高低，以作為編班依據、擇優錄取、 評定等級等。 2.效標參照評量—解釋個別評量結果時，以教師在教學前即已事先設定好的標. 27.
(37) 準為參考依據，依其是否達到這項標準，達成者即為學習「精熟」，未達成 者即為學習「非精熟」，來解釋個別評量的結果。目的指在找出學生已經學 會和尚未學會的原因及困難所在，以幫助教師改進教學和學生改進學習。 （三）依據所使用的工具和形式： 1.紙筆測驗—以書面形式的測驗工具，評定學生在學科知識方面成就的高低或 認知方面發展強弱。 2.實作評量－指使用其他工具，評定學生在動作技能及學科情意方面學習表現 的優劣。. 貳、試題編製 教師自編成就測驗是指教師根據一定的成就測驗編製步驟，編製而成的一種 成就測驗，可以在教學前、中、後，分別作為評量的工具，蒐集學生學習結果， 提供教師作為改進教學與學生學習的參考，是目前最實用的一種教學評量工具。 依據李坤崇（2002）綜合余民寧（2002） 、陳李綢（1997）及陳英豪、吳裕益（1994） 等多位學者觀點，將教師自編測驗的編製步驟分為以下六個步驟： 一、決定測驗目的： 評量包含教學目標、教學活動及測驗等三階段，教師必須先確定教學目標之 後，才能決定測驗目的，使測驗目的有效地評量教學目標。 二、設計雙向細目表： 教師確定測驗目的及教學目標的需求後，以教學目標為橫軸，教材內容為縱 軸，畫出一個二向度的分類表，選取試題類型後，盡量使試題的取材充分涵蓋教 學目標和教材內容，並於表中的細目裡平均分配試題題數及比重，這種二向度分 類表便叫做「雙向細目表」(two-way table or specification)。 三、決定試題類型和題數： 李坤崇（2002）將試題分為客觀測驗和論文測驗兩大類。客觀測驗包括是非. 28.
(38) 題、配合題、選擇題、填充題及簡答題。論文測驗分為申論題和限制反應題。 依試題類型而言，各試題類型必須顧及高低層次思考、預期測驗難度、學生認知 發展等因素而進行配分。決定試題類型配分時，同時決定各試題類型的題數。 四、編擬測驗試題 編製測驗試題時，必須兼顧雙向細目表、試題難度和命題原則。無論編擬何 種試題，都應注意幾項較重要的命題原則（郭生玉，1995；Airasian,1996；Linn & Gronlund,1995）： （一）試題分佈依據雙向細目表，且題目內容具代表性。 （二）避免使用曖昧不明或容易使人混淆的言詞或語句。 （三）敘述句應該簡單明瞭，直接切入重點。 （四）使用詞彙要適合受試者的能力。 （五）試題的答案必須正確，避免爭議性。 （六）表達清楚，讓作答者知道內容及方向。 （七）每個試題內容必須是獨立的，不與其他題目互相重疊 （八）不要提供正確答案的線索。 五、審查及修改測驗試題 編擬測驗試題後，應重新閱讀及檢查，或請同事朋友協助校對。 六、編輯測驗試題 選擇題是當今客觀測驗中，被認為是最基本、使用最廣、影響最深遠的一種 選擇型式試題(selection-type item) ，尤其是近代配合電腦的使用，使得閱卷、 計分、試題與測驗分析結果均相當快速與正確，因此，在未來的測驗發展中，選 擇題型試題還是會繼續受到大眾的喜愛與採用。選擇題(multiple-choice item) 是指從多項選擇中挑選一項正確選項的試題類型，由兩個部分所組成：一為「題 幹」(stem) ，採直接或間接方式陳述問題；另一為「選項」(options、choices 或 alternatives) ，提供數種可能是該題解答的選擇。. 29.
