離散數學在數學教育的理由和重要性

就現在的數學課程內容來說，為什麼要將離散數學融入在現有的課程中呢？

這將是本節討論的重點。

一、離散數學的起源

離散數學是隨著電腦科學的發展和電腦應用的日趨廣泛而逐漸形成的一門 學科，是 20 世紀 70 年代初期形成的新興學科，是近代數學的一個分支，主要 研究有限個或可數無限個離散量的結構和相互關係，離散數量關係和離散結構數 學結構模型。由於電腦科學的迅速發展，與其有關的領域中，提出了許多有關離 散量的理論問題，需要用某些數學的工具做出描述和深化。離散數學把電腦科學 中所涉及到的研究離散量的數學綜合在一起，進行較系統的、全面的論述，為研 究電腦科學的相關問題提供了有力的工具。

雖說離散數學是一門新興的學科，但它的各個分支卻都歷史悠久。數學推理 與邏輯之間，有著密切的聯繫，早在兩千多年前的古希臘，就有了邏輯學的萌芽。

不過那時的邏輯稱為古典邏輯，屬於哲學的範疇。數理邏輯誕生於十九世紀中 葉，源於古典邏輯。群論誕生於十九世紀二十年代，由法國天才數學家伽羅華創 立。有趣的是，他創立群論的目的是為了解決高次方程求根問題，如果他知道群

論與現代的電腦學科聯繫如此緊密，一定會驚歎不已。圖論最早起源於一些數學 課程內(Dossey，1991)。

二、何謂離散數學 個解；第三種類型：最佳化問題。對於一些特定的問題找出最佳的解(Dossey,

1991)。

矩陣(matrices)、差分方程式(difference equations)、編碼(coding)以及計數 技術(counting techniques)。離散數學裡比較基本的數學領域有層級系統 (ranking systems)、社會決定理論(social choice)、圖形理論(graph theory)、

Markov 鏈(Markov chains)、離散最佳化(discrete optimization)、組合

(combinations)以及(離散)機率((discrete) probability) Malkevitch(1997)。

在我們決定將離散數學納入數學課程前，我們應該要先知道什麼是離散數 不連續兩部分；Froelich, Gray, Nancy Crisler, 與 Patience Fisher(1994) 等人則是認為從一些連續量中對照在離散的主題下找出最佳的答案。Hart(1997) 在其文章提及美國 Core-Plus Mathematics Project(CPMP)課程認為離散數學的 內容、技巧方面的模組以及解決的問題包含了有限的程序與離散現象；

Malkevitch(1997)則是認為離散數學所探討與關注的研究是集合了非連續數學 的概念；國內朱緒鼎教授(民 86)則是把離散數學認為是研究有離散結構的系統 的學科。

Maurer(1997)對於離散數學的定義則提出以下四種看法：1.離散數學是有限

數學，所有的數學情境都可以利用有限的集合來加以描述。2.離散數學是數學中

圖形理論、Markov 鏈、離散最佳化、組合以及(離散)機率；NCTM 課程標準(1989) 裡強調的主題有圖形理論、重複與遞迴、社會決定理論、矩陣以及組合，並且強 調在中學課程中所該研究與發展的就是演算法；National Science

Foundation(NSF，1990)教師們所強調的目標則是把離散數學內容的焦點放在圖 論、重複與遞迴、社會決定理論、矩陣以及組合；Sandefur(1985)則分為遞迴的 介紹、一次微分不等式、機率、高次不等式、線性代數以及不等式系統。Kenny 與 Bezuszka(1993)認為離散數學的主題包括集合、關係方程式、矩陣代數、組 合與有限機率、圖形理論、有限區分與遞迴關係、邏輯、數學歸納法、演算法思

