評價模型回顧

一、 評價模型簡介

信用違約交換有兩類評價方法，係各由兩種違約模型加以演化而來，其一為 變化自 Merton(1974)的結構法(Structural Approach)，另一則是變化自 Jarrow and

Turnbull (1995a,b)的簡化法(Reduce-form Approach)。前者也是選擇權模型，主要 考量了企業的資產價值與違約的關係。後者主要考量了外生的而非公司結構的 違約機率密度函數，利用隨機過程中的卜瓦松過程(Poisson Process)模型，以預測 特定時間間隔內的違約機率⁴，並可進而評價信用交換交易權利金。由於前者在 實務上難以使用，而後者則可利用歷史數據來估計違約機率，故本研究的主題專 注在研究後者。將提及的此類信用交換交易模型有 Duffie 模型、Hull & White 模 型及 Kijima 模型。

4 假設存在一隨機變數 X_t符合固定參數λ的卜瓦松過程，X_t定義為時間間隔[0,t]內，發生違約 的次數，λ則定義為單位時間內違約發生的次數。可以表示時間間隔[0,t]內發生k次違 約的機率為：

( ) ( )

_。

k k t k e

X P

t k

t = = ⁻ , =0,1,2,…

! λ

λ

當k=0 時，可得到以下關係：

(

X

)

e P

(

X t

)

P _t =0 = ^−λt = > ，代表了債權在時間間隔[0,t]內的存活機率，其中X 為發生違 約的時間。因此也可求出債權在時間間隔[0,t]內的違約機率：

(

X t

)

e ^t P ≤ =1− ^−λ 。

二、 結構法及簡化法介紹

在敘述信用交換交易訂價模型前，本文先介紹兩種方法－結構法及簡化法，

來評價風險性資產，如風險性債券。適當的變化後，這兩種方法也可以運用在信 用交換契約的訂價上，因為信用交換契約係建立在風險性資產之上。結構法是由

Merton(1974)所發展的違約模型，係認為違約是與背後代表的公司的資產價值有 關，屬於選擇權模型。簡化法則是由 Jarrow & Turnbull (1995a,b)所發展的違約模 型，對於某信用等級的債券，在存有可觀察的利率期間結構下，此方法可用來進 行信用衍生性商品的評價。分述如下：

(一) 結構法

Merton 在 1974 年提出了結構法，其假設背景為考量一個擁有簡單資本結構 公司，此公司發行一個面值為 F 及到期日為T 的零息債券。在到期時，若此公司 資產的價值大於應付給債權人的債務(即 F )時，則權益擁有人將有能力承擔對債 權人的支出，並得以保存公司。相反地，如果公司的資產價值小於債券總面值，

則權益擁有人將在債權上出現違約，債權人將接管公司，而權益的價值將變為零 (假設股東的責任有限)。在這個簡單的架構下，Merton 以下式表達了風險性債 券的價值v₁(t,T)：

)]

( [ ) , ( ) ,

1(t T FB t T pV t

v = − ，

其中，B( Tt, )為時間點T 支付 1 元的零息債券在時間 t 的價值，V(t)為公司資產 在時間 t 時的價值，而p[V(t)]則為在到期日T 及履約價為 F 之下，歐式賣權的價

值。

在 Merton 的模型中，額外地設立了一些假設。第一，利率的期間結構是可 決定的以及平坦的。第二，描述公司資產的的機率分配是對數常態機率分配

(Lognormal Probability Distribution)。第三，在此債券的存在期間，公司不發放股 利。第四，存在著完全資本市場。

模型中有五種隱含意義。第一，當賣權為深度價外(V(t)>>F)時，代表的 是公司的違約機率很低且此公司債就形同無風險債券一般。第二，當賣權是價內 時，則此公司債的波動敏感於公司價值的波動。第三，假如無風險利率增加，

) ,

1(t T

v 將增加，則到期殖利率將下降，故公司債的風險價差(Spread)將減少。第 四，市場風險及信用風險是不可分離的，因為市場風險將造成公司資產的減少，

進而造成違約機率的增加。第五，如果此零息債券的到期日趨近於零，則信用風 險價差亦趨近於零。

實務上要執行此模型至少存在著四個限制。第一，求得公司資產的價值是相 當困難且抽象的。第二，難以估計公司資產的報酬波動。因為公司資產的市價難 以估計，而致使報酬率及其波動率無法衡量。第三，幾乎所有的公司存在著複雜 債務結構，難以就單一的債務進行評量。第四，別的債務的違約可能誘發被考量 債務的違約。

