國中生工作記憶及概數感與數學成就之關係

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(1)國立臺灣師範大學科學教育研究所碩士班碩士論文. 指導教授：顏妙璇博士. 國中生工作記憶及概數感與數學成就之關係 The relationship among working memory, number sense and mathematics achievement of junior high school students.. 研究生：于珮琪. 中華民國 101 年 6 月.

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(4) 誌謝終於走到這一步，當年帶著一點點的熱情和夢想進入科教所，到今日已整整六年，終於順利產出這本論文，除了興奮、喜悅，心中充滿了感謝。謝謝譚克平老師多年來的指導，很用心的檢視我的研究內容，在口試的時候提出許多寶貴的建議；謝謝顏乃欣老師一直都很關心我的研究，在口試時協助我澄清許多想法；謝謝楊立行老師在資料分析上給我許多建議，無償提供給我研究的工具；謝謝蓓蓓常在我壓力大的時候聽我練瘋話，總是很認真的看待我的每一件事情；謝謝昭錦學姐在某個夏天犧牲週末的時光陪伴我討論研究方向。謝謝佳穎、姿瑩一直都很關心我的進度，給我鼓勵；謝謝啟哲在我半工半讀的這段期間幫我處理了很多事情，恭喜你今年順利畢業；謝謝璻菁在技術上的全力支援；謝謝美枝、旻君、永濬、琬淳、阿繆、美玲、雷老大、佳凌、翔勛、文儀及你們可愛的小朋友們參與了我的實驗；謝謝戰友春美、秋華、梅子、庭芳、宛玲和勍儀，課業工作兩頭燒的辛苦你們懂，恭喜春美和庭芳同樣在今年拿到碩士學位，其他人加油，如果我可以，你們就更沒有問題了！謝謝政慈這幾年來在工作上給了我很大的幫助，作我的後盾；謝謝如育不斷的鼓勵和關心，恭喜你早我一年完成學業！謝謝兩任校長給我這個機會充實自己，完成曾經的小小夢想；謝謝小蘇，去年九月如果沒有你的逼迫，我應該會用一貫的方式逃避下去；謝謝幫友奕任，你總是那麼的細心和正確，敦促我誠實面對自己；謝謝表姊佳琳在水深火熱的夜晚收留我，讓我白吃白住了好幾天；謝謝親愛的爹、娘、哥哥、嫂嫂和盟城，因為你們的一路陪伴，我才能堅持到現在；謝謝親愛的爺爺、奶奶，你們在另一個世界一定有偷偷保佑我，乖孫女沒有讓你們失望喔！最後，妙璇老師和承靜學姐，沒有你們的鼓勵、指導和鞭策，我不可能在這麼短的時間完成研究，這份成果是屬於你們的，謝謝承靜學姐，謝謝妙璇老師！但畢勝熊是我的喔。 20120727.

(5) 摘要本研究以國中一年級至三年級學生為研究對象，目的在於瞭解國中階段學生的工作記憶能力、概數感能力與數學成就之關係為何？以及不同性別或年級，工作記憶能力、概數感能力是否不同？研究結果顯示，工作記憶能力和概數感能力都能夠有效預測數學成就，但是在相關分析、迴歸分析、及結構方程式模型中都可以發現，如果同時考慮工作記憶能力的影響，概數感能力所能貢獻的解釋量就會被削弱，改變量也無法達到顯著水準，顯示工作記憶和概數感兩者相比之下，工作記憶能力對數學成就的影響力比概數感能力強。不同性別的學生，在各項工作記憶作業及概數感作業的表現均未達顯著差異；而不同年齡層的學生，各項工作記憶作業及概數感作業的結果，則是有隨著年級增長而提升的趨勢，顯示到了國中階段工作記憶能力和概數感能力都還有成長的空間。工作記憶作業中，最能有效預測數學學習成就的是記憶更新作業，其次為運作廣度作業。建議未來教師可以將工作記憶作業與概數感作業測驗結果作為教學設計的參考，提供策略提高學生在解決數學問題的效率，例如：透過「作筆記」的方式，減輕工作記憶系統運作時的負擔。. 關鍵字：工作記憶、概數感、數學學習成就、記憶更新作業.

(6) Abstract The purposes of this study were (1) to investigate the gender and grade differences in working memory capacity and number sense ability, and (2) to compare the effects of working memory and number sense on mathematics achievement. Two hundred and seventy six junior high school students, 12 to 15 years old, participated in this study. The results showed that (1) both working memory capacity and number sense ability effectively predicted mathematics achievement; (2) when working memory capacity was taken into account in the correlation analysis, regression analysis, and structural equation modeling, the contribution of number sense ability was weakened and failed to achieve the level of significance; (3) the memory updating task was the most effective predictor of mathematics achievement; and (4) working memory capacity and number sense ability increased with grade but were not different across gender.. key word : working memory, number sense, mathematic achievement, memory updating task.

(7) 目錄第一章. 緒論.......................................................................................................................... 1. 第一節研究背景與研究動機 ............................................................................................. 1 第二節研究目的與研究問題 ............................................................................................. 3 第三節名詞解釋 ................................................................................................................. 4 第四節研究範圍與研究限制 ............................................................................................. 5 第五節研究假設 ................................................................................................................. 6 第二章. 文獻探討.................................................................................................................. 7. 第一節. Baddeley 的工作記憶模型 ................................................................................. 7. 第二節. 工作記憶與數學成就之關係 ........................................................................... 12. 第三節. 概數系統（Approximate Numerosity System） .............................................. 22. 第四節. 概數感與數學成就之關係 ............................................................................... 25. 第三章. 研究方法................................................................................................................ 31. 第一節. 研究對象 ........................................................................................................... 31. 第二節. 研究工具 ........................................................................................................... 32. 第四章. 研究結果................................................................................................................ 39. 第一節各項作業統計分析 ............................................................................................... 39 第二節相關分析 ............................................................................................................... 47 第三節迴歸分析 ............................................................................................................... 49 第四節結構方程式分析 ................................................................................................... 52 第五節討論 ....................................................................................................................... 64 第五章. 討論........................................................................................................................ 72. 第一節. 結論 ................................................................................................................... 72. 第二節. 建議 ................................................................................................................... 73. 參考文獻 75. i.

(8) 圖次圖 2 - 1 - 1 工作記憶模型（引用自 BADDELEY, 2003） ........................................................................ 8 圖 3 - 2 - 1 記憶更新作業實驗程序圖 .................................................................................................. 33 圖 3 - 2 - 2 運作廣度作業實驗程序圖 .................................................................................................. 34 圖 3 - 2 - 3 句子廣度作業實驗程序圖 .................................................................................................. 35 圖 3 - 2 - 4 空間短期記憶作業實驗程序圖 .......................................................................................... 36 圖 3 - 2 - 5 概數判斷作業程序圖 .......................................................................................................... 37 圖 4 - 4 - 1 工作記憶與數學成就結構方程式模型 .............................................................................. 52 圖 4 - 4 - 2 標準化工作記憶與數學成就結構方程式模型 .................................................................. 53 圖 4 - 4 - 3 概數感與數學成就結構方程式模型 .................................................................................. 55 圖 4 - 4 - 4 標準化概數感與數學成就結構方程式模型 ...................................................................... 56 圖 4 - 4 - 5 工作記憶、概數感與數學成就結構模型 .......................................................................... 57 圖 4 - 4 - 6 工作記憶、概數感與數學成就結構模型與測量模型關係圖 .......................................... 58 圖 4 - 4 - 7 工作記憶、概數感與數學成就之結構方程式模型 .......................................................... 59 圖 4 - 4 - 8 標準化工作記憶、概數感與數學成就之結構方程式模型 .............................................. 60. ii.

