離散數學融入數學課程的現況

一、國外將離散數學融入教材的事例

國外教科書中早已有將離散數學納入教材中的例子，以下是研究者所收集到 相關的教科書資料：

1、美國將離散數學融入教材的事例

在 Mathematics in Action(1991)這套教科書中我們都可以發現有提到離散 數學的主題，例如：在六年級第二單元整數和小數加減法的解決問題中有提到最 短路徑以及有 4 位選手要打網球賽則每個人需要打幾場的組合相關問題；在第八 單元分數與帶分數的擴分與約分中的解決問題部份可以看到有許多樣式與規律 的問題以及路徑問題，而在本單元的補充資料更是有提到 Fibonacci Sequence 並且有要求學生試著用 pattern 來找出答案(如圖 2-1)；

圖 2-1 離散數學教材(Mathematics in Action Grade Six，P.351)

在第十一單元測量：面積與容量單元中的問題解決除了要學生畫出路徑圖外 也有提到最短路徑問題；第十二單元機率的發展概念中我們可以看到有提到可以 利用樹狀圖來幫助思考並配合乘法來解決問題(圖 2-2)，這裡其實已經有了算數 基本定理的初步概念，但是卻還未明確的提出。在最後一個單元整數與座標圖形 的補充部分則有提到路徑問題與最短路徑問題。

圖 2-2 離散數學教材(Mathematics in Action Grade Six，P.490)

接著我們看看七年級的部分，在第三單元整數與小數的乘法應用的解決問題 中我們可以看到有路徑問題，而在該單元最後面有個雛菊花遊戲(THE DAISY GAME)(圖 2-3、圖 2-4)，該遊戲除了是培養邏輯思考外也可以說是一種演算法的 內容，藉由遊戲來讓學生進行思考，這也是離散數學最大的優點；

THE DAISY GAME

圖 2-3 離散數學教材(Mathematics in Action Grade Seven，P.178)

圖 2-4 離散數學教材(Mathematics in Action Grade Seven，P.179)

第六單元樣式與整數理論的發展概念就是在說明數列，而其中也提到所謂的 樣式與規律，並且經由對問題批判性的思考與綜合的應用來讓學生熟悉如何找出 規律；而在本單元最後面的補充部分介紹了巴斯卡三角形，藉由巴斯卡三角形來 讓學生觀察三角形內數字的規律(圖 2-5)；

圖 2-5 離散數學教材(Mathematics in Action Grade Seven，P.237)

第七單元分數的加減法中我們可以看到應用樹狀圖與組合等不同的方式來 進行問題的解決(圖 2-6)；

圖 2-6 離散數學教材(Mathematics in Action Grade Seven，P.264)

而第八單元分數乘除的解決問題中則有所謂的一筆劃問題以及握手問題；第 九單元幾何的解決問題中則有提到所謂的路徑問題；在第十三單元機率的發展概 念中有提到樹狀圖以及配對的方式來作為解題的方法，藉由樹狀圖來將所有可能 的機率組合表示出來，讓學生可以清楚的知道有哪幾種可能(圖 2-7)；在該單元 的主要概念還有介紹排列與組合，在排列的部分除了應用樹狀圖外，也引進了所 謂的階乘概念(圖 2-8、圖 2-9)。

圖 2-7 離散數學教材(Mathematics in Action Grade Seven，P.508)

圖 2-8 離散數學教材(Mathematics in Action Grade Seven，P.518)

圖 2-9 離散數學教材(Mathematics in Action Grade Seven，P.520)

八年級的第八單元百分比應用的解決問題中有提到巴斯卡三角形，藉由巴斯 卡三角形的特性來教導路徑、規律等相關問題，另外還有有向圖的路徑問題；在 第十一單元整數代數的解決問題中除了有提到一筆劃問題外，還有判斷基點偶 點、最短路徑以及漢米爾頓路徑(圖 2-10)。

圖 2-10 離散數學教材(Mathematics in Action Grade Eight，P.418)

在第十二單元機率的發展概念中利用樹狀圖與表格分配的方式來講解機率 問題，並且解釋何謂算數基本定理，在該單元的最後面利用投擲硬幣來讓學生進 行機率的預言與提供經驗，其中更搭配樹狀圖的應用(圖 2-11、圖 2-12)。

圖 2-11 離散數學教材(Mathematics in Action Grade Eight，P.456)

圖 2-12 離散數學教材(Mathematics in Action Grade Eight，P.464)

2、日本將離散數學融入教材的事例

日本的國小教材融入離散數學的情況是如何呢？在四上的教科書中，利用將 數字放入電腦產生新的數字來讓學生進行演算過程中的推理並且找出其規律性 (大日本図書株式會社，平成 11 年)；在五上第六單元整數的性質活動一中將整 數分成奇數與偶數，教師手冊中提到該單元主要是從整數的觀點分成不同類別的 集合。在活動二則是利用月曆來觀察其中的規律(圖 2-13)，例如被 7 除餘 2 表 示是星期二，而在教師手冊本單元的補充問題則是探討奇數與偶數相加減的運算 規則(大日本図書株式會社，平成 11 年)；

