航空燃油價格區間分析與機率分配

在前面的網路規劃模式中，本研究定義了O^t為航空網路初始規劃所預測之單月航空燃 油價格，其單位為 cents per gallon。此油價預測值依據新加坡航空燃油( Monthly Singapore Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price FOB)之歷史資料，以灰預測模式進行預測。H_ak為機型 k 飛行航段 a 單趟之用油量，其單位為加侖，則機型 k 飛行航段 a 所需之單趟燃油成本 為燃油價格O^t與用油量H_ak之乘積。航段 a 之燃油成本支出c_a^F為所有航行於航段 a 之頻 次所產生之燃油成本加總：c_a^F(𝑓_a) = 𝑓_{k a}(O^t ∙ H_ak)。

航空公司之燃油成本受到國際油價波動而有所變動，當油價上漲幅度過大，燃油成 本增加，造成航空公司營運成本上升，航空公司可能因此付出比預期還要大的成本。因 此，對航空公司的網路規劃，燃油成本可視為一項不確定性因素。因此進行可靠度評估 之前，必頇先針對航空燃油價格以機率概念進行討論。

本研究假設航空燃油價格為航空公司不可控制之隨機變數，當航空公司進行一年期 的航空網路頻次規劃時，如果以月為單位，則此規劃年包含 12 個隨機之燃油價格。本 研究定義O^t為代表每個月航空燃油價格之隨機變數，O^t為其實際值， t 為規劃年之月份，

t= 1,2,3…,12，I 為 12 個月份之集合，𝑰 ≡ 1, 2, … ,12 ，因此t ∈ 𝑰。

為了解航空燃油價格之分佈特性，本研究觀察美國能源局所提供，自 1986 年 6 月至 2008 年之新加坡航空燃油價格資料，將價格資料以 Minitab15.0 軟體進行分析，得其直

方圖顯示航空燃油價格之分佈密度，如圖 3.1 所示。本研究根據機率理論，定義航空燃 油價格之機率空間(probability space)。根據 Romano & Siegel(1986)探討機率空間之特性，

令隨機航空燃油價格之實際值O^t的樣本空間為Ω，其機率空間為(Ω, Ƒ, Ƥ )，σ-field Ƒ為 樣本空間Ω 的子集合(subset)，這些子集合為描述燃油價格變動情況之事件(events)，Ƥ為 機率測度(probability measure)。則Ω之總體機率為Ƥ Ω = 1。

圖 3.1 歷年航空燃油價格機率密度圖

本研究假設隨機燃油價格O^t在一特定價格區間(interval)下，呈現常態分配的分佈情 形，因此，本研究應用區間分析( Interval Analysis)的概念，分析航空燃油歷史資料，建 立航機歷史燃油價格呈現常態分配之價格區間。區間分析之模式架構，根據 Moore &

Bierbaum(1979)，定義一個區間為一組實數(real numbers)之封閉(closed)範圍。令實數 x 為航空燃油歷史價格，其終點(endpoints)燃油價格為𝒙^∗、𝒙^∗，因此𝒙^∗為此區間之下限值，

𝒙^∗為此區間之上限值。則燃油歷史價格之區間可表示為式(3-10)：

𝒙^∗, 𝒙^∗ = {𝒙: 𝒙^∗≤ 𝒙 ≤ 𝒙^∗} (3-10) 假設 X 為一個燃油價格區間，此區間之終點(endpoints)為𝑿與𝑿，𝑿 ≤ 𝑿。此油價區間 為一維(one-dimensional)之封閉(closed)向量，表示為：

𝑿 = 𝑿, 𝑿 , 𝑿 ∈ ℝ (3-11) 若 x 位於區間 X，其關係可表示為式(3-12)：

420 360

300 240

180 120

60 0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

0.000

機 率 密 度

x 航機燃油歷史價格 (cents per gallon)

𝑿 ≤ 𝒙 ≤ 𝑿 , x∈X (3-12) 本研究假設單一區間內之燃油歷史價格具有常態分配之特性，其平均數為 μ，標準 差為σ，表示為𝒙~N(μ, σ)，當隨機燃油價格O^t = 𝒙，則O^t位於區間 X 內，其常態分配表 示為O^t~N(μ, σ)。任一油價區間在樣本空間Ω的發生機率可表示為：Ƥ 𝑿 ≤ 𝒙 ≤ 𝑿 ，x∈X。

