第二章 文獻探討
第二節 數學語言
Pimm（1987）曾說：「學習數學便是學會像數學家一樣地說話」
（Learning mathematics is learning to speak like a mathematician）。怎樣算是 像數學家一樣地說話？怎樣的話又是數學家說的話？
一、數學語言的界定
早在1953 年，Brune 便提出語言因素在數學課堂中的重要性，他認為 給學生機會在課堂中溝通、討論數學法則與概念是必要的。到了1986 年，
NCTM 出版的 the Commission on Standards for School Mathematics 中，將 數學中的語言（language in mathematics）與溝通視為重要主題，這為數學 中的語言在數學的教與學領域中奠定了重要的地位。Durkin 與 Shire（1991）
認為語言與數學的交織非常複雜，他所言：「數學的教育始於語言，發展 於語言，它因語言而向前推進，也因語言而受阻，而其成果也藉由語言來 評鑑」（mathematics education begins and proceeds in language, it advances and stumbles because of language, and its outcomes are often assessed in language），更對語言在數學中的重要性給了很好的詮釋。
許多研究致力於探討數學中的語言因素（Ellerton & Clarkson, 1996），
然而這些研究中所探討數學中的語言範疇不盡相同，對何謂數學中的語言 也有著不同的界定。許多學者在研究時，沿用了Halliday 數學域語言
（mathematics register）的想法（Boero, Douek, &Ferrari, 2002; Lager, 2006;
Pimm, 1987）。
Halliday（1978）將其關於域語言的想法，即「語言為了某一特定功能 而呈現的一群語義與表達這群語義的語詞與結構」（a set of meanings that is appropriate to a particular function of language, together with the words and structure which express these meanings），使用到數學上，提出數學域語言的 看法。所謂的數學域語言指的是一組為了數學目的（mathematical purposes）
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而呈現的語義，以及語詞與結構。而Halliday 在探討數學域語言時，除了 語義、語詞、結構外，他認為數學符號（mathematical notation）也是必要 的探討對象。
在發展數學域語言時，給予數學中的物件、過程、性質、功能、關係 之描述與命名是不可避免的。這些語言有多種來源（Pimm, 1987），有些語 詞是由日常生活的語言借來的（borrowed from more everyday English）：例 如，極限、距離等。有些語詞是數學專用的語詞，例如：函數、積分等。
而中文中的數學詞彙來源大致上可分成五類，前三類是可由字面上看出含 意的，後兩類則偏向按規定命名（李士錡，2001）：
1. 由自然語言借用而來的語詞，但具有數學中的精確意義：例如，距離、
直線、組合、單調等。
2. 含有比喻意味的語詞：例如，扇形、倒數、行列式等。
3. 由數個語詞組合而成的語詞：例如，絕對不等式、鈍角三角形等。
4. 由外語翻譯而來語詞：例如，絕對值、環、體，拓樸等。
5. 特地創造的語詞：例如，函數、冪等。
Pimm（1987）在探討數學語言時，使用 Halliday 數學域語言的想法，
認為數學語言包含語義、語詞、結構，也包含符號。他認為數學的符號使 用量很大（highly symbol-dense），在數學語言中佔有重要的地位。Pimm
（1995）指出，討論數學中的符號時，包含其念法（spoken sounds）與書 面寫法（written words），也包含這些符號在數學中的組織方式。他將數學 中的符號分成以下類別：
1. 代表某些字或語詞的符號（logograms）：這類符號一般而言不在數學 脈絡外使用，屬於數學域語言中的專業語詞（technical terms）。例如，
0、1、…等阿拉伯數字。又如＋、－、×、 、＝、∴、、、、 Σ、Π 等符號。
