第二章 研究方法
第二節 隨機邊界法
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1.1.3 效率的比較
過去，若欲比較群組之間的效率，通常採用以下兩種方法：第一種，先 個別估計，再比較各自的效率。但是因為每個群組的生產邊界各不相同，這 樣的比較並不合理。第二種方式則是綜合所有資料一起估計一個生產函數，
再比較效率的表現。但是此法隱含所有群組面對相同的生產技術，顯然與事 實更不相符。共同邊界(Meta-frontier)方法的誕生，主要就是彌補這項缺失。
所謂共同邊界，就是採用參數法或無參數法分別估計各群組的生產前緣，
再透過數理規劃的方式，找出一條包絡所有群組之生產前緣的曲線，形成共 同邊界。如此一來，便可以在允許群組之間存在差異，卻又讓所有廠商、群 組在一致的基礎上進行比較。詳見第三節。
第二節 隨機邊界法
2.2.1 隨機邊界的起源
隨機邊界分析法(Stochastic frontier analysis，簡稱 SFA)源自於 1977 年幾 乎同時發表的兩篇文章 Meeusen et al.(1977)及 Aigner et al. (1977)。其後不久 Battese, et al.(1977)也提出相似概念：在生產過程中，廠商可能受到無法預 期、無法控制的外在因素干擾而影響最終產出。因此，衡量廠商生產效率時，
不僅應考慮廠商本身的技術無效率，還需將隨機干擾項納入考慮。SFA 分析 法遂於原本的確定性生產邊界中加入隨機成分，如下式：
𝑌𝑖∗= 𝐹(𝑥1𝑖, 𝑥2𝑖, 𝑥3𝑖, ⋯ , 𝑥𝑘𝑖)𝑒𝑣𝑖 (2-3) 式中𝐹(𝑥1𝑖, 𝑥2𝑖, 𝑥3𝑖, ⋯ , 𝑥𝑘𝑖)為一確定性生產邊界，而𝑒𝑣𝑖即為廠商無法 控制的生產函數隨機衝擊，如天災、突發事故等等。因此，𝑌𝑖∗是第 i 家廠商 的隨機邊界產出。
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故廠商的實際產出Y𝑖可表示為隨機邊界產出與廠商本身生產無效率之 乘積。組合誤差項𝜀𝑖 = 𝑣𝑖− 𝑢𝑖涵蓋了生產函數的隨機衝擊𝑣𝑖與廠商生產無效 率𝑢𝑖。
Y𝑖=𝑌𝑖∗× 𝑒𝑢𝑖 = 𝐹(𝑥1𝑖, 𝑥2𝑖, 𝑥3𝑖, ⋯ , 𝑥𝑘𝑖) × 𝑒𝑣𝑖−𝑢𝑖 (2-4)
因此，在隨機邊界模型下，技術效率(Technical Efficiency，TEi)即為𝑒−𝑢𝑖， 如(2-5)式所示。
TE
i
=實際產出
最大可能產出
=𝑌
𝑖𝑌
𝑖∗ =𝐹(𝑥 𝐹(𝑥
𝑖;𝛽)𝑒
𝑣𝑖𝑒
−𝑢𝑖𝑖
;𝛽)𝑒
𝑣𝑖 =𝑒−𝑢
𝑖 (2-5) 其值介於 0 到 1 之間，越大表示技術效率越高；反之，則表示技術效率越低，而技術無效率值則為1 − 𝑒−𝑢𝑖 ，近似於𝑢𝑖。
2.2.2 技術效率項的分配設定
於早期的 Meeusen et al. (1977)、Aigner et al.(1977)、Battese and Corra(1977)三篇文章內，隨機生產模型表示如下：
Y𝑖 = F(x𝑖；β) ∙ exp (v𝑖− u𝑖) (2-6) 其中，Y𝑖：第 i 家廠商之總產出；
F(x𝑖；β)：生產函數，x𝑖即為第 i 家廠商的要素投入；
v𝑖：為第 i 家廠商的隨機衝擊，涵蓋廠商所有無法控制的變因，
𝑣𝑖~𝑖𝑖𝑑 𝑁(0, 𝜎𝑣2)，−∞ < 𝑣𝑖 < ∞；
u𝑖：表示第 i 家廠商的生產無效率，因此u𝑖 ≥ 0
假設v𝑖、u𝑖、x𝑖之間相互獨立，亦即廠商之投入與技術無效率之間無關。
Meeusen et al. (1977)並假設其中u𝑖服從指數分配，Battese and Corra (1977)則假設u 服從截斷常態分配(Truncated normal distribution)，
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u𝑖~𝑁+(0, 𝜎𝑢2)。Aigner et al.(1977)則同時考慮指數分配和半常態分配