(9) 表次表 3 - 1 - 1 國中部各年級人數統計表 .................................................................................................. 31 表 4 - 1 - 1 工作記憶作業的平均答對率及標準差。 .......................................................................... 40 表 4 - 1 - 2 不同年級和性別的學生四項工作記憶之變異數分析摘要表（F 值） ........................... 41 表 4 - 1 - 3 不同年級學生四項工作記憶作業之事後分析摘要表 ...................................................... 41 表 4 - 1 - 4 概數感作業及不同比例題目的平均答對率及標準差 ...................................................... 42 表 4 - 1 - 5 不同年級和性別的學生在不同比例的概數感作業表現之變異數分析摘要表............... 43 表 4 - 1 - 6 不同年級在不同比例題型的表現情形 .............................................................................. 44 表 4 - 1 - 7 數學 3 次學習成就評量的平均成績及標準差。 .............................................................. 45 表 4 - 1 - 8 不同性別和年級的學生在數學評量成績表現之變異數分析摘要表 .............................. 46 表 4 - 2 - 1 數學成就與各項作業之相關係數 ...................................................................................... 47 表 4 - 3 - 1 各自變項共線性檢查結果 .................................................................................................. 49 表 4 - 3 - 2 順序 A 迴歸分析摘要表 ..................................................................................................... 50 表 4 - 3 - 3 順序 B 迴歸分析摘要表 ..................................................................................................... 51 表 4 - 4 - 1 工作記憶與數學成就之結構方程式違犯估計檢定結果 .................................................. 53 表 4 - 4 - 2 概數感與數學成就之結構方程式違犯估計檢定結果 ...................................................... 56 表 4 - 4 - 3 工作記憶、概數感與數學成就之結構方程式違犯估計檢定結果 .................................. 61 表 4 - 4 - 4 工作記憶和概數感間為因果關係模型與共變關係模型配適度檢測結果 ...................... 63. iii.

(10) 附錄附錄 1 記憶更新作業材料.................................................................................................................... 79 附錄 2 句子廣度作業材料.................................................................................................................... 82 附錄 3 空間短期記憶作業材料............................................................................................................ 84 附錄 4 數學學習評量試題 ................................................................................................................... 85. iv.

(11) 第一章. 緒論. 數學能力對人生影響重大，當一學童的數學能力不足時，會嚴重影響這個學童未來的生活，國民的數學能力不足則會造成國家的損失（Gross, Hudson, & Price, 2009 引自 Butterworth, 2010），教育部也將數學能力列為公民素養的一項重要指標（教育部, 2008）。但研究顯示孩童遇到數學學習困難的情況日趨嚴重（Jordan, 2010），高達 10%的學生被診斷出有數學學習上的障礙（Barbaresi, Katusic, Colligan, Weaver, & Jacobsen, 2005; Shalev, Manor, & Gross-Tsur, 2005），但是沒有接受正式數學學習障礙鑑定的學生則不知還有多少（Jordan, 2010）。更有研究統計顯示，英國有將近四分之一的成人的運算能力是有問題的（Bynner & Parsons, 2006）。為何有這樣多的學生在數學學習上遭遇困難？其中有許多問題需要釐清。研究者本身為數學老師，任教於南部某完全中學國中部。教學的過程中發現數學是許多學生的致命傷，老師努力的教，學生用力的學，但學生數學成就提升的幅度卻十分有限，因此想要了解學習數學所需要的能力到底有哪些。. 第一節. 研究背景與研究動機. 有許多研究想要了解哪些因素會影響數學成就，發現如種族、性別、智力、學習的內在動機、家庭的社經地位…等因素（Butterworth, 2010），都有可能造成數學成就上的差異（Geary 等, 2009; Jordan, 2010; Landerl, Bevan, & Butterworth, 2004）。Halberda, Mazzocco, and Feigenson （2008）將數學能力分為兩種，一種是經過後天學習，需仰賴符號表徵的計算能力，另一種則是與生俱來的能力，例如概數感。不管是成人、嬰兒、或非人類的動物都有或多或少的概數感，可以透過視覺或是聽覺進行非口語的計數，解決日常生活中的問題。概數感是一種抽象且直觀的概念，例如：我們可以直覺地判斷桌上的五個蘋果需要用多大的盤子才能容納得下，而不需要精確測量出每個蘋果的體積或盤子的大小。 1.

(12) 部分研究顯示，學生在數學學習上遇到困難，或能力低落的根本原因在於概數感的不足（Halberda 等, 2008; Jordan, 2010; Landerl 等, 2004）。Attridgea, Gilmorea, and Inglis （2009）則是認為與生俱來的概數系統和數學符號之間的聯結出了問題，導致數學學習障礙。Rousselle and Noel （2007）的研究發現，有數學障礙的孩童，在使用非符號表徵作業時表現良好，例如比較不同顏色的圓圈圈數量大小，但是同樣的作業將非符號的表徵改為正式的數學符號後卻無法處理，顯示這些學生具有比較數量大小的能力，但無法和數學符號作聯結。然而，關於概數感與數學成就的研究結果並不一致，例如，Reys and Yang （1998）針對臺灣六年級與八年級學生的研究結果顯示，數學筆算成績表現和學生的概數感測驗結果並無明顯相關。除了概數感這項因素之外，有些研究發現工作記憶能力對於數學的計算非常重要，因此將數學成就的低落歸因於基本認知能力，例如工作記憶容量不足，尤其是在初期運算技巧發展的階段（Gathercole, Pickering, Knight, & Stegmann, 2004; Hitch, 1978）。Simmons, Willis, and Adams（2012）的研究也同樣的驗證工作記憶容量對數學學習的影響，並確切的提出不同的數學技巧或能力，包括計數、不同表徵轉換、理解數字的大小和計算，與工作記憶的中央執行系統及其他子系統有不同的關連性。例如：語音迴路子系統的能力能和孩童在心算方面的表現有關、而視覺空間模版能力，則是能夠有效預測不同表徵轉換及辨識數字大小測驗的結果。以上關於概數感或工作記憶對數學學習或數學成就的影響等相關論點直到目前都還在持續爭論中。因此本研究的目的是探討對臺灣地區國中階段的學生而言，數學成就與工作記憶子功能以及概數感之間的關係。. 2.

(13) 第二節. 研究目的與研究問題. 過去的研究顯示人們學習運算需要一些基本能力支援。許多研究試圖瞭解有哪些基本能力是在進行數學運算時所必須的。部分研究認為像是工作記憶以及執行功能的一般認知能力是必要的；有些研究則認為領域特殊的能力也很重要，像是大數目的概數感、群數（numerosity of a set）以及執行運算時的數字表徵（Butterworth, 2005）；然而，哪些能力扮演重要的角色卻仍在爭議中（Butterworth, 2010）。因此本研究試圖釐清正在發展中的國中學生的一般認知能力（工作記憶能力）及概數感與數學成就之關係。依據上述研究目的，本研究之研究問題為：一、學生之數學成就與工作記憶作業表現之關係為何？二、學生之數學成就與概數感作業表現之關係為何？三、學生之數學成就與各項工作記憶作業及概數感作業表現之間的相對關係為何？四、不同性別、年級的學生在工作記憶作業及概數感作業上的表現情況為何？. 3.

(14) 第三節. 名詞解釋. 一、工作記憶（working memory）：工作記憶可以被定義為在認知過程中，一個可以同時儲存與處理資訊的系統（Repovs & Baddeley, 2006）。此概念是由訊息處理系統中「短期記憶」的構念延伸來的，但在處理訊息的方式上，「短期記憶」採取較偏向「由下而上」的被動模式，「工作記憶」的概念則主張同時具有「貯存」與「操作」的「交互歷程模式」，比短期記憶扮演著更積極的功能導向的角色，可以儲存訊息並同時處理訊息（Baddeley & Hitch, 1974）。Baddeley（2003）的工作記憶模型包含了四個部分：中央執行系統、視覺空間模板、語音迴路與事件緩衝器。中央執行系統負責調控其他三個部份的活動，並執行訊息的儲存與處理，但其容量有限。. 二、概數系統（approximate numerosity system，ANS）：概數系統是對於直觀的「數感（number sense）」的一個理論假設下的生理基礎（Lemera, Dehaene, Spelke, & Cohen, 2003）。顧名思義，此系統只提供一個近似的數感，並非準確的符號計算系統。有一些證據顯示，除了人類以外的其他動物也具有概數感能力，可以進行簡單的操作，如加法。. 三、工作記憶作業（task）：用來測量工作記憶能力或各項子功能容量的作業。因為工作記憶的成分複雜，因此在測量工作記憶能力時，常需要分別使用不同的作業測量可能的不同成分。目前已知的工作記憶成分模型顯示，工作記憶各項子功能常常合併運作，鮮少單獨執行，所以相關功能幾乎無法獨立測得，作業中多含有一個以上的子功能能力的量測。. 四、概數感作業：用來測量概數感的作業，一般分成符號或非符號兩種，本研究使用的是非符號的概數判斷作業。 4.

(15) 第四節. 研究範圍與研究限制. 本節將指出本研究的研究對象、實驗範圍及研究限制。一、研究範圍（一）本研究因主要探討的是國中階段學生工作記憶子功能及概數感與其數學成就之間的關係，又大量的研究對象找尋不易，因此研究對象限制在南部某完全中學之國中部學生。（二）本研究因主要探討的是工作記憶子功能及概數感與學生數學成就之間的關係，為考量學生對於測驗的重視程度，因此研究中的數學成就測驗，主要採用學生在校的三次數學科學習評量筆試測驗結果。二、研究限制（一）本研究之對象為國中生，並未探討其他年齡層之工作記憶、概數感與數學成就的關係，因此本研究之結論不能任意推論至此範圍以外之對象。（二）本研究以學生在校數學科學習評量筆試成績推估國中生的數學成就，因此本研究關於數學成就與工作記憶、概數感之相關結論，亦不宜推論至其他學科之成就上。. 5.

