近岸水動力模式

驗室之 CIRP(Coastal Inlets Research Progrram)計畫支持下所研發完 成 CMS(Coastal Modeling System)，該模式說明如下：

1. 近岸波浪模擬

近岸波場模擬採美國陸軍兵工團研發之 CMS-WAVE 對研 究區的波場進行數值模擬。CMS-WAVE 近岸波場模式是一個 波譜模式，利用含近岸繞射項之改良型波浪作用力守恆方程式 (Mase, 2001)，推算外海波浪傳遞至近海之折、繞射情形，同時 將波浪淺化、碎波和底床摩擦等效應代入考量，可分析單頻線 性波浪經折、繞射作用後的波高、相位、碎波及輻射應力分布，

基本方程式如下：

𝜕(𝐶_𝑥𝑁)

Whitham 1974)，控制方程式亦包含波繞射和能量耗散項 (Mase et al. 2005a)。𝐶和𝐶_𝑔分別為波速及群波速度，𝑥和𝑦是水平面坐

流場模擬擬採用擬採美國陸軍兵工團研發之 CMS-FLOW 對研究區的波場進行數值模擬水理模式計算，探討包括本區海

水動力模式控制方程式如下：

其中，𝑅為水力半徑，𝑛為 Manning's coefficient。

當需考慮波浪作用力時，底床剪應力可表示為 (Nishimura, 1988)：

𝜏_𝑏𝑥 = 𝐶_𝑏{(𝑈_𝑤𝑐+_𝑈^𝜔𝑏2

𝑤𝑐𝑐𝑜𝑠²𝛼) 𝑢 + (_𝑈^𝜔𝑏2

𝑤𝑐𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛼) 𝑣} ^(5.13) 𝜏_𝑏𝑦 = 𝐶_𝑏{(_𝑈^𝜔𝑏2

𝑤𝑐𝑐𝑜𝑠 𝛼 𝑠𝑖𝑛 𝛼) 𝑢 + (𝑈_𝑤𝑐 +_𝑈^𝜔𝑏2

𝑤𝑐𝑠𝑖𝑛²𝛼) 𝑣} ^(5.14) 其中，α 是波浪行進方向與 x 軸的交角。

𝑈_𝑤𝑐 = ¹₂{√|𝑢²+ 𝑣² + 𝜔_𝑏²+ 2(𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑣 𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝜔_𝑏|

+ √|𝑢²+ 𝑣² + 𝜔_𝑏²− 2(𝑢 𝑐𝑜𝑠 𝛼 + 𝑣 𝑠𝑖𝑛 𝛼)𝜔_𝑏|}

(5.15)

𝜔_𝑏 = 𝜎𝐻

𝜋 𝑠𝑖𝑛ℎ[𝑘(ℎ + 𝜂)] ^(5.16) 其中，𝜎是波浪角頻率，𝐻是波高，𝑘是波數。

表面風應力計算如下：

𝜏_𝑤𝑥 = 𝐶_𝑑 𝜌_𝑎

𝜌_𝑤𝑊²𝑠𝑖𝑛 𝜃 (5.17)

𝜏_𝑤𝑦 = 𝐶_𝑑 𝜌_𝑎

𝜌_𝑤𝑊²𝑠𝑖𝑛 𝜃 ^(5.18) 其中，𝐶_𝑑為風的拖曳係數(wind drag coefficient)，𝜌_𝑎為空氣密度，

𝜌_𝑤為水體密度，𝑊為風速，𝜃為風向(風向角度為卡式坐標角度，

0 度為東方)。

風場引致之輻射應力可表示為：

𝜏_𝑠𝑥 = − 1

𝜌_𝑤(𝜕𝑆_𝑥𝑥

𝜕𝑥 +𝜕𝑆_𝑥𝑦

𝜕𝑦 ) ^(5.19)

𝜏_𝑠𝑦 = − 1

𝜌_𝑤(𝜕𝑆_𝑥𝑦

𝜕𝑥 +𝜕𝑆_𝑦𝑦

𝜕𝑦 ) ^(5.20)

其中，波浪輻射應力的引入是透過與 CMS-WAVE 模組之結合，

並根據線性理論計算所得。當坐標系統中的𝑥軸垂直於岸線時，

輻射應力表示如下(Smith 等人, 2001)