(Half-normal distribution)。之後也陸續有諸多學者提出更多種分配假設。如 Greene(1980)假設u𝑖服從 Gamma 分配；Stevenson(1980)提出了 Gamma 及截 斷常態分配；Lee(1983)則提出了包含四個參數的 Pearson 分配等。
然而，採用何種分配假設，雖然將影響最終效率估計值的不同，但更值 得注意的是，即使技術效率估計值不一，廠商之間效率值的排序卻不因此受 影響。因此，Ritter and Simar(1997)建議使用簡單的分配假設即可。
2.2.3 縱橫資料(Panel data)的應用
早期 Meeusen et al. (1977)及 Aigner et al.(1977)等人提出的研究僅採用 橫斷面資料。Schmidt and Sickles(1984)認為橫斷面資料存在三大問題：(1) 為求得廠商技術效率值，必須對迴歸式中代表無效率(𝑢𝑖)的誤差項做特定分 配之假設；(2)假設迴歸式中技術無效率項與廠商之投入相互獨立並不合理；
(3)在強烈的假設下，廠商的技術無效率(𝑢𝑖)估計值仍不具統計上的一致性 (Consistency)。他們認為只有合併橫斷面、與時間序列的縱橫資料(Panel data) 才能克服這些缺點，因為縱橫資料不僅允許放鬆部分甚至全部假設，且可獲 得具有一致性的𝑢𝑖估計值。
Pitt and Lee(1981)及 Schmidt and Sickles(1984)首先以縱橫資料進行隨機 邊界模型的估計，其模型表示如下：
ln𝑌𝑖𝑡 = 𝛽0+ ∑ 𝛽𝑛 𝑛ln𝑥𝑛𝑖𝑡 + 𝑣𝑖𝑡− 𝑢𝑖 (2-7) 其中，𝑣𝑖𝑡為隨機誤差、𝑢𝑖表示技術無效率項，𝑢𝑖 ≥ 0。然而，Pitt and Lee(1981) 仍分別對𝑣𝑖𝑡、𝑢𝑖進行常態、截斷常態分配的假設，技術無效率項與要素投入 相互獨立的假設亦未放鬆，並以最大概似估計法進估計。
Schmidt and Sickles(1984)則以固定效果模型(Fixed effect model)與隨機
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效果模型(Random effect model)來處理縱橫資料。以下分別對兩模型做一簡 介。
(1)固定效果模型
基本概念是將每間廠商視為一個虛擬變數，因此在文獻上又稱為 Least square dummy variable model(LSDV)。其做法是將𝑢𝑖視為固定，並把 它與截距項合併，因此，同時間點個別廠商的技術效率差異，會直接反應 在常數項上。這表示技術效率水準的不同，主要來自廠商個別特性的差異，
而非時間所造成的。因此廠商不會隨時間改變其技術效率。模型表示如 下：
Ln𝑌𝑖𝑡 = 𝛽0+ ∑ 𝛽𝑛 𝑛ln𝑥𝑛𝑖𝑡+ 𝑣𝑖𝑡−𝑢𝑖 (2-8) =𝛽0𝑖+ ∑ 𝛽𝑛 𝑛ln𝑥𝑛𝑖𝑡+ 𝑣𝑖𝑡 (2-9) 其中𝑣𝑖𝑡為隨機誤差項，𝑢𝑖 ≥ 0 表示技術無效率項，𝛽0𝑖 = 𝛽0−𝑢𝑖表示個別 廠商的截距項。將(2-9)式直接以最小平方法進行估計後，取𝛽0𝑖之最大值，
為𝛽0之估計式，如(2-10)式。𝑢𝑖的估計值與𝑇𝐸𝑖的估計式則分別如(2-11)式 與(2-12)式所示。
𝛽̂ = 𝑚𝑎𝑥{𝛽0 ̂ } (2-10) 0𝑖 𝑢̂𝑖∗ = 𝛽̂ − 𝛽0 ̂ ≥ 0 = 𝑢0𝑖 ̂ − min (𝑢𝑖 ̂ ) (2-11) 𝑖 𝑇𝐸𝑖 = 𝑒𝑥𝑝{−𝑢̂𝑖∗}，0≤ 𝑇𝐸𝑖 ≤ 1 (2-12)
(2-12)式表示至少會有一家廠商的技術效率值為 1，而其他廠商的技術效 率值是與該家廠商的相對技術效率。
固定效果模型最大的優點是無須對分配進行任何假設，亦允許技術無 效率項與投入之間存在關聯性。此模型只需要基本的隨機誤差項與解釋變
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數獨立的假設成立，即 E[𝑣𝑖𝑡|𝑥𝑖1, 𝑥𝑖2, … , 𝑥𝑖𝑇] = 0。
(2)隨機效果模型