(16) 第五節. 研究假設. 數學成就究竟是與領域特殊的能力（如概數感）有關，還是只與一般認知能力（如，工作記憶）有關，是個仍在爭議中的議題（Butterworth, 2010），但過去的研究幾乎沒有同時探討這兩項因素對於數學成就的影響。因此，本研究將探討概數感和工作記憶能力對數學成就的相對重要性。本研究的研究假設為一、若數學成就的關鍵是工作記憶能力，則工作記憶作業表現對數學學習評量成績的相關性和預測力都較概數感作業表現來得大。二、若數學成就的關鍵是概數感，則概數感作業表現對數學學習評量的相關性和預測力都較工作記憶作業表現來得大。三、若工作記憶能力在國中階段仍有發展的可能性，則會隨著年級而增進。四、若概數感在國中階段仍有發展的可能性，則會隨著年級而增進。五、工作記憶能力可能因性別而有不同。六、概數感可能因性別而有不同。. 6.

(17) 第二章. 文獻探討. 本研究試圖釐清學生的一般認知能力（例如工作記憶能力）及概數感與數學成就之關係，以下將依序說明工作記憶、概數感之相關研究背景。首先，第一節探討 Baddeley （2003）的工作記憶模型，敘述此工作記憶模型所包含的四個子系統以及功能。第二節說明目前已知研究中關於工作記憶與數學成就之關係，以及各項工作記憶子功能與不同數學能力的關係。第三節則討論理論上被認為與數學能力有關的概數系統和概數感，以及近期的相關研究。第四節則論及概數感能力與數學成就之關係，以及當前研究關於概數感能力對於數學學習的重要性之爭議。. 第一節 Baddeley 的工作記憶模型工作記憶是有容量限制的系統，具有兩大功能，（1）暫時維持和儲存訊息（外在呈現的訊息，或是長期記憶中被活化的訊息），（2）讓人們可以進行思考、操作被維持住的訊息，Baddeley 和 Hitch 最早在 1974 年提出工作記憶的理論，並於 2003 年由 Baddeley 修正為現在由四個子系統所組成的工作記憶模型（圖 2-1-1）：. 一、中央執行子系統（central executive）：中央執行子系統是工作記憶中最重要的子系統，其重要功能在於協調注意力和處理資源，掌控並整合了整個工作記憶的運作，過程中將資源有效分配給其他子系統，使得在必要時可以同時處理兩種或兩種以上不同類型的訊息。根據神經心理學的研究（Haberlandt, 1998），處理與時間或順序有關的記憶、經過運算過程的記憶以及抑制部分能力（用紅色寫「綠」這個字，然後問字的顏色）等等的作業，也都仰賴工作記憶中央執行子系統，並且非常消耗資源。. 7.

(18) 二、語音迴路子系統（phonological loop）：語音迴路子系統的運作分為兩個部分，由語音處理器（phonological store）短暫保存語文方面的訊息，再從複誦緩衝器（rehearsal buffer）重複提取、更新，提供語文理解和語音複誦。語音複誦有長度的限制，若超過限制，最初所記憶的內容會被遺忘（fade out）。. 三、視覺空間模版子系統（visuo-spatial sketchpad）：視覺空間模版子系統主要的功能是短暫保存視覺影像的訊息，包括顏色、形狀、位置等等，前兩項屬於視覺訊息（visuo-information），後者屬於空間訊息（spatial-information）。特別的是，視覺和空間的訊息處理子系統之間是互相獨立的，彼此之間不會互相影響。. 四、情節緩衝區（episodic buffer）：情節緩衝器是用來整合語音迴路及視覺空間模版接收到的訊息，將其他子系統的和長期記憶的系統相連，形成統一的情節表徵。情節緩衝區並不處理訊息，僅供存放的用途，因此不在本研究討論範圍之內。. 圖 2 - 1 - 1 工作記憶模型（引用自 Baddeley, 2003） 8.

(19) 五、工作記憶子系統的測量與發展：工作記憶的容量，即工作記憶廣度（working memory span），意指在正確的完成任務的前提之下，能記得的文字或數字的字數量。各項研究所採用的作業不全相同，中央執行子系統與其他子系統之間運作很難完全分割開來，因此在作業的設計上較難單獨測量出某一項子系統的能力，只能說用來測驗工作記憶子系統容量的作業，和其中某個子系統的能力相關較高，所以各研究在選用作業上多有各自的主張和解釋。首先測驗視覺空間模子系統的作業通常是以圖形的方式進行（Gathercole, Pickering, Ambridge, & Wearing, 2004; Meyer, Salimpoor, Wu, Geary, & Menon, 2010; Simmons 等, 2012; Smedt 等, 2009），例如「方塊記憶作業」，進行的方式為在畫面上呈現棋盤格，部分的方格塗黑，然後要求受試者在新的空白棋盤格畫出剛才塗黑方格的位置。另外常用的是迷宮或地圖，一開始呈現的是路線，再要求受試者根據記憶，將路線畫出來（Gathercole & Pickering, 2000; Holmes & Adams, 2006; Zheng, Swanson, & Marcoulides, 2011）。大部分作業是以受試者是否能夠指出正確的位置或相關位置的答對率，作為受試者視覺空間模版子系統運作的能力。除此之外，有部分作業會加深難度（Gathercole & Pickering, 2000; Reuhkala, 2001; Simmons 等, 2012），例如要求受試者回答，要將原圖樣經過旋轉後的圖樣。部分研究認為這個結果是單純測驗視覺空間模版子系統的能力，但也有研究將此做為測驗中央執行子系統和視覺空間模版子系統同時運作的情況之下，中央執行子系統的表現如何。至於測驗語音迴路子系統的作業通常進行的方式是受試者會先聽見或閱讀一串數字、字母、單字或無意義的單字，之後依實驗者的要求複誦一次，需要記憶的數字或單字數目會改變，通常是逐次增加，以受試者正確記得的項目個數或正確率來表示受試者在語音迴路子系統運作的能力（Gathercole & Pickering, 2000; Gathercole, Pickering, Ambridge, 等, 2004; Holmes & Adams, 2006; Iuculano, Moro, & Butterworth, 2011; Meyer 等, 2010; Smedt 等, 2009; Zheng 等, 2011）。有些研究會將前述測驗語音迴路子系統的作業改成進階版，例如原本只是複 9.

(20) 誦一串數字「13924」，改成要求受試者反向將數字複誦出來「42931」，將這個測驗結果視為中央執行子系統能力的表現（Gathercole & Pickering, 2000; Gathercole, Pickering, Ambridge, 等, 2004; Meyer 等, 2010; Smedt 等, 2009; Zheng 等, 2011）；或是在記憶的過程中增加干擾，例如提問題請受試者回答，同時記憶問題中的最後一個單字，然後將記憶的單字依序複誦一次，計算受試者能否正確記得整串單字，以正確率來表示受試者在中央執行子系統的運作能力（Rammelaere, Stuyven, & Vandierendonck, 2001; Simmons 等, 2012; Smedt 等, 2009）。也有些研究認為這樣的改版，並無法單獨測驗中央執行子系統的能力，得到的結果代表的應該是中央執行子系統和語音迴路子系統同時運作的情況之下，中央執行子系統的表現如何。因為中央執行子系統與其他子系統之間運作很難完全分割開來，所以直接測驗中央執行子系統能力的作業較少，例如：（Bull & Scerif, 2001）借用叫色作業測驗結果作為受試者中央執行子系統運作能力的依據，所謂的叫色作業是指受試者會看到圖卡上面有用紅色寫的「綠」這個字，然後要回答這個字的顏色。在（Iuculano 等, 2011）的研究中將反向數字廣度作業和文字廣度作業當作語音迴路系統能力的依據，而中央執行子系統能力則是依據記憶更新作業，此研究所採用的記憶更新作業是依序給受試者幾個數字，一次聽到一個，最後要求受試者回答最小的 2 個或 3 個數字，例如：題目為「26-68-92-66-35」，最小的二個數字為： 26、35，在受試者記憶數字的同時，還要比較數字的大小，即除了維持訊息之外還能進行運作，該研究者認為記憶更新作業涉及訊息的載入和抑制，和中央執行子系統相關，是測量工作記憶容量的關鍵。本研究所採用的工作記憶作業是 LewandowSky，Oberauer，Yang 與 Ecker 在 2010 年開發，在 Matlab 軟體上執行的工作記憶套裝作業，此套裝作業的特色是能夠有效測驗中央執行子系統運作情形的記憶更新作業，此記憶更新作業比 Iuculano 等人（2011）「一次接收到一個數字，然後要求受試者一直更新並記憶最小的數值。」這樣任務內容的負擔，再更加重一些，由 LewandowSky 等人所開發的記憶更新作業，受試者除了計算個位數的加減法，記得計算的結果，還必 10.

