結構方程式分析

過去文獻中，有些研究者主張工作記憶是影響數學學習的關鍵，有些則是認 為概數感的能力能夠預測數學成就。為釐清工作記憶、概數感和數學成就之間的 關係，本研究的前兩節分別進行了相關分析和迴歸分析，本節則是嘗試建立結構 方程式模型，用來解釋工作記憶能力、概數感及數學成就之間的關係。

一、工作記憶能力與數學成就之關係：

為瞭解工作記憶能力與數學成就之間的關係，本研究建立工作記憶與數學成 就之模型，工作記憶（working memory, WM）與數學成就（math）之間為因果 關係，工作記憶為因，是自變項，數學成就為果，是依變項，兩者之間的關係如 圖 4-4-1，因此工作記憶為外生潛在變項，數學成就內生潛在變項。工作記憶能 力的四個觀察變項為記憶更新作業（MU）、運作廣度作業（OS）、句子廣度作業

（SS）、空間短期記憶作業（SSTM），數學成就的三個觀察變項 100 學年度第一 學期三次數學科學習評量 z 轉換後的成績，分別以 test1、test2 及 test3 表示。工 作記憶能力的觀察變項之測量殘差依序為 eMU、eOS、eSS 及 eSSTM，其中運 作廣度作業和句子廣度作業，因為作業設計的相似度高，根據模型配適度判斷結 果，修正指標增列誤差變項 eOS 與 eSS 間的共變關係。數學成就的觀察變項之 測量殘差依序為 eT11、eT12 及 eT13。依變項的數學成就測量殘差為 emath。

圖 4 - 4 - 1 工作記憶與數學成就結構方程式模型

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標準化後，工作記憶與數學成就之結構方程式模型，如圖 4-4-2。根據標準 化後的結果顯示，工作記憶能力對於數學成就的直接效果為 0.69。

圖 4 - 4 - 2 標準化工作記憶與數學成就結構方程式模型

工作記憶與數學成就之結構方程式模型基本適配指標，從變異數的報表結果 顯示，所有的估計值變異數均為正值，沒有負值出現，而且所有的估計值變異數 均達顯著水準，同時沒有過大的標準誤，所以此模型沒有違犯估計的情形發生。

如表 4-4-1。

表 4 - 4 - 1 工作記憶與數學成就之結構方程式違犯估計檢定結果

估計值（變異數） 估計標準誤 S.E. C.R.（t-value） 顯著性

WM .030 .004 8.311 ***

eMATH .012 .001 8.659 ***

eMU .008 .002 4.043 ***

eOS .016 .002 8.427 ***

eSS .029 .003 9.779 ***

eSSTM .004 .000 9.901 ***

eT13 .003 .000 8.061 ***

eT12 .002 .000 6.566 ***

eT11 .003 .000 7.650 ***

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工作記憶與數學成就之結構方程式模型配適度驗證（Kenny, 2011），其中卡 方值為 36.042，卡方值是由最小差異函數轉換而來的統計量，卡方值越大，表示 模型越不適合；因為卡方值會受到樣本大小的影響，所以改採卡方和自由度的比 值作為驗證指標，一般認定 5 以內為可接受的配適度，3 以內則表示模型有好的 適合度，此模型的卡方/自由度為 3.034，所以為可接受的配適度。其他的配適度 指標，解釋變異量與共變異量的 GFI 及將 GFI 根據自由度調整後所得到的 AGFI，

理想值均為大於 0.9，本研究模型所得 GFI 及 AGFI 分別為 0.961 及 0.908，均達 理想標準。用來估計結構方程式統計檢定力最重要的指標為 RMSEA，一般認定 小於等於 0.05 表示為好的模型配置，0.05 至 0.08 之間為可以接受的範圍，本研 究模型所得的 RMSEA 值為 0.087。用於判斷模型徑路圖與實際資料是否配適判 別標準的 CFI 值為 0.9 以上，本研究模型所得 CFI 值為 0.983，達適配標準。其 他常用模型適配度指標大致上符合配適標準。

