萃取等效電路

在這一小節中我們要探討如何萃取出等效電路，有了等效電路做驗證，我們的理論 與設計才會更完整。首先來看圖 3-11，如同前面介紹，將所設計的分波器等效架構排列 出來，這些都是由電感電容所組成的，每個輸出入埠間還有一小段的傳輸線。我們將透 過一些簡單的數學運算，將等效電路的電感電容值萃取出來，再透過觀察散射參數是否 相同來做根據，搭配相位常數對頻率的色散圖，來驗證所萃取出的等效電路是否正確，

如此也可以觀察到所設計的分波器是否工作在無限波長的頻率下。

在介紹如何萃取等效電路之前，要先知道如何取得相位常數對頻率的色散圖。從式 子(2-1)中可以知道傳播常數與電路間的關係，其中傳播常數包含了衰減常數與相位常 數。一個電路我們可以經量測得知它的散射參數，再透過數學運算，便能利用散射參數 來表示出傳播常數，取其虛部就能得到相位常數對頻率的關係，參考式子 3-9

βp cos 1 S S S S

2S ， 3 9 透過這個式子就可以從任意電路中得到所要的色散圖。

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coupling capacitor L_R

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圖 3-12 分波器簡化等效電路

2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

Frequency (GHz) -35

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0

Magnitude (dB)

S-Parameter TL (5mm) TL (10mm) TL (15mm) TL (20mm)

圖 3-13 共振頻率隨傳輸線長短頻飄圖

我們先將電路作簡化，把開路端的輸出埠都拿掉，包含開路端的耦合電容與傳輸線，

最後再來考慮。拿掉之後便可發現剛剛上面所提到情形，傳輸線的長短並不會影響共振 頻率，只會影響相位。確定傳輸線並不會影響共振頻率後，我們再簡化將輸入埠與輸出 埠的傳輸線拿掉，就是所謂的反嵌入(de-embedded)，將焦點集中在蕈狀結構的等效電 路。拿掉之後最後就剩下輸入埠直接接到耦合電容，經過截型的蕈狀結構，再接上耦合 電容到輸出埠。假設在低損耗的情況下，也就是忽略電阻與導納，其等效電路可化為圖

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44 此嗎?我們是將電路設計在 Rogers RT/Duriod 5880 的基板上，其損耗正切(loss tangent) 為 0.0009，損耗相當低，因此電阻和導納的值很小且為可預期的。當然也能從剛剛電路

Circuit model

Frequency (GHz)

Magnitude (nH or pF)

X: 2.45 Y: 0.7737

LR1 LR2 CR LL

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本模擬電路均共振在 2.81GHz，且色散圖相當的接近，在兩個零階點相當吻合，可以證 明所萃取出的等效電路應該是接近的。當然我們也可以看到共振頻率決定於並聯電路的 電感電容，其頻率 3.12GHz，和色散圖的零階點相對應，與理論相符。

2 2.3 2.6 2.9 3.2 3.5

Frequency (GHz) -30

Magnitude (dB)

S-Parameter (without TL) S11 (simulated) S11 (equivalent)

(a)

Frequency (GHz)

Bp (without TL) simulated equivalent

(b)

圖 3-15 無傳輸線的等效電路驗證(a)散射參數圖(b)色散圖

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最後再將當初拿掉的開路端電路以及傳輸線加上去，如圖 3-16，其中每個輸出埠的 右手電感值應該相近，所以我們設為 3.1nH。我們已將原本的情況都考慮進去了，再來 比較兩者的散射參數以及色散圖，參考圖 3-17。先看圖 3-17(a)的散射參數圖，其共振 頻率模擬是在 2.47GHz，而等效電路和它幾乎差不多，只些微頻飄；圖 3-17(b)的色散 圖在兩個零階點也是相當接近的，雖然在零階點外有些許誤差。誤差的來源可能是在等 效電路模擬中並沒有考慮到高階模態的影響，以及等效電路的值是隨頻率而變動的，只 取其工作頻率，在零階點相當吻合是可以預期的，而在零階點之外就可能會有所差別；

當然也有可能是因在模擬電路中傳輸線之間靠近會有耦合效應，還有其它一些不可避免 的寄生效應所產生，這些在等效電路中是不存在的；此外，模擬電路中的地是固定大小 的，但在等效電路模擬中，地是以無窮大來做計算。有這些誤差的來源，會導致色散圖 有所差異，但是我們主要是觀察分波器是否工作在在無限波長的頻率下。從圖 3-17(b) 中可見兩者的零階點相當接近，且在工作頻率 2.45GHz 時相位常數接近零，因此可以證 明所萃取的等效電路是可行的，且分波器確實工作在無限波長的特性下。

圖 3-16 二維無限波長四埠分波器之完整等效架構

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2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 3

Frequency (GHz) -25

-20 -15 -10 -5 0

Magnitude (dB)

S-Parameter (with TL) S11 (simulated) S11 (equivalent)

(a)

-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180 βp (deg)

2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4

Frequency (GHz)

Bp (with TL) simulated equivalent

(b)

圖 3-17 完整等效電路驗證(a)散射參數圖(b)色散圖

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