第三章 研究方法
第一節 資料包絡分析法
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第三章 研究方法
一般企業經營時，其經營理念便是希望能藉由較少的投入，達到最大的產出，而 衡量投入與產出間的關係與其相對表現，便是績效評估的意義，一般管理中常使用的 評估方向分為效能與效率，效能通常僅考慮產出最大化，而不考量其所需之投入量，
然而效率除考慮產出量外，亦須考量投入量，希望以最少的投入獲得一定的產出，亦 或是一定的投入下使產出最大化。
資料包絡分析法（Data Envelopment Analysis，DEA）便是以效率的觀點衡量績 效，採用柏瑞圖最適境界(Pareto Optimality)之概念，評估受評單位(Decision Making Unit，DMU)的相對效率，因此法能夠以客觀的方式衡量企業之經營效率，在各項領 域皆被廣泛地應用。
第一節 資料包絡分析法
一、 基本概念
經濟學中，假設所有單位在現有技術下之投入與產出組合，為生產可能集合，而「不 同投入組合下所能獲得的最大產出」則為生產函數之意義，代表目前環境的生產技術下，
各生產單位投入組合因經營效率未能達完美，而無法達到投入應能生產之最大產出，因 此最大產出又稱為生產前緣(Production Frontier)。
由圖 3-1 可見生產前緣與效率間的關係，在單一投入 X 與單一產出 Y 下，生產前 緣(最大產出)即為曲線 OP，因此衡量各投入單位之生產結果是否有效率時，則應與 OP 相比較，而曲線OP’則代表平均產出，表示在不同投入下之最「有可能」產出，或稱為 期望產出，因此與最大產出之意義不同。以圖中 A 點為例，其投入量為 OI，產出量為 AI，然根據生產前緣的結果，理論上投入量為 OI 下之最大產出應為 A’I，因此 A 點之 效率為AI
A′I，由於是以產出之觀點考量生產效率，因此此種衡量效率方式為產出效率。若
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以投入之觀點考量生產效率，根據生產前緣之結果，在 A 點下產出 AI 之產量其實僅需 投入量 OI’，因此投入效率為OI′
OI。
圖 3-1 生產前緣與效率的關係
上述概念亦可應用於多投入多產出之情況，然而平面圖形無法顯示此種情況，需以 線性規劃之方式解釋，而以線性規劃解釋效率，首先須先推估其生產函數，一般分為生 產函數能以特定函數表示之有母數與生產函數無法使用特定函數表示之無母數兩大類，
經濟學常使用之 Cobb-Douglas 函數：Y = a𝑋1𝑏𝑋2𝑐為有母數生產函數之一種，而資料包絡 分析法則屬於無母數之一種方式。
資料包絡分析法中推估生產函數的概念，即是將各觀測點中最有利之組合以線包絡 而成，即將觀測點中最外圍者進行連線，以圖 3-2 為例，A、B、C、D、E、F 為六個評 估績效之生產單位，在變動規模報酬下，單一投入 X 與單一產出 Y 分別之投入與產出 組合，而 A、B、C、D 四點連結而成之包絡線，則為最有利之生產函數，超出 D 的部 分則為水平線，代表即使投入增加，產出也不應低於 D 之產出量，A、B、C、D 因位在 生產函數上，故其生產效率為 1，而 E 與 F 點位於生產函數內，代表其未達效率，產出 效率分別為EI𝐸
E′I𝐸與FI𝐹
F′I𝐹。
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圖 3-2 資料包絡分析法推估生產函數
二、 CCR 模式
資料包絡分析法之名稱，最早出現於 Charnes, Cooper 與 Rhodes (1978)之文章中，
當中提出 CCR 模式，此模式假設生產為固定規模報酬，即當投入等比例增加時，產出 也為等比例增加，CCR 模式藉由線性規劃之方式，對於各個受評單位(Decision Making Unit，DMU)之投入與產出量給予最有利之權重，使其產出加權組合與投入加權組合之 比值最大化，並代表各受評單位(DMU)相對效率之結果，其相對效率值介於 0 與 1 間，