(21) 須隨著運算式子的增加，更新記下來的答案，而且有 3 到 5 的這樣的運算同時進行，比起過去研究中，以數字廣度、文字廣度作業為中央執行子系統測驗工具（Rammelaere 等, 2001; Simmons 等, 2012; Smedt 等, 2009），（LewandowSky 等, 2010）的記憶更新作業更能有效測驗中央執行子系統運作的能力。其次視覺空間模版能力，所採用的作業是套裝作業中的空間短期記憶作業，進行的方式類似方塊記憶作業，在空白的棋盤格上顯示黑點，受試者需記得黑點的相對位置，以答對率作為受試者視覺空間模版能力的參考。在語音迴路子系統方面，則是進行運作廣度作業及句子廣度作業，實驗過程中受試者除了記憶英文字母外，同時需要回答與記憶內容無關的問題，其中運作廣度的干擾問題是判斷數學的算式是否正確，句子廣度的干擾問題是判斷句法是否正確，瞭解在受到干擾的情況之下，受試者語音迴路子系統運作的能力如何。介紹完工作記憶各子系統的功能及測量各子系統能力的方式後之後，接下來將針對工作記憶與數學成就之間的關係，進行相關文獻的探討。. 11.

(22) 第二節工作記憶與數學成就之關係過去許多研究結果顯示，工作記憶能力與數學成就相關，本節將針對工作記憶系統與數學成就之關係的相關研究進行探討。研究指出工作記憶與數學成就有很高的相關性（Gathercole & Pickering, 2000; Gathercole, Pickering, Knight, 等, 2004; Hitch, 1978; Raghubar, Barnes, & Hecht, 2010; Simmons 等, 2012），尤其是自學齡前至小學階段的數學學習，並且工作記憶對於數學成就具有診斷性的功能（Gathercole & Pickering, 2000）。關於孩童工作記憶發展情形，多數的研究結果顯示，工作記憶能力會隨著年齡的增長而增強（Gathercole, Pickering, Ambridge, 等, 2004; Simmons 等, 2012; Zheng 等, 2011）。其中 Gathercole，Pickering，Ambridge 等人在 2004 年以 4 歲到 15 歲孩童為對象，想要瞭解他們在各項工作記憶子系統能力的發展情形，他們將 736 位孩童依年紀分成六組，4、5 歲一組，6、7 歲一組，8、9 歲一組，10、11 歲一組，13 到 15 歲一組，收集他們的工作記憶表現。研究中使用了九項工作記憶作業測量各子系統的功能，分別為測量視覺空間模版子系統的方塊記憶作業、視覺樣式作業、迷宮記憶作業等三項作業；測量語音迴路子系統的數字記憶作業、文字清單記憶作業、非文字清單記憶作業等三項作業；測量中央執行子系統和語音迴路子系統的聽力記憶作業、數數記憶作業及反向數字記憶作業等三項作業。Gathercole 等人的研究結果發現，不論是哪一項作業，都隨著年齡增長，以線性的趨勢逐漸提升。全體受試者的年紀及九項作業成績之間的相關係數均達顯著水準，此外，工作記憶的三個子系統中，此研究結果顯示孩童的中央執行子系統與語音迴路子系統以及中央執行子系統與視覺空間模版之間的運作關係非常緊密，但這語音迴路子系統和視覺空間模版子系統之間的能力相關性並不高。近幾年關於數學能力與工作記憶之關係的研究更進一步探討不同子系統與不同的數學能力之間存在怎樣不同的關係（Gathercole & Pickering, 2000; Repovs 。以下是關於不同年紀階段的不同數學能力 & Baddeley, 2006; Simmons 等, 2012） 12.

(23) 測驗與不同工作記憶子系統之關係的研究。在成人的部分，Rammelaere 等人（2001）以大學生為研究對象，探討個位數運算和工作記憶中語音迴路子系統及中央執行子系統的能力之間的關係，發現相較於中央執行系統，語音迴路子系統並未涉入加法或是乘法個位數的運算。在他們的研究中，分別進行加法與乘法兩個部分，並將數學的算式分為正確、大數錯誤（相差±9）、小數錯誤（相差±1）三種。每個實驗都分為三個階段，第一階段為受試者單純判斷數學算式對錯；第二階段使用抑制發音作業，受試者在判斷數學算式對錯的同時，還必須唸出和運算無關的單詞，例如：the、the、the，在此階段藉著要求受試者發音，增加語音迴路子系統的負擔；第三階段採隨機時間間隔作業，受試者被要求在判斷對錯時，一隻手按按鍵回答問題，另一隻手按照指示以隨機的節奏敲打鍵盤上一個與回答問題無關的按鍵，在此階段藉著要求受試者同時進行與判斷算式對錯無關的任務，增加中央執行系統的負擔。第一階段和第二階段的結果顯示，不論判斷哪一種類型（正確、大數錯誤或小數錯誤）的數學算式，增加語音迴路子系統的負擔並不會影響個位數的加法運算，尤其是判斷的數學式子類型為正確的時候。他們的研究結果顯示隨著干擾的任務逐漸增加，進行個位數字的運算時中央執行子系統負荷量隨著增加，影響受試者在第三階段的表現，因此該研究者認為個位數字的運算涉及中央執行系統，但此研究仍然無法確定中央執行系統在處理過程中的貢獻在何處，也無法得知中央執行系統在整個過程中如何介入。但這樣的發現並不意外，關於中央執行系統在各項作業中如何分配注意力如何協調各子系統工作，目前都還在持續研究當中。在 Rammelaere 等人（2001）的研究中還發現，判斷大數錯誤（相差±9）的算式時，反應時間較判斷小數錯誤（相差±1）的算式時快。對於這樣的發現，他們認為可能的原因是，當受試者判斷算式為錯誤時通常有兩個步驟，受試者會先計算出正確答案，然後再與題目給的答案比較是否正確，但遇到大數錯誤類型的題目時，就能夠跳過計算的步驟，直接比較出是否為正確答案，因此在判斷大數錯誤類型時反應時間較快。. 13.

(24) Reuhkala （2001）的研究則發現視覺空間模板在國高中階段學生數學能力上扮演重要角色，其研究對象為九年級年約 15、16 歲的學生。進行兩項實驗分別收集不同受試者的資料，實驗一使用的作業有靜態視覺圖像作業、動態視覺圖像作業、心像旋轉作業和數學技能測驗，前三者為測驗受試者視覺空間模版子系統能力的作業。實驗二使用的文字廣度作業、複合文字廣度作業，依序為測驗受試者中央執行子系統及語音迴路子系統能力的作業；再以數學技能測驗為受試者的數學成就。研究發現，實驗一的三項視覺空間模版子系統作業的成績均和數學成績相關，但實驗二的中央處理子系統與語音迴路子系統作業和數學成績並沒有明顯的關係。並且在所有的作業中，心像旋轉的作業成績最能有效預估學生的數學成績，因此 Reuhkala 認為，在國中三年級的階段視覺空間模版子系統在數學能力上扮演重要的角色。在更早的小學階段，孩童的工作記憶能力對於他們的數學成就同樣有重要的影響，Holmes and Adams （2006）想要測試工作記憶容量和數學運算能力之間的聯結，以及探討不同工作記憶子系統對數學能力的貢獻。該研究以三年級及五年級的學生為研究對象，發現中央執行子系統較能有效的預測數學能力。他們採用的作業包括工作記憶和數學能力兩部分，工作記憶相關的作業為（1）非文字記憶作業：依序說出剛剛聽見的無意義單字，為測驗語音迴路子系統能力的作業；（2）迷宮記憶作業：重複繪製出先前所看見的迷宮路線，為測驗視覺空間模版子系統能力的作業：（3）聆聽記憶作業：唸完句子後，依序回答每個句子的最後一個單字，為測驗中央執行子系統能力的作業。數學能力相關的測驗為（1）數與代數；（2）形狀空間測量；（3）數據處理，含繪製統計圖表；（4）心算。他們的研究結果顯示，整體而言五年級學生在工作記憶作業的成績比三年級學生好，不論三年級或五年級的語音迴路子系統成績最好，視覺空間模版子系統的成績年級差異最大，數學測驗的成績則是沒有明顯差異。相關分析的結果顯示工作記憶各項作業成績內部相關性高，控制年紀後內部相關性仍高。中央執行子系統和各項數學成績相關性高，控制年紀後各項成績相關性仍高；反而語音迴路子系統只 14.

