第三章 模式構建
3.1 航空網路設計
考慮一航空公司之航空網路為 G(N, A)，N 為網路中所有節點之集合，A 為網路中 所有航段之集合。本研究所定義之網路節點為航空公司營運航線所使用之機場，令航空 網路當中航機貣飛之任一機場為 i，航機降落之任一機場為 j，則i, j ∈ N。機場 i 至機場 j 之間的航線為 a，a ∈ A。在網路航線的設定上，令 P 為航空網路中所有航線之集合，
航空公司網路中的任一候選航線為 p， p ∈ 𝐏。
本研究所架構之航空網路設計問題，根據 Teodorovic(1994)以及 Hsu & Lin(2005)，
將其定義為規劃航空公司之航線網路，航線之使用機型以及班機之頻次。令航空公司機 隊中之航線候選機型為 k；𝑓a為機場 i 與機場 j 之間航段 a 之每月頻次，此頻次為所有機 型航機飛行於航線 p 之頻次總和，由式子(3-1)表示。此模式之主要決策變數為𝑓pk，意即 使用 k 型航機飛行航線 p 之每月班機頻次。其中δap為二元變數（Binary Variable），當航 線 p 經過航段 a，則δap = 1，如果航線 p 並沒有經過航線 a，則δap = 0，如式(3-2)所表示。
一般而言，航線規劃考慮直航以及轉機之航線，相同貣迄點之航線可能經過不同航段，
例如台北-檀香山航線，若為直航，則所經過航段為桃園機場至檀香山機場，若為轉機 航線，中停站為日本東京的成田機場，則此轉機航線經過兩個航段，分別為桃園機場至 成田機場，以及成田機場至檀香山機場。
𝑓a = δap𝑓pk
k p
(3-1)
δap = 1, 航線p 經過航段 a
0, otherwise (3-2) 航空公司網路中之旅運量為選擇搭乘此航空公司由機場 i 至機場 j 的旅客數量，定 義每月經過航段 a 之旅運量為 Qa，每月搭乘航機 k 航行航線 p 之旅運量為Qpk，則Qa等 於經過航段 a 的所有航線之加總旅運量，因此Qa = δp k apQpk 。
為簡化航空網路求解過程，突顯在國際油價與航空燃油價格變動之下，燃油成本對 於航空網路營運成本之影響，本研究假設航空公司網路當中之旅運需求量為外生變數。
然而，實際上旅客需求與航空公司航班頻次之間存在供需互動的關係：當旅客選擇航空 公司時，主要依據航空公司所提供之航班頻次、票價以及旅行時間等做為決策的依據，
而航空公司在設計規劃航空網路時，也會考慮航線之旅客需求量，提供最有效益之服務 供給，由於航空客運市場之主要收入來自於票價，因此旅運需求量與航機承載率關係到 航空公司之營運收益，在規劃未來之航空網路時，必頇事先預測旅運需求用以規劃適當 的供給。由於本研究假設需求為外生，因此在旅運量之預測，引用民航局所提供之航空 公司於各航段的歷史運量資料，使用灰色預測方法，所得之預測旅運量為航空網路之外 生變數。根據 Hsu & Wen(2000)之預測模式架構，預測貣迄對運量之年度運量，再將所 求得之預測值轉化成平均每月交通量，所得結果將做為下一階段航空網路設計的投入資 料(input data)。灰預測模式之說明詳見附錄 A。總言之，本研究先不考慮不同時間之需 求變動情形，意即假設需求旅運量不改變，此為需求無彈性之情況，後續路網模式之求 解並不考慮供需互動之情形。
3.2 航空公司網路營運成本函數
本研究定義之航空公司直接營運成本主要包含機場使用費、燃油成本以及維修成本 與機組人員費用。令Ot為航空網路初始規劃所預測之單月航空燃油價格，單位為 cents per gallon。此油價預測值將依據新加坡航空燃油(Monthly Singapore Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price FOB)之歷史資料，以灰預測模式進行預測，代入航空網路規劃模式中求解。
令Hak為機型 k 飛行航段 a 單趟之用油量，其單位為加侖，則機型 k 飛行航段 a 所需 之單趟燃油成本為燃油價格Ot與用油量Hak之乘積。航段 a 之燃油成本支出caF(𝑓a)為所有
航行於航段 a 之頻次所產生之燃油成本加總。因此caF(𝑓a)可用下式(3-3)表示：