Quine-McCluskey table 化簡布林函數、邏輯推演之 基本性質、判斷簡單陳述及複合陳述之真偽、first order logic。

2. 二元關係：二元關係之基本性質及各種表示法、研判各種特殊關係：reflexive, symmetric, transitive, irreflexive (antireflexive),

asymmetric, antisymmertic, partial ordering, total ordering, compartable, equivalent 等等、利用 Washall's algorithm 求遞

移包、證明等價關係，求出相對應之等價類與商、分割及分割之運

complete graph, cube graph, regular graph, wheel, cycle, bipartite graph,planar graph, Hamiltonian graph, Euler graph 等。

2. 樹：樹之基本性質及各種表示法、樹之各種應用、利用 Kruskall's 及 Prim's algorithm 找出圖形之最小生成樹、配對問題。

(iii)代數系統

1. 代數系統：圖形之基本性質及各種表示法、代數系統之同構及同態、coset, normal subgroup, kernel, quotient structure 之探討、研判及 證明各種代數系統：groupoid, semigroup, monoid, group, abelian group 等。

2. 環：研判及證明各種代數系統：ring, intergal domain, field, ideal、

polynomial ring 及 Galois field 之探討以及環在傳統算數之應用：

division algorithm, prime factorization, congruences, Euclidean algorithm, Chinese remainder theorem, Euler function, and Fermat's little theorem 等等。

3. 有限狀態機：有限狀態機之基本性質及各種表示法、有限狀態機之化簡、有 限狀態機之同構、同態、等價及模擬、有限狀態機之連接及分

解、Turing machine。

2. 生成函數：一般生成函數及其應用、指數生成函數及其應用、summing operator 之應用、整數分割及其應用、Ferrer's graph 之應用。

3. 遞迴函數：線性遞迴函數之各種解法：substitutions, summing factor, characteristic equation, quick characteristic equation, 及 generating functions、建立遞迴函數、解非線性遞迴函數與 Catalan number 之探討。

我們可以發現不論是從性質或是主題的方式來對離散數學下定義，各家學者 練習四則運算，然而他們卻不懂什麼是數學(Picker, 1997)。一般來說，教導數 學除了數學知識外，計算能力、抽象能力及邏輯推演能力的培養是整個數學教育

的主軸。這三者是連貫而非獨立分開的，也是我們要培養學生數學能力的三個具 不斷的思考與了解解題過程的原因(Kenny & Bezuszka, 1993)。

美國 NCTM 強調應該更早將離散數學課程放進七年級課程中，因為離散數學 除了對學生在數學上有益處外，也幫助學生對數學感到興趣。Aimee(1999)對於

NCTM 所強調的離散數學對學生有益處也提出了下列的看法：

1. 離散數學讓學生對於數學能保持著興趣。

2. 離散數學可以幫助學生看出所學的數學與現實生活間的關聯性。

3. 離散數學可以豐富傳統的課程。

另外，可以促使數學與其他科目作跨領域連結以拓展題目的類型 (Kenny &

Bezuszka, 1993)。Pollak(1997)的研究指出，離散數學課程比起傳統的課程多 提供一些更有價值的教育經驗，並且強調邏輯思考、問題的分析與解答。

Sandefur(1997)提到，將離散數學納入現已存在的課程內，可以導致學生有更深 的了解；而 Malkevitch(1997)更是明確的指出：離散數學比起目前的教學方法 能夠更有效的達到數學教育目標。Hart(1997；1991)提到：「離散數學在中等教 育課程受到廣泛的推薦並被認為是數學裡重要的分支」、「將離散數學納入中學課 程裡是令人興奮與必須的。」Sandefur (1985)認為學生因為對於離散數學感到 有興趣且有實際應用到可以立刻的看出每個主題的價值；另外，這類的課程可以 拓展高中的代數，像是因式方程式與線性系統不等式。

Leibowitz(1997)認為離散數學可以提供許多教導數學的方法：

1、許多小概念是不可或缺的，離散數學的問題可以提供給任何年齡的學習者。

的信息革命則依賴於、也正促進著離散數學的發展。隨著計算機科學的發展，離