第二章 文獻探討
2.3 網路分群
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有興趣的部份主要也是在找出網路中的群組，以下章節對群組相關研究做更深入的說 明。
2.3 網路分群
在現實世界的網路，每個節點的連結數不會和隨機網路(Random Network)一樣都相 同，現實世界網路的節點，節點的連結數分佈是呈現冪次法則，即少數的節點連線數較 高，大部份的節點連結數都很低，在網路中節點之間的關連的分佈是呈現分群的現象，
即某些節點之間的關連數較多，某些節點之間的關連數相對較少，這樣的網路特性稱為 群組結構性(community structure 或 clustering)。
群組(Community)又稱為 clusters 或 modules，在現實生活中，群組的組織隨處可見，
例如家庭、村莊或國家，而從網路的角度來看，一個網路有可能由一個或多個群組所組 成，在同一個群組中的節點其連結較緊密，而在不同的群組之間其連結較鬆散；同一個 群組中的成員，通常具有相同的特性，例如共同的嗜好、共同的社會地位或職業，從更 廣義的定義來看，在網際網路的世界中，共同的特性也包含了有關連的文章或類似的主 題，以下章節我們將針對群組的定義和分群演算法做介紹。
2.3.1 群組的定義
群組的定義隨著研究的目的而有不同，最簡單直覺的定義為同一個群組中的節點其 連結較緊密，而在不同的群組中的節點其連結較鬆散，Santo Fortunato 將群組的定義分 成三種：Local、Global 及 Vertex Based Similarity[25]，分別以網路本身的屬性、網路的 結構性及節點的相似度做分群，其說明如下。
（1） Local Definitions
Local 定義主要是利用網路本身的屬性為條件，著重在 cohesive subgroup 的探討，
cohesive subgroup 即為網路中關連最密集的一群節點，cohesive subgroup 判斷的條件依 Stanley Wasserman 定義有四種：Complete Mutuality、Reachability and Diameter、Nodal
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Degree、Comparison of internal versus external cohesion[33]。
群組條件中最嚴格的為 Clique，Clique 是指三個或三個以上的組成的最大完全子圖 (maximal complete subgraph)，其限制為子圖(subgraph)中的節點至少為三個，同一個節 點可以屬於多個 Clique，然而，一個 Clique 不可能屬於另一個 Clique，因條件過於嚴格，
較少人使用，因此有學者將條件放寬，以增加實用性，以下即介紹條件較為寬鬆的群組 定義。
利用可到達性(reachability)的條件定義的群組有三種：n-cliques、n-clans 和 n-clubs；
n-cliques 條件為子圖內的任兩個節點距離小於或等於 n，若當 n=1 的子圖即為 Clique，
n-cliques 的問題是子圖的直徑(diameter)會大於 n，圖形中的直徑定義為任兩個節點間的 最長距離，n-clans 條件為子圖內任兩個節點的最長的最短路徑(geodesic distance)小於或 等於 n，n-clubs 為子圖內的直徑(diameter)小於或等於 n。
利用節點的連結數的條件定義的群組有二種 k-plex 和 k-cores；k-plex 是指子圖中的 任一節點的連結數大於或等於 gs-k，其中 gs表示群組的節點數，也就是說子圖中的任一 節點可以不和 k 個點相連；k-cores 由 Seidman(1983)提出[33]，其條件為子圖中的任一節 點至少要和 k 個節點相連，k-cores 的定義和 k-plex 相反。
第四種條件定義是利用比較群組內外的結構性為條件，其定義的群組有二種 LS Sets 和 Lambda Sets，LS Sets 最早是由 Luccio and Sami (1969)提出，當時稱為”minimal group”，
Lawler (1973)改名為 LS Sets[33]，群組節點關連數大於群組外的節點關連數，假設 graph 中有 N 個節點，Ns 為 N 的子集合，Q 為 Ns 的子集合，即 ，若 Ns 是一個 LS set，表示在 Ns 中的任一子集合 Q 到 Ns-Q(subset 中的其他節點)的連線數會大於 Q 到 N-Ns(不在 subset 中的節點)的連線數；Lambda Sets 概念是 Borgatti(1990)提出[33]，
利用 edge connectivity 的概念為條件，任兩個節點的 edge connectivity 是指要讓這兩節點 變成不連接(disconnect)需移除的最小的關連數，Lambda Set 是指在群組內的任兩個節點 的 edge connectivity 大於群組內的任一節點到群組外的任一節點的 edge connectivity，在 lambda-set 的節點不一定相鄰，有可能距離很遠。
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（2） Global Definitions
Global 定義是考慮整體網路的結構，最常見的定義為將圖形和隨機圖形(random graph)比較，以判定圖形中是否有群組存在；隨機圖形是指任兩個節點之間有連結的機 率是相同的，也就是說在圖形中關連的分佈是平均的，並不會有哪些節點的連結數特別 高或特別低，因此隨機圖形是不會有群組存在，其方法如 Newman and Girvan 在 2004 年提出的 modularity[19]；modularity 的基本概念是將圖形 G 轉換成另一個圖形 G’，且 G’保有 G 的結構屬性，但不具有群組結構，這個新的圖形 G’即為 null model；如果 G 有可能有群組存在，只要比較 G 和 G'的關連數即可，也就是說如果在 G 的 subgraph 內 的關連數大於在 G’中相同的 subgraph 的關連數，則表示此 subgraph 為群組，其公式如 下：
（公式 ）
其中，Q 為 moduality，A 為 adjacency matrix，m 表圖形中的 edge 總數，Pij是 node i 和 j 在 null model 中預期的 edge 數，當 node i、j 在同相同的群組中時δ-function 等於 1，反之則為 0；Q 的值最大為 1，可以是負數。當整個網路是同一個群組時，Q 等於 0，