假設燃油歷史價格含有 n 個區間(n =1, 2, …,γ)，因此，經由式(3-11)、(3-12)改寫，

可得不同油價區間𝑿_𝒏與區間內之燃油歷史價格𝒙_𝒏之關係：

𝑿_𝒏 = 𝑿_𝒏, 𝑿_𝒏 , 𝑿_𝒏 ∈ ℝ (3-13) 𝑿 ≤ 𝒙_𝒏 ≤ 𝑿 , 𝒙_𝒏 ∈ 𝑿_𝒏 (3-14) 根據區間分析可得航空網路之初始規劃航空燃油價格O^t所對應之燃油價格區間，當隨 機燃油價格O^t與O^t位於同一區間，則燃油價格屬於正常情況下之燃油變動。

考慮外在環境影響，造成航空網路規劃年之燃油價格擾動，本研究定義發生燃油價格 變動之情況為事件s_y(y = 0, 1, …, Z)，Z 可顯示異常情況的數量。令𝐔表示所有燃油價格 正常與異常變動之事件集合，𝐔 ≡ s₀, s₁, s₂, s₃, … s_𝑧 ，令 Pr(sy)為規劃年情況 s_y發生之 機率， (y = 0,1,2, … , z)，則其中Pr 𝑠_𝑦 ≥ 0， ^𝑧_𝑦=0Pr 𝑠_𝑦 = 1。

當隨機燃油價格位於其他區間範圍而非O^t所屬之油價區間內，則表示燃油價格發生 異常的變動，燃油成本在正常或異常情況下擁有不同之常態分配參數。航空公司欲計算 航空網路之可靠度時，首先必頇掌握預測油價所對應之常態分配參數，並以此參數計算 航空網路可靠度，所得之機率即為正常油價變動之下之航空網路頻次可靠度。當預期發 生異常情況時，此時燃油價格不再位於初始規劃油價之區間，因此擁有不同之常態分配 參數。

3.4.2 航空燃油價格變動下之航空網路可靠度

為建立一個指標了解燃油價格變動所影響之航空網路可靠度，本研究首先分析航空 燃油成本的相關成本項目，航空公司使用飛行航段 a 所支付的燃油成本為c_a^F =

𝑓_a O^t ∙ H_ak ，假設航空公司規劃初期可根據其燃油成本設定應該向旅客收取多少費用以 平衡燃油成本的支出，令c_a^F,pax為飛行航段 a 之乘客所負擔之燃油成本，即航空公司經由 票價收入所回收之燃油成本。本研究假設一燃油成本收益因子g_ak，即每位航空旅客於

航段 a 航程中搭乘機型 k 所負擔之燃油成本，因此c_a^F,pax = Q_{k a} ∙ g_ak。

假設由航空公司所支付航段 a 之總燃油成本與其由旅客收入所回收之燃油成本之

間的成本比值為C_a^∗，則：

C_a^∗ = c_a^F

c_a^F,pax = 𝑓_a(O^t ∙ H_ak)

Q_a ∙ g_ak = δ_{p k a}^p𝑓_pk(O^t ∙ H_ak)

δ_{p k a}^pQ_pk ∙ g_ak (3-15)

可靠度的評估步驟於航空網路規劃模式求解之後展開，上一節航空網路求解結果為航 空公司之初始規劃，並且已決策出航空網路最低成本之下的航線、機型與頻次組合。為 評估可靠度，本研究依據式(3-15)假設一航行航段 a 所耗用之隨機燃油成本因子做為評 估可靠度的準則：

C_a^∗ O^t =O^t ∙ 𝑓 _{k a}H_ak

Q_{k a} ∙ g _ak (3-16) 其中𝑓 _𝑎為規劃模式之初始頻次，由於C_a^∗ O^t 是一個比值，當C_a^∗ O^t = 1的時候，表 示航空公司所付出的燃油成本以及旅客所負擔的燃油成本相等，向旅客收取之收入恰好 可以支付航空公司的燃油成本，因此達到收支平衡(break-even)。如果C_a^∗ O^t > 1，代表 旅客所承擔之燃油成本並不足以支付航空公司所付出之燃油成本，航空公司將自行承擔 多出的燃油成本，若C_a^∗ O^t ≤ 1，則代表航空公司尚有獲利的空間。

