第三章 研究方法
第二節 職前教師之數學語言相關教學能力
本節將報導臺灣、美國職前教師在數學語言相關教學能力的表現，以 及兩個國家表現的異同。本研究為聚焦於與課堂實際情境相關度較高的部 分，設計兩個教學情境，本節第一部分將先報導以函數表徵為數學題材的 教學情境中，所探測的三個數學教學能力，包含兩個和運算「執行」有關 的能力，即「能選擇應教給學生的數學語言」和「能選擇應教給特定數學 程度學生的數學語言」，以及一個與運算「推理與判斷」有關之能力，即
「能判斷影響學生理解數學語言的因素」。第二部分將報導以平方根算則 為數學題材的教學情境中，所探測的三個數學教學能力，亦包含兩個和運 算「執行」有關的能力，即「能使用學生可以理解的數學語言」和「能選 用可以提升學生理解數學語言之能力的教學活動」，以及一個與運算「推 理與判斷」有關之能力，即「能判斷影響數學語言教學活動之有效性的因 素」。
一、函數表徵之教學情境
There are many ways of representing the concept of “function”. The table below lists several of them.
(a) Given sufficient time, which of these representations would you use
in class
to introduce this concept to students?Please check all the ways you would use.
Name of
representation Actual description or examples I would
use
B. Words
If for a given value x, there is one and only one value y corresponding to it, then we say y is a function of x.
□1
C. Expression 5 7. Here if you input an x, you will
get a y. This kind of expression is a function. □1
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本題為函數表徵之教學情境題組MFE706 中的(a)小題，要求職前教師 選出在時間允許下，會教給學生的所有表徵，本研究針對其中B、C 選項，
即文字表徵、式子表徵這兩種數學語言進行探討，以瞭解職前教師對於「能 選擇應教給學生的數學語言」的數學教學能力具備情形，這項教學能力屬 於運算「執行」。
在數學教學中，教師需要傳遞數學概念給學生，也需要教學生如何進 行表徵轉換，此時數學語言往往為其用以傳遞的工具；而有些時候，數學 語言本身為教師所要傳遞的主體，此時，數學語言同時為教師傳遞的主體，
也為教師用以傳遞的工具。就函數的文字表徵「對於給定的一個 值，必 有唯一的一個 值和它對應，則稱 是 的函數」來說，它是教師要教的數 學語言，同時具有被傳遞之主體，及用以傳遞之工具兩種角色。它也具有 文字敘述之數學語句常有的特徵，例如：語法結構頗為複雜，所含數學物 件甚多且物件間的關係複雜，語句進展速度快等。而函數的式子表徵中，
式子「 5 7」是教師所要教的數學語言，同時具有主體與工 具的身份；對於這樣的數學語言，教師往往會以類似「輸入一個 值就會 得到一個 值」的句子來說明其內涵，提供這個結構性的式子程序性、可 操作性的特質。
2. 臺灣、美國的表現
由表4.2.1 所示，共有 89%的臺灣職前教師選擇教學生函數的式子表 徵這個數學語言，顯著高於美國的66%；但關於函數的文字表徵，臺灣、
美國各有71%、65%的職前教師選擇教給學生，兩個國家間並無顯著差異。
在臺灣，71%的職前教師選擇教給學生文字敘述之數學語句，比選擇 教給學生式子表徵者，低了18%，達顯著差異。但在美國，二者並無顯著 差異。
表4.2.1 選擇教給學生之數學語言百分比
式子 文字 表徵差異
臺灣 89% (3.3%) 71% (5.4%) 18%**
美國 66% (4.3%) 65% (7.3%) 1%
國家差異 23%** 6%
註：括號中的數值為標準誤。
*p < .5。**p < .1。
文字敘述及式子這兩種數學語言皆為臺灣、美國中學教材中呈現的函 數表徵，而其中式子表徵，在課綱中，是學生在7-9 年級階段即應學習的 知能（e.g., 教育部，2008；National Governors Association Center for Best Practices, Council of Chief State School Officers, 2010）。比較受孔子思想之 東亞國家與西方國家的文獻中，常提及這些東亞國家教授的數學內容往往 較西方更困難、要求更高（more demanding），而東亞的教師也往往較西方 的教師更固守課本及綱要中所設定要教的數學內容（Perry, Wong, &
Howard, 2006; Silver, 1998; Siu, 2009）。以此觀點來看，兩個國家職前教師 選擇教文字表徵給學生之比例無顯著差異的現象，值得探討，本研究進一 步分析職前教師選擇教哪些數學語言的組型。
如圖4.2.1 所示，兩個國家職前教師選擇教給學生文字表徵之比例雖 差異不大，但其組成成分卻不相同。在臺灣，選擇教給學生文字表徵的職 前教師多數為同時選擇教給學生式子表徵者，僅有4%的職前教師選擇僅 教給學生文字表徵。美國的情況則不同，選擇僅教文字表徵者佔18%。就 兩種數學語言的特徵來說，面對一般學生，此類職前教師選擇教文字表徵，
卻不教較具程序性、可操作性的式子表徵，他們在「能選擇應教給學生的 數學語言」之能力上，是不足的。