(39) 選擇題命題應符合下列原則(陳英豪、吳裕益，1998、余民寧，2002)： (一) 內容要項 1.每題應有確定目的：試題的編製，應落在確定的內容範圍向度與確定的 心智活動向度，如記憶、理解、批判思考或問題解決等。 2.在心智活動向度上，凝聚在單一心智活動，而不是一連串的心智活動。 3.避免以眾人意見為基礎的答案，來形成的試題。 4.在確定的內容向度上，題與題間要互為獨立，題組間避免相互依賴的內 容。 5.試題中的內容取材，避免使用過度特定或過度一般性的材料。 6.避免佈設陷阱於試題之中，包括刻意的陷阱與無心的陷阱。 (二) 題幹要項 1.要以簡單清晰的用詞來陳述試題的題幹。 2.題幹的敘述要保持完整，且僅提出一個明確的問題。 3.試題的中心概念出現在題幹，而不是在選項。 4.題幹中避免無關的修飾語與冗長的贅語。 5.盡量在題幹中使用肯定句的敘述，避免使用否定句的敘述；如果必須使 用否定句的敘述時，要特別強調否定句的字眼或字詞。 (三) 選項要項 1.採用多選一的單選題，選項數目應該保持一致。 2.確定選項中只有一個是正確的。 3.根據選項數目，變化正確所在的位置。 4.文字力求淺顯簡短，題意明確，解題所依據的必要條件避免遺漏。 5.保持選項內容的同質性。 6.保持選項的長度一致性。 7.避免「以上皆非」、「以上皆是」、 「不知道」的答案。. 30.
(40) 8.選項採用正面陳述，避免負面陳述。 9.試題內容避免使用具有暗示性的字詞。 10.所有錯誤選項的敘述，要具有與題幹敘述相關聯的似真性或合理性，以 發揮應有的誘答功能。 11.應用考生典型的錯誤作為選項。 12.避免使用幽默選項。 13.以變化題幹或改變選項任何一者，來控制試題之難度。. 第四節 試題關聯結構分析理論 本研究在筆測資料方面採量化分析，藉助的方法乃是日本 竹谷 誠教授的 「試題關聯結構分析法」。. 壹、 試題關連結構分析法的由來 1973 年，次序理論（ordering theory）最早由美國學者 Airasian 與 Bart 進行研究，並於教育工學上加以應用。日本學者竹谷 誠教授經由 Baker 的介紹 後，便致力於改良次序理論的缺點，並於 1979 年發明「試題關聯結構分析法」， （Item relational structure analysis，簡稱 IRS），隨之在 1980 年代，提出 完成試題關聯結構分析法的理論，依據測驗試題的結果，按試題相互間反應所得 的順序關係，製成具有指向性的圖形結構，來分析試題的特性。 （許天維，1995）。 有了此種方法，才使班級學習情況分析獲得解決。. 壹、. 試題關連結構分析法理論. 以下對試題關連結構分析理論上直觀的意義略做說明。假設有 A、B 兩組學 生各有 10 位，均參加試題共為六題的同一種測驗，若假設答對者得一分，答 錯者得零分，其得分情況如下表所示（許天維，1995） ：. 31.
(41) 表 2-14 A、B 組學生得分情形表 試 試 試 試 試 試 試 試 試 試 試 試 A組 題 題 題 題 題 題 B組 題 題 題 題 題 題 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 學生 1 1 1 1 1 1 1 學生 1 1 1 1 1 1 1 學生 2 1 1 1 1 1 1 學生 2 1 1 1 1 1 1 學生 3 0 0 0 1 1 0 學生 3 0 0 0 1 0 0 學生 4 0 0 0 1 1 0 學生 4 0 0 0 0 0 0 學生 5 1 1 0 1 1 0 學生 5 1 1 1 1 1 0 學生 6 1 1 0 1 0 0 學生 6 1 1 0 1 1 0 學生 7 1 1 1 1 0 0 學生 7 1 1 1 1 1 0 學生 8 1 1 1 0 0 0 學生 8 1 1 0 1 0 0 學生 9 0 0 0 0 0 0 學生 9 0 0 0 0 0 0 學生 學生 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 10 答對 答對 6 6 4 7 5 2 6 6 4 7 5 2 者數 者數 由表可知兩組測驗後，各組各試題之答對者人數均相同，為方便起見，可以 改成表 2-15： 表 2-15 A、B 組學生得分情形簡表 A B 試 題 試 題 組 組 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 0 0 0 1 1 0 3 0 0 0 1 0 0 4 0 0 0 1 1 0 4 0 0 0 0 0 0 學 學 5 1 1 0 1 1 0 5 1 1 1 1 1 0 生 生 6 1 1 0 1 0 0 6 1 1 0 1 1 0 7 1 1 1 1 0 0 7 1 1 1 1 1 0 8 1 1 1 0 0 0 8 1 1 0 1 0 0 9 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 答對者 答對者 6 6 4 7 5 2 6 6 4 7 5 2 數 數 其次，依照每位學生試題所得的總分高低，由上而下排序可得下表：. 32.