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二、概數感能力與數學成就之關係：

為瞭解概數感能力與數學成就之間的關係，本研究建立概數感與數學成就之 模型，概數感（number sense, NS）與數學成就之間為因果關係，概數感能力為 因，是自變項，數學成就為果，是依變項，兩者之間的關係如圖 4-4-3，因此概 數感能力為外生潛在變項，數學成就為內生潛在變項。概數能力的觀察變項共四 項，概數感作業分為四種比例分別為 a2、a133、a12 及 a114，其中 a2 表示R＝2，

兩色的數量比為 2：1；a133 表示 R＝1.33，兩色的數量比為 4：3；a12 表示 R＝1.2，兩

色的數量比為 6：5；a114 表示 R＝1.14，兩色的數量比為 8：7，共四種組合表示之。

根據作業的設計，不同比例之間的測驗結果，可能存在共變關係，經配適度檢測 發現，有無共變關係對於配適度並無影響，反而降低自由度，故不增列共變關係。

數學成就的三個觀察變項為 100 學年度第一學期三次數學科學習評量 z 轉換後的 成績，分別以 test1、test2 及 test3 表示。概數感能力的觀察變項之測量殘差依序 為 e2、e133、e12 及 e114。數學成就的觀察變項之測量殘差依序為 eT11、eT12 及 eT13。依變項的數學成就測量殘差為 emath。

圖 4 - 4 - 3 概數感與數學成就結構方程式模型

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標準化後，概數感與數學成就之結構方程式模型，如圖 4-4-4。根據標準化 後的結果顯示，概數感能力對於數學成就的直接效果為 0.38。

圖 4 - 4 - 4 標準化概數感與數學成就結構方程式模型

概數感與數學成就之結構方程式模型基本適配指標，從變異數的報表結果顯 示，所有的估計值變異數均為正值，沒有負值出現，而且所有的估計值變異數均 達顯著水準，同時沒有過大的標準誤，所以此模型沒有違犯估計的情形發生。如 表 4-4-2。

表 4 - 4 - 2 概數感與數學成就之結構方程式違犯估計檢定結果

估計值（變異數） 估計標準誤 S.E. C.R.（t-value） 顯著性

NS .002 .000 6.350 ***

emath .019 .002 9.741 ***

e114 .002 .000 9.941 ***

e12 .002 .000 9.419 ***

e133 .005 .001 9.562 ***

e2 .003 .001 4.844 ***

eT13 .003 .000 8.041 ***

eT12 .002 .000 6.363 ***

eT11 .003 .000 7.438 ***

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概數感與數學成就之結構方程式模型配適度驗證（Kenny, 2011），其中卡方 值為 2.764，卡方/自由度為 1.905，為可接受的配適度。其他的配適度指標， GFI 及 AGFI 分別為 0.975 及 0.947，均達理想標準。用來估計結構方程式統計檢定力 最重要的指標為 RMSEA，一般認定小於等於 0.05 表示為好的模型配置，0.05 至 0.08 之間為可以接受的範圍，本研究模型所得的 RMSEA 值為 0.058。用於判斷 模型徑路圖與實際資料是否配適判別標準的 CFI 值為 0.992，達適配標準。其他 常用模型適配度指標大致上符合配適標準。

三、工作記憶能力、概數感能力與數學成就之間的關係：

根據前面的模型顯示，工作記憶能力和概數感能力分別都對數學成就有一定 的效果量，本研究將進一步同時比較工作記憶能力、概數感能力與數學成就之間 的關係。本研究所假設的結構方程式模型中，潛在變項為工作記憶能力、概數能 力及數學成就，其中工作記憶能力與數學成就之間為因果關係，故為單向箭頭，

概數能力與數學成就之間也是因果關係，故同樣是單箭頭，工作記憶能力與概數 能力之間為共變關係，如圖 4-4-5，三者之間，工作記憶能力和概數感能力為外 生潛在變項，數學成就為內生潛在變項。

圖 4 - 4 - 5工作記憶、概數感與數學成就結構模型

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測量模型如圖 4-4-6，工作記憶能力的觀察變項共有四項，分別為記憶更新 作業、運作廣度作業、句子廣度作業、空間短期記憶作業。概數能力的觀察變項 共四項，概數感作業分為四種比例，分別為 a2、a1.33、a1.2 及 a1.14。數學成就 的觀察變項為 100 學年度第一學期三次數學科學習評量 z 轉換後的成績，分別以 test1、test2 及 test3 表示。