C_a^∗ O^t 具有一上限值C ，為航空公司最大可所能接受之成本比例，在此情形下航空_a^∗ 公司才可以收支平衡(break-even)甚至而獲利，一旦超出了上限值，航空公司將可能產生 虧損之情形。為得到航空公司規劃時所預設之g _ak值，令C_a^∗ O^t = 1，由g _ak =^𝑓a(O _Q^t∙Hak)

a∙ 求

出g _ak的值，假設前提在於假設航空公司掌握預測油價之後，在規劃時期制訂票價時，

即考慮燃油成本的支出能夠透過旅客收益達到收支平衡。當C_a^∗ O^t ≤ C ，則航段 a 之機_a^∗ 型頻次規劃為可靠，超出此範圍則為不可靠。示意圖如圖 3.2 所示：

圖 3.2 可靠度機率密度示意圖

因此本研究定義航段 a 為可靠的機率為R_a O^t ，由圖 3.2，此機率即為圖中常態分 配陰影區的面積。藉由常態分配之累積密度函數求得，如下式所示：

R_a O^t = Pr O^t ≤ C _a^∗ Q_{k a}∙ g _ak

𝑓 _{k a}H_ak = Φ C_a^∗

Q_k ^a ∙ g _ak 𝑓 _{k a}H_ak − μ

σ

Φ z 為標準常態分配之累積密度函數，Φ z = 1 2π_−∞^z e^−ω2/2dω。根據式(3-16)，

當燃油成本比值大於上限值，代表油價上漲過高，造成航空公司虧損。本研究將藉由可 靠度模式評估的結果進一步分析航空公司的成本損失情形。航空公司預期規劃年每個月 之油價O^t與O^t位於同一油價區間內，為正常油價變動的情況。此時，航段 a 燃油成本於 初始規劃油價之下的可靠度為R_a O^t 。令規畫年中，油價屬於正常情況之月份𝑡₀有 h 個，

則各航段於油價正常月份之平均可靠度R_a為：

R_a = 1 ℎ

ℎ

𝑡₀=1

R_a O^t (3-18)

現在考慮當外在環境變化，例如：戰爭、油價炒作、經濟發展、油品需求量大增…

等，因而造成某一特定時期的燃油價格出現異常上升或是下降的變動，因為異常的事件 發生，造成此時燃油價格所在區間並非初始規劃油價之區間，其常態分配參數也因此改 變。由於燃油價格受到整體經濟環境之影響，因此航空網路的所有航線皆受影響，因此

C_a^∗ = 1 機

率 密 度

μ

燃油價格 (cents per gallon) 可靠

不可靠

O^t

油價異常的事件發生於整體航空網路當中，而非只是特定航線受到影響。

令𝐔表示在規劃年中所有燃油價格變動情況的組合，𝐔 ≡ s₀, s₂, s₃, … s_𝑧 ，s₀為燃油價 格正常情況，s₁, s₂, s₃, … s_𝑧代表各個明顯的油價異常情況，以 z 標示不同異常情況的事 件數量。令 Pr(s_y)為規劃年情況 sy發生之機率Pr 𝑠_𝑦 ≥ 0， ^𝑧_𝑖=0Pr 𝑠_𝑦 = 1，y = 0,1,2,…,z。

本研究依據 Hsu & Wen(2003)，假設在規劃年間，異常情況 sy之發生時間為𝑡_𝑦^∗，其 歷程(duration)，即 sy所延續之時間長度，則以𝑣 _𝑦表示，單位為月份。假設𝑣 _𝑦為有限之間 斷隨機分配： 𝑣_𝑦^𝑞, 𝑝_𝑞 , 𝑞 = 1, … , 𝑣 𝑝_𝑞 > 0, ∀𝑞 , 其中𝑣_𝑦^𝑞為𝑣 _𝑦的實際值，而𝑝_𝑞為其機率。

