Kijima 模型

Kijima(2000)提供了一個用以評價背後標的為債權組合的信用交換的簡單模 型。不像之前的研究，他使用的是在條件獨立的假設下，符合隨機強度過程

(Stochastic Intensity Processes)的聯合存活機率。利用聯合存活機率，則可在風險 中立架構下進行信用交換的評價。模型詳述如下：

一、 信用交換交易評價初步模型

考量一個首家違約型信用交換交易，交易一方 A 將在一籃型(Basket Type) 債權組合中的某一債券發生信用事件時，支付給另一方 B 補償金，其值為違約 債券的面值與違約後市值的差額。而為了彌補 A 的可能的補償金損失，B 必須 每年支付 A 信用交換權利金，直到信用事件發生或契約到期兩者孰先。

假設債權組合中有n個風險性零息債券，若違約尚未發生，υ_i

( )

t,T_i 代表時間 點 t 時第 i 個零息債券的價格，時間點T 為此債券的到期日，且_i i=1,2,...,n。τ_i代 表第 i 個債券的違約時點，首家違約時點則可表示為τ =min_1≤i≤nτ_i。所有的債權 在時間點 t 前皆存活，故τ_i >t，且債券的到期日T 大於交換契約的到期日_i T 。若 違約發生在到期日前，則 A 需支付給 B 補償金Y(τ)可表示為面值與違約時市值的 差額：

( )

^{τ υ}i

( ) ( )

^τ Ti ^φi^τ

Y = , − if τ =τ_i ≤T， (4- 1) 其中φi

( )

^t 為違約發生時點 t 時第 i 個零息債券的市價。

違約發生時點 t 時第 i 個零息債券的市價φi

( )

^t ，可表示如下：

( ) (

i

( ) ) ( )

i i

i t 1 L t υ t,T

φ = − , t≤ ， (4- 2) T_i

這裡的^Li

( )

^t 為違約發生時第 i 個零息債券的市價損失率。藉由(4- 2)式，補償金 )

(τ

Y 的表達可改變為下式：

( )

Li

( ) ( )

i Ti

Y τ = τ υ τ, if τ =τ_i ≤T ， (4- 3) 為了要使違約時間

(

τ₁,τ₂,...,τn

)

可模型化，Kijima(2000)引進了之前學者研究的違 約強度過程及條件獨立性假設。但之前的違約強度過程是只適用於單一的債券標

的，因此 Kijima(2000)擴展了此假設為適合債權組合的新違約強度過程。其假設

( )

^t

h_i , t≥0, i=1,2,...,n代表著不同債權各自的違約強度(Default Intensity)。且假 設一種特定狀況

[ ]

^{R ，}

[ ]

R ：h_i

( )

t 是連續的，有界限的，且滿足h_i

( )

t ≥0及

∫

0^∞h_i

( )

t dt=∞。

另外，也假設無風險即期利率亦是一種隨機過程，以^h0

( )

^t 表示。

假設交易方 B 必須每期t ,_j j=1,2,...,m支付 A 信用交換權利金U (比率表示)，且 在到期日T 之前並無違約發生，則

T t t

t

t≤ ₁< ₂ <...< _m = ，

若違約發生於

(

t_k,t_k+1

]

，則在時間t 後終止權利金支付。另外，在時間間隔_k

[ ]

^{t,T 的}

折現率可表示為

( )

= ^{∫ ( )}

(Conditional Expectation Operator)，1_A代表一指標函數，當違約事件 A 發生時 1

用聯合存活機率的優點是可以得到違約時間的機率分配，進而可以推導隨機變數

τi的任何機率性質。在以下的推導中，將使用固定的機率空間

(

^Ω,F,P

)

^{，並以 E}

代表期望操作元。而機率的量測值 P 屬於風險中立的量測，並假設存在是唯一地 (Uniquely Exist)。源自於隨機過程結構的條件過濾標準(Canonical Filtration)是以

F 表示，在給定此過濾標準後，條件機率則以t P 表示，條件期望操作則以_t E 表_t

示。

二、 聯合存活機率假設

在條件獨立假設之下，聯合存活機率可由違約強度過程^hi

( )

^t 來表達。對於每 一個違約強度過程^hi

( )

^t ，可以定義每一個累積違約強度為：

( )

⁼

∫

t^T i

( )

t t T h s ds

H , , t≤T; i=0,1,...,n， (4-10) 假如^hi

( )

^t 滿足狀況

[ ]

^R ，則在時間T 之內，累積強度H_i

( )

t,T 為非遞減，連續且存 在於任何有限時間間隔內。相對地，e^{−Hi( )t,T} 為非遞減函數，且lim_T→∞e^{−Hi( )t,T} =0，

給定存在的隨機變數τ_i之下，可以得到

{

_{i i}

}

^{Hi( )tti}

T t e

P τ > = ^{− ,} , t≤t_i <T ， (4-11) 此過濾標準為F ，_t F_t =τ

(

h_i

( )

t ,t≤T;i=0,1,...,n

)

。

雖然各違約強度過程^hi

( )

^t 可能非獨立，然而 Kijima and Muromachi (2000)假設違 約時間τ_i為條件獨立的，也就是在給定F ，且_t T ≥max_it_i，可以得到下式：

{ } ∏ { }

藉由總機率法則(Law of Total Probability)，可獲得

{ }

^{( )}

{

>

}

=

{

> > >

}

= ^{−∑= ( )}

( )

現假設第 i 個債券的價值為式(4-20)所示，則將(4-20)代入(4-24)式，可以得到補償 金的期望現值R_A：

( ) ( )

^{( ) ( )}

在文檔中 信用違約交換在金融資產證券化過程中的應用與訂價 (頁 41-48)