因考慮技術無效率可能是非固定的，因此將截距項設定為隨機變數的 型態(𝑢𝑖為隨機)，此做法代表每一個橫斷面有不同的結構，並假設技術無 效率和解釋變數之間不相關。其模型表示如下：
𝑙𝑛𝑌𝑖𝑡 = 𝛽0 + ∑ 𝛽𝑛 𝑛ln𝑥𝑛𝑖𝑡+ 𝑣𝑖𝑡−𝑢𝑖𝑡 (2-13) 𝑙𝑛𝑌𝑖𝑡 = (𝛽0− E(𝑢𝑖)) + ∑ 𝛽𝑛 𝑛ln𝑥𝑛𝑖𝑡+ 𝑣𝑖𝑡− (𝑢𝑖 − E(𝑢𝑖)) (2-14)
= 𝛽0∗+ ∑ 𝛽𝑛 𝑛ln𝑥𝑛𝑖𝑡 + 𝑣𝑖𝑡−𝑢𝑖∗ (2-15) 隨機效果模型中，因為同一間廠商在不同時期下的𝑢𝑖∗可能會存在相 關。因此，第一階段採用最小平方法進行所有參數值的估計後，接著再以 一般化的最小平方法進行 𝛽0∗和𝛽𝑛的估計。𝑢𝑖∗可透過下式表達：
𝑢̂ =𝑖∗ 1𝑇∑ (𝑙𝑛𝑌𝑡 𝑖𝑡− 𝛽̂ − ∑ 𝛽0∗ 𝑛̂𝑙𝑛𝑋𝑛 𝑛𝑖𝑡) (2-16)
𝑢̂ = 𝑚𝑎𝑥{𝑢𝑖 ̂ } − 𝑢𝑖∗ ̂ (2-17) 𝑖∗ 𝑇𝐸𝑖 = 𝑒𝑥𝑝{−𝑢̂𝑖∗}，0≤ 𝑇𝐸𝑖 ≤ 1 (2-18)
相較於固定效果模型，雖然在隨機效果模型之下，必須假設解釋變數 和技術無效率項不相關，但由於隨機效果模型不需假設虛擬變數，較不會 損耗自由度，因此當廠商數量較多時亦較固定效果模型適用。
2.2.4 技術效率項的時間設定
Schmidt and Sickles(1984)雖採用縱橫資料進行估計，但模型內假設廠商 之技術效率不隨時間變動顯然不甚合理。尤其當樣本觀察期間越長，該假設
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越無法使人信服。因此，Corwell, Schmidt and Scikces (1990)、
Kumbhakar(1990)、Battese and Coelli(1992)相繼提出使用縱橫資料來估計技 術效率隨時間變化的隨機生產邊界。他們並分別針對技術無效率項做了不同 設定。隨時間變化的生產邊界模型基本設定如下：
𝑦𝑖𝑡 = 𝛽0𝑡+ ∑ 𝛽𝑛 𝑛ln𝑥𝑛𝑖𝑡 + 𝑣𝑖𝑡− 𝑢𝑖𝑡 (2-19) =𝛽𝑖𝑡+ ∑ 𝛽𝑛 𝑛ln𝑥𝑛𝑖𝑡 + 𝑣𝑖𝑡 (2-20) 其中，𝛽𝑖𝑡 = 𝛽0𝑡− 𝑢𝑖𝑡 表示第 i 廠商、在第 t 期時的截距項。然而，由 N 筆 數據顯然無法估計 N 項係數、𝛽𝑖𝑡與𝜎𝑣2。因此，學者們陸續提出各種無效率 項(或為截距項)的函數設定。如 Corwell, Schmidt and Scikces (1990)將截距項 表達為時間的二次函數，如式(2-21)所示。
𝛽𝑖𝑡 = Ω𝑖0+ Ω𝑖1𝑡 + Ωi2t2 (2-21) 此表示每家廠商的截距項會隨著時間變動、且受影響的方式、程度也因廠商 各異。
Kumbhakar(1990)、Battese and Coelli(1992)則將時間對於各家廠商無效 率項的影響型態設為相同，只有大小程度的區別。Kumbhakar(1990)將模型 內截距項的設定多了兩個待估參數𝑏 和 ，用以描述時間和𝛽𝑖𝑡之間的關係：
𝛽𝑖𝑡 = [1 + exp (𝑏𝑡 + 𝑡2)] (2-22) 此外，亦可透過對𝑏 和 檢定來確認無效率項是否隨著時間變化。
而 Battese ans Coelli(1992)則將模型設定如下：
𝛽𝑖𝑡 = exp{− (𝑡 − 𝑇)} (2-23) 其中 為一待估參數，用以表達𝛽𝑖𝑡的收斂速度。當 0時，當 0 時，𝛽(𝑡) 會以增速遞減； < 0當𝛽(𝑡)會以增速遞增； = 0則表示𝛽(𝑡)會固定不變。
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2.2.5 技術效率估計方式
模型設定完成後，即可開始對模型進行估計。對於縱橫資料的估計，通 常有三種方式：固定效果模型(Fixed effect model)、隨機效果模型(Random effect model)、最大概似估計法(Maximum likelihood estimation)。前兩種方法 雖然較簡單易行，但是在觀察期、廠商數不一的情況下會受到限制，如當廠 商家數多、而時間較短時，隨機效果表現較佳；而當𝑢𝑖𝑡和解釋變數的獨立 性不成立時，則不能採用隨機效果模型等等。本研究則採用 Coelli 教授提供 之 Frontier4.1 軟體，對𝑣𝑖𝑡、𝑢𝑖𝑡進行特定分配的假設，並以最大概似估計法 進行。
