一、位值概念的數學意涵與兒童位值概念的發展
國小數學基礎教育中，數與量的內容佔了很大的比例，代表數概念是國小數學教育的重點。
數概念是抽象的，它是由約定俗成的數符號，也就是計數系統（numeration system）來表徵數字 的值。計數系統具有四個特性，分別是位置性質、十進性質、乘法性質、加法性質（Ross, 1989）。 因此，位值概念既是計數系統的特性，也是記錄及書寫多位數字的規則（Saxton & Cakir, 2006）。 位值，是指多位數字中每個數碼的值，為它的面值（face value）和其所在十進位位值單位 的乘積所決定（Miura & Okamoto, 2003; Price, 2001）。例如，「89」中 8 所在位置的單位是十位，
因此其位值是 8 和 10 的乘積，即 80。位值概念看似簡單，實則不然，理解位值代表要釐清數 詞、計數符號與數表徵之間的關係。在數概念建立的歷程中，學生一開始視所有數字為一整體，
之後逐步建構成以10 為一單位的內在表徵，接著重複此步驟，依序往上建構百位、千位……等 多位數概念結構（Fuson, 1990; Rogers, 2012; Thomas, 2004）。除此之外，學生還需要理解十進位 系統中，每個數碼的位值單位都是它右邊單位的十倍，此為計數系統中的倍數關係。位值也是 連結數概念與數符號之間的概念，數符號表徵數值的方式有數詞及計數符號。數詞，也就是口 語表達的數量單位，在中文系統中有個、十、百、千……，當我們說七千時，即可知道數量；而 數字的計數符號則會以7000 來表示，在 7 的後面補上三個零，零在個位、十位、百位的位置中 做為佔位符（place holders）。另外，我們也會使用具體物來表徵數值，能夠連結這些表徵數字的 符號和其組成結構，即能清楚理解位值概念（Hiebert & Wearne, 1992）。
1970 和 1980 年代，許多探究兒童如何發展數字系統與二位數位值概念的文獻紛紛出爐。
Kamii（1986）以皮亞傑的理論來檢視兒童位值概念的發展，皮亞傑認為數概念屬於邏輯數學知 識（logico-mathematical knowledge），此知識為兒童在心中建立對概念的理解，非直觀而得。所 以兒童之所以有學習位值概念的困難，肇因於反思抽象（reflective abstraction）的能力不同，也 就是人們在心中對數學概念所建構的意義各有不同。於是 Kamii 根據此理論對兒童進行研究，
他請兒童以十個一數的方式來數塑膠片，結果兒童有四種反應，分別為：層次一，兒童不懂十 個一數；層次二，兒童可以十個一數，但無法保留整體數的概念（認為70 個塑膠片的數量為 7）； 層次三，仍以一個一個數的方式來數十；層次四，可以十個一數，並保留對數字整體的概念。
Ross（1986）認為數字的部分與全體關係（part-whole relationship）是理解位值的先決條件，他 對60 位國小二到五年級的學生（每個年級 15 位學生）做了一系列測驗，並提出兒童位值概念 發展的五個階段：階段一，學生只認識數字的整體；階段二，學生可以分別十位與個位的位置；
階段三，學生認為十位的數碼就是數字的值，即為面值；階段四，學生可以區分個位、十位的數 值意涵，但卻不穩固；階段五，學生已能區分個位、十位的數值，且能以多樣的方式呈現數值。
有鑑於英文和華語數詞表達的差異，對數的兩階結構之表達有不同，例如：英文中「三十五」的 十位數詞讀法（thirty）無法直接像華語數詞（三十）能連結十進位結構，這樣文化環境差異下 兒童的位值概念發展是否有所不同，值得進一步探討。
目前，以我國低年級兒童位值概念發展為主的研究顯示，學童對十位位值概念的掌握尚不 穩固。羅素貞（2005）以高屏地區國小一到三年級學生為研究對象，發現二年級學生對於指認
「個位」數值已十分熟悉，但只有 60%的學生成功指認「十位」數值。袁媛等人（2017）以自 編的位值測驗，檢測桃園市國小一、二年級學生之二位數位值概念發展，其中只有 50%的二年 級學生已達理解個位、十位的階段。由於低年級為建立基礎數概念的關鍵期，課程內容也多著 墨於位值概念的建立，但學生十位位值概念的建立並不理想。
二、表徵物與數學學習表現的關係
表徵為人們溝通數學概念的橋樑，教師為了讓學生學習以抽象符號運思數學概念，會使用 不同的表徵進行教學，如具體物、符號、圖畫、表格……等。過去許多研究也顯示，表徵的運用 及教學使用可能影響學生的學習。例如：黃一泓和謝進泰（2016）研究發現在透過基準量及比 較量關係進行解題時，學生在成比例線段圖的解題表現會優於長度線段圖（圖1）；Schiffman 與 Laski（2018）研究 29 位 6 歲左右的幼稚園學生，分別以不規則排列表徵與線性排列表徵教導學 生數量關係（圖2），結果顯示使用線性排列表徵學習的學生在加法問題的解題正確率提高。因 此，表徵物的使用及教學是會影響學生的學習及表現的。
圖1 長度線段圖與成比例線段圖呈現問題的方式
圖 2 兩種不同的表徵(a)不規則排列的表徵(b)線性排列的表徵。引自”Materials count: Linear-spatial materials improve young children's addition strategies and accuracy, irregular arrays don't,” by J. Schiffman and E. V. Laski, 2018, Plos One, 13(12), p.4.
