第二章 文獻探討
第三節 灰關聯分析
關聯分析又稱為系統因素分析，透過關聯分析可將系統內眾多因素，依個 別對系統影響的強弱程度，篩選出哪些因素是主要、哪些次要、哪些明顯、哪 些潛在；哪些是值得發展的，哪些又是需要捨棄的(洪欽銘、李龍鑣，1997)。在 幾何意義上，關聯分析是將參考函數與比較函數，在直角座標平面上作動態曲 線圖。然後比較函數幾何形狀與參考函數形狀，越接近者其關聯性就越大。關 聯度亦稱函數相似程度，也就是離散函數接近的測度(沈啟賓、莊豔蕙，1991)。
灰色關聯分析是對灰色系統因素間的發展動態，進行定量分析。主要是探 討兩個數列間的關聯程度，利用離散的測度來作數列間距離的量度。這是一種
根據因素與因素之間發展趨勢的相似或相異程度，來衡量因素間關聯程度的方 法。這種分析模式可將灰色系統內各因素間灰關係清晰化，找出影響目標值的 重要因素。而且對一個系統發展變化態勢給出量化的量度，進而促進和引導系 統迅速有效的發展(陳弘彬，1998)。
灰色關聯分析主要的精神是建構在三大基本公理上：
1. 差異公理：訊息的差異仍是訊息。
2. 訊息是認知的根據：認知的非唯一性。
3. 「灰性」存在公理：訊息一定具有灰性。
除三大基本公理外，還具有「少數據」及「多因素(屬性)」的特性，此可彌 補統計迴歸的缺點(吳漢雄、溫坤禮、鄧聚龍合著，前引書，頁 12。)。因為統 計迴歸(Regression)是處理自變數與依變數之間的關係，兩變數間必須有相互影 響的關係，再者是統計迴歸的研究方法需有大量數據，並且得做出函數關係，
而數據的分佈必須是常態分佈，因素也不可過多，故某些場合統計迴歸可能無 法求出答案。但灰色關聯分析卻具有少數據及多因素分析的特點，正好可以彌 補統計迴歸的缺點。目前有關灰關聯分析的文獻報討相當多，其研究領域大致 可分成：
1. 方案選擇決策 2. 績效評估
3. 因素影響程式評估 4. 灰關聯度的定量化
一、灰關聯度的數學基礎 (一)因數空間(Factor Space)
假設｛P(X)｝為某特定的主題(Theme)所得到的因子集，Q 為一影響關係 (Relationship)，｛P(X)；Q｝的組合情形之下，具有下列的特性：
1. 關鍵因數(中心主題)的存在性(Existence)：
例如籃球選手的關鍵因數為身高、體重及彈跳能力等等。
2. 內涵因數的數目為有限且可數性(Countability)：
例如選籃球選手的關鍵因數為身高、體重及彈跳能力等各因數。
例如選籃球選手的關鍵因數為身高、體重及彈跳能力外，也可以加入其他 因數，如罰球率等等。
4. 因數的獨立性(Indepentent)：
每一個因數對整體而言均為相互獨立的。
5. 內涵因數的整體性及參數序列的存在性。
此時稱｛P(X)；Q｝為一個因數空間(Factor Space)。
(二)序列之可比性(Comparsion)
假設有一序列為
x k x k
X xi 1 ,, i ；其中：k 1,2,3,,nN,i 0,1,2,,mI,X 為全集合 如果序列滿足下列三個條件：
1. 無因次性(Nondimension)：
不論因數xi
k 的測度單位為何種型態，必須經過處理成無因次的型態。2. 同等級性(Scaling)：
各序列x 中之值i xi
k 均屬於同等級(order)或等級相差不可大於 2。3. 同極性(Polarization)：
序列中的因數描述狀態必須為同方向。則稱此一序列x 具有可比性。i
(三)關聯測度的四項公理(Axiom)
滿足由因數空間及可比性而形成的空間稱為灰關聯空間或稱測度空間 (Measurement Space)，並且用｛P(X)；Γ｝表示，其中｛P(X)｝為主題，Γ 為測 度大小(Maesure)，對｛P(X)；Γ｝而言，有以下四個公理：
1.規範性：
,
10 xi xj ,i j N j
i, 1,2,
xi,xj
1 時稱為完全相關。
xi,xj
0時稱完全不相關。2.偶對稱性：當序列只有兩組時
xi,xj
xj,xi
3.整體性：當序列大於三組(含三組)時
j i oftenj
i x x x
x , ,
4.接近性：
k x
kxi j 為整個
xi
k ,xj k
的主控項，則稱
x 所構成之空間稱為灰關聯 空間，用｛P(X)；Γ｝來表示，亦即灰關聯度的大小必須與此項有關。如果在灰關聯空間中可以找到一函數
x ,i xj
滿足以上的四項公理，則稱
x ,i xj