(42) 表 2-16 A 組. 學 生. A、B 組學生試題得分排序表 B 題 試 組. 試. 1 2 5 7 6 8 3 4 9 10. 答對者 數. 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0. 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0. 3 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0. 4 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0. 5 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0. 6 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0. 6. 6. 4. 7. 5. 2. 1 2 高 5 分 7 學 6 生 8 3 4 低 9 分 10 答對者 數. 題. 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0. 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0. 3 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0. 4 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0. 5 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0. 6 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0. 6. 6. 4. 7. 5. 2. 接著，以學生在各試題答對人數的多寡順序，由左而右排列，可得佐藤 S-P 表（許天維，1995）。 表 2-17 A 組 1 2 5 7 學 6 生 8 3 4 9 10 答對者 數. 試 4 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0. 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0. 2 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0. 5 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0. 7. 6. 6. 5. 多. A、B 組學生試題得分、人數排序表 B 題 試 組 3 6 4 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 0 0 5 1 1 1 1 0 7 1 1 1 學 0 0 6 1 1 1 生 1 0 8 1 1 1 0 0 3 1 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 10 0 0 0 答對者 4 2 7 6 6 數 少 多. 33. 題 5 1 1 1 1 1 0 0 0 0 0. 3 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0. 6 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0. 5. 4. 2 少.
(43) 由上表知兩組學生的總分順序及答對者人數的試題次序都相同；亦即二組之 試題難易分配與試題號碼之對應完全一致，但如果著眼於考慮順序結構圖，依下 列方法細加分析，就會有顯著的不同。 在 A 組中，答對試題 6 的學生是 1 號及 2 號，他們亦同時答對了試題 3， 亦即答對試題 6 的學生亦答對試題 3，此時就有試題 3 到試題 6 的箭頭，記作 3 →6； 同理，答對試題 3 的學生是 1 號、2 號、7 號及 8 號，他們亦同時答對 了試題 1、2，所以分別有 1→3、2→3；另一方面，答對試題 6 的學生是 1 號及 2 號，他們亦同時答對了試題 5，答對試題 5 的學生是 1 號、2 號、3 號、4 號 及 5 號，他們亦同時答對了試題 4，所以分別有 5→6、4→5；此外，答對試題 3 的學生有 7 號沒答對試題 5，故沒有試題 5 到試題 3 的箭頭，其餘均依此類推。 同理，在 B 組中，答對試題 6 的學生是 1 號及 2 號，他們亦同時答對了試 題 3，亦即答對試題 6 的學生亦答對試題 3，此時就有試題 3 到試題 6 的箭頭， 記作 3→6；答對試題 3 的學生是 1 號、2 號、5 號及 7 號亦答對了試題 5，所 以有 5→3；答對試題 5 的學生是 1 號、2 號、5 號、6 號及 7 號分別答對了試 題 1、2，所以分別有 1→5、2→5；答對試題 1、2 的學生有 1 號、2 號、5 號、 6 號、7 號及 8 號亦答對了試題 4，故有 4→1、4→2；其餘均依此類推。 從以上分析，如果定義答對率為： 試題答對率＝受試學生答對的人數÷受試全體學生的人數 則以答對率為縱座標，可將所有相關的指向箭頭標示出來，成為完整的試題關 聯結構圖，如圖 2-2 所示：. 34.
(44) 答對率. A組. 0.2. 6. 0.4. 6. 3. 0.5. 3. 5. 0.6 0.7. B組. 5 2. 1. 4 圖 2-2. 2. 1 4. A、B 組學生試題關聯結構圖. 在此值得注意的是上面兩個試題關聯結構圖截然不同，僅管兩個表的試題答 對率相同，然而兩組學生的理解結構卻不相同。左圖顯示 A 組有兩個系列存在， 即試題 456 的系列以及試題 1236 系列，而右圖顯示 B 組的試題形成一個單純的 一元化系列。另一方面，左圖亦可改為兩個理解不同的結構而答對率均質的 S-P 表（試題 456 及試題 1236）。由上述可知，試題關聯結構圖可看出在 S-P 表所觀 察不到的各試題間的順序關係，可作有方向性的圖性判讀。. 貳、. 試題關連結構的分析順序. 試題關聯結構分析是將兩測驗題目之間的順序性係數建立起來，作為試題 高低概念層次之基礎，然後利用此種關係建立起試題關聯結構構造圖，茲將試 題關聯結構的分析順序敘述如下（許天維，1995；蔡長添，1993） ： 一、建立項目順序性係數 試題之間的順序程度，用順序性係數來表示，順序性係數的求法，說明如 下： 假設 A、B、C、D 分別表示如下的意義：. 35.