根據目前課程綱要及學校數學教材的內容安排，國小低年級學生需理解位值結構與單位換 算。教師以及教科書在引導低年級學生數數，以及學習一百以內數的位值概念時，常使用冰棒 棍、豆子、古氏積木與錢幣等表徵物做教學。根據這些表徵物的性質，我們可將其分為成比例 與不成比例的表徵兩類。這些表徵物對於兒童學習位值概念都十分重要，若兒童能以豐富且抽 象的方式理解數概念，代表能整合不同表徵之間的關係，從而彈性的解決問題。成比例的表徵 物即為數量和表徵的大小有比例關係，舉櫻桃為例，10 顆櫻桃組成的大小是 1 顆櫻桃的十倍，
所以屬於成比例的表徵物。而不成比例的表徵物則沒有按比例來分數量大小，如錢幣，十元錢 幣和一元錢幣的大小之間沒有 10 倍差距。在九年一貫課程能力指標中（教育部，2009），低年 級數學有強調錢幣的換算，代表不成比例教具在位值理解上的重要性。不只如此，錢幣也是生 活中常見的物品，相關研究指出，使用生活情境的問題或具體物能幫助學生解決數學問題、理 解數學概念（Baranes, Perry, & Stigler, 1989; Carraher, Carraher, & Schliemann, 1985）。
在學校中，古氏積木中的「一和十」是最常使用作為位值概念教學的成比例教具，它含有 十進位結構，白色正方體小積木代表「一」、長條橘色棒子可以看到劃分成十等分的線條，代表
「十」。透過古氏積木所呈現的位值概念，可以讓兒童明白數系統，古氏積木成比例的特性也能 讓兒童明白數系統中的十進位性質（Chan et al., 2017; Hiebert & Carpenter, 1992）。然而，已具備
高層次抽象概念的教師，可以同時明白長條橘色棒子表徵「1 個十」也是「10 個一」，但兒童還 沒建立這樣的概念以前，無法同時並存這兩種想法（Baroody, 1989; Kamii & Housman, 2000）。
若教師在教學時，沒有仔細引導兒童建立此概念，可能會讓兒童處在面值（face value）階段，
即以數字表面的值來理解數字。然而只要運用得當，古氏積木可以是強而有力的支持性表徵，
引導學生思考數符號結構間的關聯，從而建立堅實的表徵系統（Fuson & Briars,1990）。
袁媛等人（2017）以低年級學生為對象，使用 Ross（1986）所區分的三種數字排列方式設 計位值概念測驗，並分別以古氏積木、錢幣與雞蛋三種表徵物呈現問題，分析一、二年級學生 的位值發展現況並予以分類，並比較學生在此三種表徵物問題下的表現差異。其結果發現，大 部分的一年級學生尚不理解位值的意涵，而二年級學生只有一半左右具備二位數位值概念。學 生在三種表徵物問題的表現中，錢幣與雞蛋問題沒有差別，但學生在古氏積木問題的表現是最 差的。此研究結果與傳統認知上的並不相同，一般認為古氏積木的問題對學生來說會感到較容 易，因為它具有十進位結構，而且是成比例的表徵物。而學生會在錢幣的位值問題上感到較困 難，是因為錢幣並非成比例的表徵物。由於過去少有這方面的研究，而且此研究設計還有須要 改進的地方，例如，測驗題本沒有經過對抗平衡設計，固定的表徵物問題順序讓學生可能因練 習效應影響表現。其次，該研究所使用的位值概念測驗裡，個位題目只有 9 題，十位題目卻占 了18 題，整整多了一倍，位值題型所占的比重不同，是否會影響學生在不同表徵物問題下的表 現，此有待商榷。此外，該研究測驗中所選擇的雞蛋表徵，因以十為單位呈現仍具有十進位結 構，所以該研究實際尚未探討到非十單位結構的成比例表徵問題對學生概念表現的影響。
基此，本研究擬修正該研究設計上的不足，以驗證不同表徵物問題對學生位值發展的影響。
首先，本研究將測驗工具修正成個位與十位題目各佔一半，以避免位值題目數影響表現。第二，
將測驗以對抗平衡的方式設計，避免所有學生皆先測古氏積木問題，造成表現失準。第三，研 究對象以二年級學生為主，是因二年級在個位與十位位值學習的時間較長，且作答較穩定，不 易有漏答的情形，造成樣本數的缺失。本研究以櫻桃表徵和古氏積木與錢幣表徵物做比較，主 要是想藉由研究設計的修正，探究非十單位結構表徵物問題對學生位值表現的影響。先前袁媛 等人（2017）的研究結果顯示，學生在雞蛋問題的表現優於古氏積木問題，可能是因雞蛋在生 活中會以十為單位結構做包裝，此特性就如內建的十進位結構，讓學生在作答時感到較容易。
若將非十單位結構的櫻桃加入問題，與古氏積木、錢幣問題作對照，可以拓展不同表徵物問題 影響學生位值概念表現的研究。