𝑆_𝑥𝑥 = ∬ 𝐸(𝜔, 𝛼) [0.5 (1 +𝑠𝑖𝑛ℎ 2𝑘(ℎ+𝜂)^{2𝑘(ℎ+𝜂)} ) (𝑐𝑜𝑠²𝛼 + 1) −

0.5] 𝑑𝜔𝑑𝛼 ^(5.21)

𝑆_𝑥𝑦 = ∬^{𝐸(𝜔,𝛼)}₂ [0.5 (1 + ^{2𝑘(ℎ+𝜂)}

sinh 2𝑘(ℎ+𝜂)) sin 2 𝛼] 𝑑𝜔𝑑𝛼 ^(5.22) 𝑆_𝑦𝑦 = ∬ 𝐸(𝜔, 𝛼) [0.5 (1 +𝑠𝑖𝑛ℎ 2𝑘(ℎ+𝜂)^{2𝑘(ℎ+𝜂)} ) (𝑠𝑖𝑛²𝛼 + 1) −

0.5] 𝑑𝜔𝑑𝛼 ^(5.23)

其中𝑆_𝑥𝑥為正向岸邊的動量，𝑆_𝑥𝑦為平行海岸的動量，𝑆_𝑦𝑦為沿岸 流的動量。

科氏力(Coriolis)如下：

𝑓 = 2𝛺 𝑠𝑖𝑛(𝜑) ^(5.24)

其中𝛺為地球旋轉角頻率，𝜑為緯度。

渦動黏滯係數為與水體中混擾強度相關的係數，於遠離碎 波帶的區域，波浪引起的水體擾動微弱，故可忽略。此情況下 渦動黏滯係數可表示為：

𝐷₀ =1

2[1.156𝑔(ℎ + 𝜂)|𝑈|

𝐶²] ^(5.25)

相對的，碎波帶附近因碎波引起的水體擾動影響顯著，此 時渦動黏滯係數可表示如下：

𝐷_𝑤 = 𝜀_𝐿 ^(5.26)

𝜀_𝐿 = 𝛬𝑢_𝑚𝐻 ^(5.27)

𝑢_𝑚 = 𝑔𝐻𝑇

[2𝜆 𝑐𝑜𝑠ℎ (2𝜋(ℎ + 𝜂)

𝜆 )] ^(5.28)

實際上，碎波附近水體的混擾為三維現象，其物理機制無 法反應於水深積分二維模式。前述渦動黏滯係數的引入乃為權 宜的處理方式，藉以在二維模式中考慮三維紊流的影響。

由前述說明可知碎波帶附近與遠離碎波帶區域的渦動黏滯 係數是不同的，為使模式計算時能連結兩區域，故引入一權重 係數(𝜃_𝑚)如下：

𝐷 = (1 − 𝜃_𝑚)𝐷₀+ 𝜃_𝑚𝐷_𝑤 ^(5.29)

𝜃_𝑚 = ( 𝐻 ℎ + 𝜂)

3

(5.30)

風吹造成的水體流動在淺水區較為明顯，因此必須考慮。

風速與摩擦力是影響空氣與表面水體間動能交換的主要因素，

兩者可表示為(Hsn, 1988)：

𝑊_𝑧 = 𝑊_∗ 𝜅 1𝑛 𝑍

𝑍₀ ^(5.31)

𝜏₀ = 𝜌_𝑎𝑊_∗² = 𝜌_𝑎𝐾_𝑚𝜕𝑊

𝜕𝑧 ^(5.32)

基於自然穩定之大氣條件的假設，水面摩擦係數如下：

𝐶₁₀ = ( 𝜅

14.56 − 2 𝑙𝑛 𝑊₁₀)^{2 (5.33)} 其中𝑊₁₀為平均水面上方 10 m 處的風速，可表示如下：

𝑊₁₀ = 𝑊_𝑧(10

CMS-FLOW 計算輸砂率及隨水深變化的輸砂率梯度，主要 有三種輸砂方程式可選擇：

(1) Watanabe(1987)總輸砂量公式。

(2) Lund-CIRP (Camenen and Larson 2005, 2006)總輸砂量公式

Lund-CIRP 公式有平滑過渡的特性，例如碎波與非碎波間的過 渡區及純流的輸送及波流輸送的過渡區。

CMS-FLOW 考慮兩種形態限制：(a)堅硬底床(不可侵蝕底 床)及(b)底床坡度超過特定值的崩塌。如果存在沉積條件，堅硬