限制規劃系統說明

（一）限制規劃系統架構

Van Hentenryck[19]指出，限制規劃具有二層式的系統架構，其第一層是提 供使用者輸入問題的限制元件，第二層是用來解決問題的程式求解元件，以下將 介紹組成限制規劃系統之限制式元件與程式求解元件。

1. 限制式元件(Constraint Component)：

限制規劃系統能提供使用者輸入模式化語言之介面，而其限制式元件則是讓 使用者於此元件中宣告決策變數、限制式，及設定求解演算法，其具有資料儲存 及資料連結之功能，由於限制規劃可輸入之限制式種類相當多，所以對於各種問 題可能使用之限制式規則，均存在與其對應的限制元件以提供使用者進行模式構 建。

2. 程式求解元件(Programming Component)：

程式求解元件是由求解演算法之相關元件組成，其包含限制系統邏輯推理元 件與空間搜尋元件兩部分，當進行模式求解運算時，藉由這二組元件相互配合運 作，以達成限制規劃的模式求解功能，以下對於邏輯推理元件及空間搜尋元件進 行說明。

(1) 限制系統邏輯推理元件(Reasoning Component of Constraint System) 限制系統邏輯推理元件所使用之限制求解演算法，可針對由限制元件構 成之限制系統進行邏輯推理運算。相關的演算法主要包含決策變數值域與限 制式間的一致性檢驗技術(Consistency Checking Techniques) 及值域縮小 (domain reduction)、限制增長等兩類運算求解機制(Constraint Propagation)。

(2) 空間搜尋元件(Tree-Search Component)

空間搜尋元件所使用之搜尋演算法，主要是以搜尋樹－換枝檢驗法(BT) 作為搜尋運算之核心，其配合限制式系統邏輯推理元件之變數值域縮減演算 法，形成有效率的空間搜尋演算法。在空間搜尋策略方面，限制規劃中的空 間搜尋元件除了提供預設之Depth-first、Best-First 等搜尋策略外，其亦允許 使用者自行定義合適的搜尋方式。

（二）限制式宣告方式

在限制規劃中，其限制式之宣告方式包含以下幾種類型：

‰ Logical constraints

宣告方式 說明

(x = 4) => (y = 5) ; If x is equal to 4, then y is equal to 5 (a.end <= b.start) \/ (b.end <= a.start) ; Either "Activity A" precedes "Activity B" OR

"Activity B" precedes "Activity A“

‰ Global constraints

宣告方式 說明

alldifferent(x) ; All of the values in the array x are different distribute(card,value,base)

*card[i] is the number of times value[i] appears in base;

Element i of the array card is the number of times that the ith element of the array value appears in the array base

‰ Meta constraints

宣告方式 說明

sum (i in S) (x[i] < 5) = 3; The number of times that the array x has the value 5 is exactly 3

‰ Element constraint

宣告方式 說明

z = y [ x [i] ]; The cost of assigning person i to job j is cost[job[i]], when job[i] is j

（三）演算法求解程序

1. 值域縮小與限制增長(Domain Reduction and Constraint Propagation)

限制規劃之求解演算法，主要是透過宣告決策變數的值域集合，並依序檢查 限制式是否滿足，然後進行決策變數可行空間的樹狀搜尋，進而刪除不可行的解。

其求解的兩個基本機制為值域縮小及限制增長之運算技術，值域縮小是指求解模 式由原始限制式進行邏輯推論運算，將值域集合中之不可行變數值移除的過程，

在值域集合刪除不可行的變數值後，記憶體中的決策變數值域集合將會立即更 新，此時求解模式繼續加入新的限制式以進行下一次的邏輯推論運算，則此過程 稱為限制增長，限制規劃即是透過值域縮小和限制增長的交替作用以進行模式運 算求解。以下為CSP問題之基本求解演算法。

ƒ 限制規劃 CSP 問題之求解演算法[19]

CSP solver(Problem)

1. Create CSP For Problem

2. while not (solved or infeasible)do 3. Remove Inconsistent Values

4. Select Decision Variable 5. Select Value For Variable 6. end

2. 以下對於演算法求解限制滿足問題之運算過程提出範例說明[1]：

Find integer values for x, y and z such that:

x ∈ [1,3], y ∈ [1,3], z ∈ [1,3]

x-y=1, y<z, and y=2.

限制規劃是以搜尋樹演算法進行模式運算求解，因此可使用樹狀圖來表示決 策變數的值域空間，此問題的樹狀圖共有三層，每一層的節點是表示一個決策變 數，而分枝節線則表示該決策變數可能的值，圖形最後一層所有分枝可表示決策 變數值域集合之所有可能組合(即CSP中的搜尋空間)，其共有27種組合。由限制 規劃的求解程序，在宣告變數值域集合後，依序加入限制式將不可行的值移除，

以縮小搜尋空間，最後找出決策變數可行值域集合。

圖2.5 決策變數值域集合

原來的X變數及Y變數之值域皆為1~3的整數，先考慮限制式X–Y= 1，當X = 1時，在Y的值域中找不到任何一個對應的Y解，因此X = 1無法滿足，移除X = 1，

同時當Y = 3時，找不到對應的X解，所以移除Y = 3。當刪掉這些不可行的值，

則X的值域縮減成2、3兩個值，Y的值域縮減成1、2兩個值。

1 2 3

3 2 1 3

1 2 3

2 1

2 3

1

z y x

圖2.6 刪除不可行的分枝-1

考慮第一個限制式X – Y = 1後，接著繼續考慮第二個限制式Y < Z，現在Y 的值域值為1、2，當Z = 1時，在Y的值域中找不到任何一個對應的Y解滿足Y < Z，

因此移除Z = 1，則X的值域保持2、3兩個值，Y的值域保持1、2兩個值，Z的值 域縮減成2、3兩個值。

圖2.7 刪除不可行的分枝-2

最後考慮第三個限制式Y = 2，現在Y的值域值為1、2，所以移除Y=1，而X 的值域為2、3，因Y = 2且X – Y = 1，所以移除X=2，而Z的值域為2、3，因Y = 2 且Y < Z，所以移除Z=2，最後得到一組解：X=3，Y = 2，Z=3。

圖2.8 獲得一組可行解

3 2 3

z y x

2 1 1 2

2 3

z y x

2 1 1 2

2 3

z y x

當變數值被修改時(如第三個限制式指定Y = 2)，將此限制式(Y = 2)新增到原 始的限制式(X – Y = 1，Y < Z)，此過程為限制增長，再由原始限制式將值域集合 中不滿足限制式的變數值移除，為值域縮小。而求解機制設計的目的，是藉由問 題的限制式來縮小搜尋空間，以提升模式之求解速度。

小結：

傳統作業研究方法多針對最佳化問題發展有效的數學規劃模式，但是實務上 還有許多問題，並不需要追求最佳化的結果，而是希望找出滿足所有限制條件的 答案，因此近年來，用來求解限制滿足問題的限制規劃方法逐漸受到重視。國內 有關限制規劃的研究，包括：王國琛[26]以限制規劃結合數學規劃方法求解大型後 艙組員排班問題；唐依伶[29]依據公平性組員排班限制，將組員派遣問題構建為限 制滿足問題，及使用限制規劃方法產生個別組員月勤務組員班表；林詩芹[34]根據 客服人員服務單位之排班規定與班表公平性之原則，使用限制規劃方法建立人員 排班求解模式。