(5) 底床形態計算
附圖 2. 2 在不同活動度，Van Rijn (1984c)對以相對深度為底床形 狀高度函數的預測
0.3
[1 − 𝑒−0.5(𝑀−1)](24 − 𝑀) 1 < 𝑀 ≤ 24 𝜂𝑏 = 0 𝑀 > 24
(12)
此為穩態方程式，活動度小於 1（無輸砂）時或在活動度大 於 24（會淘洗掉底床形狀的高流況）時，是預測不出任何底床形 狀。式(12)的繪圖可見於附圖 2.2。
附圖 2.2 在不同活動度，Van Rijn (1984c)對以相對深度為底床形 狀高度函數的預測
對於極細砂質（𝐷50 < 0.05𝑚𝑚），底床形狀無法發展。於 PTM
中，若𝐷50 < 0.05𝑚𝑚，則假設底床糙度僅以表面摩擦力來定義，
如：
𝑘𝑠′ = 3 ⋅ 𝐷90 (13)
以上的公式可計算平衡底床形狀高度(equilibrium bed form height)。在自然界中，底床形狀不斷因流況改變而調整。底床形 狀變化率與局部底床載輸砂率(local bed load transport rate 有關
（van Rijn 1984a; Nielsen 1992）。在 PTM 中應用了一個簡單的算 法以使底床形狀可由原本的高度逐漸調整成其新的平衡高度。底
(6) 輸砂勢能率(Potential transport rate)：
PTM 需要計算域的輸砂勢能率來計算輸砂之梯度以推估定 點底床侵蝕或沈積的潛勢。輸砂勢能率被用來計算一個沈積物顆 粒在沈積後被埋沒的概率。這個可以被輸出及標示成圖的資訊可 用來當作計算域中的輸砂狀態的指標。
針對波流共存時的總輸砂勢能率，PTM 有兩種演算方法提供 選擇：Soulsby-van Rijn(Soulsby 1997)及 van Rijn(1993)。Soulsby-van Rijn 的總輸砂方程式(Soulsby 1997)為：
𝑞𝑡 = 𝐴𝑠𝑈 [(𝑈2 +0.018𝐶
𝐴𝑠 = 𝐴𝑠𝑏 + 𝐴𝑠𝑠 (16) transport)無關。其他的計算，諸如沉降速度等等。
(1) 顆粒位置(Particle position)：
PTM 使用了一種二階的預測校正法來求解於時間𝑡 + 𝑑𝑡，在 度(advection and diffusion velcities)。而第二種方案使用了全時距 位置資料：
𝑥𝑛+1 = 𝑥𝑛 + 𝑢𝐴′𝑑𝑡 + 𝑢𝐷′ 𝑑𝑡 (22)
其中，𝑢𝐴′及𝑢𝐷′ 分別是（在位置𝑥′與時距𝑛 +1
2時的）平流速度與擴 散速度。這些速度的計算會根據模式而有所不同：
A. 2D 模式：對於有顆粒特性的沈積物，使用輸砂分布的形心 高度的定點水平速度。
B. Q3D 模式：使用顆粒形心高度的定點水平速度，其可能依 底床交互作用而變。
C. 3D 模式：使用顆粒形心高度的定點水平速度。
本文使用 2D 計算，其理論將於以下幾節說明。
(2) 平流速度(Advection velocity)：
在 2D 及 Q3D 模式計算水平平流速度，會需要輸砂分布形心 高度的相關知識。於柱狀水體單位中的顆粒濃度為濃度(𝑘𝑔/𝑚3) 在深度上的積分：
𝐶 = ∫ 𝐶(𝑧)𝑑𝑧ℎ
𝑧0 (23)
輸砂率(transport rate)為濃度與速度之乘積：
𝑞⃑𝑠 = ∫ 𝐶(𝑧)𝑢⃑⃑(𝑧)𝑑𝑧ℎ
𝑧0 (24)
平均顆粒平流流速𝑢⃑⃑𝐴 (mean particle advection velocity)是由 輸砂勢能率除以沈積物載來計算：
𝑢⃑⃑𝐴 =∫ 𝐶(𝑧)𝑢⃑⃑⃑(𝑧)𝑑𝑧𝑧0ℎ
∫ 𝐶(𝑧)𝑑𝑧𝑧0ℎ (25)
此平流速度也可以視為是在顆粒輸砂率分布的形心位置上 的流的速度。直接在 PTM 中求解此公式將會太過耗時，故接下 來將介紹所採用一個更簡易的方法。
懸浮顆粒濃度剖面(suspended particle concentration profiles)可 以如 Rouse(1939)的形式來假設（見式(26)）
𝐶 𝐶0 = (
1𝜎 − 1 𝜎10− 1)
𝑤𝑠 𝑘𝛽𝑢∗
(26)
其中，𝜎為由底床起算的相對高度(𝑧/ℎ)，𝜅 =0.4，𝛽 =1，𝐶0為於 高程𝜎0的基準底床濃度。Rouse 濃度剖面形狀被認為能表現出顆 粒大小與剪應力在懸浮濃度剖面的相對影響（參見附圖 2.3）。
以上的濃度曲線乘積與假設的速度對數分布已結合以計算 懸浮載輸砂分布的形心高度𝑧𝑠以計算𝑤𝑠
𝜅𝑢∗。形心高度迴歸分析可以 得到一個懸浮載的形心高度𝑧𝑠的表示式，其為𝑤𝑠
𝜅𝑢∗之函數（參見附 圖 2.4）。
附圖 2.3 基於 Yalin(1977)後的 Rouse 濃度分布，曲線標籤為