(25) 和心算相關，控制年紀後都未達顯著。最後視覺空間模版子系統，與除了「數據處理」這項作業外的其他三項數學能力作業有相關，在控制年紀後則都有相關。他們在進一步的回歸分析中發現，工作記憶各項作業的測驗結果可以預測 27.7% 的數學總成績，其中中央執行子系統的預測量最大，約在 12%~23%之間，視覺空間模版子系統的影響雖小，還有 1%~3%之間，但是考慮完年齡、視覺空間模版子系統、中央執行子系統之後，語音迴路子系統已經沒有影響。由 Holmes and Adams （2006）的研究得知各個工作記憶子系統對數學成就的重要性有所不同，以下的文獻為針對國小階段孩童的研究，有的研究認為語音迴路子系統有助於早期學習階段的表現，隨著年紀增長，視覺空間模版子系統的重要性逐漸增加，也有研究認為隨著年紀增長，數學的學習反而較依賴語音迴路子系統，甚至有取代中央執行子系統重要性的趨勢，顯示各項工作記憶子系統與數學成就之間的關係尚無定論。首先是 Meyer 等人在 2010 年的研究發現中央執行子系統和語音迴路子系統的能力有助於早期學習階段的表現，而視覺空間模版子系統對於後期解決數學問題中視覺表徵的部分則較重要。他們收集二、三年級學生的數學能力與工作記憶容量的資料，來瞭解各工作記憶子系統對於數學成就有什麼不同的貢獻。使用的關於數學能力的作業為魏氏智力測驗，分為數字運算、數學理解兩類，數字運算為紙筆測驗，包含基本的讀寫數字、數數、簡單加減乘除四種運算等測驗，數學理解為口語測驗，包含計數、數形與數列、幾何圖形、解決應用問題等測驗；關於工作記憶的作業則以數數記憶作業和反向數字記憶作業來代表中央執行系統的能力；以正向數字記憶作業來代表語音迴路子系統的能力；以方塊記憶作業來代表視覺空間模版子系統的能力。他們的研究結果顯示，中央執行子系統及語音迴路子系統的測驗結果能有效預測二年級學生的數學能力，但在三年級學童上，視覺空間模版子系統對於數學能力的預測力最強。他們認為在數學發展過程中，孩童從扳手指頭數數，轉移為需要更複雜的運算及解題的策略，並且要能夠從長期記憶區提取出答案。因此預測力從中央執行系統與語音迴路子系統轉移到視覺 15.

(26) 空間模版子系統的原因在於，二年級的學生在處理運算的問題時，關鍵在於維持訊息，而非操弄，因此同時需要維持、操作能力的反向數字記憶作業結果預測力較低。他們還根據研究結果推論中央執行子系統和語音迴路子系統有助於早期的學習階段的表現，到了三年級之後，視覺空間模版子系統所扮演角色的重要性會逐漸增加，反而是中央執行子系統漢語音迴路子系統的角色會漸漸削弱，尤其是對於後期解決數學問題中視覺表徵的部分。他們認為這樣的研究結果，將有助於學習困難的孩童，提供其早期介入的機會。 Simmons 等人（2012）的研究則呼應了上述視覺空間模版子系統所扮演角色的重要性會逐漸增加的結果，他們的研究顯示，視覺空間模版子系統能力最能有效預測孩童的數學成就。此研究以國小一、三年級的學童為研究對象，來瞭解不同的數學技巧和不同的工作記憶子系統有什麼不同的關係。研究中收集工作記憶、字彙、數學等三個類型的作業共 14 項：測驗視覺空間模版子系統能力的有迷宮記憶作業及方塊記憶作業；測驗語音迴路子系統能力的有文字記憶作業及非文字記憶作業；同時測驗中央執行系統與視覺空間模版子系統有挑出奇特者作業（畫面上會依序出現一些形狀，受試者要選出不同的形狀，並且在試驗結束時，回憶所選擇的形狀的位置）及空間（旋轉）記憶作業；同時包含中央執行子系統和語音迴路子系統有反向文字廣度作業和聆聽記憶作業（判斷句子對錯，回答最後一個單字）。測試單字與閱讀的作業有語文理解、發音作業及單字作業（從聽音選出正確圖片）；與數學有關的作業則有聽寫阿拉伯數字、符號大小判斷個位數加法（一年級、三年級）以及個位數乘法（三年級）。他們的研究結果顯示，視覺空間模版子系統容量，最能有效預測聽寫阿拉伯數字和符號大小判斷的能力，同時認為學生在處理多位數字的過程中，視覺空間模版子系統佔有很重要的地位此外，在他們的研究中，中央執行系統能力可以有效預測一年級加法運算的成績，但對於三年級學生的表現則預測力較弱，並且若同時考慮其他子系統容量的測驗結果，中央執行子系統所能預測的量就會變小。Simmons 等人指出使用的作業不同，例如：個位數字、多位數字之差，或是假設的迴歸模型不同，都有可能導致 16.

(27) 不同的研究結果，但過去研究也曾經發現中央執行子系統對個位數運算影響較低，但能有效預測數學成就，因此認為這樣的結果是因為對一年級的學生而言，數字的運算還是初學階段，相較其他的子系統，中央執行子系統的重要性較高，到了三年級時，不管是個位數加法或個位數乘法，中央執行子系統的預測力則是不及視覺空間模版子系統，顯示運算的過程逐漸轉移到視覺空間模版子系統中。前兩項研究指出隨著年紀增長，中央執行子系統和語音迴路子系統的預測力降低，視覺空間模版子系統的預測力提高，是否代表中央執行子系統和語音迴路子系統的能力對數學成就不再重要呢？ Smedt 等人（2009）的研究亦顯示隨著年紀不同，工作記憶不同成分對於數學能力的影響發生變化，但他們的結論與 Simmons 等人（2012）的不同。Smedt 等人利用縱向研究，研究同一批學生一、二年級的數學能力與工作記憶能力的表現。結果發現早期的工作能力表現對於當時的數學能力與後期的數學能力有不同的預測力。在他們的研究中收集的測驗的內容包括：一年級學期初的工作記憶作業和瑞文氏測驗；工作記憶作業包含測驗語音迴路子系統能力的非文字重複作業和正向數字廣度作業；測驗視覺空間模版子系統的方塊記憶作業和視覺模式作業；測驗中央執行子系統能力的文字廣度作業、數數廣度作業和反向數字廣度作業。並分別在一年級的學期中及二年級的學期初各進行一次數學成就測驗，數學成就測驗內容是教科書導向的題目。研究結果發現，中央執行子系統和視覺空間模版子系統作業的結果，能有效預測一年級學期中所測得的數學成績，語音迴路子系統的預測效果不佳。但是一年後再測，發現一年級時中央執行子系統和語音迴路子系統作業的結果，能夠有效預測二年級期初的數學成績，反而視覺空間模版子系統作業的結果，到了二年級只剩下很少的預測量。和前項研究得到類似結果的 Zheng 等人（2011）的研究發現工作記憶能力在數學解題上扮演相當重要的角色。語音迴路子系統與視覺空間模版子系統的表現，影響孩童在解決文字問題的表現，此研究也確認了中央執行系統在數學解題上扮演著關鍵角色。在他們的研究中收集了國小二、三和四年級學生的關於工作記憶 17.

