數學教學思維與知能

一、數學教學思維

思維的界定為何至今莫衷一是，Dewey（1991）從一個較廣泛的觀點 來看，提出任何在腦海的活動（anything that goes on in our heads）皆為思 維（thinking）。任樟輝（1996）對腦海中所進行的活動進一步界定，他認 為思維是具有意識之人腦對客觀事物的本質、屬性、內部規律性的概括與 間接反映。張春興（1998）則認為「思維是憑記憶與想像處理抽象事物的 推理歷程；在超越現實的情境之下，分析情境中的條件，從而探求答案以 突破困難的歷程經歷」，他的界定中強調了思維的運作流程。

王仲春、李元中、顧莉蕾與孫名符（1995）對思維的界定與任樟輝相 當近似，他們認為思維乃是「人腦對客觀事物的本質、相互關係及其內在 規律性的概括與間接反映」，他們進一步提出這個思維的運作流程是從感 性認識向理性認識的轉化過程，如圖2.3.1 所示，

圖2.3.1 王仲春等提出之思維結構圖

關於教學思維，林福來（1999）針對中學數學職前教師進行研究，對 照數學解題及描述數學解題的認知過程稱為數學思維的想法，提出教學即 解題的觀點，並認為解決教學問題的認知過程稱為教學思維。他認為教師

客 觀 事 實

感覺 知覺 表象 概念

推理

判斷 主 觀 認 識

要有豐富的數學教學知識、概念，以及富有彈性的教學思維，才能有成效 地解決教學問題。

謝佳叡（2001）研究學生認知思維時，根據王仲春等（1995）的結構 圖，發展了學生認知思維運作流程，他亦對照發展出，在同樣歷程中，進 行教學、對學生展示數學解題的教師，腦中的思維運作流程，如圖2.3.2 所示，

圖2.3.2 謝佳叡之教師教學（解題）思維運作流程圖

整合林福來（1999）與謝佳叡（2001）的研究，本研究認為可將圖 2.3.2 左邊的刺激改為教學情境所呈現與數學語言相關的問題，來界定本研究的 數學語言相關教學思維。

根據前述不同學者或研究者對思維與教學思維的界定，本研究將數學 語言相關教學思維的操作型定義界定如下：

數學語言相關教學思維

教師面對教學情境所呈現與數學語言相關的問題時，連結腦中的既有 概念、經驗，經過感覺、知覺、表象、判斷、推理，而進行形式輸出的歷 程。

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二、數學教學知能

Shulman（1986）認為教學內容知識（pedagogical content knowledge, PCK）為教師應具備的知識類別之一，該類知識所包含的內容，諸如：用 以表徵或闡述學科內容使之能讓學生瞭解的各種方法、使得某個主題的學 習困難或簡單的因素為何、某年齡的學生對於某個主題具備的先備知識為 何、學生有哪些常見的迷思概念、破除學生迷思概念的策略等；此類知識 體現出該學科中與可教性（teachability）密切相關的觀點。

數學學科中，教學內容知識無論在實務面或研究領域都受到相當的重 視。以實務面來說，美國NCATE/NCTM 課程標準（2003）強調數學職前 教師必須展現他們具備數學教學知識（knowledge of mathematics pedagogy），

其中包含能判斷適合教給學生的數學課程與材料（teaching materials），並 在這其中考量學生的特殊性，能訂定恰當的學習目標，能採用多種教學策 略，能恰當表徵數學概念與程序，能促進課堂討論與互動，能瞭解學生如 何學習數學，能使用多樣化的評量方式評量學生理解情形等。美國

Educational Testing Service（ETS）的 Praxis II 系列的測驗項目中，也包含 了名為Mathematics Pedagogy 的項目，用以測驗中學數學初任教師

（beginning teacher）應具有的知識與能力，某些州在決定是否給予證照時，

也採認該科的考試結果（ETS, 2011）。

在研究領域中，有些學者關注於數學教學內容知識的架構。Ball、

Thames 與 Phelps（2008）提出教師教學所需數學知識（mathematical knowledge for teaching）的概念與架構，其架構圖如圖 2.3.3 所示，其架構 中關於教學內容知識的部分，包含三類：關於內容與學生的知識（knowledge of content and students, KCS）、關於內容與教學的知識（knowledge of content and teaching, KCT）、以及關於內容與課程的知識（knowledge of content and curriculum）。

關於內容與學生的知識乃是數學內容知識（content knowledge）與學 生如何思考、理解、學習內容知識之知識的交織，例如，教師是否具備關 於學生如何學習某特定內容、學生在學習此內容的過程中常出現什麼迷思 概念等方面知識與能力。關於內容與教學的知識是結合了對數學的理解

（knowing about mathematics）與對教學的理解（knowing about teaching），

例如，教師關於安排教學材料順序、使用各種表徵的優缺點、哪些例子適 合在教學開始時使用而哪些可用以深化學生思考等方面的知識與能力。關 於內容與課程的知識主要來自Shulman（1986）的課程知識（curricular knowledge），包含了解課程中不同主題間的連結，課程與其他學生學習學 科的連結，課程的先後次序，以及教學上有哪些課程可選擇（curricular alternatives available for instruction）等等。

本研究決定欲探測的數學語言相關教學能力時，Ball、Thames 與 Phelps

（2008）的結構，提供本研究一些想法，特別是他們以內容知識（content knowledge）為基礎，提出關於內容知識本身中與教學特殊相關的知識

（specialized content knowledge），以及內容知識關連上學生（KCS）、內容   圖2.3.3 教師教學所需數學知識之架構

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知識關連上教學（KCT）等方面的知識類別這個部分。當本研究將焦點置 於數學語言時，可以從教師關於教學中的數學語言本身、數學語言關連上 學生、數學語言關連上教學等面向去探討。