2. 象形圖示的符號（pictograms）：這類符號常在幾何的領域中出現，呈 現出物件的形象。例如，⊥、∠、//、 等。
3. 標點符號（punctuation symbols）：日常生活語言中的標點符號，但被 借用為數學符號，具有與原來不相同的意思。例如，：、！、（ ）、[ ]、
/等。
4. 字母符號（alphabetic symbols）：包含英文字母
a、b、…、z，A、B、…、
Z 等，以及希臘字母 α、β、…、ω。
這些符號又可依幾種不同組織方式組成不同意義的數學符號，
1. 順序（order）：不同的順序可能表示不同的數學物件，例如，17 和 71。
2. 位置（position）：上下左右等不同位置可能表示不同的數學物件，例 如，23 與2 ， 與 ， 與 。
3. 相對的大小（relative size）：例如，指數中表示次方的指數一般會寫得 比底數小一些。
4. 方向（orientation）：不同的方向可能表示出不同的數學物件。例如，
＋與×，∩與∪，>與<等。
5. 重複（repetition）：同一符號重複不同的次數可能表示出不同的數學物 件。例如， ′ 與 ′′ 。
依此觀點，在中文的系統下，探討數學語言，必須包括中文的語詞、
語義、組織結構，也必須包含符號的語義、組織結構，並且必須考慮其發 音、念法與書面寫法。
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Boero、Douek 和 Ferrari（2002）參考 Halliday 對域語言的詮釋，以及 Pimm 的數學語言界定，將數學語言（language of mathematics）界定為：
做數學時使用的域語言（registers that are commonly used in doing
mathematics）。因此，他的數學語言中包含了文字成分（word component）
與符號成分（symbolic component）。Boero 等更進一步解釋，數學語言立 基於一般語言（ordinary language）上，因此，數學語言必然借用一般語言 的形式（forms）與結構（structures）。由此可知，探討數學語言時，可以 使用一般語言中分析語義或語法的方式加以分析。
Ferrari（2004）個人的研究中，對數學語言所提出的界定雖然沒有直 接引述數學域語言的想法，但在使用時機與組成成分上，有著類似的看法，
他的界定是：做數學或溝通數學時，習慣上會使用的語言，包含字詞的表 達與符號的表達（the language customarily used in doing and communicating mathematics at undergraduate level, including verbal and symbolic
expressions）。
Herbel-Eisenmann（2002）在界定數學語言時，則有更細緻的區分，
但依據其研究的需求，該界定的範疇僅限於在數學課堂中口頭溝通如何解 題時所用之語言，他將之區分為：
1. 文章脈絡中的語言（Contextual language）：直接指涉或使用題目內容、
字句的用語。
2. 橋接的語言（Bridging language）：包含兩種不同類型。其一是課室產 生語言（classroom generated language），指的是課堂中師生自行發展出 來的語言，不是正式的用語，也或許不是正確的用語。另一類是過渡 性數學語言（transitional mathematical language），它比文章脈絡中的語 言更數學化（more mathematical），用語已脫離題目的內容。例如，當 解題過程中列出y ax b ，學生討論與斜率相關內容時，不以「斜率」
指稱
a，而是使用「x 旁邊那個數字」。
3. 正式數學語言（Official mathematical language）：Herbel-Eisenman 參考 Halliday 對數學域語言的詮釋，將正式數學語言定義為「一種必須呈 現出數學使用之自然語言及意義；當此使用乃為了某數學目的而為之 時」（the mathematical use of natural language and meaning a language must express if it is being used for mathematical purposes）。他進一步解 釋，數學語言即為「在數學社群中，會被期待與接受的語言數學化使 用方法與作用方法」（the ways of talking and functioning mathematically that would be expected and appreciated by the mathematical