若整個 graph 中沒有一個 subgraph 的 Q 大於 0，則表示此圖形沒有群組存在。
（3） Vertex Based Similarity
另外一種群組的定義是利用相似度的概念，也就是假設群組內的節點都是相似度高 的節點，而不考慮節點之間的連線；相似度的計算常用在傳統的分群方式如 hierarchical、
partitional 及 spectral clustering；計算相似度的方法有很多，可以利用距離(Euclidean distance、Manhattan distance、cosine similarity)、structure equivalent(Pearon correlation、
max-flow/min-cut)等[25]。
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2.3.2 分群演算法
將網路上的節點分群之後，在同一個群組的節點中，與其他群組的節點有較多的關 連的節點，它們在整個網路的地位相對重要，有可能是扮演協調者或資訊傳遞者的角色，
在圖形理論中的 community detection 主要目標是利用圖形的結構屬性(topology)做為分 群的依據。
Community Detection 的演算法，過去較常使用的有 graph partitioning、partitional clustering、hierarchical clustering，其中 Hierarchical clustering 是將相似度高的 node 分在 同一群，方法多採用主要有 Agglomerative Algorithm，是由下往上(bottom up)的方法，
一開始將每個物件視為單獨的類別，然後在每個回合合併相似度最相近的兩個群組，直 到符合停止條件或全部 node 都是同一群為止，2002 年 Girvan and Newman[11, 21]提出 Divisive algorithm 的方式後，Divisive Algorithm 在 community detection 也開始變得熱門，
Divisive algorithm 也是 Hierarchical Clustering 其中一種方法，是由上往下(top-down)的方 式，一開始將整個網路視為一個群組，每個回合將最不像的兩個群組分開，直到符合停 止條件或每個 node 各自為一個群組為止，本研究中我們即採用 Girvan and Newman 提出 的方法做分群，以下是詳細說明。
Girvan and Newman[11, 21]提出從關連(edge)的角度出發，找出連結各群組間的重要 關連(intercommunity edge)，把它們移除後，就可以找到相對應的群組，利用 betweenness centrality 來找出連結各群組間的關連，其出發點是假設圖形中有兩個群組，只有少數的 關連連結兩個不同的群組，計算每個關連有多少路徑經過，這些連結不同群組間的關連 的 betweenness centrality 結果應該會最高，移除這些關連後，即可找到群組。演算法的 如下：
S1：計算所有 edges 的 centrality S2：移除最大的 centrality 的 edge
S3：再重新計算剩餘 edges 的 centrality
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S4：重覆 S2-S4
他們比較了三種不同定義的 edge betweenness：Geodesic edge betweenness(Edge Betweenness)、Random-walk edge betweenness(random-walk betweenness)、Current-flow edge betweenness(current-flowbetweenness)；Edge Betweenness 是基於 shortest (geodesic) paths，找出兩兩節點間的最短路徑，並且計算每個關連有多少最短路徑經過；
Random-walk betweenness 是基於資訊在圖形上傳遞是並不是透過最短路徑，而是每個關 連的機率都相同；Current-flow betweenness 結果與 Random-walk betweenness 相同；這三 種 betweenness 的定義在 sparse graph 上時間複雜度分別為 O(n2)、O(n3)、O(n3)。
Girvan and Newman 提出的方法，每個節點只能屬於一個群組，但在真實世界的網 路中，同一個節點有可能屬於多個群組(overlapping communities)，這些節點扮演著不同 群組間溝通者的角色，在資訊傳遞上有很重要的地位，因此近年來也有許多學者往 overlapping communities 方向研究，但 overlapping communities 的時間複雜度增加許多，
Gregory 提出改善 Girvan and Newman 的方法 CONGA (Cluster Overlap Newman-Girvan Algorithm)，其時間複雜度為 O(n3)[25]。
Edge Betweenness 的分群方法，已被應用於多種網路如社會和生態網路[19]，它是 考慮整體網路的結構，即以 Global 的群組定義方式做為分群的基礎；利用 Local 的群組 定義方式做為分群的基礎的方法，過去雖然常被使用，但它們最大的缺點是當一個節點 與其他節點關連很少時(peripheral vertices)，此節點很容易被排除在所有群組之外，而利 用 Global 的群組定義方式，則不會有此缺點；例如圖 2.1 中，共有三個群組，群組內節 點之間的關連較多，各群組之間的關連較少，其中節點 A 只與一個節點有關連，若利用 Local 的屬性，如節點連接數(Node Degree)時，節點 A 會被排除在所有群組之外，而考 慮整體網路的結構時，則會被包含在合適的群組中。
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本研究之資料中約有一半以上的官員在 20 年間的異動紀錄不到 3 次，表示當我們 利用這些資料建立網路時，一定會存在如圖 2.1 之節點 A 之狀況，即與其他節點關連較 少之節點，因此我們採用考慮整體網路的結構的 Edge Betweenness 做為本研究的分群方 法，可避免將這些節點排除在所有群組之中，另外從時間複雜度的角度來看，Edge Betweenness 的速度較快，這也是我們選擇 Edge Betweenness 的另一原因。