然而，在隨機邊界模型中，誤差項係隨機誤差項和技術無效率項的組合，
因此，若欲單純對其中技術無效率項進行估計，必須先依據𝑣𝑖𝑡、𝑢𝑖𝑡的分配 假設，建立組合誤差項𝜀𝑖 = 𝑣𝑖 − 𝑢𝑖的聯合機率密度函數。接著，再藉由該機 率密度函數建立對數概似函數，並以最大概似估計法進行係數值及𝜎𝑣2、𝜎𝑢2 的估計。最後，再按定義求算技術效率。本研究參考 Battese and Coelli(1988) 的建議，將技術效率表示如下：
𝑇𝐸𝑖 = 𝐸(exp(−𝑢𝑖) |𝜀𝑖) (2-24)
2.2.6 納入外生變數的技術無效率模型
模型內若允許效率隨時間改變，就必須進一步在各個不同的時間、或不 同廠商中探討導致生產效率變化的決定因子。早期，這方面的研究是採用兩 階段估算法：第一階段先取得生產邊界的係數估計值以及技術無效率的估計 值，第二階段再以該技術無效率估計值對其他外生變數進行迴歸分析。例如，
Pitt and Lee(1981) 、Kalirajan(1981)都是以兩階段方法進行估計。
後來，Deprins and Simar(1989)、Wang and Schmidt(2002)相繼對二階段 估計方法提出疑義，他們認為其估計結果的有效性值得商榷，Wang and
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Schmidt(2003)在對二階段及一階段估計法做比較時，也發現兩階段估計方所 得結果會有偏誤。Kumbhakar et al. (1991)、Reifshneider and Stevenson(1991)、
Huang and Liu(1994)等人於是進一步提出一階段的估計方法：在給定分配假 設之下，對隨機邊界之參數、與技術無效率模型同時進行估計。Battese and Coelli(1995)也將一階段估計的方法，從橫斷面資料拓展運用在縱橫資料上。
Battese and Coelli(1995)將技術無效率項直接設為外生變數的函數，其模型表 示如下：
𝑌𝑖𝑡 = exp(𝑥𝑖𝑡𝛽 + 𝑉𝑖𝑡− 𝑈𝑖𝑡) (2-25) 𝑈𝑖𝑡 = 𝑧𝑖𝑡𝛿 + 𝑊𝑖𝑡
(2-26)
模型中𝑧𝑖𝑡即是技術無效率項的解釋變數，δ則為待估參數。因此，在估 計生產函數的同時，可對無效率模型同時進行估計，技術效率遂可表示如 下：TE𝑖𝑡 = exp(−𝑈𝑖𝑡) = exp (−𝑧𝑖𝑡𝛿 − 𝑊𝑖𝑡) (2-27)
目前最常被應用在 Time-varying 隨機生產模型之設定為 Battese and Coelli(1992)及 Battese and Coelli(1995)兩種模型。兩模型皆是採用一階段的 方法進行生產邊界的估計，惟後者納入外生變數的應用，可進一步探討造成 技術無效率的因素。因此，本研究擬採用 Battese and Coelli(1995)模型進行 實證研究。Battese and Coelli(1992)模型與 Battese and Coelli(1995)模型之比 較詳見表 2-2。
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表 2-2 B&C1992 模型與 B&C1995 模型比較
Battese and Coelli(1992) Battese and Coelli(1995) 𝑌𝑖𝑡 = exp(𝑥𝑖𝑡𝛽 + 𝑉𝑖𝑡− 𝑈𝑖𝑡)
𝑈𝑖𝑡 = 𝜂𝑖𝑡𝑈𝑖 = {exp [−𝜂(𝑡 − 𝑇)]}𝑈𝑖
𝑌𝑖𝑡 = exp(𝑥𝑖𝑡𝛽 + 𝑉𝑖𝑡− 𝑈𝑖𝑡) 𝑈𝑖𝑡 = 𝑧𝑖𝑡𝛿 + 𝑊𝑖𝑡
無效率項 Time-varying 無效率項 Time-varying
一階段估計法 一階段估計法
資料來源：本研究整理