為灰關聯空間中的灰關聯度(Gray Relational Grade)。
二、灰關聯度的推導
有了灰關聯空間之後，則必須接著進行量化的工作，而此量化之方法是定 義出一個測度公式，稱之為「灰關聯度」。而灰關聯度的定義是表示兩個序列間 的關聯程度。對灰關聯度
x ,i xj
而言，為灰關聯空間中量化的測度公式，在求 灰關聯度時，如果在所有的序列中只取序列x0
k 為參考序列，其他的序列為比 較序列時，則稱為“局部性(Localized)灰關聯度”。如果所的序列中，任一個序列
kxi 均可做為參考序列時，此時稱為“整體性(Globalized)灰關聯度”。
在求關聯度時，首先必須計算灰關聯係數，說明如下：
(一)灰關聯係數(Grey Relational Coefficient)
在灰關聯空間｛P(X)；Γ｝中，有一序列
x x x k
X xi i 1, i 2,, i 其中 i0,1,2,,m,k 1,2,3,,nN即
k x x
x x
k x x
x x
k x x
x
x i
, , 2 , 1
, , 2 , 1
, , 2 , 1
2 2
2 2
1 1
1 1
0 0 0
局部性或整體性灰關聯度量之灰關聯係數
xi
k ,xj k
定義如下所 述：1. 局部性：當只有一個序列x0
k 為參考序列時，其他的序列為比較序列 時，時灰關聯係數定義為
. max
. max .
, min
k k x k x
oi j
i
其中 i1,2,3,,m,k 1,2,3,,n, jI
x 為參考序列，0 x 為一特定之比較序列。i
00 k x k : x
x i
oi
和x 之間第 k 個差的絕對值i
k x
k xk i
j j
min. min.min. 0
k x
k xk i
j j
max. max.max. 0
辨識係數：:
0,1 (其值可依實際需要調整)。2. 整體性：當序列中任個一序列xi
k 均可以參考序列，其他的序列為比較 序列時，則灰關聯係數定義為
. max
. max .
, min
k k x k x
ij j
i
其中 i1,2,3,,m,k 1,2,3,,n, jI
x 為參考序列，i xj為其他的比較序列。
i
j
iij k x k x k :x
和xj之間第 k 個差的絕對值
k x
k xk i
j i j
min. min.min.
k x
kx k i
j i j
max. max.max.
辨識係數：:
0,1 (其值可依實際需要調整)。(二)辨識係數(
:Distinguishing Coefficient)
在灰關聯係數中，辨識係數( )的功能主要是作背景值和待測物之間的對 比，其值介於 0 與 1 之間，數值的大小可以根據實際的需要做適當之調整。一 般而言，辨識係數的數值均取為 0.5，但是為了加大結果的差異性，可以依實際 需要做調整。由實際的數學證明中得知其值和灰關聯係數的解析度有關(如圖 6)(翁慶昌、陳嘉欉、賴宏仁合著，2001)。，辨識係數 數值的改變只會變化相 對數值的大小，不會影響灰關聯度的排序(翁慶昌、陳嘉欉、賴宏仁合著，同前 註，頁 27~28。)。但在最近的文獻探討中，修正此傳統係數之值由 0.5 改為 1，
使灰關聯度由定性化分析昇華為定量化分析，使其達到完美之境界。
圖 6 辨識係數( )對灰關聯係數之影響關係圖
資料來源：「灰色系統基本方法及其應用」，翁慶昌、陳嘉欉、賴宏仁，2001，
頁 27。
(三)灰關聯度(Grey Relation Grade)
當求得灰關聯係數後，傳統方式是取灰關聯係數的平均值為灰關聯度。
n
k
j i j
i x k x k
x n x
1
1 ,
,
然而在實際的系統上，各個因數對系統的重要程度並不見得完全相同，因此我
們正視各個因數的權重不相等的實際情形，延伸上式中的關聯度的定義為
n
k
j i k j
i x x k x k
x
1
,
,
其中k表示因數 k 的常態化權重，由使用者決定，必須滿足
n
k k 1
1
，當 等權時(4-1)式和(4-2)式會相等並對於各決策因數相對權重的求法可依系統需求 決定其方法。
(四)灰關聯序(Grey Relation Ordinal)
根據灰色理論的定義，傳統的灰關聯度是表示兩個序列的關聯程度，而且 為定性的分析，此數值在決策上並非主要訊息，因此最重要的訊息是各個關聯 度之數值大小排序才是重要的關鍵。將 m 個比較序列對同一參考序列x 的灰關0 聯根據所得之數值大小，加以順序排列，所組成一個大小的關係便稱為灰關聯 序，數學模式為：
