研究分析模式

本研究是以多變量階層線性模式為主要分析模式，並利用 HLM7.0 版軟體進 行分析，茲將研究分析模式敘述如后。

壹、階層線性模式及其應用

一、理論部分

一般研究蒐集所得的資料，常具有階層性的結構，如：依變項為屬於學生階 層(student-level)的學生個人成績，而自變項卻包含學校階層(school-level)的各校所 在地、學生人數等變項，這種巢狀結構(nested structure)的資料，是下層的單位隸 屬於上一層的單位(Raudenbush & Bryk, 2002)，此時，若用傳統的迴歸分析，將導 致兩難的局面。

首先，如果以個人做為分析的單位(disaggregation)，將使估計標準誤(estimated standard errors)變得過小，而使型Ⅰ錯誤(type Ⅰ error)過於膨脹，同時也無法符合 迴歸殘差之獨立性；其次，如果以組織作為分析的單位(aggregation)，並將各組織 中個人變項的平均數做為依變項，將導致其他以個人為單位的自變項難以納入，

組織內在(within-group)的訊息均被捨棄，且易因組織的特性造成分析結果解釋上 的偏誤(劉子鍵、林原宏，1997；Raudenbush & Bryk, 2002)。階層線性模式又稱為 多層次模式(Multilevel Modeling, MLM)，理論上可以具有無限多階層，但以目前 科技的發展與解釋分析結果的可行性來看，仍以二階與三階的模式應用居多。現 以二階層的 HLM 來做說明，並可以用以下的數學方程式來加以說明：

假設有J ( j1,2,3,,J ) 個國家，每個國家中有n_j (i1,2,3,,n_j)名學生，

以國家為第二階層，而學生則是第一階層，則二階層的 HLM 的數學方程式就可 以寫成如下方式：

階層一(例如：學生階層)

^{Yij oj1jXij rij} 式(3-1)

Pedhazur(1997)提出了關於 HLM 應用的幾個建議，第一，在進行 HLM 分析 之前，必須進行資料特性的檢測與探索性分析，使得 HLM 確實能夠針對資料的 階層結構進行有效的處理。第二，研究者必須對於 HLM 或是其他高等的統計方 法，以及電腦技術的發展與更新有充分的了解。當代統計應用的知識隨著資訊科

技的發展而一日千里，過去僅有理論而沒有具體技術或適當算則的分析概念都一 一落實於電腦套裝軟體的操作手冊中。當知識與技術提升之時，研究者也必須加 速學習的腳步。第三，高難度的分析方法意味著解釋上的難度也相對提高。

階層線性模式能夠化解傳統迴歸分析所會遭遇到的困境，進而能避免產生標 準誤的誤估、忽略迴歸的異質性、以及加總誤差等問題(Bryk & Raudenbush, 2002)。

近年來由於統計分析技術的進步及電腦發展的快速，許多研究者提出階層線性模 式來解決上述兩難問題，並且據此發展出許多富有彈性的次模式。

常見的次模式如下：

(一)具有隨機效果的單因子變異數分析模式(one-way ANOVA with random effects) 此模型又稱零模型(null model)，主要是因為在 HLM 階層一和階層二方程式 都沒有出現任何解釋變項或預測變項。

(二)隨機效果單因子共變數分析模式(one-way ANCOVA with random effects) 共變數分析的主要目的在於比較各組間平均數的差異，而隨機效果的單因子 共變數分析，必須假設各組間的迴歸直線斜率相同，則此隨機效果就是模式中的 截距項。

(三)隨機係數迴歸模式(random-coefficients regression model)

此模式分析考慮到組別間的差異，包含了不同的截距項和斜率。

(四)以階層一方程式的各組平均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式 (means-as-outcomes regression)

此模式中，階層一沒有任何的解釋變項，而以階層二的解釋變項來解釋階層 一截距項的差異。

(五)帶有非隨機變化之斜率的模式(a model with non-randomly varying slopes ) 此模式是將階層二有關階層一斜率的方程式最後的隨機誤差去除，使其能被

上述模式整理如表 3-7 所列(邱皓政，2006；溫福星，2006；Raudenbush & Bryk,

多變量階層線性模式(Hierarchical Multivariate Linear Model, HMLM)主要是 針對當使用 HLM 進行統計分析時，有兩個或兩個以上的依變項時使用，一般是 在階層線性模式的成長模型中使用，本研究則是同時將數學素養、閱讀素養和科 學素養的評量結果作為依變項，進行多變量階層線性模式的統計分析。

多變量的 HLM 可以擴展自二階層的 HLM，並形成三階層的 HLM，用以下 的數學方程式來加以說明：

假設有K( k 1,2,3,,K) 個國家，每個國家中有n_k (j 1,2,3,,n_k)名學 生，而每個學生中有n_jk (i1,2,3,,n_jk)個依變項，所以國家為第三階層，學生 為第二階層，而第一階層就成為聚合階層，則此三階層的多變量 HLM 的數學方 程式可以寫成如下方式：