(二) 簡化法

Jarrow 以及 Turnbull 在 1995 年提出了簡化法，他們首先將公司依不同的信

用風險而分類，並個別建立屬於隨機過程中卜瓦松過程的違約模型，此模型的重

⎥⎦ 利空間的要求；第二是在契約發起日後，為了避險或逐日結算(Marking to

Market)。這時因為利率及參考債權的信用品質的改變，造成交換契約的價值不 等於零，而必須重新估計新的契約價值。兩種時點的訂價方式是相似的，但後者 由於面對的是非公開市場流通的交換契約，且參考債權的浮動價差(可衡量違約

風險)是瞬息萬變的，為避險目的而評價是相對困難的。

(二) 藉由合成信用交換以求得交換權利金

假設投資人可以進行債券的買空賣空交易，且無手續費及任何稅賦，並且市 場上浮動利率票券(Floating-rate Note, FRN)，例如無風險浮動利率票券

(Default-free FRN)及 C 公司發行的浮動利率票券(C-FRN)存在。如［圖 4］所示，

利用以上的假設，投資人可以合成一個信用交換契約。其一方面以 100 單位數量 的面值賣空 C-FRN 給另一投資人，並承擔每期利息R_t + (S S為風險溢酬)的支 付及到期本金償還。在一方面，該投資人則以這 100 單位數量的本金來購買一無 風險 FRN，獲得每期的無風險報酬R ，並在到期日獲得本金。由於該投資人投_t 資組合的收支情形，在 C-FRN 違約情形下，同於以 C-FRN 為參考標的且到期日 一樣的信用交換契約，因而該投資組合為一合成的信用交換契約，相似地若無違 約發生，則兩者到期的收支都是零。假設交換交易的一方 A 為實際信用交換交 易保險賣方，另一方 B 為保險買方，則利用合成的信用交換比較無風險 FRN 及

C-FRN 的每期利息，即可求出 B 應付給 A 的信用交換權利金S。若 C-FRN 違約 時的市價為Y

( )

τ ，則 B 可以得到違約補償金100−Y

( )

τ 。當然，若沒有違約事件 發生，則在交換契約到期時，A 並沒有支付補償金給 B 的需要。

圖 4 合成信用交換現金流動圖

(三) 估計危險率及每期交換權利金

一個信用事件的危險率(Hazard Rate)即是信用事件的發生率(Arrival Rate of

the Credit Event)，例如一固定的 400 基點(bps)的危險率代表的是每 100 年有 4 次 的發生率。在任何未發生違約的時間 T 之後，發生一次違約的時間平均約 25 年。

在假設有一固定的風險中立危險率(Constant Risk-neutral Hazard Rate)h存在，且 在給定的任何時點前，並無任何違約發生，則發生違約的時間長度符合參數為h 的風險中立指數分配(Risk-neutrally Exponentially Distributed with Parameter

＝

^τ

S τ

Rt

( )

τ

−Y 100

S R_t +

( )

^τ

Y 100

賣空C-FRN

買空無風險FRN

h)。若給定一個很小的h及時間長度∆，且在這個長度開始之前並沒有違約發生 的條件之下，則在這個時間長度內發生違約的機率近似於h∆(為積分概念)。

在計算交換權利金方面，該模型假設某一 C 公司發生違約的情形存在一風 險中立的固定的危險率h，則違約的發生時間即是強度(Intensity)為h的卜瓦松過 程(Poisson Process)的第一次跳躍時間(the First Jump Time)。若定義^ai

( )

^h 為違約發 生在第 i 個付息日後，第 i 個付息日收入的現值，以及時間零至第 i 個付息日這段 期間內無違約的機率，兩者的合併因子。而^bi

( )

^h 為違約發生在第

( )

^{i−1 個及第 i 個}

付息日之間，第 i 個付息日收入的現值，以及違約落於第

( )

i−1 個付息日至第 i 個 付息日這段期間內的機率，兩者的合併因子。兩者的公式表達如下：

( )

^{[h y( )i]T( )i}

i h e

a = ^{− +} ， (2- 4)

( )