謝豐瑞（2009）發展數學教學能力（mathematics teaching competence, MTC）之結構，她採用「能力」（competence）一詞而不採「知識」（knowledge）

一詞，因為她認為前者才能恰當地詮釋他所要描寫的各種與思考、推理、

判斷、執行數學教學的運思（Hsieh, Lin, & Wang, 2012）。與其他研究者不 同，謝豐瑞（2012b）發展結構時，認為應從最根本的議題出發才能得到 真正的瞭解，為此，她先找出數學教學中的重要內容與議題，以及人類的 不同能力類型。她經由研究找出20 項數學教學中的重要內容及議題，稱 之為「數學教學元素」（element），例如，數學能力、數學表徵、數學學習 動機、數學課程等。關於能力的部分，她以最終能「理想的上場教學」為 立基，發展三項重要的數學教學能力運算（operation）：認知與理解、推理 與思考、概念化執行（謝豐瑞，2009）。她並提出三個核心焦點（kernal），

即學習（learning）、教學（teaching）、本體（entity），來搭配上述之運算與 元素，以建立數學教學能力的項目（謝豐瑞，2012b）。舉例來說，以「認 知與理解」運算作用於「數學思考」，在核心焦點「學習」上，「知道學生 數學思考的特徵」是一個可能的教學能力，在核心焦點「教學」上，教學 能力可以是「知道在課堂上如何使學生自然而然的跟著老師的教學而思 考」，在核心焦點「本體」上，可以得到教學能力「知道數學思考和其他 學科領域的思考之異同」。若將運算改為「思考與推理」，在「學習」上，

可以得到「能判斷學生的數學思考型態」，在「教學」上，可以得到「能 根據學生思考特徵調整教學」。若再將運算改為「概念化執行」，以「教學」

為核心焦點，「能安排可以發展學生數學思考能力的教學」便是一個可能 的教學能力（謝豐瑞，2009）。

教師的數學教學知識具備情形影響他們的教學效能，也影響他們的學 生數學成就（Capraro, Capraro, Parker, Kulm, & Raulerson, 2005; Hill, Rowan,

& Ball, 2005），故而，研究教師的數學教學知識具備情形有其重要性，也 是許多研究的焦點。不同研究所關注的數學教學知識不同，有些研究探討 數學教師關於建立學生的數學概念、增進學生數學思考與反思的知能（An, Kulm, & Wu, 2004; Capraro, Capraro, Parker, Kulm, & Raulerson, 2005）；有 些研究探討數學教師是否能分析學生學習情況、瞭解學生迷思概念的知識

（An, Kulm, & Wu, 2004; Koirala, Davis, & Johnson, 2008）；有些研究關注 數學教師設計幫助學生概念發展、促進學生參與數學學習之教學活動的能 力（An, Kulm, & Wu, 2004；Capraro, Capraro, Parker, Kulm, & Raulerson, 2005）。在多數研究中，研究者發現他們所探測的數學教師對數學教學內 容知識的具備並不充分，例如，Capraro、Capraro、Parker、Kulm 與 Raulerson

（2005）便發現有些數學教師無法辨識適合幫助學生發展所要發展之技能 的教學策略；Cankoy（2010）則發現有些職前教師無法提出以培養概念為 基礎的教學策略，他們提出的策略往往僅能教學生進行程序性、機械性的 記憶；而Borko 等（1992）發現有些數學教師缺乏恰當表徵其所要教之主 題的能力。

三、跨國研究

An、Kulm 與 Wu（2004）比較中國與美國中學數學教師的教學知識，

發現兩個國家的差異甚大。在中國，數學教師能否提供學生正確的概念性 知識（conceptual knowledge）很受重視，而美國的系統，則重視他們的數 學教師能否設計多樣化的教學活動來培養學生之創造力與探索問題的能 力。相較於中國，美國數學教師缺乏幫助學生連結實際運算、操作與抽象 思考的能力，也無法幫助學生串連他們的概念發展與程序發展。

從這個研究可知，透過跨國比較，不同國家的差異使得各參與國的特 質得以顯現。謝豐瑞（2012a）認為，在跨國研究中，參與的國家能檢視其 國家與其他參與國之狀況，比較彼此間的異同，這類研究使得參與國得到

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從國際觀點詮釋自己國家狀況的機會，也得到與單一國家研究不同的參考 基準與反思角度。

「21 世紀數學教學跨國研究」（Mathematics Teaching in the 21Century, MT21）為跨國性研究，共有臺灣、保加利亞、德國、韓國、墨西哥、美 國六個國家參與，它探討數學職前教師關於課程知識（curricular

knowledge）、教學實務知識（instructional practice knowledge）、學生學習知 識（knowledge about student learning）等方面的數學教學知識。其研究結 果顯示，臺灣在這三個領域中的排名分別為一、二、二，高出國際平均（設 定為500）皆約 0.4 個標準差（1 個標準差設定為 100），而美國則皆在國

knowledge）、教學實務知識（instructional practice knowledge）、學生學習知 識（knowledge about student learning）等方面的數學教學知識。其研究結 果顯示，臺灣在這三個領域中的排名分別為一、二、二，高出國際平均（設 定為500）皆約 0.4 個標準差（1 個標準差設定為 100），而美國則皆在國