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有較高比例的職前教師選擇兩種數學語言都不教給學生，或是選擇僅教結 構複雜的文字表徵而不教程序性較強的式子表徵，而臺灣則有相當高比例 的職前教師選擇兩種數學語言都應教給學生。
（二） 屬運算「執行」之數學教學能力：
能選擇應教給特定數學程度學生的數學語言
1. 題目敘述 中文版本
(c) 如果要介紹給數學程度較差的學生，請選出最適合的三種表徵方式。
請勾選三個空格
A. 函數機器 1
B. 文字 1
C. 式子 1
D. 表格 1
E. 數對 1
F. 集合對應 1
G. 第(b)小題中你所寫的 1
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英文版本
本題為函數表徵之教學情境題組MFE706 的(c)小題，設定的學生特定 數學程度是「程度較差」，要求職前教師選出三個會教給數學程度較差學 生的函數表徵，其中G 選項是學生在(b)小題的答案，例如：圖形表徵、實 例表徵、電算器表徵、bow and arrow 表徵等。由於要進行教學的對象數學 程度較差，故而本題的答案設定為較具體、程序性操作較強的幾個表徵，
包含函數機器、式子、表格、集合對應等表徵，以及G 中符合此性質的表 徵，例如實例表徵、電算器表徵等。
本研究針對其中B.文字、C.式子這兩種數學語言進行探討，以瞭解職 前教師對於「能選擇應教給數學程度較差學生的數學語言」之教學能力具 備情形，這是屬於運算「執行」的能力。
2. 臺灣、美國的表現
由表4.2.4 顯示，面對數學程度較差的學生，臺灣有 57%的職前教師 選擇教他們函數的式子表徵這種數學語言，顯著高於美國的24%。式子表 徵雖具有程序性、可操作性的特質，但它是以一堆符號 、 、 、等號、
(c) If you wanted to introduce some ways of representing the concept of function to students with less advanced mathematics, please indicate the three most suitable options.
Please check three boxes.
A. Function machine 1
B. Words 1
C. Expressions 1
D. Table 1
E. Number pair 1
F. Corresponding sets 1
G. The one you write in part (b) 1
運算符號、數值等數學物件組成，仍具有結構性、抽象性的特質，且學生 必須瞭解數學中這些符號的意義、組成的語法規則，才能真正理解此表徵，
相較之下，函數機器、表格、集合對應、電算器等表徵，更為具體。在題 目MFE706(c)僅要求職前教師選出三個適合的表徵下，職前教師不盡然需 要選擇式子表徵，但仍近六成臺灣職前教師即使面對數學程度較差的學生，
也選擇教給他們這種表徵，可見得他們對學生學習符號式子這種數學語言 的重視。美國的情況則不相同，有超過七成的職前教師認為若學生數學程 度較差，則可以不必學習式子表徵，亦即，至少在函數的情境中，學生可 以不學符號式子這種數學語言。
面對數學程度較差的學生，兩個國家選擇教文字表徵的比例皆不高，
臺灣僅有2%，顯著低於美國的 10%，可看出，無論在臺灣或美國，多數 職前教師認為文字表徵並不適合程度較差的學生學習。關於他們認為不適 合學生學習的原因為何，從前一節中職前教師關於「文字敘述表徵與學生 知能在學習上的機制」、「學生知能在文字敘述之組成與特徵的機制」之思 維，可以得到一些想法。
表4.2.3 應教給數學程度較差學生之數學語言百分比
式子 文字 表徵差異
臺灣 57% (4.8%) 2% (1.7%) 55%**
美國 24% (5.9%) 10% (2.3%) 14%**
國家差異 33%** -8%**
註：括號中的數值為標準誤。
*p < .5。**p < .1。
圖4.2.2 顯示，美國有將近七成（69%）的職前教師認為面對數學程度 不好的學生時，無論式子或文字表徵都不需要教；臺灣選擇兩種數學語言 都不教的職前教師則較美國少，有43%。在臺灣，最高比例的是（55%）
選擇不教文字表徵，但認為式子表徵仍需要教給學生，美國做此選擇的職 前教師僅有21%；此現象可能與兩個國家之代數課程著重點不同有關。美
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國的代數課程強調與日常生活知識的連結，關於函數的教學，重視量之間 的關係與變動模式的掌握，而臺灣的代數課程則重視文字符號的意義、約 定、運算法則等，在函數的部分，著重函數定義、建立關係式等面向的教 學（陳仁輝、楊德清，2010；Li & Ginsburg, 2006）；這可能是臺灣有比美 國更高比例職前教師認為即使面對程度不好的學生，仍應教符號式子這種
表4.2.4 顯示，臺灣的平均答對率顯著高於美國，顯示臺灣職前教師 在「能選擇應教給數學程度較差學生的數學語言」的數學教學能力上，較 美國具備。但相較於兩國在「能選擇應教給學生的數學語言」的表現，在
「能選擇應教給數學程度較差學生的數學語言」的表現差異較小，且兩國 的平均答對率都約在90%以上。然而，兩國得分之職前教師組成不同，美 國有較高比例的職前教師選擇兩種數學語言都不需要教給學生，而臺灣則 有較高比例的職前教師選擇該教學生程序性較強、與後續學習關連性強的 式子表徵。
表4.2.4 「能選擇應教給數學程度較差學生的數學語言」之答對率
臺灣 美國 分數差異
答對率 98% (1.7%) 90% (2.3%) 8%**
註：括號中的數值為標準誤。
*p < .5。**p < .1。
（三） 屬運算「推理與判斷」之數學教學能力：
能判斷影響學生理解數學語言的因素
1. 題目敘述 中文版本
英文版本
英文版本