(45) A：試題ｉ與試題ｊ均答對的人數 B：試題ｉ答對而試題ｊ答錯的人數 C：試題ｉ答錯而試題ｊ答對的人數 D：試題ｉ與試題ｊ均答錯的人數 又設 N A B C D ，試題ｉ與試題 j 的關係如表 2-18： 表 2-18. 試題ｉ與試題 j 關係表. 試題 j 1. 0. 總計. 1. A. B. A＋B. 0. C. D. C＋D. 總計. A＋C. B＋D. N. 試題 i. 表中係指 N 個受試者在試題 i 及試題 j 上的答對與答錯人數。其中 1 代表 答對，0 代表答錯，順序性係數的表示法如下（許天維，1995） ：. r ij ＝ 1 . CN ( A C )(C D). 順序性係數 r ij 表示試題 i 指向試題 j 的順序性程度，亦即「相對而言， 試題 i 為下位概念（lower concept），而試題 j 為上位概念（upper concept） 的程度」。 項目順序係數是一個數值，若此數值超過閥值，則表示順序性存在，反之 則否。根據竹谷 誠的研究，此閥值為 0.5（許天維，1995） ，亦 即. r ij 0 . 5 ，則試題ｉ及試題ｊ沒有順序性關係存在，記作ｉ→ｊ。 r ij 0 . 5 ，則有試題ｉ指向試題ｊ之順序性關係存在，記作ｉ→ｊ。. 36.
(46) 二、建立試題間的順序關係 根據試題間之順序性係數，整理出所有試題兩兩之間是否有順序關係。 舉例如表 2-19 所示： 表 2-19 試題順序性係數舉例 試題 j 1. 2. 3. 4. 5. 6. .55*. .52*. .27. .12. .62*. .71*. .37. .41. .72*. .18. .32. .64*. .67*. .55*. 試題 i 1 2. .53*. 3. .23. .16. 4. .15. .35. .37. 5. .25. .24. .39. .41. 6. .43. .14. .08. .31. .65* .22. *表示順序性係數大於 0.5 若以閥值 0.5 為標準，順序性係數 r ij 0 . 5 ，則以 0 表示；順序性係數. r ij 0 .5 ，則以 1 表示，如此簡化試題的順序，則可修改試題順序性係數表成 為簡便的 0－1 表，稱為 0－1 矩陣表，有益於畫出指向的結構圖，如表 2-20： 表 2-20 試題的順序關係 0-1 矩陣表舉例 試題 j 試題 i. 1. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 1. 1. 0. 0. 1. 1. 0. 0. 1. 0. 0. 1. 1. 1. 2. 1. 3. 0. 0. 4. 0. 0. 0. 5. 0. 0. 0. 0. 6. 0. 0. 0. 0. 37. 1 0.
(47) 三、根據試題間有否順序性關係，畫出試題關聯結構圖 試題關聯結構圖是將所有的試題按答對率高低排列順序，形成一種具有指向 固定同一方向的階層結構圖。亦即階層性結構圖的指向均是由答對率高的試題指 向答對率低的試題(許天維，1995)。 以通過率為縱軸座標，在平面上標示出試題位置。並以「→」箭號來表示 兩者之間的關係，若兩試題間有順序關係，亦即上列之矩陣表為 1，則有「→」 箭號；若兩試題間沒有順序關係，亦即上列之矩陣表為 0，則無「→」箭號。 例如根據上列之矩陣表，則畫出如圖 2-3。. 6. 5. 4. 3. 2. 1. 圖 2-3 試題關聯結構圖舉例 竹谷 誠則認為在構圖時，有兩點必須要注意（林原宏，1994） ： （一）簡化試題關聯結構圖 兩試題間若能以直接或間接相連結時，則應除去連結的箭號，以簡化 試題關聯結構圖，增加可讀性，如圖 2-4 之（一）所示。 （二）對等群性 如圖 2-4（一）之試題關聯結構圖所示，試題 1 和試題 2 有相互連結 影響之關係，此現象則表示試題 1 和試題 2 高度相關，可視為同一性質之 試題，因此又可把試題關聯結構圖更簡化如圖 2-4 之（二） 。. 38.