航空公司之間接營運成本包含場站與地勤，旅客服務費用，一般管理費用以及廣告 行銷費等，本研究則定義為航空公司之服務旅客成本，根據 Kanafani and Ghoborial(1982) 之研究，設航空公司於航段 a 載運一位旅客所產成的平均間接營運成本為wa，則航空公 司於航段 a 所產生之間接營運成本CaI(Qa)為:
CaI(Qa) = waQa (3-7)
3.3 航空網路航線機型頻次規劃模式
在規劃航空公司之航線頻次以及機型時，必頇先假設航空公司所提供之航線供給量 必頇滿足航線旅客需求量，因此根據 Teodorovic(1983)與 Hsu & Lin(2005)之研究，將航 段 a 的承載率定義為βa，mk為 k 型航機之座位數，則航段 a 的承載率可以表示為：
βa = Qa
mk k𝑓ak (3-8)
考慮到各種機型的數目限制，設uk為機型 k 的最大利用率，本研究定義為單架航 機每天最大飛行時數。而Yk為航空公司機隊中機型 k 的總架數，τp為班機在航線 p 之 單趟航程所需之飛行時間，則對於所有機型必頇要滿足 pτp𝑓pk ≤ ukYk。
本模式欲求取航空營運成本最小化，因此目標式為直接營運成本加上間接營運成本 之總成本最小化，主要決策變數為使用機型 k 航行航線 p 之頻次𝑓pk，綜合以上之討論，
本研究所建構之航空公司網路規劃模式如下，式(3-9a)-式(3-9e)：
P1：
(3-9a) Min C = [CaI Qa
a∈A
+ CaD(𝑓a)]
Subject to
βa 𝑚k𝑓ak
k
≥ Qa, ∀ a (3-9b)
τp p𝑓pk ≤ ukYk ∀ k (3-9c) 𝑓a = δp k ap𝑓pk, ∀ a (3-9d) all 𝑓a, 𝑓pk, Qa ≥ 0 and integer (3-9e)
限制式當中，(3-9b)代表每月航空公司在航段 a 所提供的座位數必頇滿足每月之旅運 量；(3-9c)如前所述，對於所有機型航班數目限制，班機航行航線 p 單趟所需之時間τp與 頻次𝑓pk之乘積，即單日所有航機之總飛行時數，不能大於其機隊之最大利用率與總架數 之乘積。(3-9d)表示航段 a 之頻次為所有航線之班機經過航段 a 的頻次。並且航段 a 之 頻次𝑓a、使用機型 k 航行航線 p 之頻次𝑓pk與航段 a 之旅運量Qa皆為非負整數。
3.4 航空網路可靠度評估模式
本節建立之可靠度模式，主要目的在於評估當初始規劃網路面臨外在環境影響，造 成航空燃油成本變動，航空公司之燃油成本可維持損益平衡之機率。首先分析航空燃油 價格之機率密度與分配之特性，再建立可靠度模式計算航空燃油價格變動下之航空網路 可靠度。
3.4.1 航空燃油價格區間分析與機率分配
在前面的網路規劃模式中，本研究定義了Ot為航空網路初始規劃所預測之單月航空燃 油價格，其單位為 cents per gallon。此油價預測值依據新加坡航空燃油( Monthly Singapore Kerosene-Type Jet Fuel Spot Price FOB)之歷史資料，以灰預測模式進行預測。Hak為機型 k 飛行航段 a 單趟之用油量，其單位為加侖，則機型 k 飛行航段 a 所需之單趟燃油成本 為燃油價格Ot與用油量Hak之乘積。航段 a 之燃油成本支出caF為所有航行於航段 a 之頻 次所產生之燃油成本加總：caF(𝑓a) = 𝑓k a(Ot ∙ Hak)。
航空公司之燃油成本受到國際油價波動而有所變動，當油價上漲幅度過大，燃油成 本增加，造成航空公司營運成本上升，航空公司可能因此付出比預期還要大的成本。因 此，對航空公司的網路規劃，燃油成本可視為一項不確定性因素。因此進行可靠度評估 之前，必頇先針對航空燃油價格以機率概念進行討論。
本研究假設航空燃油價格為航空公司不可控制之隨機變數，當航空公司進行一年期 的航空網路頻次規劃時，如果以月為單位，則此規劃年包含 12 個隨機之燃油價格。本 研究定義Ot為代表每個月航空燃油價格之隨機變數，Ot為其實際值， t 為規劃年之月份，
t= 1,2,3…,12，I 為 12 個月份之集合，𝑰 ≡ 1, 2, … ,12 ，因此t ∈ 𝑰。