^{y( ) ( )iTi}

[

^{hT( )i hT( )i}

]

i h e e e

b = ^{− − −1} − ⁻ ， (2- 5) 其中，^T

( )

ⁱ 為第 i 個付息到期時間，^Y

( )

ⁱ 為無風險零息連續複利收益率。^ai

( )

^h 可 視為 1 單位權利金金額在時間零時的現值與該種發生機率的乘積，^bi

( )

^h 則可視為 1 單位補償金金額在時間零時的現值與該種發生機率的乘積。因此可得到兩者 1 單位金額在時間等於零時的期望現值：

( )

^{h T a}

( )

^{h a}

( )

^h

A , = ₁ +...+ _n ， (2- 6)

( )

h T B

( )

h B

( )

h

B , = ₁ +...+ _n ， (2- 7) 假設交易的一方 B 付給另一方 A 每期的權利金金額為U直至契約到期或違約發 生兩者孰先，另外在違約發生時 A 付給 B 的違約期望補償金為 f (因為在不同的

時間違約可以有不同的補償金，故採用期望值 f )。U 與 f 為信用交換交易契約

唯一的兩種支付金額，而A ,

( )

h T 及B ,

( )

h T 則為兩者的現值，因此當兩種現值有 差異時，交換契約將產生價值V

(

h,T, f,U

)

，其公式如下：

(

h T f U

)

B

( )

hT f A

( )

hT U

V , , , = , − , ， (2- 8) 在無套利空間的理由下，V

(

h,T, f,U

)

必須等於零，則

( )

h,T f −A

( )

h,T U =0

B ， (2- 9) 因此可以藉以求得交換交易的權利金U

(

h,T, f

)

：

( ) ( )

( )

^hT

A T h f B

T h

U ,

, ,

, = (2- 10)

(四) 危險率的估計

在計算權利金的公式中，需要估計期望損失 f (補償金)與危險率h。兩者可 以由參考債權(如 C-FRN)、無風險利率、及有相同優先權債權違約後的價值損失 求得。例如，C-FRN 在時間零的售價為 p ，到期日為Tˆ ，且有一個以比率表示 的價差Sˆ(Spread)，另一相似債權違約後的期望損失為 fˆ ，若無風險FRN 的現值 為 1，則可以求得同時擁有無風險 FRN 長部位及 C-FRN 短部位的投資組合，將 存在著價值

(

1− p

)

，公式如下：

( )

^{hT S B h T f}

A

p ,ˆ ˆ ( , ˆ)ˆ

1− = + ， (2-11) 經由上式即可以估計出危險率h，並藉以進一步求得權利金^U

(

^{h,T, f}

)

^。

四、 Hull-White 模型

Hull & White(2000)提出了一個的信用交換評價模型，也是屬於還原型模型 (Reduced-form Model)的違約模型，用以求出一個陽春型信用交換的權利金。相 關內容如下：

(一) 模型的假設條件

1、 單一且不可能違約的交換交易對手。

2、 單一參考債權(Reference Obligation) 。

3、 使用風險中和違約機率(Risk-neutral Probability)。

4、 風險中和違約機率、利率及回復率三者相互獨立。

5、 不同於 Duffie 的模型使用由時間 t 至t+∆t的違約機率密度函數h

( )

t 。 Hull & White 使用了由時間 0 至 t 的違約機率密度函數q

( )

t。兩者的關係 為：

( ) ( )

= ^{−∫ ( )}

t

d

e h

t h t

q ^{0 τ τ}。

6、 違約時，保險賣方應補償的金額為^L−RL

[

^1+A

( )

^t

]

^=L

[

^1−R−A

( )

^t

]

^{， 其}

中 L 為本金，R 為債券價值的回復率(Recovery Rate)，RL 即為違約後債

券的剩餘價值，而A

( )

t 為應計利息率。

(二) 間斷型時間的違約機率估計

假設有一內含N個相同風險性的債券組合，這些債券的到期日為t ，其中_i

tN

t t

t₁< ₂ < ₃ <...< ，且違約只允許發生在t 。 _i 變數定義如下：

B ：第 j 個債券在時間為 0 時的價格 j

(三) 連續型時間的違約機率估計

π ：沒有發生違約的機率

在文檔中 信用違約交換在金融資產證券化過程中的應用與訂價 (頁 16-29)