令𝐼_𝑞^𝑦表示異常情況 s_y持續發生於整體航空網路中，屬於異常情況發生區間的月份集合，

給定所發生的歷程𝑣_𝑦^𝑞，由式(3-19)可以看出𝐼_𝑞^𝑦與時間 t 之間的關係：

𝐼_𝑞^𝑦 ≡ 𝑡| 𝑡_𝑦^∗ ≤ 𝑡 < 𝑡_𝑦^∗ + 𝑣_𝑦^𝑞 (3-19)

𝐼_𝑞⁰即代表屬於正常情況s₀的月份集合，因此𝐼_𝑞⁰ ≡ 𝐼 − 𝐼_𝑞^𝑦。在異常情況s_𝑦，燃油價格 發生異常的持續時間為𝑣_𝑦^𝑞，此時航空燃油為隨機變數O_𝑦𝑞^t , ∀t ∈ 𝐼_𝑞^𝑦。

對於在異常情況s_𝑦的可靠度，可以運用式子(3-17)，計算當異常情形s_𝑦發生，持續𝑣_𝑦^𝑞 的燃油價格O_𝑦𝑞^t 影響之下的可靠度，即R_a O_𝑦𝑞^t 。由於𝑣 _𝑦為隨機變數，因此O_𝑦𝑞^t 的分佈、

時間區間 𝑡_𝑦^∗ , 𝑡_𝑦^∗ + 𝑣_𝑦^𝑞 以及R O_𝑦𝑞^t 會隨著𝑣 _𝑦的實際值𝑣_𝑦^𝑞所改變。在此情形之下，在規 劃年的全年可靠度R_{𝑎|𝑠𝑦}即可用下式來表示：

R_{𝑎|𝑠𝑦} = 1

12𝑝_𝑞 R_a O_𝑦𝑞^t

𝑡∈𝐼_𝑞^𝑦

+ R_a O^t

𝑡∈𝐼_𝑞⁰ 𝑣

𝑞=1

(3-20)

因此，本研究所評估在正常以及不正常之油價變動之下的可靠度即為：

𝐸 R_a = R _{𝑎|𝑠𝑦}Pr 𝑠_𝑦 + R_aPr⁡(𝑠₀)

Z

𝑦=1

(3-21)

3.5 航空公司對航機頻次之調整決策

本研究假設不同情境之下，航空公司根據前面計算各航線於規劃年之可靠度，決策 是否因應燃油價格調整網路規劃。如果航空網路之相對可靠度高，代表該月份的燃油價 格變動之下航空路網維持可靠之機率較大。但是若觀察發現航線網路具有低可靠度的特 性，代表在燃油價格的變動之下，此網路規劃之初始規劃頻次難以維持其可靠度，意即 容易發生虧損之情形，航空公司就必頇考慮因應航空燃油價格之變動調整期航線機型以 及頻次。本研究所假設情境主要分為三類，分別是針對初始規劃結果不可靠之月份，以 當月之期望油價進行網路頻次與機型之調整；航空公司也可考慮直接進行減班，放棄部 分旅運量，在此情境下航空公司之供給將無法滿足全部需求量；以上兩種情況為航空公 司因應短期變動之調整策略，另一種假設情境則考慮長期之調整策略，即航空公司考量

本研究假設不同情境之下，航空公司根據前面計算各航線於規劃年之可靠度，決策 是否因應燃油價格調整網路規劃。如果航空網路之相對可靠度高，代表該月份的燃油價 格變動之下航空路網維持可靠之機率較大。但是若觀察發現航線網路具有低可靠度的特 性，代表在燃油價格的變動之下，此網路規劃之初始規劃頻次難以維持其可靠度，意即 容易發生虧損之情形，航空公司就必頇考慮因應航空燃油價格之變動調整期航線機型以 及頻次。本研究所假設情境主要分為三類，分別是針對初始規劃結果不可靠之月份，以 當月之期望油價進行網路頻次與機型之調整；航空公司也可考慮直接進行減班，放棄部 分旅運量，在此情境下航空公司之供給將無法滿足全部需求量；以上兩種情況為航空公 司因應短期變動之調整策略，另一種假設情境則考慮長期之調整策略，即航空公司考量