階層一(例如：聚合階層)

Y_ijk INDI_1ikY_1jk INDI_2ik Y_2jkINDI_3ik Y_3jk 式(3-5)

Yijk是階層一的依變項，Y_ijk則是由Y_1jk、Y_2jk和Y_3jk(例如：數學素養、閱讀素 養和科學素養)所聚合而成的依變項，INDI_ijk為第 個依變項之指標。

階層二(例如：學生階層)

Y_1jk _10k_11kX_1jk r_1jk 式(3-6) Y_2jk _20k_21kX_1jk r_2jk 式(3-7) Y_3jk _30k_31kX_1jkr_3jk 式(3-8)

X₁jk為階層二的自變項(例如：學生的資訊與通訊科技使用時間) _10k、_20k和

k 0

3 是階層二的截距，_11k、_21k和_31k是階層二的斜率，r_1jk、r_2jk和r_3jk則是階層 二的隨機誤差。

階層三(例如：國家階層)

_10k ₁₀₀₁₀₁W_1ju_10k 式(3-9) _20k ₂₀₀₂₀₁W_1ju_20k 式(3-10) _30k ₃₀₀₃₀₁W_1ju_30k 式(3-11) _11k ₁₁₀₁₁₁W_1j u_11k 式(3-12) _21k ₂₁₀₂₁₁W_1ju_21k 式(3-13) _31k ₃₁₀₃₁₁W_1ju_31k 式(3-14)

W₁j是第三階層的自變項(例如：國家的網路妥善度)。₁₀₀、₂₀₀、₃₀₀、₁₁₀、

210 和₃₁₀為階層三的截距，₁₀₁、₂₀₁、₃₀₁、₁₁₁、₂₁₁ 和₃₁₁為階層三的斜率，

均稱為固定效果。u_10k、u_20k、u_30k、u_11k、u_21k和u_31k則被稱為隨機效果。

二、應用部分

Raudenbush 等人(1995)的研究指出多變量階層線性模式，可以同時分析丈夫 與妻子的婚姻滿意度或憂鬱度等變項的長期變遷曲線，並比較夫妻差異，並且不 受時間採樣之樣本點遺漏值(missing data)的限制，仍然可以進行有效的分析，而 這也是多變量階層線性模式的優點之一。

Thum(1997)的研究認為單變量階層線性模式，在面對多元資料分析時，會喪 失許多重要資訊，進而造成研究上的盲點，故多變量階層線性模式是有其全面性 的優點，他並嘗試以最大概似估計(MLE)方法來進行相關演算，針對教師在學校 改革中所扮演的角色，將「教師行政參與」和「教師教學投入」兩個變項當成依 變項，並在教師階層和學校階層的解釋變項下，同時進行多變量階層線性模式分

析，結果呈現其共變數的結構關係。

Willms(1999)則指出多變量階層線性模式可應用於不同的群體間，對同一現 象的反應一致性程度(degree of consistency)，並指出多變量階層線性模式的第一階 層為個體內的聚合階層，而第二和第三階層則相似於二階層階層線性模式中的第 一階層和第二階層。

Usami(2009)認為多變量階層線性模式是有其必要性，尤其是當多變量的變項 資料已被蒐集，並且其共變數結構含有具價值的資訊時，可以看出解釋變項之間 對於效果變項不同的影響程度。

周玉慧(2009)的研究亦運用多變量階層線性模式於夫妻間衝突的相關研究，

並指出多層次分析法中的多變量階層線性模式(HMLM) 可以同時分析丈夫與妻 子的婚姻滿意度或憂鬱度等變項的長期變遷曲線，並比較夫妻差異。例如夫妻雙 方於數年間回答五次資料，可構成兩層次 HMLM，第一層模式針對某依變項同時 估計丈夫與妻子的在五次回答中的個人內變化，第二層模式集合個人層次的估計 值，以分別提供丈夫整體與妻子整體的平均成長曲線。第二層並可加入其他預測 變項， 以探 討成 長 參數在 個人 間是否 有差異 ，或 其他變 項是否 為調 節變項 (moderation)。此種配對資料的多變量階層線性模式，優點在於能夠同時放入丈夫 與妻子的資料來考量夫妻配對資料的相依性，也由於能夠同時估算丈夫與妻子的 個人內變化，即能夠檢驗夫妻間的成長參數是否有差異。近幾年來，國外已有一 些研究採取此種方法，同時展現了夫妻配對資料與夫妻差異之特性。

林妙雀和溫福星(2010)利用多變量階層線性模式進行統計分析，發現使用者 的部落格互動與社群，對網友忠誠度具有顯著正向影響，而且部落客的人格特質 越內在、涉入度越高，對於部落格使用者之互動、部落格社群與忠誠度之間的正 向關係越強，顯示部落客之干擾效果存在。另溫福星(2012)也以多變量階層線性 模式來處理多個結果變項的多層次模式，除了可以比較迴歸係數的差異比較外，

