二、 後設材料
2.5 人造傳輸線的應用
2.5.2 輻射及折射應用
2.5.2 輻射及折射應用
最常見的輻射應用就是天線，而利用複合左右手傳輸線可以設計出零階共振天 線以及洩漏波天線(leaky wave antenna)。零階共振天線就如同上段所說的利用零
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階共振點來做出零階共振天線[12]，且零階共振天線有一個最大的優點就是所佔面 積會小很多。由於零階共振天線是在相位常數為零時輻射，其波長為無窮大，並沒 有一般微帶天線要二分之波長的限制，其大小只設限於電路單元所需要的電感電容 值，所以面積可以大大的縮減。當然也可以利用零階共振做出雙頻天線，利用零階 與一階或者利用負一階與正一階。正負一階做出來的天線其兩種特性幾乎完全相同，
不論是特徵阻抗、天線場型或者是其他參數，唯獨增益部分負階會較小；而另一項 是利用左手材料在平衡條件時，在快波區有能量洩漏的特性而設計成的洩漏波天線。
複合左右手傳輸線所構成的洩漏波天線[13]與傳統的相比有兩種獨特的優點，其一 為可以工作在主模下。傳統的天線必須工作在高次模，因為傳統的主模一般都是導 模，導模是慢波，並不能輻射，為了要建立高次模其電路設計就會更複雜而降低天 線效率。其二優點就是可以隨著頻率的改變而從後向到前向在-900至+900的範圍內連 續掃描，而傳統的天線並不能向後輻射，因為它相位常數大於零，同時也不能側向 輻射，因為相位常數為零時群速度也為零。
在折射應用方面，我們知道複合左右手傳輸線可以有負折射的現象，因此可以 將它利用在光學方面，設計出負折射透鏡，也可以研究它在微波成像、極化偏振器 和極化天線的可能應用。
最後，利用左手材料的特性，可以設計出很多的微波電路，這些電路都具有一 些不同於普通同類型微波電路的電磁特性，這些都可以讓我們知道人造傳輸線的應 用是非常具有前景的，科學家們也努力往這方面做深入的研究。
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第三章 二維無限波長多埠分波器
(2-D N-Port Power Divider Using infinite Wavelength)
3.1 概述
在上一章中，我們已經瞭解了很多複合左右手傳輸線的特性以及應用，在這一章 我們將要利用左手材料的無限波長特性，來設計出新型二維無限波長多埠分波器，以應 用在下一章的切換波束天線(beam-switching antenna)。在設計分波器之前，首先了解 零階共振以及無限波長的原理，因此在本章一開始就先做簡單說明，接著再介紹一個由 T. Itoh 和他的學生所發表的一個無限波長的 N 埠串接分波器，最後根據之前的分波器 做一些改造與變化，同樣利用無限波長特性提出一個二維的多埠分波器架構，並將其實 現之。所設計的分波器，不但有多埠的功能，比起傳統分波器，也具有縮小化的優點。
3.2 零階共振 3.2.1 原理
在這節先來簡單介紹零階共振的原理以及零階共振器，相關介紹可以參考文獻 [15]。前面章節有提到，要讓一條傳輸線產生共振，必須在傳輸線的兩端設計成開路或 短路，透過這些邊界條件使其產生駐波，而具有共振的效果。
為什麼零階共振這麼特別呢?首先來看一般的共振器，傳統右手傳輸線實現的共振 器，它的共振條件如下
2 or 2
· 2 3 1 n 1, 2, … ∞。
其中 是共振器的長度，要能夠產生共振必須設計在半波長的正整數倍，或者電子長度 (electrical length)θ 是 π 的正整數倍，我們也可以從式子中發現在一個理想連續分 布的傳輸線中存在著無窮的共振點。但是右手傳輸線的電子長度必須是正的，只有非零 且正的共振點才能存在，且它的相位常數 β 對頻率的作圖是線性的，所以共振點都會是 基頻 ω1的諧波(harmonics)，也就是 ωn=nω1。
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接著我們看複合左右手傳輸線所實現的共振器。不同於右手傳輸線，複合左右手傳 輸線不但可以使相位常數為零，也可小於零，使它工作在左手區域，因此，其電子長度 θ=βl 可以為零或為負，表示共振點將對稱於零點兩側。複合左右手傳輸線的共振條件 | |
2 2
· 2 3 2 n 0, 1, 2, … ∞。
圖 3-1 為相位常數對頻率的作圖，此為非平衡狀態下的複合左右手傳輸線，所以有帶隙，
若是理想連續分布的傳輸線，將存在著無窮多個共振點。它在相位常數為零時有兩個交 點，一個是傳輸線兩端開路所決定的，另一個是短路所決定的，但只有一個會產生共振，
端看傳輸線的架構為何。
圖 3-1 複合左右手傳輸線所實現的共振器(a)共振型態的場型分布(b)色散圖 (圖取材自參考文獻[14])
最後我們來做一個總結，複合左右手傳輸線共振器有很多不同於傳統右手傳輸線共 振器的部分，其不同點可分為四個部分。其一為複合左右手傳輸線有負的(n<0)以及零 的(n=0)共振點，而一般傳統只有正的(n>0)；其二是除了零階狀態，每一個共振模態都 有一個相對應的負階模態，這兩個相對應的模態(±n)無論是場型分布或是阻抗都會相同，
因此可以用這特性來設計雙頻的微波電路；其三是複合左右手傳輸線的色散關係是非線 性的，特別是在左手區域內，所以共振頻率不會是諧波，也就是非整數倍；最後一點是 最特別的，在零階模態時，波長 λ=2π/β，相位常數為零也就意味著波長為無窮大，此 時它所相對應的場型分布是相當平坦的，沒有電壓梯度(gradient)，所以在零階工作時