在參考序列x 及比較序列0 xi
x k
x
x
k
k n i m x0 0 , i i , 1,2,3,, , 1,2,3,, 如果
x0,xi
x0,xj
則稱x 對i x 的關聯度大於0 xj對x 的關聯度，並且用0 x i xj表示，也稱為x 和i xj 的關聯序。
三、灰色關聯分析探討
灰關聯分析相關之文獻：
1. 古奈爾與路歐(B.T.Kuhnell&Luo,1990,Diagnosis of machine fault using relational grade analysis in gray system theory,Intemational Tribology
Conference.pp.122-126)(Kuhnell & Luo)其應用灰關聯分析理論來診斷機械 故障及分析故障的類型。
2. 邱學軍(邱學軍,1995,「灰色聚類關聯分其結合了醫學、灰色聚類及灰關聯 分析提出了灰色聚類關聯分析法及其應用」,系統工程理論與實踐,第一期, 頁 15-21。)方法，藉此以建構灰色聚類關聯醫學診斷系統(GCRMD)。
3. 羅慶成、何勇(羅慶成、何勇,1994,「農業綜合生產力的多層次灰關聯評估」, 系統工程理論實踐,第四期,頁 75-80。)學者利用系統層次結構模型及灰關聯 評估體系的結合，成為多層次灰關聯評估對杭州市農業綜合生產力做評估。
4. 邱學軍、陳翔、楊威、葉濤、張建等(邱學軍、陳翔、楊威、張建,1996 國 家重點科技項目結構綜合研究,北京系統工程研究所報告,頁 13。)結合 醫學、灰色聚類及灰色關聯分析提出了灰聚類關分析方法。
5. 溫坤禮(溫坤禮,1999,「灰關聯度的定量化研究」,灰色系統學刊,臺北:第 二卷,第二期,頁 113-117)誒將傳統灰關聯度中辨識系數的值轉化成 1,稱 是定量化的灰關聯度。
6. 張其教、張家瑞、林志棟﹙張其教、張家瑞、林志棟，1998 年, 「灰關聯 分析於路面破壞因數的研究」灰色系統理論與應用研討會論文集,頁 57﹚將 灰關聯分析方法應用在路面破壞因數之研究。
7. 夏郭賢、吳漢雄等﹙吳漢雄、夏郭賢，1998 年，「灰關聯分析之線性數據前 處理探討」，灰色系統學刊，臺北：第一卷，第一期，頁 47-53﹚在灰關聯 分析中，提出一種線性的數據前處理方法，可將序列予標準化，且不會造 成序列的失真。
8. 溫坤禮、吳漢雄等(溫坤禮、吳漢雄，1998 年，「灰色理論電力諧波之研 究」，灰色系統學刊，臺北：第一卷，第一期，頁 65-76)使用灰關聯分析法 以取代傳統波形綜合失真率，並利用特徵向量法計算各個諧波權重，以評 估電力品質的優劣程度。
9. 何勇(何勇，1993 年 4 月，「灰色多層次綜合評判模型及應用」，系統工 程理論與實踐，第 4 期，頁 72-76)利用灰關聯度作為測度的多層次綜合評 判方法，對糧食產量系統白化資訊，可減少誤差，為多層次綜合評判問題 出了一種新方法。
以上均是運用灰色關聯分析法對各研究對象離散序之間測度的計算，做適 當的修正，使傳統灰關聯度的能由定性的分析轉化成定量的分析。因此為求多 因素間關聯性比較，對其優缺點分析說明如下：
利用層級分析法(Analysis Hierarchy Process，AHP)其法可作多目標最佳方案 選擇及績效評量，但在分析各目標上需兩兩比較其值，且在相關程度上尺度過
於細瑣，演算過程也過於複雜，並有一致性檢定的問題；如果利用經驗或知識 作判斷的基礎，是一種比較主觀的方法論，且需要依賴較多的實際資料及經驗；
利用模糊理論處理多目標的問題時，但其在模糊數權重之轉化成明確值之合理 性與準確性，一直是模糊理論中之“去模糊”研究領域困擾之事。
傳統計量迴歸對於目標因素複雜且多樣化或非線性較難以適合，且所需的資料 量也極為龐大。灰關聯分析即能彌補這方面的缺點。灰色關聯分析與數理統計 的迴歸析有以下之不同點：(史開泉、吳國威、黃有評，1994)。
1. 兩者之理論基礎不同，灰關聯分析基於灰色系統理論的灰色過程，迴歸分 析基於概率論的隨機過程。
2. 灰關聯分析是對系統各行為因素列的態勢比較與計算，迴歸分析是因素間 各對數組數值之間的計算。
3. 灰關聯分析要求數據的個數不多，迴歸分析則必須有足夠的數據量。
4. 灰關聯分析主要研究系統的動態過程，迴歸分析則以靜態研究為主。