(28) 與問題解決能力的資料，來探討工作記憶的子系統中，哪一個部分對於學生解決數學文字問題的表現具有預測力。使用的工具有測驗語音迴路子系統能力的正向數字廣度作業、文字廣度作業和非文字廣度作業；測驗中央執行子系統能力的聽力句子廣度作業和視覺方格作業；測驗視覺空間模版子系統能力的地圖指向作業。數學方面的測驗包含數學基本運算和數學文字解題能力測驗，其中第一部份問題表徵，包含了與問題相關的成分、算術任務、無關的訊息、目標。第二部分規劃解決問題的方案，包含操作與運算；語文能力測驗則包含認字和閱讀測驗。他們的研究結果顯示，包含中央執行子系統、語音迴路系統、視覺空間模版子系統的測驗結果，以及解決數學應用問題能力、語文能力測驗結果，都隨著年級的增加而提升。。從結構方程式模型分析發現，一般領域（工作記憶能力）和特定領域（閱讀能力、數學能力）都有顯示出影響。例如屬於一般領域能力的中央處理子系統，就有三條路徑分別指向三個潛在預測變項：數學能力、閱讀能力、問題解決能力。中央執行子系統、語音迴路子系統、視覺空間模版子系統的測驗結果，都能有效的預測數學文字解題上的表現，顯示工作記憶系統在數學解題上扮演相當重要的角色，他們也發現，閱讀能力是工作記憶和解決問題之間重要的間接變項。此研究確認了中央執行系統在數學解題上扮演著關鍵角色，這中間涉及從長期記憶中提取訊息，更新並堆砌各種瑣碎的訊息建立解決問題的模式。另外與數學文字解題能力相關的閱讀技巧及運算能力，對於中央執行子系統、語音迴路系統預測數學成就表現，能夠提供相當程度的間接效果。Zheng 等人（2011）認為解決應用問題對孩童而言比較困難，因為除了提取出答案之外，還要寫出完整的解答，因此若以國小二到四年級的孩童為研究對象，就會發現不論是閱讀技巧、運算能力，都與工作記憶相關，並且工作記憶容量的測驗結果可以用來預測國小二年級、三年級、四年級階段的孩童在問題解決方面的表現。但是他們的研究結果無法確認視覺模版子系統與解題之間的關連。以上的研究結果顯示工作記憶各樣子系統的能力對於一般的孩童在數學成就上表現具有預測力（Meyer 等, 2010; Simmons 等, 2012; Smedt 等, 2009; Zheng 18.

(29) 等, 2011），接下來的文獻則是著重於討論工作記憶能力和一般學習成就或低學習成就孩童數學成就之間的關係。 Gathercole and Pickering（2000）的研究發現中央執行系統與語音迴路子系統可以解釋大部分的數學成就，但認為低數學成就學童與視覺空間模版子系統能力較弱之間的關連，可以說明視覺空間模版子系統能力對於數學學習仍然很重要。他們以 6、7 歲的學生共 83 人為研究對象，來探討工作記憶能力和成就表現之間的關連。施測的作業分為工作記憶和數學兩類：工作記憶相關的作業中，測驗語音迴路子系統能力的是正向數字記憶作業、非文字記憶作業及文字和非文字序列判斷作業；測驗視覺空間模版子系統能力的是靜態或動態方格作業和靜態或動態迷宮作業；測驗中央執行子系統能力的是聽寫記憶作業、數數記憶作業及反向數字廣度作業。數學能力的測驗則是採用國家課程評量工具，除了數學能力之外，還加測受試者的英語能力，同樣採用國家課程評量工具。將學生依據數學、英語測驗結果分組，低成就組共 23 人（包含 13 人英語、數學成績均落在低成就組， 8 人數學測驗結果落在低成就組，2 人英語測驗結果落在低成就組），其餘 60 人為一般成就組。結果證實了學生在數學評量的表現與他們的工作記憶技巧之間的聯結。並且發現低成就組在中央執行子系統、視覺空間模版子系統的表現不如一般成就組，而且工作記憶的測驗結果，能有效的預測低成就組學生在學科上的表現。中央執行子系統及語音迴路子系統的測驗結果，對於受試者學習成就測驗結果能夠提供大部分的解釋量。低成就組學習成就的表現，和視覺平面模版子系統之間的聯結，提供了有效證據，證實視覺空間模版能力在數學學習上是具有影響力的。 Iuculano 等人（2011）的研究結果也顯示記憶更新作業（與中央執行系統有關）能有效預測數學能力。他們的研究收集 8、9 歲來自三所不同學校的學生共 33 人，根據教師的評量及智力測驗結果將學生分為一般成就及低成就二組，其中低成就組 11 人，及一般成就組 22 人的資料，以探討工作記憶子系統（中央執行子系統與語音迴路子系統）對孩童的數學發展有何影響。實施的作業分為數學 19.

(30) 相關、非符號數學及工作記憶三個部分：數學相關的作業：反應時間作業、點數作業、比較數字大小作業（與概數感作業類似）、個位數加法作業；非符號數學作業：比較數量多少、加法、減法。檢測語音迴路子系統能力的作業包括正向文字廣度作業、反向文字廣度作業、正向數字廣度作業和反向數字廣度作業等廣度作業，另外檢測中央執行子系統能力的是數字記憶更新作業和文字記憶更新作業。以數字記憶更新作業為例說明此研究中記憶更新作業進行方式：受試者會先依序接收到一串數字「26-68-92-66-35」，之後受試者需回答這串數字中最小的兩個或三個數字，本題的正確答案為 26 和 35。研究結果顯示，一般成就及低成就兩組學生之間，在記憶更新作業和廣度作業的表現並無顯著差異。廣度的測驗結果顯示，不論正向或反向，數字或文字，低成就組與一般成就組在即時記憶、複誦的表現，並無區別。記憶更新作業的結果則是和學生的數學成就有關，數學相關測驗表現，低成就組與一般成就組相比，的確有差異，但是在非符號數學作業中，兩組的表現沒有差異，即非符號數學作業的成績高低和數學相關測驗的高低較無關連。最後 Bull 與 Scerif（2001）的研究則是著重在中央執行系統能力與數學能力的關係。他們收集國小三年級學生的資料來瞭解在孩童數學技巧的發展過程裡，中央執行子系統如何參與其中，以釐清對於數學技能較低落的學生在中央執行子系統運作上的困難。使用的工作記憶作業為威斯康辛卡片排序測驗、叫色作業、數數廣度作業與雙重作業（dual-task performance）：記憶字串同時劃掉連續的格子。除此之外，還實施聽力測驗、數學能力測驗、閱讀能力測驗、及智力測驗。研究結果顯示，數學能力和中央執行系統的表現有顯著相關，並且，中央執行系統的表現能夠有效的預測受試者的數學能力。研究者發現數學能力低落的的學生在叫色作業中抑制優先訊息的能力較弱，且在威斯康辛卡片排序測驗表現不佳，推論這有可能是因為這些學生在工作記憶作業中，中央執行子系統運作發生困難，使得他們無法順利的維持和操作訊息，因此研究者認為中央執行子系統的能力，正是影響學生在數學能力表現的主要原因。 20.

(31) 雖然不同子系統對於數學成就的影響尚無定論，根據前述文獻的研究結果顯示，工作記憶子系統確實對於數學成就具有一定的預測能力，但是否還有其他的能力影響學生的學學成就，例如前文所提到的概數感能力，接下來將針對概數感及概數感能力與數學成就之間的關係進行文獻探討。. 21.

(32) 第三節概數系統（Approximate Numerosity System）數感（number sense）被認為是基本的對於數（量）的直觀感覺，是一個不需要口語計數的，對視覺或語音等知覺上的各種項目之近似數量估計能力。越來越多的證據顯示，人類具有內在的數感，能直覺的估算一些項目的近似值。這種對於數的近似值估計能力，包括數的近似值以及數的抽象表徵，在嬰兒、小孩及成人上都已被發現存在，而且並不是只有人類獨有。人類和許多動物都具有這一直觀的比較數量能力，因此目前心理學界認為人類與動物間可能共享一套內建的估算、比較數量的機制（Feigenson, Dehaene, & Spelke, 2004; Nieder & Dehaene, 2009）。這個機制被稱為概數系統，是一個假設的生理基礎，提供生物感知數的近似值（Lemera 等, 2003），且支援數（numerosities）的比較與操作（Barth, Kanwisher, & Spelke, 2003; Barth 等, 2006; Pica, Lemer, Izard, & Dehaene, 2004）。就支持概數系統為數學能力之重要核心的研究者而言，概數系統是數的核心知識系統，用來協助近似數字的運算（Feigenson 等, 2004），不少研究發現成人與孩童比較或相加符號數字時，他們的近似值表徵區域似乎會活化（Dehaene, 1997; Gilmore, McCarthy, & Spelke, 2007; Moyer & Landauer, 1967）。因此認為這個系統主要處理的是近似數值的估計，而非精確的計算系統。但是這套概數系統在算術能力的發展上扮演什麼樣的角色則有許多爭議有待澄清（Butterworth, 2010）。 Butterworth（2005）認為算術技能是非常重要的一項能力，獲得技能或是沒有獲得影響的不只是個人，而是整個教育體系。多數研究者都同意數量感（numerosity）是算術的基礎，但什麼是數量感則有許多不同的看法（Berch, 2005）。支持概數感系統存在的研究者（Barth 等, 2003; Barth 等, 2006; Feigenson 等, 2004; Nieder & Dehaene, 2009），多認為最基本的數量感即概數感，這些研究者常透過概數感作業來推估受試者的概數系統敏銳度。 22.