而 CCR 模式分為投入導向與產出導向衡量效率值，並分有線性規劃方式與對偶問題之 方式解決線性規劃之問題。
1. 投入導向
投入導向之效率即為在目前產出下，投入量應為多少才為有效率 (1) 原始評估模式
原始評估模式即為依據定義之效率衡量方式，效率為產出加權組合/投入加權組 合，假設單位 j (j=1,2,….,n) 使用第 i 項 (i=1,2,…,m) 投入量為𝑋𝑖𝑗，單位 j 第 r 項 (r=1,2,….,s)產出量為𝑌𝑟𝑗，則單位 k 之效率在原始評估模式下為：
Max. ℎ𝑘 = ∑𝑠𝑟=1𝑢𝑟𝑌𝑟𝑘
∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑋𝑖𝑘
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s. t. ∑ 𝑢𝑟𝑌𝑟𝑗
𝑠𝑟=1
∑𝑚 𝑣𝑖𝑋𝑖𝑗 𝑖=1
≤ 1, 𝑗 = 1, ⋯ 𝑛 (3.1) 𝑢𝑟, 𝑣𝑖 ≥ 0, 𝑟 = 1, ⋯ 𝑠, 𝑖 = 1, ⋯ 𝑚
其中 ℎ𝑘代表第 k 個 DMU 之效率值 𝑌𝑟𝑘代表第 k 個 DMU 之第 r 個產出項 𝑥𝑖𝑘代表第 k 個 DMU 之第 i 個投入項
𝑢𝑟代表第 r 個產出項之權重 𝑣𝑖代表第 i 個投入項之權重
n 代表 DMU 之個數、m 代表投入項之個數、s 代表產出項之個數
第 3.1 式代表每一個 DMU 之實際產出與實際投入比值，應介於 0 與 1 之間，
𝑢𝑟、𝑣𝑖之值由第 3.1 式估計 DMU 的效率獲得，不需事先由決策者決定。
(2) 線性規劃模式
在原始評估模式下之目標函數為分數型式之線性規劃方程式，運算較為困難外，
更有可能會出現無窮解，因此轉換上述之模式為線性規劃模式，將原始評估模式之 目標式分母設為 1，並對原限制不等式同乘∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑥𝑖𝑗，修改成以下之形式：
Max. ℎ𝑘 = ∑𝑠𝑟=1𝑢𝑟𝑌𝑟𝑘 s. t. ∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑋𝑖𝑘 = 1 (3.2)
∑𝑠𝑟=1𝑢𝑟𝑌𝑟𝑗− ∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑋𝑖𝑗 ≤ 0, 𝑗 = 1, ⋯ 𝑛 (3.3) 𝑢𝑟, 𝑣𝑖 ≥ 0, 𝑟 = 1, ⋯ 𝑠, 𝑖 = 1, ⋯ 𝑚
原始評估模式(3.1)與線性規劃模式(3.2)之最佳目標函數值相同，但所求得之 𝑢𝑟∗, 𝑣𝑖∗因多解之緣故而不完全相同，並存在一線性關係。第 3.3 式具有經濟上之意涵，
代表追求最大產出時，需受限於單位實際投入，且實際產出不能超過實際投入，這 代表符合柏瑞圖最適境界，為增加最大效率，僅能藉投入項之增加或產出項之減少。
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(3) 對偶模式
由於線性規劃問題存在對偶問題，使用對偶問題解決線性規劃問題將能更有效 率計算，並能提供更多參考資訊，如差額變數等。
𝑚𝑖𝑛. ℎ𝑘 = 𝜃 − 𝜀(∑𝑚𝑖=1𝑠𝑖−+ ∑𝑠𝑟=1𝑠𝑟+) 𝑠. 𝑡. ∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗𝑋𝑖𝑗 − 𝜃𝑋𝑖𝑘+ 𝑠𝑖− = 0, 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚
∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗𝑌𝑟𝑗− 𝑠𝑟+ = 𝑌𝑟𝑘, 𝑟 = 1, ⋯ , 𝑠 (3.4) 𝜆𝑗, 𝑠𝑖−, 𝑠𝑟+ ≥ 0, 𝑗 = 1, ⋯ 𝑛, 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚, 𝑟 = 1, ⋯ , 𝑠
