混合羅吉特模式 (Mixed Logit Model)

McFadden and Train (2000) 提出混合羅吉特模式並說明該模式具有相當高的彈性，

可以近似任何隨機效用模型。混合羅吉特模式具有下列優勢：(1) 考量個體偏好的異質 性；(2) 方案間的交叉彈性依據不同方案而有所差異；(3) 容許不同方案不可衡量的部 份具有相關性，以解決多項羅吉特模式與實際情況不符的情形。因混合羅吉特的選擇機 率不具封閉性，所以必須透過模擬方法來求解。以下針對該模式的特性詳加說明：

(1) 容許異質性

首先定義混合羅吉特模式效用函數的形式，如式 (7) 所示。假設決策者 n 面對 J 個 方案，則方案 i 的效用函數形式定義如下：

'

ni ni ni nk nik ni

k

U =V +ε =

∑

上式中βnk為一隨機變數向量，其表示決策者 n 對屬性 xnik的 (tastes) 隨著不同決 策者而改變。xnik為與方案及決策者特性有關的可觀測變數，εni仍為效用函數中的隨機 項且服從獨立且完全相同的 Gumbel 分配。

承上所述，由於β_nk為隨機變數且可依據不同屬性的行為特性採用不同的機率密度 函數，所以混合羅吉特模式又稱為「隨機參數羅吉特 (Random Parameter Logit, RPL)」

或「隨機係數羅吉特 (Random Coefficient Logit, RCL)」模式。研究者決定參數係數服從 何種分配後，即可經由模式校估求得描述該分配的參數。雖分配的形式可視研究需要自 行設定，但每種分配皆有其限制與適用性，所以挑選符合實際情況的分配是非常重要的 步驟。但正確的分配形式卻不得而知，因此，必須依照屬性變數的特性盡量近似現況，

避免產生更大的偏誤。常見的分配形式包括均勻分配 (uniform distribution)、三角分配 (triangular distribution)、常態分配 (normal distribution) 以及對數常態配 (log-normal distribution) 等。

其中均勻、三角以及常態分配的範圍可同時涵蓋正值以及負值的係數值；而對對數 常態分配的範圍則皆為正值，透過將變數值更改為負號則可處理屬性為負向的情況 (Train, 2003)。前者對於已經知道為呈現絕對正向或負向的情況下，為不勝甚合理之假 設；後者則由於尾端太長 (long upper tail)，可能造成計算願意支付之價格 (willing to pay, WTP) 時，出現過高的情況。

混合羅吉特模式與傳統羅吉特模式最大差別在於考慮每位決策者的行為與偏好並 非 均 質 的 情 形 。 Bhat (1998) 提 出 個 體 效用 函 數 的 異 質 性主 要來 自 於 「 偏 好 異 質 (preference heterogeneity)」與「回應異質 (response heterogeneity)」。方案異質性是指方 案間不可觀測隨機項的變異程度是不相同的。偏好異質為個體社經特性對運具選擇的可 觀察項與不可觀察項的影響；回應異質則為個體對運具服務水準看法的差異。一般而 言，處理偏好異質的方法是將個體社經特性指定為方案特定變數或是加入替選方案個體 偏 好 項 ； 處 理 回 應 異 質 則 是 將 個 體 社 經 特 性 與 服 務 水 準 變 數 指 定 為 相 互 作 用 (interacting)，或是利用隨機係數與市場區隔 (market segmentation scheme) 處理。傳統的

模式將所有決策者視為同質性 (不考慮個體間的差異) 可會產生某種程度的偏誤，因此 混合分配 (mixed distribution)。由式(9)可發現，該機率形式是對多項羅吉特選擇機率 Lni(β)作積分並且透過機率密度函數 f(β)進行加權，符合混合分配的條件，因此稱為「混 合」羅吉特模式。此外，若將混合羅吉特模式中的隨機係數β全部設為定值(常數)，即 f(β)=1，則整體模式便可簡化為多項羅吉特模式。研究者可自行設定 f(β)為連續型或離

散型的分配，但以連續型分配較常應用於相關研究。

(3) 模擬

混合羅吉特模式的機率型式具有非封閉性的特性，需以多重積分求得選擇機率。由 於高維度的積分不易計算，必須利用模擬 (simulation) 方法來求解。

求解的過程中首先需將設定參數係數服從何種分配，並於該種分配中隨機抽出一個 βr( r=1 標示第一次抽出的β)。其次將βr 代入效用函數中計算選擇機率 Lni(βr)。最後，

不斷重複前兩個步驟並對機率採加權平均即可得到模擬的機率。此一模擬機率 P 為真ⁿⁱ 實機率 Pni 的不偏估計量，且重複抽取的次數 r 越多，模擬機率越接近真實機率。

模擬機率的求算方式與期望值的概念相近，所以又稱為蒙地卡羅積分 (Monte Carlo integration) 。 過 去 校 估 封 閉 模 式 時 大 都 使 用 最 大 概 似 估 計 法 (maximum simulated likelihood estimator, MSLE)，但因混合羅吉模式的對數概似函數包含模擬機率稱為模擬 對數概似函數 (simulated log-likelihood function, SLL)，需以最大概似估計法使其極大 化，才可求得所有待校估的參數係數。

一般而言，為使校估出的參數係數達到穩定 (stability) 的效果，Bhat (1998) 建議由 擬似隨機數列 (pseudo-random sequence) 中使用 1000 次的重複抽取 (repetitions)。然 而，當研究設定模式越複雜時，則需要越多次的隨機抽取以增加模式的正確性。Hensher (2001) 建議由 25、50、100、250、500、1000 次的抽取次數依序增加以尋求模式參數的 穩定，該研究發現抽取次數超過 250 次時係數才會呈現穩定的現象。Papageorgiou and Traub (1996) 指出以擬似隨機數列產生的質點會有群聚 (clustering) 的現象，意即某些 區域質點太過集中，有些區域則幾乎無法沒有樣本點，因此必須使用非常多次的隨機抽 取，否則將影響模擬機率的正確性。有鑑於此，統計學家隨後又提出一種更有效率的數 列名為 Halton 數列，該數列不具有質點群聚的現象，所以僅需要較少的隨機抽取次數 便能使質點分散均勻，達到準確的模擬效果。Train (1999) 與 Bhat (2001) 發現由 Halton 數列中抽取 100 次的誤差項變異數小於由擬似隨機數列中抽取 1000 次的誤差變異數，

可以證明 Halton 數列較擬似隨機數列更具「隨機性」。