(33) 然而，在學習數學的過程中學生需要的不只是概數感，學生還必須學習關於數的表徵（Butterworth, 2005）。常見的數的表徵有數文字（如 one、two、一、二等）、阿拉伯數字、羅馬數字、骰字上的點數...等等，其他的表徵則是與代數相關，例如運算、借位、交換律、移項...等等。獲得這些算術技能的過程，是靠什麼支持的？一般通用的認知能力（理解、短期記憶、長期記憶、空間感），還是特定的數量能力，目前仍在爭議中。（Butterworth, 2010）認為群數感（numerosityof a set）是數學的基礎，在他的定義中群數感指的是將這些有意義的數量包成一個集合，這個集合可以容納的數量種類及大小，決定數量能力的好壞。數量概念的成分（concept of numerosity）包含能瞭解一對一對應關係的原則，能夠操縱不同大小集合裡面的數（例如合併集合或篩去部分的數），瞭解集合內的數量不一定是具體可視的（有可能是口語的或是抽象的），能夠目測小數量的集合（例如不需要一個一個數就可以目測出數量為 4 個）。Butterworth（2010）研究證實這些數量概念的認知能力和算術測驗結果有相關，例如，加法的發展：加法就是將兩個集合相加在一起，最初使用的方法是一個一個數，然後會進步成從其中一個開始數，最後會發展成從較大的數開始數。用來測驗概數能力的作業大多是「比較多或是比較少」的概數判斷作業，在此作業中，通常包含數種無法精確計算數量的點或物件，請受試者判斷何種項目的物件數量比較多或少，或者請受試者估計出現的物件數量大致為多少。這些作業根據呈現的方式大致可分成三類：第一，比較數量大小的圖樣依序出現在畫面上，先出現第一個圖、再出現第二個圖，由受試者比較兩者數量大小（Attridgea 等, 2009; Gilmore, McCarthy, & Spelke, 2010）。第二，同時將需要比較的圖樣呈現在畫面上，一個在左、一個在右，讓受試者在同時看見兩個圖樣的情況之下比較大小（Halberda & Feigenson, 2008; Mazzocco, Feigenson, & Halberda, 2011），前兩種作業主要研究對象為嬰幼兒及國小幼童。第三種，即本研究採用的作業，將需要比較數量大小的圖樣混合在同一張圖中，由受試者依直覺判斷那種圖樣的數量較多（Halberda 等, 2008; Libertus, Feigenson, & Halberda, 2011），選用此作業。 23.

(34) Halberda 與 Feigenson（2008）的研究發現，概數感能力從早期持續發展至成年。為探討早期的概數感能力以及發展的軌跡和趨勢，研究中以 3 歲至 6 歲的孩童各 16 人及成人 16 人（平均年齡 20.18 歲）為研究對象，進行概數感測驗－判斷圖形數量大小，其中一半的試驗控制為面積相關（數量較多的圖形，總面積較大），另一半的試驗控制為面積逆相關（不論數量多或少，總面積都相同）。結果發現，3 歲可辨識的比例為 3：4，到 6 歲時可辨識的比例為 5：6，成人的辨識比例可接近 10：11。也就是說，即使開始接受正式數學教育，概數感能力仍持續發展直到成人。Halberda 與 Feigenson（2008）認為造成概數感能力持續進步的現象，可能是逐漸成長經驗累積的影響，並且提出工作記憶容量或中央執行系統的運作有可能影響概數感能力。. 24.

(35) 第四節概數感與數學成就之關係目前關於研究對象在學校的數學成就與概數感作業的表現之間的相關程度的研究發現並不一致，大多數的研究發現概數能力與數學成就有關，但也有很少數的研究並沒有發現概數感與數學能力的關係。例如，Iuculano 等人在 2011 年的研究就發現數學能力低下的孩童，其概數作業表現與智商相當的控制組並沒有差異。Iuculano 等人認為部分數學方面學習障礙的孩童，表現出來的特徵是認知、比較數字的能力不足，或計算、集合的能力不足，但其他能力上並不一定有障礙。由此可知數學成就與概數感之間的關係還有待釐清。以下回顧關於概數感作業表現與數學成就有關的研究。在 Halberda 等人（2008）的研究中發現，幼稚園幼兒的概數能力與其之後的數學成就有關，因此認為概數系統的能力是學習數學的基礎。有些研究發現數學成就與 K 階段的算術能力具有相關性，其中 K 階段的算術能力指的是計數、數值的大小比較、非口語計算、口語算術....等等（Jordan, Glutting, & Ramineni, 2010; Jordan, Kaplan, Locuniak, & Ramineni, 2007; Jordan, Kaplan, Ramineni, & Locuniak, 2009），這些算術能力有許多被包含在數感能力裡，像是計數、數值大小比較及非口語計算都曾經被認為是數感的能力之一。Halberda 等人（2008）研究指出算術能力建立在概數感能力上，學生國中階段的概數感能力，與從小到大的數學成就有所相關。Jordan（2010）的研究結果則顯示，0-6 歲的孩童，在計數、量的描述及數字的命名上的表現，與數學成就表現的相關性很高。 Libertus 等人（2011）的研究試圖探討 3 至 5 歲的學齡前幼童的概數能力與學齡前的數學能力是否有關。他們以 200 位平均 4 歲 2 個月的孩童為研究對象，研究工具分為概數感作業與數學能力作業兩部分。其中的概數感作業是比較非符號數量大小作業：先顯示圖案一，都是黃色的圓形，再顯示圖案二，都是藍色的圓形，然後圖案都拿掉之後，請受試者回答那個顏色的圓形數量較多。其中兩種顏色的數量比例分別為 1：2、2：3、3：4、及 6：7。而數學能力作業分成數學 25.

(36) 能力測驗和口語能力測驗。數學能力測驗主要是針對學齡前孩童，測驗的能力包括：讀圖口語數數、聽指示比較數字大小、閱讀阿拉伯數字、處理與數字有關的訊息、筆算加減法、數的概念。口語能力則是由家長勾選清單上有哪些單字是他們曾經聽孩子說過的。孩童一次進行完兩種測驗，家長可以事前或同時填答孩童的口語能力。Libertus 等人的結果顯示，概數感和數學能力有相關，即使排除掉年齡、口語能力的變項，概數感和早期數學能力之間仍有相關性；並且更進一步證實，概數感能力上的個別差異，會直接聯結到數學能力上的個別差異。但他們的結果尚未證實概數感和數學能力產生聯結的原因，僅提出可能的三個原因：第一，概數感可能是獲取數學符號能力的基礎；第二，概數感能力若受到干擾，在數學運算的呈現和評估上會發生困難。第三，概數感測驗無法透過計數或其他方式明確決定答案，這樣「不確定」的測驗特性，可能導致受試者焦慮或數學能力的表現漸低落。 Mazzocco 等人（2011）的研究以 17 位 3 至 4 歲的幼童為研究對象測量其概數感能力以瞭解學齡前的幼童概數感能力能否預測未來進入幼稚園或國小的數學能力，並且在兩年後測驗這些幼童的數學能力，結果發現幼時測得的概數感能力，能夠有效預測六歲時在學校的數學成就表現。研究中所使用的概數感測驗是判斷不同比例的圖形數量大小；2 年後再對同樣的 17 位幼童（5 至 6 歲）進行數數、讀寫二位數字、比較數字符號大小、符號算術、判斷算式正確與否、個位數加法心算等數學能力測驗以及讀寫單字的語文能力。研究結果顯示幼童在判斷大比例（8：9、9：10）數量大小的題目，正確率低於小比例（1：2、2：3、3：4）數量大小的題目。整體而言，概數感能力與成長後的數學能力有關，並且概數感能力越好，作答時間越短，不過，概數感和語文測驗表現之間的相關性較低。因此 Mazzocco 等人建議未來研究可以針對不同數學能力的測驗進行釐清，但要注意這樣的研究會因為入學後影響數學能力的變因增加而影響分析後的結果。 Gilmore 等人在 2010 年以幼稚園階段的孩童為研究對象來探討非符號數字能力和學校數學成就之間是否有關連，並進一步比較不同社經背景的孩童是否存 26.