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與傳輸線的物理長度並沒有關係，因此可以利用這種特性設計出很小的共振器或其它的 微波電路。
3.2.2 電路實現
在前面已經簡單介紹了共振的原理，接下來要用等效電路來實現複合左右手傳輸線 共振器，利用電感、電容及電阻像上一章一樣將它組合起來，如圖 3-2 所示。理想的複 合左右手傳輸線和等效電路所構成的傳輸線有一個很大的不同，那就是前者的頻寬是無 窮大的，因此可以有無限多個共振點，但是後者卻有限制的頻寬，所以只存在著有限數 目的共振點。假設在無損耗的情況下，也就是電阻為零，導納為零，我們可以從複合左 右手傳輸線的色散關係套用 Bloch-Floquet 理論，就可得到共振頻率點，如下式所示 1 1
2 3 3 n 0, 1, 2, … , N 1
其中 ， ， ， ，而 d 是電路單元的長度，N
是電路單元的個數。圖 3-3 為等效電路所實現的複合左右手傳輸線共振器的色散圖，由 此圖我們可以發現，除了在中間因為不平衡而有的帶隙外，在低頻時有左手高通特性而 有低頻帶隙，在高頻時有右手低通特性而有高頻帶隙，這就是等效電路的頻寬限制，一 般將這頻寬內的區域稱為布里淵區(Brillouin Zone)。假如共振器是用 N 個電路單元所 組成的，那麼便可在布里淵區內找到 N-1 個正共振點，以及 N-1 個負共振點，再加上所 謂的零階共振，共可找到 2N-1 個共振點。必須特別注意的是我們用空心結點來表示布 里淵區邊緣的點，而那個點並不會產生共振。
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圖 3-2 複合左右手傳輸線和等效電路
BRILLOUIN ZONE
ω
0 +π/l +2π/l +3π/l β -π/l
-2π/l
-3π/l +π/d
-π/d
ω0
ω0
ω‐1
ω‐2
ω‐3
ω1
ω2
ω3
Bandgap RH (低通) gap
LH (高通) gap
圖 3-3 等效電路實現的複合左右手傳輸線共振器色散圖
3.2.3 零階共振特性
最後來看零階共振的特性。在不平衡的複合左右手傳輸線可以找到兩個零階共振頻 率，ωse和 ωsh。在共振器中這兩個共振頻率點誰會產生共振，取決於共振器的兩端是開 路或是短路，我們將分別討論這兩種情況。
先考慮在共振器兩端開路的情況，如圖 3-4(a)。我們觀察在零階時電路看進去的輸 入阻抗為
20
1
1
√
1 1 1 1
3 4
其中 Y 是複合左右手電路單元的導納，若是考慮無損耗情況下，則導納Y=j[ωCR-1/(ωLL)]。
從結果中可以發現，在相位常數為零時，開路端的輸入阻抗是並聯電路中導納的 1/N 倍，
只和右手電容與左手電感有關，也就是說在零階時看進去串聯電路被短路，只剩下並聯 電路。其中 N 只是一個簡單的整數，並不會影響電納(susceptance)，因此共振器的零 階共振將決定於並聯電路中導納所產生的共振頻率，其共振頻率只有一個，
1
， 3 5
而串聯電路的阻抗將不會產生共振(ωse)。
再來看共振器兩端短路的情況，如圖 3-4(b)。同樣的我們先觀察在零階時的輸入阻 抗
3 6 其中 Z 是複合左右手傳輸線電路單元中串聯的阻抗，若是在無損耗條件下，則阻抗 Z=j[ωLR-1/(ωCL)]。根據結果可以發現，在相位常數為零時，短路端的輸入阻抗是串聯 電路中阻抗的 N 倍，且只與右手電感及左手電容有關，也就是在零階時看進去只剩下串 聯電路，並聯電路被開路了。其中 N 是簡單的整數，並不影響電抗值(reactance)，因 此整個共振器在零階共振的頻率將會是串聯電路中阻抗所產生的共振頻率，其共振頻率 只有一個，
1
， 3 7
且並聯電路並不會產生共振(ωsh)。若在平衡狀態下，零階共振無論在開路或短路其共振 頻率皆相等。
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圖 3-4 複合左右手傳輸線零階共振等效架構(a)兩端開路(b)兩端短路
零階共振器有一個特別的性質，無論是在開路架構或是在短路架構，其共振頻率只 和電路單元中的右手電容與左手電感或右手電感與左手電容有關，與實際共振器的大小 長度無關。因為這個特性，零階共振器可以做得相當小，其整體的大小只取決於電感和 電容值。充分利用這個特性，就可以設計出許多比傳統電路還要縮小化的微波電路了。
最後，可以參考T. Itoh和他的學生C. Caloz在[14]中所做的零階共振器，裡面有 詳細的原理介紹、模擬以及實作，從論文中也可以發現零階共振器比起傳統共振器還要 縮小了61%的面積。當然，零階共振有很多特性，除了拿來做共振器外，還有相當多的 應用，例如做零階共振天線，以及下一節將要介紹的多埠分波器等微波電路。
3.3 無限波長的 N 埠串接分波器
在介紹我們所設計的二維無限波長多埠分波器之前，先來看由I. Itoh和他的學生 所發表的一個無限波長N埠串接分波器(N-port series power divider)，可以參考文獻
在介紹我們所設計的二維無限波長多埠分波器之前，先來看由I. Itoh和他的學生 所發表的一個無限波長N埠串接分波器(N-port series power divider)，可以參考文獻