其中 𝑠𝑖−表示第 i 個投入項的差額變數 𝑠𝑟+表示第 r 個產出項的差額變數
𝜆𝑗表示第 j 個 DMU 的權重 𝜃無正負限制
受評估的 DMU 有以下三種可能情形的 CCR 效率：
a. 若𝜃 < 1，則 DMU 無 CCR 效率
b. 若𝜃 = 1，但𝑠𝑖−或（且）𝑠𝑟+不為 0，則 DMU 不具 CCR 效率
c. 若𝜃 = 1，且𝑠𝑖− = 𝑠𝑟+ = 0，則 DMU 位於效率前緣上，並具有 CCR 效率
若 k 為 無 效 率 之 單 位 ， 其 位 於 生 產 曲 線 上 之 評 比 單 位 的 座 標 為
（∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗∗𝑋𝑖𝑗, ∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗∗𝑌𝑟𝑗），依據限制式顯示∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗∗𝑋𝑖𝑗 = 𝜃∗𝑋𝑖𝑘− 𝑠𝑖−∗與∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗∗𝑌𝑟𝑗 = 𝑌𝑟𝑘+ 𝑠𝑟+∗，因此無效率的單位 k 若欲調整至最適效率，需進行調整∆𝑋𝑖𝑘 = 𝑋𝑖𝑘− (𝜃∗𝑋𝑖𝑘− 𝑠𝑖−∗), 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚，而∆𝑌𝑟𝑘= (𝑌𝑟𝑘+ 𝑠𝑟+∗) − 𝑌𝑟𝑘, 𝑟 = 1, ⋯ , 𝑠，即代表單位 k 應減少∆𝑋𝑖𝑘的投入，或增加∆𝑌𝑟𝑘 = 𝑠𝑟+∗的產出便能達至效率。
2. 產出導向
不同於投入導向以追求投入極小化，達成目前生產水準之產出，產出導向則追 求目前投入水準下之產出極大化
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𝑢𝑟, 𝑣𝑖 ≥ 𝜀 > 0, 𝑟 = 1, ⋯ , 𝑠, 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚 (3) 對偶模式
𝑀𝑎𝑥. 1
𝑔𝑘= 𝜃 + 𝜀(∑𝑚𝑖=1𝑠𝑖++ ∑𝑠𝑟=1𝑠𝑟−) 𝑠. 𝑡. ∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗𝑌𝑟𝑗− 𝜃𝑌𝑟𝑘− 𝑠𝑟− = 0, 𝑟 = 1, ⋯ , 𝑠
∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗𝑋𝑖𝑗 + 𝑠𝑖+ = 𝑋𝑖𝑘, 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚 (3.7) 𝜆𝑗, 𝑠𝑖+, 𝑠𝑟− ≥ 0, 𝑗 = 1, ⋯ 𝑛,
而對於未達效率之 DMU，則可藉由調整∆𝑋𝑖𝑘 = 𝑋𝑖𝑘− (𝑋𝑖𝑘− 𝑠𝑖+∗), 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚，
∆𝑌𝑟𝑘= (𝜃∗𝑌𝑟𝑘+ 𝑠𝑟−∗) − 𝑌𝑟𝑘, 𝑟 = 1, ⋯ , 𝑠，即應減少∆𝑋𝑖𝑘的投入，或增加∆𝑌𝑟𝑘的產出 便能達至效率。
三、 BCC 模式
Banker, Charnes and Cooper (1984)提出 BCC 模式，其假設與 CCR 不同之處，在於 BCC 假設變動規模報酬，而非固定規模報酬，在變動規模報酬下，固定投入之增加，不 會有相對應之產出增加，由圖 3-3 可見 CCR 模式與 BCC 模式間之關係，若有 A、B、
C、D、E 五個待評估績效之生產單位，單一投入 X 與單一產出 Y 下，在固定規模報酬 下，其生產前緣為一通過原點之直線 OCD，A、B、E 不具效率，而在變動規模報酬下，