節效果的迴歸係數恆等性比較。

所以，綜上所述，使用多變量階層線性模式來分析資料的優點已經逐漸獲得 認可，因此，運用於學術研究亦是越來越普遍，值得研究者加以重視。

叁、分析模式

本研究採用HLM7.0軟體來分析資料，應用HMLM模式來分析並採用階層線 性模式中的3個次模式和1個完整模式做為研究方法( Raudenbush & Bryk, 2002)，

茲分別描述如下：

一、 次模式一：具隨機效果的單因子變異數分析模式(one-way ANOVA model with random effects)，透過依變項的共變數結構，來探究數學素養、閱讀素 養和科學素養之間的關係，以回答研究問題一。

階層一(聚合階層)

Y_ijk INDI_1ikY_1jk INDI_2ik Y_2jkINDI_3ik Y_3jk 式(3-15)

Yijk是階層一的依變項，Y_ijk則是由Y_1jk、Y_2jk和Y_3jk(數學素養、閱讀素養和科 學素養)所聚合而成的依變項，INDI_ijk為第 個依變項之指標。

階層二(學生階層)

Y_1jk _10k r_1jk 式(3-16) Y_2jk _20k r_2jk 式(3-17)   式(3-18)

X₁jk為階層二的自變項(學生的資訊與通訊科技使用時間) _10k、_20k和_30k是 階層二的截距， r_1jk、r_2jk和r_3jk則是階層二的隨機誤差。

階層三(國家階層)

_10k ₁₀₀u_10k 式(3-19) _20k ₂₀₀u_20k 式(3-20) _30k ₃₀₀u_30k 式(3-21)

W₁j是第三階層的自變項(國家的網路妥善度)。₁₀₀、₂₀₀和₃₀₀為階層三的截 距，稱為固定效果。u_10k、u_20k和u_30k則被稱為隨機效果。

二、 次模式二：隨機係數迴歸模式(random coefficients regression model)，探討 ICT使用時間對學生數學素養、閱讀素養和科學素養的影響，是否達到顯著，

以回答研究問題二。

階層一(聚合階層)

Y_ijk INDI_1ikY_1jk INDI_2ik Y_2jkINDI_3ik Y_3jk 式(3-22)

Yijk是階層一的依變項，Y_ijk則是由Y_1jk、Y_2jk和Y_3jk(數學素養、閱讀素養和科 學素養)所聚合而成的依變項，INDI_ijk為第 個依變項之指標。

Y_1jk _10k_11kX_1jk r_1jk 式(3-23) Y_2jk _20k_21kX_1jk r_2jk 式(3-24) Y_3jk _30k_31kX_1jkr_3jk 式(3-25)

X₁jk為階層二的自變項(學生的資訊與通訊科技使用時間) _10k、_20k和_30k是 階層二的截距，_11k、_21k和_31k是階層二的斜率，r_1jk、r_2jk和r_3jk則是階層二的隨 機誤差。

階層三(國家階層)

_10k ₁₀₀u_10k 式(3-26) _20k ₂₀₀u_20k 式(3-27) _30k ₃₀₀u_30k 式(3-28) _11k ₁₁₀u_11k 式(3-29) _21k ₂₁₀u_21k 式(3-30) _31k ₃₁₀u_31k 式(3-31)

W₁j是第三階層的自變項(國家的網路妥善度)。₁₀₀、₂₀₀、₃₀₀、₁₁₀、₂₁₀ 和

310為階層三的截距，稱為固定效果。u_10k、u_20k、u_30k、u_11k、u_21k和u_31k則被稱為 隨機效果。

三、 次模式三：以平均數為結果的迴歸模式(means-as-outcomes regression model)

達到顯著，以回答研究問題三。

階層一(聚合階層)

Y_ijk INDI_1ikY_1jk INDI_2ik Y_2jkINDI_3ik Y_3jk 式(3-32)

Yijk是階層一的依變項，Y_ijk則是由Y_1jk、Y_2jk和Y_3jk(數學素養、閱讀素養和科 學素養)所聚合而成的依變項，INDI_ijk為第 個依變項之指標。

階層二(學生階層)

Y_1jk _10k r_1jk 式(3-33) Y_2jk _20k r_2jk 式(3-34) Y_3jk _30kr_3jk 式(3-35)

X₁jk為階層二的自變項(學生的資訊與通訊科技使用時間) _10k、_20k和_30k是 階層二的截距，r_1jk、r_2jk和r_3jk則是階層二的隨機誤差。

X₁jk為階層二的自變項(學生的資訊與通訊科技使用時間) _10k、_20k和_30k是 階層二的截距，r_1jk、r_2jk和r_3jk則是階層二的隨機誤差。