(37) 在差異。研究中收集孩童的非符號概數感測驗表現，其數學成就測驗則採該校定期評量結果。Gilmore 等人的結果顯示在概數感作業表現較好的孩童，在數學成就方面也表現的比較好。此研究中包含兩個部分的實驗，實驗一對象為幼稚園的孩童共 41 人，其中 19 人來自中低的社會經濟地位，其他 22 人來自較高社會經濟地位。施測的作業為識字測驗、及非符號概數作業，概數感作業內容為將畫面上先後出現的藍色圓點的數量和與紅色圓點數量比較大小，使用的比例為 4：5、 4：6、4：7；兩個月後為學校的定期評量，數學考試內容包含讀寫阿拉伯數字、數數、基本幾何。實驗二的研究對象與實驗一沒有重複，共 83 名孩童，其中低社會經濟背景的孩童有 16 人，中社會經濟背景的孩童有 46 人，高社經地位的孩童 21 人，其中高社經背景的孩童是經由實驗一高社會經濟背景孩童的家長介紹而邀請參與的對象。進行的測驗包括數學測驗和概數感作業及學習成就測驗。其中數學測驗是由老師對孩童問答。使用的概數感作業和實驗一類似，但比例改為 5：7、5：8、5：9。學習成就測驗與實驗一相同。二個實驗得到的結果顯示在概數感作業方面，隨者比例增加的答對率越來越低，概數感作業和數學成就評量的成績均達顯著相關，其中實驗一的概數感作業和識字測驗成績則是沒有顯著相關，實驗二的概數感作業與數學測驗成績有顯著相關。關於社經背景的部分，發現高社會經濟背景的孩童與中低社會經濟背景的孩童在數學成就上的表現未達顯著差異，但在二個實驗中概數感能力及實驗一數學測驗的結果均與社經背景有相關。此研究結果顯示除了一些概數感能力隨著年齡增長的研究結果，顯示出概數感能力可能是與生俱來的且與成熟有關，之外，學生的概數感能力，也可能與家庭社經背景有關。由此可是影響概數感能力高低的因素很多，既然多數的研究顯示概數感能力與數學成就相關，若能夠提升學生的概數能力，是否對於提升數學成就有所幫助呢？。 Wilson，Revkin，Cohen，Cohen 與 Dehaene（2006）為增進算術障礙學生的概數感能力，開發一個軟體「The Number Race」，並利用這個軟體來培養孩童的概數感能力，研究中顯示概數感能力是可以培養的，並能夠增進基本算術能力。 27.

(38) 這軟體包含比較數量的訓練，強調數字和空間的聯結，以同時呈現阿拉伯數字、口語、數量編碼為鷹架，鞏固符號表徵與非符號表徵之間的轉換，以符號表徵的比例能否逐漸增加，作為是否進入進階部分的依據。而軟體中的進階部分則是基本的加法和減法。研究中以 7 歲至 10 歲的法國孩童共 22 位為對象。在收集前測資料後，每人接受十小時的課程，期間大約五至九週，課程結束後進行後側。測驗的工具包含非電腦操作（數數、表徵轉換、十進位制）及電腦操作（列舉點、加法、減法、比較符號數量大小、比較非符號數量大小），共八項作業。比較前後測結果發現正確率增加與反應時間縮短。非電腦操作數數、表徵轉換、十進位制三項作業中，前兩項有進步且達顯著水準，第三項則沒有。電腦操作列舉點、比較符號數量大小、比較非符號數量大小五項作業，答對率增加反應時間縮短。加法、減法則是部分類型題目正確率增加反應時間縮短。研究結果發現，對於在數學學習上有障礙的學生，經過概數感軟體的訓練，在數學能力測驗上答對率有進步，增進了基本算術能力，在以符號表徵的數量大小比較上表現有所進步，且加減法上表現也有改善，而且反應所需要的時間變短，顯示透過訓練增進概數感能力的可能性，但不確定對於一般學生是否也能有所幫助。針對一般學生想要瞭解過去的數學成績與國中階段的概數感能力是否有相關，Halberda 等人（2008）以 64 位 14 歲的學生為對象進行研究。結果發現受試者在概數感作業的表現差異性很大，且與數學能力的個別差異有相關。在他們的研究中使用的作業是非符號比較多少的概數感作業，頁面上會同時呈現不同數量的藍色和黃色圓形，受試者必須在短時間內憑直覺判斷，哪一種顏色的圓形數量較多，所有的題目中共有四種比例 2：1、4：3、6：5、及 8：7，以及兩種控制題型：像素控制（藍色、黃色圓形各自的總面積相同）及大小控制（藍色、黃色圓形的平均面積相同）。Halberda 等人的結果顯示，在四種比例的題目當中，比例越高的題目答對率越高。並且將每一年的數學測驗成績與概數感作業的結果進行相關分析發現，從幼稚園到小學六年級每一年的成績都和概數感作業成績相關。因此他們認為概數感在個別數學能力方面扮演著關鍵的角色。 28.

(39) 上述研究結果顯示，國中階段的概數感能力，與過去的數學成就相關， Attridgea 等人在 2009 年則是以一般成人為研究對象，探討受試者解決符號作業時，是否使用他們的概數系統。在他們的研究中包含兩個實驗，實驗一是針對 12 名 23 歲至 36 歲的成人進行概數感加法作業，受試者需比較前兩張圖片中藍色圓點數量的總和與第三張圖片中紅色圓點數量的大小，作業中共有 8：5、7： 5、6：5、5：6、5：7、及 5：8 六種比例。實驗二的研究對象為 12 位 19 至 37 歲的成人，將實驗一非符號加法作業改成符號加法作業，在畫面上的左邊是加法算式，右邊是數字，受試者需比較左邊加法運算的結果和右邊的數字之間的大小關係。結果發現不同的比例的題目，比例越大正確率越高，並且實驗一中藍色比較多的題目和紅色比較多的題目相比，發現前者正確率較高，實驗二在符號作業上也有算式結果比較大的題目正確率較高的趨勢。研究者認為這個研究證實了一般成人在處理數學問題時的確需要使用概數系統。，其數學成就也與概數感能力相關。前述研究主要是在探討概數感能力與數學成就之間的相關，Jordan 等人在 2010 年以 279 位小學 1 年級和 175 位 3 年級的孩童為對象，收集其數感作業表現以及認知能力作業表現的資料，為了瞭解數感能力、認知能力與數學解決問題能力之間的關連。結果發現，不論是 1 年級還是 3 年級的孩童，數感測驗的結果對於數學成就都有相當程度的解釋量。研究中使用的作業有三種，其中數感測驗包含了數數、認讀數字、基本加減法；認知能力作業包含了口語單字、圖片理解、正向數字廣度作業、反向數字廣度作業；數學成就測驗包含計算題和應用問題。先在學期初進行前兩組測驗，一年之後再測量他們的數學成就。雖然此研究中的數感測驗較偏向對數字的敏感度，而非前一節所提的估量數量大小的概數感，但研究結果顯示，數感對於數學成就的預測量遠超過年齡和認知作業等其他變項；如果不考慮數感，則圖片理解對於數學成就貢獻量最多。進一步將數學成就細分為計算題和應用問題，數感對於計算題部分和應用題部分各別的預測量同樣勝過其他變項。但不考慮數感的情況之下，圖片理解對於計算題部分的貢獻量最多； 29.

(40) 但一年級的口語單字最能解釋應用問題的結果，三年級則是圖片理解的解釋量最大。結果發現概數感測驗結果的效果量大於其他認知能力測驗結果的效果量。上述的研究顯示在概數感能力與數學能力之間的確有些關係，多數研究發現概數能力與數學能力的相關性，少數研究則有不一致的結果，但無法否認概數能力具有相當大的個別差異，而概數感能力與個人的數學能力是否有關的研究都還在持續進行中。根據本章文獻探討結果，工作記憶各子系統的能力和不同的數學能力有關，而概數感能力也和數學成就有關，本研究進一步針對國中階段的學生進行研究，想要瞭解國中階段學生的工作記憶能力、概數感能力與其數學成就之間有何關連。. 30.

(41) 第三章. 研究方法. 本章分為兩個小節，分別就研究對象及研究工具進行介紹。. 第一節研究對象研究對象為南部某市立完全中學國中部一年級、二年級和三年級的學生，以班級為單位，每個年級隨機選取各四個班進行工作記憶和概數感作業。實際參與實驗的受試者共有 353 人（國中部總人數為 854 人），扣除未完成實驗、在校學習成就評量不足三次（例如：轉學生）、特殊身份學生（包含身心障礙、原住民、外配子女等等）之後，有效總樣本數為 267 人。. 表 3 - 1 - 1 國中部各年級人數統計表. 一年級. 二年級. 三年級. 總人數. 256. 268. 330. 女生總人數. 131. 135. 155. 男生總人數. 125. 133. 175. 特殊身份學生總人數. 64. 58. 89. 女生樣本數. 46. 38. 47. 男生樣本數. 40. 41. 55. 31.