其生產前緣為一曲線 BCDE，A 點不具效率，因此以 A 點為例，其 CCR 投入效率為
𝑂𝐼𝐴𝑜
𝑂𝐼𝐴，BCC 投入效率為𝑂𝐼𝐴∗
𝑂𝐼𝐴，兩者間之差異乃因規模報酬的假設不同而造成，因此 CCR 效率與 BCC 效率之比值𝑂𝐼𝐴𝑜
𝑂𝐼𝐴∗稱為規模效率（Scale Efficiency, SE），而 CCR 效率稱為生 產效率（Productive Efficiency, PE），BCC 效率稱為技術效率（Technical Efficiency, TE）。 BCC 模式亦如 CCR 模式一樣，分為投入導向與產出導向衡量效率值，並有線性規劃方 式與對偶問題之方式解決線性規劃之問題。
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圖 3-3 固定規模報酬與變動規模報酬之生產前緣關係 1. 投入導向
(1) 原始評估模式
假設單位 j (j=1,2,….,n) 使用第 i 項 (i=1,2,…,m) 投入量為𝑋𝑖𝑗，單位 j 第 r 項 (r=1,2,….,s)產出量為𝑌𝑟𝑗，則單位 k 之效率在原始評估模式下為：
Max. ℎ𝑘= ∑𝑠𝑟=1𝑢𝑟𝑌𝑟𝑘− 𝑢0
∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑋𝑖𝑘 s. t. ∑𝑠𝑟=1𝑢𝑟𝑌𝑟𝑗− 𝑢0
∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑋𝑖𝑗 ≤ 1, 𝑗 = 1, ⋯ , 𝑛 (3.8) 𝑢𝑟, 𝑣𝑖 ≥ 0, 𝑟 = 1, ⋯ , 𝑠, 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚
其中 ℎ𝑘代表第 k 個 DMU 之效率值 𝑢0無正負限制
𝑌𝑟𝑘代表第 k 個 DMU 之第 r 個產出項 𝑋𝑖𝑘代表第 k 個 DMU 之第 i 個投入項
𝑢𝑟代表第 r 個產出項之權重 𝑣𝑖代表第 i 個投入項之權重
n 代表 DMU 之個數、m 代表投入項之個數、s 代表產出項之個數
比較 CCR 模式之 3.1 式與 BCC 模式之 3.8 式，可見兩者差異在於 BCC 模式下多
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𝑢0項，此項代表生產函數的截距項，使生產函數不必經過原點，以圖 3-3 為例，−𝑢0 代表 X 軸之截距，並有以下三種可能性：
a. 若−𝑢0為正值，則對應的生產前緣線段屬於規模報酬遞增，如 BC 線段 b. 若−𝑢0為 0，則對應的生產前緣線段屬於固定規模報酬，如 CD 線段 c. 若−𝑢0為負值，則對應的生產前緣線段屬於規模報酬遞減，如 DE 線段 (2) 線性規劃模式
將原始規劃模式 3.8 式目標函數之分母設為 1，並對限制式分子與分母同乘
∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑋𝑖𝑘，即可轉換為線性規劃模式，結果如下：
Max. ℎ𝑘 = ∑𝑠𝑟=1𝑢𝑟𝑌𝑟𝑘− 𝑢0 s. t. ∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑋𝑖𝑘 = 1 (3.9)
∑𝑠𝑟=1𝑢𝑟𝑌𝑟𝑗− ∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑋𝑖𝑗 − 𝑢0 ≤ 0, 𝑗 = 1, ⋯ 𝑛 (3.10) 𝑢𝑟, 𝑣𝑖 ≥ 0, 𝑟 = 1, ⋯ , 𝑠, 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚
𝑢0無正負限制 (3) 對偶模式
𝑚𝑖𝑛. ℎ𝑘 = 𝜃 − 𝜀(∑𝑚𝑖=1𝑠𝑖−+ ∑𝑠𝑟=1𝑠𝑟+) 𝑠. 𝑡. ∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗𝑋𝑖𝑗− 𝜃𝑋𝑖𝑘 + 𝑠𝑖− = 0, 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚
∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗𝑌𝑟𝑗− 𝑠𝑟+ = 𝑌𝑟𝑘, 𝑟 = 1, ⋯ , 𝑠
∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗 = 1 (3.11)
𝜆𝑗, 𝑠𝑖−, 𝑠𝑟+ ≥ 0, 𝑗 = 1, ⋯ , 𝑛, 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚, 𝑟 = 1, ⋯ , 𝑠
由第 3.11 式與第 3.4 式可知，3.11 式多一限制式∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗 = 1，當以 3.4 式求解 DMU 效率時，如∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗∗ = 1，表示此 DMU 為固定規模報酬階段；如∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗∗ < 1，
表示此 DMU 為規模報酬遞減階段；∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗∗ > 1，表示此 DMU 為規模報酬遞增階 段。對於未達效率之 DMU，則可藉由調整∆𝑋𝑖𝑘 = 𝑋𝑖𝑘− (𝜃∗𝑋𝑖𝑘− 𝑠𝑖−∗), 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚，
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而∆𝑌𝑟𝑘= (𝑌𝑟𝑘+ 𝑠𝑟+∗) − 𝑌𝑟𝑘, 𝑟 = 1, ⋯ , 𝑠，即應減少∆𝑋𝑖𝑘的投入，或增加∆𝑌𝑟𝑘的產出便 能達至效率。
2. 產出導向
(1) 原始評估模式
𝑚𝑖𝑛. 1
𝑔𝑘= ∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑋𝑖𝑘+𝑣0
∑𝑠𝑟=1𝑢𝑟𝑌𝑟𝑘 s. t. ∑ 𝑣𝑖𝑋𝑖𝑗+𝑣0
𝑚 𝑖=1
∑𝑠𝑟=1𝑢𝑟𝑌𝑟𝑗 ≥ 1, 𝑗 = 1, ⋯ , 𝑛 (3.12) 𝑢𝑟, 𝑣𝑖 ≥ 𝜀 > 0, 𝑟 = 1, ⋯ , 𝑠, 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚
𝑣0無正負限制 (2) 線性規劃模式
𝑚𝑖𝑛. 1
𝑔𝑘= ∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑋𝑖𝑘+ 𝑣0 𝑠. 𝑡. ∑𝑠𝑟=1𝑢𝑟𝑌𝑟𝑘= 1
∑𝑚𝑖=1𝑣𝑖𝑋𝑖𝑗− ∑𝑠𝑟=1𝑢𝑟𝑌𝑟𝑗+ 𝑣0 ≥ 0, 𝑗 = 1, ⋯ , 𝑛 (3.13) 𝑢𝑟, 𝑣𝑖 ≥ 𝜀 > 0, 𝑟 = 1, ⋯ , 𝑠, 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚 (3) 對偶模式
𝑀𝑎𝑥. 1
𝑔𝑘 = 𝜃 + 𝜀(∑𝑚𝑖=1𝑠𝑖++ ∑𝑠𝑟=1𝑠𝑟−) 𝑠. 𝑡. ∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗𝑌𝑟𝑗− 𝜃𝑌𝑟𝑘− 𝑠𝑟− = 0, 𝑟 = 1, ⋯ , 𝑠
∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗𝑋𝑖𝑗+ 𝑠𝑖+ = 𝑋𝑖𝑘, 𝑖 = 1, ⋯ , 𝑚 (3.14)
∑𝑛𝑗=1𝜆𝑗 = 1 𝜆𝑗, 𝑠𝑖+, 𝑠𝑟− ≥ 0, 𝑗 = 1, ⋯ 𝑛,
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