(48) 6. 6. 5. 4. 3. 2. 5. 1. 4. （一）. 3. 2. 1. （二） 圖 2-4 試題關聯結構圖之簡化舉例. 因此，本研究之測驗資料採用試題關聯結構分析法來分析，繪出群體試題 關聯結構圖，藉以了解受試者的認知結構。. 肆、試題關聯結構分析法之功用 經過研究的結果，試題關聯結構分析法具有下列五種功能（許天維，1995）： 一、教學設計之運用 教師在進行教學活動之前，可依據課程內容之先備知識，進行知識結構分 析，再依對應的知識概念編擬試題，進行施測，以「試題關聯結構分析法」分析 所得結果，除可檢測學生先前知識不足之處，並能作為未來教學設計的參考依據。 二、形成性評量之運用 教學活動完成後，欲知班級學生的學習結果，可透過知識結構的分析，而編 製形成性評量，並加以施測，將施測結果以「試題關聯結構分析法」進行分析， 可以得知兒童學習後的知識結構，並對兒童概念模糊之處，進行補救教學。 三、認知學習構造之分析 可利用佐藤 S-P 表分析形成性評量的結果，以獲得注意係數，從而偵測出異 質性的兒童，並比較此類兒童所畫出結構圖與班上的結構圖之差異性，以便得知 此類兒童異質的原因，進而加強輔導教學。 四、概念形成過程之考驗. 39.
(49) 對縱貫研究而言，兒童概念的形成過程有層次之分，例如山田完認為教師評 定兒童有操作經驗層次、知覺內化層次、言語抽象層次及因果論理層次等四個層 次，依此四層次來評定各年級學生的形成過程，並建立各年級的結構圖，即可知 學生的概念形成的發展。對橫斷研究而言，亦可知班上學生的概念形成過程的分 布。 五、課程教材構造之解析 由母群體隨機抽出樣本進行施測後，透過「試題關聯結構分析法」進行構 圖，可得一般兒童的概念學習構造，此不僅為教科書編者提供重要資料，並對分 析教師的學習指導特質，具有很大的作用。. 40.
(50) 第三章 研究方法 第一節 研究架構 本研究依據研究動機、研究目的、研究問題及文獻資料，提出如圖 3-1 之 研究架構： 學童正整數除法概念. 國小正整數除法教材. 正整數除法概念圖. 試題細目表. 編製正整數除法概念試題. 正式施測試題. 進行預試. 抽樣班級. IRS 分析. 試題關聯結構圖 1. 各主概念結構圖 2. 各子概念結構圖. 解釋概念結構圖. 圖 3-1 研究架構圖. 41.
(51) 第二節 研究對象 現行的國小數學領域中，從三年級到六年級都有除法的相關課程，本研究乃 欲進行三年級正整數除法概念試題的編製與分析，故以三年級學童為研究對象。 又因本研究受限於研究者的時間、人力與經費等因素，故抽樣方式採便利取樣 （convenience sampling），以研究者服務學校三年級的八個班級隨機抽取三個 班級進行試題預試（樣本數 93 人） ，以確定試題的信、效度，另再抽出一班為正 式施測對象（樣本數 32 人）。 為減少研究對象受其他因素之干擾，故施測地點均為該班教室，施測前，均 先說明筆測的目的、答題的方式及注意事項，學童作答時間約 40 分鐘。. 第三節 研究工具 本研究的研究工具為研究者編製的「國小三年級學童正整數除法試題」 ，茲說 明如下：. 壹、 「國小三年級學童正整數除法試題」的概念架構 除法算式 等分除初步概念. 包含除初步概念. 正整數平分概念. 正整數分裝概念. 具體分概念. 圖 3-2. 正整數除法教材結構圖. 本研究之試題編製係參酌正整數除法概念的相關文獻、現行九年一貫課程綱 要數學領域（教育部，2003），以及經教育部審核通過之數學教科書中與除法教 材相關的內容後，架構出如圖 3-2 之「正整數除法教材結構圖」 。再編製如圖 3-3. 42.
(52) 之「正整數除法試題架構圖」，最後依此圖編擬正整數除法概念之試題。 有餘數 正 整 數 平 分 概 念. 被除數為一位數. 無餘數 有餘數. 等 分 除. 商為一位數. 被除數為二位數. 無餘數 有餘數. 商為二位數. 無餘數 有餘數. 具體分概念. 被除數為三位數. 商為二位數. 商為三位數. 無餘數 有餘數 無餘數. 有餘數 被除數為一位數 正 整 數 分 裝 概 念. 包 含. 被除數為二位數. 無餘數. 有餘數 商為一位數. 無餘數. 除 商為二位數. 有餘數 無餘數. 被除數為三位數. 有餘數 商為二位數. 商為三位數. 無餘數 有餘數 無餘數. 圖 3-3. 正整數除法試題架構圖. 43.
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