為了解航空燃油價格之分佈特性，本研究觀察美國能源局所提供，自 1986 年 6 月至 2008 年之新加坡航空燃油價格資料，將價格資料以 Minitab15.0 軟體進行分析，得其直
方圖顯示航空燃油價格之分佈密度，如圖 3.1 所示。本研究根據機率理論，定義航空燃 油價格之機率空間(probability space)。根據 Romano & Siegel(1986)探討機率空間之特性，
令隨機航空燃油價格之實際值Ot的樣本空間為Ω，其機率空間為(Ω, Ƒ, Ƥ )，σ-field Ƒ為 樣本空間Ω 的子集合(subset)，這些子集合為描述燃油價格變動情況之事件(events)，Ƥ為 機率測度(probability measure)。則Ω之總體機率為Ƥ Ω = 1。
圖 3.1 歷年航空燃油價格機率密度圖
本研究假設隨機燃油價格Ot在一特定價格區間(interval)下，呈現常態分配的分佈情 形，因此，本研究應用區間分析( Interval Analysis)的概念，分析航空燃油歷史資料，建 立航機歷史燃油價格呈現常態分配之價格區間。區間分析之模式架構，根據 Moore &
Bierbaum(1979)，定義一個區間為一組實數(real numbers)之封閉(closed)範圍。令實數 x 為航空燃油歷史價格，其終點(endpoints)燃油價格為𝒙∗、𝒙∗，因此𝒙∗為此區間之下限值，
𝒙∗為此區間之上限值。則燃油歷史價格之區間可表示為式(3-10)：
𝒙∗, 𝒙∗ = {𝒙: 𝒙∗≤ 𝒙 ≤ 𝒙∗} (3-10) 假設 X 為一個燃油價格區間，此區間之終點(endpoints)為𝑿與𝑿，𝑿 ≤ 𝑿。此油價區間 為一維(one-dimensional)之封閉(closed)向量，表示為：
𝑿 = 𝑿, 𝑿 , 𝑿 ∈ ℝ (3-11) 若 x 位於區間 X，其關係可表示為式(3-12)：
420 360
300 240
180 120
60 0.025
0.020
0.015
0.010
0.005
0.000
機 率 密 度
x 航機燃油歷史價格 (cents per gallon)
𝑿 ≤ 𝒙 ≤ 𝑿 , x∈X (3-12) 本研究假設單一區間內之燃油歷史價格具有常態分配之特性，其平均數為 μ，標準 差為σ，表示為𝒙~N(μ, σ)，當隨機燃油價格Ot = 𝒙，則Ot位於區間 X 內，其常態分配表 示為Ot~N(μ, σ)。任一油價區間在樣本空間Ω的發生機率可表示為：Ƥ 𝑿 ≤ 𝒙 ≤ 𝑿 ，x∈X。
假設燃油歷史價格含有 n 個區間(n =1, 2, …,γ)，因此，經由式(3-11)、(3-12)改寫，
可得不同油價區間𝑿𝒏與區間內之燃油歷史價格𝒙𝒏之關係：
𝑿𝒏 = 𝑿𝒏, 𝑿𝒏 , 𝑿𝒏 ∈ ℝ (3-13) 𝑿 ≤ 𝒙𝒏 ≤ 𝑿 , 𝒙𝒏 ∈ 𝑿𝒏 (3-14) 根據區間分析可得航空網路之初始規劃航空燃油價格Ot所對應之燃油價格區間，當隨 機燃油價格Ot與Ot位於同一區間，則燃油價格屬於正常情況下之燃油變動。
考慮外在環境影響，造成航空網路規劃年之燃油價格擾動，本研究定義發生燃油價格 變動之情況為事件sy(y = 0, 1, …, Z)，Z 可顯示異常情況的數量。令𝐔表示所有燃油價格 正常與異常變動之事件集合，𝐔 ≡ s0, s1, s2, s3, … s𝑧 ，令 Pr(sy)為規劃年情況 sy發生之 機率， (y = 0,1,2, … , z)，則其中Pr 𝑠𝑦 ≥ 0， 𝑧𝑦=0Pr 𝑠𝑦 = 1。
當隨機燃油價格位於其他區間範圍而非Ot所屬之油價區間內，則表示燃油價格發生 異常的變動，燃油成本在正常或異常情況下擁有不同之常態分配參數。航空公司欲計算 航空網路之可靠度時，首先必頇掌握預測油價所對應之常態分配參數，並以此參數計算 航空網路可靠度，所得之機率即為正常油價變動之下之航空網路頻次可靠度。當預期發
當隨機燃油價格位於其他區間範圍而非Ot所屬之油價區間內，則表示燃油價格發生 異常的變動，燃油成本在正常或異常情況下擁有不同之常態分配參數。航空公司欲計算 航空網路之可靠度時，首先必頇掌握預測油價所對應之常態分配參數，並以此參數計算 航空網路可靠度，所得之機率即為正常油價變動之下之航空網路頻次可靠度。當預期發