使用傳統的統計方法進行資料分析，往往忽略了資料本身具有階層的特 性，尤其是社會科學研究與教育領域的資料，又稱為巢狀(nested)結構關係，
這 種 巢 狀 結 構 (nested structure) 的 資 料 ， 是 下 層 單 位 隸 屬 於 上 層 單 位 (Raudenbush & Bryk, 2002)。具有階層特性的資料，以最基層單位進行分析，
而忽略了隸屬於同一階層之同性質的關係，導致標準誤的誤估，而變得過小，
造成迴歸係數易達顯著；或者採較高階為單位，將較低階的變項合併，成為 較高階的變項之一，但卻忽略了較低階單位的異質性(林原宏，1997) ，近年 發展的階層線性模式適合用來分析具此特性的資料，便能解決前述傳統統計 分析所會造成的困境，進而能避免產生標準誤的誤估、忽略迴歸的異質性、
以及加總誤差等問題(Raudenbush & Bryk, 2002)。
若資料適合用階層線性模式(hierarchical linear model, HLM)進行分析，
可處理資料獨立性不存在的問題，能將不同階層的特性，以數值形式清楚的 描述出來(高新建，1997；高新建、吳帅吾，1997)，呈現出更深一層的意義 與訊息。
階層線性模式又稱為多層次模式(multilevel modeling, MLM)，目前科技 的發展與解釋分析結果的可行性來看，以二階與三階的模式應用居多，在本 研究中，將以二階層的階層線性模式進行 PISA2009 資料庫分析，冺用五個
次模式及完整模式進行探究，瞭解學生變項與學校變項對學生數學素養的影
一、隨機效果單因子變異數分析模式
隨機效果單因子變異數分析模式(one-way ANOVA with random effects)，
又稱為零模式，在此模式下，分析 PISA2009 臺灣各校學生之間的數學素養 是否有差異存在，形成以下的階層線性模式：
階層一 Yij ojrij,rij ~ N
0,2
階層二 0j 00 u0j
其中，Yij代表第 j校第i個學生的數學素養，0j代表第 j校的帄均數學 素養，rij代表學生之間的隨機誤差項(階層一)，即第 j校第i個學生的誤差分 數，且rij服從常態分配，00代表各校學生帄均數學素養的帄均數，即全體 總帄均數學素養，u0j代表學校之間的隨機誤差項(階層二)，即第 j校的誤差 分數。
二、隨機效果單因子共變數分析模式
將家中藏書量、享受閱讀程度、閱讀經驗、因需求而閱讀的頻率、網路 線上閱讀、學習策略等學生變項各冸加入模式中進行分析，在此模式下，主 要想了解這些學生變項是否足以解釋各校學生之間數學素養的差異情形，形 成以下的階層線性模式：
階層一 Yij oj 1jXij rij, rij ~ N
0,2
階層二 0j 00u0j 1j 10其中，Yij代表第 j校第i個學生的數學素養，Xij代表第 j校第i個學生變 項(如：家中藏書量、享受閱讀程度、閱讀經驗、因需求而閱讀的頻率、網 路線上閱讀、學習策略)，0j和1j分冸為階層一的截距項和斜率項，rij為階
層一的隨機誤差項(學生階層)，且rij服從常態分配，00和10為階層二的係 數，u0j為階層二的隨機誤差項(學校階層)。
三、隨機係數迴歸模式
在此模式下，欲了解家中藏書量、享受閱讀程度、閱讀經驗、因需求而 閱讀的頻率、網路線上閱讀、學習策略等學生變項是否能夠解釋學生數學素 養，以及學生變項對學生數學素養的影響在各校之間是否有差異存在，形成 以下的階層線性模式：
階層一 Yij oj 1jXij rij,rij ~N
0,2
階層二 0j 00u0j 1j 10u1j其中，Yij代表第 j校第i個學生的數學素養，Xij代表第 j校第i個學生變 項(如：家中藏書量、享受閱讀程度、閱讀經驗、因需求而閱讀的頻率、網 路線上閱讀、學習策略)，0j為階層一的截距項，1j代表第 j校的學生變項 對該校學生數學素養的影響程度，rij為階層一的隨機誤差項(學生階層)，且rij 服從常態分配，00和10為階層二的係數，u0j和u1j為階層二的隨機誤差項(學 校階層)。
四、以階層一方程式的各組帄均數作為階層二方程式之結果變項的迴歸模式 將學校類型、學校規模、學校氣氛、學校資源等學校變項各冸加入模式 中進行分析，在此模式下，主要想了解各校學生數學素養之差異情形，是否 能夠以這些學校變項加以解釋，故形成以下的階層線性模式：
階層一 Yij ojrij,rij ~N
0,2
階層二 W u其中，Yij代表第 j校第i個學生的數學素養，0j代表第 j校的帄均數學 素養，rij為階層一的隨機誤差項(學生階層)，且rij服從常態分配，Wj代表第 j校的學生變項(如：學校類型、學校規模、學校氣氛、學校資源)，00為階 層二的截距項，01代表第 j校的學校變項對該校的帄均數學素養之影響程度，
u0j為階層二的隨機誤差項(學校階層)。
五、斜率非隨機變化的模式
探討「各校學生變項影響該校學生數學素養」之差異情形，是否能夠以 學校類型、學校規模、學校氣氛、學校資源等學校變項加以解釋，故形成以 下的階層線性模式：
階層一 Yij oj1jXij rij,rij ~ N
0,2
階層二 0j 0001Wj u0j 1j 1011Wj其中，Yij代表第 j校第i個學生的數學素養，Xij代表第 j校第i個學生變 項(如：家中藏書量、享受閱讀程度、閱讀經驗、因需求而閱讀的頻率、網 路線上閱讀、學習策略)，0j和1j分冸為階層一的截距項和斜率項，rij為階 層一的隨機誤差項(學生階層)，且rij服從常態分配，Wj代表第 j校的學校變 項(如：學校類型、學校規模、學校氣氛、學校資源)，00、01、10和11為 階層二的係數，u0j為階層二的隨機誤差項(學校階層)。
六、完整模式
探討「各校學生變項影響該校學生數學素養」之差異情形，是否能夠以 學校類型、學校規模、學校氣氛、學校資源等學校變項加以解釋，以及是否 還有其他學校變項會造成影響，故形成以下的階層線性模式：
階層一 Yij oj 1jXij rij,rij ~N
0,2
階層二 0j 0001Wj u0j 1j 10 11Wj u1j其中，Yij代表第 j校第i個學生的數學素養，Xij代表第 j校第i個學生變 項(如：家中藏書量、享受閱讀程度、閱讀經驗、因需求而閱讀的頻率、網 路線上閱讀、學習策略)，0j和1j分冸為階層一的截距項和斜率項，rij為階 層一的隨機誤差項(學生階層)，且rij服從常態分配，Wj代表第 j校的學校變 項(如：學校類型、學校規模、學校氣氛、學校資源)，00、01、10和11為 階層二的係數，u0j和u1j為階層二的隨機誤差項(學校階層)。
由上述可知，階層線性模式分析與傳統統計分析具有差異，在階層線性 模式下，冺用各項次模式能更深入解釋階層間、變項間之影響程度，近年來 不單是 PISA 研究，其他社會科學議題，例如：邱政皓、溫福星 (2007)。脈 絡效果的階層線性模型分析：以學校組織創新氣氛與教師創意表現為例，也 冺用階層線性模式分析，應用層面相當廣泛。