community）。
Herbel-Eisenmann 定義「正式數學語言」中所提到的自然語言，並非 泛指所有的自然語言，其自然語言需為數學而用。從他所舉的例子，例如，
「…斜率與
y 截距…」
（the slope and the y-intercept）或「…斜率為 2.5」（2.5 is the slope）等，可以看出，含有「斜率」（slope）、「截距」（intercept）這 類數學專門詞彙，x、y 等字母符號（alphabetic symbols; Pimm, 1987），以 及2.5、1、2 這類代表某些字或語詞的符號（logograms; Pimm, 1987; 例如，代表壹、貳、one、two），且為數學所用者，皆可在 Herbel-Eisenmann 定義
「正式數學語言」的範疇。以英文來說，字母符號應是屬於自然語言的範 疇。以中文來說，字母符號則不屬於中文之自然語言的範疇，但中文數學 語言往往必須借用這些外來的符號與語言，故仍屬於數學語言的範疇。而
「斜率」、「截距」這類由自然語言的字或詞組成之數學專門詞彙，亦應屬 於數學語言的範疇。
綜合上述討論，本研究給予「數學語言」與「數學語句」操作型定義，
如下：
數學語言
做數學或溝通數學時，針對該數學內容會使用之語言，包含數學使用
（借用）的詞彙、短語、語句與符號，以及僅在數學中使用的詞彙、短語、
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語句與符號。也包含這些詞彙、短語、語句與符號的組織方式、組織結構。
在傳訊方式上，包含口頭方式與書面方式。
其中數學使用（借用）是指選取之語義為數學中界定之語義，可能與 在自然語言之使用時相同或不同。
數學語句
本研究在許多地方會使用到「數學語句」一詞，以特別指定並非廣泛 的探討數學語言，而是要探討其中的某特定範疇。
數學語句是數學語言中的一種，但在本研究中界定其為僅在數學中使 用且以文字敘述為主的語句。例如，教科書中用以描述數學定義、性質、
運算法則等之語句。
雖然數學語句的界定為「僅在」數學中使用的語句，但有些語句，或 其中所含的詞彙與符號，在現今生活中已被借用。例如，曾出現過取名為
「X」的飲料或電視影集「X 檔案」，即是借用符號 x 在數學中未知數的概 念，用以表示未知的事物。或是有時候其他同學考試考得不好時，我們會 開玩笑說「他的分數是ε」，即是借用符號ε在數學中常用以表示很小的 正數之想法。或是跟開車者報路時，說「走下一條和這條平行的路」這樣 含有數學語詞「平行」的語句，即是借用「平行」的語義，但並非真的指 兩條路的距離處處相等或永不相交等，而僅是取該語詞中所含並排、並行 的想法而已。
另外，當教師在數學教學中，有時會使用如「這個圖畫的邊緣跟這個 天花板的邊緣平行」這樣只含有一個「僅在數學中使用的詞彙」，即「平 行」，而其他皆屬於自然語言之詞彙的語句。當這樣的語句在教學中出現，
即符合在做數學或溝通數學時出現的詞彙、短語、語句與符號這個界定，
並且為僅在數學中使用的語句，故本研究亦將之界定為數學語句。
二、數學語言的特徵
雖然各派研究者根據其研究之不同屬性，對數學語言的界定不盡相同，
但有些數學語言的特徵是學者們論及數學語言時時常提出的。
數學語言借用日常生活語言的形式與結構，也借用日常生活語言中的 詞彙，但這些詞彙之語義與其日常生活語言之使用不盡相同。並且，數學 語言中也往往含有數學專門詞彙（technical mathematical terms），這些詞彙 是日常生活語言中不會使用的。許多研究的焦點便是放在這些數學專門詞 彙上（Gough, 2007; Han & Ginsburg, 2001），這些研究指出數學語言的特徵 之一便是含有上述具有專門意義（technical meaning）的日常生活詞彙或是
數學語言借用日常生活語言的形式與結構，也借用日常生活語言中的 詞彙，但這些詞彙之語義與其日常生活語言之使用不盡相同。並且，數學 語言中也往往含有數學專門詞彙（technical mathematical terms），這些詞彙 是日常生活語言中不會使用的。許多研究的焦點便是放在這些數學專門詞 彙上（Gough, 2007; Han & Ginsburg, 2001），這些研究指出數學語言的特徵 之一便是含有上述具有專門意義（technical meaning）的日常生活詞彙或是