圖 4 - 4 - 6 工作記憶、概數感與數學成就結構模型與測量模型關係圖

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工作記憶、概數感與數學成就之結構方程式模型如圖 4-4-7，工作記憶能力 的觀察變項之測量殘差依序為 eMU、eOS、eSS 及 eSSTM，其中運作廣度作業 和句子廣度作業，因為作業設計的相似度高，根據模型配適度判斷結果，修正指 標增列誤差變項 eOS 與 eSS 間的共變關係。概數能力的觀察變項之測量殘差依 序為 e2、e133、e12 及 e114 。若根據作業的設計，不同控制變項及不同比例之 間的測驗結果，可能存在共變關係，經配適度檢測發現，有無共變關係對於配適 度並無影響，反而降低自由度，故不增列共變關係。數學成就的觀察變項之測量 殘差依序為 eT11、eT12 及 eT13。同為依變項的概數感和數學成就測量殘差分別 為 eNS 和 emath。

圖 4 - 4 - 7 工作記憶、概數感與數學成就之結構方程式模型

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標準化後，工作記憶、概數感與數學成就之結構方程式模型，如圖 4-4-8。

根據標準化後的結果顯示，工作記憶能力對於數學成就的效果量為 0.732，概數 感能力對於數學學習的效果量為- 0.07。

圖 4 - 4 - 8 標準化工作記憶、概數感與數學成就之結構方程式模型

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模型為工作記憶、概數感與數學成就三者同為潛在變項的模型。結果發現，在第 一種和第二種模型中，單獨考慮工作記憶能力或概數感能力因素，兩者都能夠有 效的影響學生的數學成就。

以上發現與過去的研究結果相符，工作記憶對數學成就有一定的影響

（Gathercole & Pickering, 2000; Gathercole, Pickering, Knight, 等, 2004; Hitch, 1978; Raghubar 等, 2010; Repovs & Baddeley, 2006; Simmons 等, 2012），概數感 能力對於數學成就也有一定的影響力（Attridgea 等, 2009; Gilmore 等, 2010;

Halberda 等, 2008; Jordan 等, 2010; Libertus 等, 2011; Wilson 等, 2006），然而過 去的研究中，未曾針對工作記憶能力、概數感能力及數學成就之關係作討論，因 此本研究修改結構方程式的模型，發展出第三種模型，將工作記憶和概數感同時 拿來作比較，作為數學成就的外生變項進行分析，在第三種模型中發現工作記憶 變項貢獻了絕大部分的有效量，概數感變項的有效量幾乎被削弱全無，相較之下 工作記憶能力對於數學成就的影響較為顯著。這樣的研究結果顯示，工作記憶能 力與概數感能力同樣能夠影響學生的數學成就，但工作記憶能力對數學成就的影 響，比概數感對數學成就的影響還要強。

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表 4 - 4 - 4 工作記憶和概數感間為因果關係模型與共變關係模型配適度檢測結果

配適指標 理想要求標準 模型一 模型二 模型三

x² 越小越好 36.042 24.764 91.977

x²/df < 3 3.034（df = 12） 1.905（df = 13） 2.299（df = 40）

GFI > 0.9 0.961 0.975 0.944

AGFI > 0.9 0.908 0.947 0.908

RMSEA < 0.08 0.087 0.058 0.07

RMR < 0.05 0.001 0.000 0.001

NFI > 0.9 0.976 0.982 0.956

CFI > 0.9 0.983 0.992 0.965

TLI（NNFI） > 0.9 0.971 0.986 0.975

IFI > 0.9 0.984 0.992 0.975

Hoelter’s N（0.5） > 200 154 241 162

ECVI 越小越好 0.257 0.206 0.541

AIC 越小越好 68.402 54.764 143.977

BIC 越小越好 125.798 108.573 237.246

註 1：模型一表工作記憶能力與數學成就之結構方程式 註 2：模型二表工作記憶能力與數學成就之結構方程式

註 1：模型一表工作記憶能力與數學成就之結構方程式 註 2：模型二表工作記憶能力與數學成就之結構方程式