圖 2-13 離散數學教材(平成 11 年，新版算数 5 年上，P.78)

在六上的第七單元場合的數，活動一主要是藉由爬山時對於休息地點是否休 息來進行討論，將結果利用圖表以及樹狀圖的方式來表示(圖 2-14)。活動二則 是利用旗幟的顏色來討論可能的組合，其中除了利用圖表與樹狀圖外，在教師手 冊中也有提到利用排列的公式來進行解題(圖 2-15)。活動三則是利用組合的問 題來進行討論，除了用圖表與樹狀圖外，教師手冊也有提及用結構圖與組合公式 的方法來解題(圖 2-16)。在此除了要教學生利用圖表與樹狀圖來進行問題的解 決外，更是為了以後中學時機率所做的先備知識(大日本図書株式會社，平成 11 年)；

圖 2-14 離散數學教材(平成 11 年，新版算数 6 年上，P.70)

圖 2-15 離散數學教材(平成 11 年，新版算数 6 年上教師用指導書，P.71)

圖 2-16 離散數學教材(平成 11 年，新版算数 6 年上教師用指導書，P.72)

而在六下的最後補充部分有提到一筆劃問題，並且在教師手冊中更介紹了七 橋問題、奇點與偶點(圖 2-17)(大日本図書株式會社，平成 11 年)。

圖 2-17 離散數學教材(平成 11 年，新版算数 6 年上教師用指導書，P.87)

另外一個版本在五上的補充部分生活與數學中，利用安排旅遊時所花費的時

間與金錢來做考量，與離散數學所提到的最短路徑觀念不謀而合(東京書籍株式 會社，平成 11 年)；在六上第八單元場合的數的一開始利用具體的圖片讓學生排 出不同的順序，之後利用樹狀圖與圖表來紀錄所有不同的排列方式(圖 2-18)。

圖 2-18 離散數學教材(平成 11 年，新編 新算数 6 上，P.90)

活動二則是利用投擲硬幣的方式來進行討論，除了利用樹狀圖跟圖表來紀錄外，

在教師手冊的補充問題則是有配合路徑問題。活動三則是利用四支不同的足球隊 伍進行對戰，利用陳列的方式、圖表對戰、以及點線圖來加以說明，在教科書中 還有將 5 張色紙取走 4 張會有哪些可能的組合問題(圖 2-19、圖 2-20)(東京書籍 株式會社，平成 11 年)。

圖 2-19 離散數學教材(平成 11 年，新編 新算数 6 上，P.93)

圖 2-20 離散數學教材(平成 11 年，新編 新算数 6 上，P.94)

二、國內將離散數學融入教材的事例

國內的教科書中並沒有明確的將離散數學的主題成列出來，但是與離散數學 相關概念的內容還是有出現在教材中，以下我們將針對與離散數學相關的內容陳 述出來：翰林版五上的第五單元「數量樣式」中，利用月曆來讓學生了解日期之 間的規律性，接著說明何謂奇數與偶數並利用門牌號碼來讓學生發現其中規律，

此外舉聽音樂會的座位號碼來讓學生觀察座位的規律；活動五則是採用棉花棒和 小積木來讓學生觀察所排列出來的圖形規律是如何(圖 2-21、圖 2-22、圖 2-23)。

圖 2-21 離散數學教材(92 年 翰林版第九冊，P.45)

圖 2-22 離散數學教材(92 年翰林版第九冊，P.46)

圖 2-23 離散數學教材(92 年翰林版第九冊，P.52)

翰林六下第二單元週期與數列中先利用圖形的序列引進規律接著配合紀錄 說明比的對等關係。緊接著的活動介紹數列的項、前項、後項推導至等差數列與 等比數列(圖 2-24、圖 2-25、圖 2-26)。

圖 2-24 離散數學教材(92 年 翰林版第十二冊，P.15)

圖 2-25 離散數學教材(92 年 翰林版第十二冊，P.16)

圖 2-26 離散數學教材(92 年 翰林版第十二冊，P.17)

康軒一上第三單元的排順序、比多少藉由簡單的數數活動讓學生知道所謂的 順序，在此可以算是有簡單的數列概念。二上第八單元的分類整理依照東西的性 質來將物品分類，在此可以說是集合概念的先被知識。三下第十二單元序列，一 開始是利用圖形來說明何謂序列進而轉化成數字序列，並且利用圖形與數字來讓 學生察覺序列中的規律性。在四上學習廣角的活動三比大小，利用數字卡來排一 個六位數的數字，可以說是簡單排列與組合的概念。四下第三單元數列，一開始 先說明奇數與偶數後，在活動二說明何謂數列並且試著找出數列的規律，活動三 則是說明圖形序列與數列的關係，在此藉由將圖形轉換成數字的數列幫助學生進 行思考。在五上第一單元圖形與數中，介紹奇數與偶數並且利用門牌來配合說 明，接著利用置物櫃的號碼、火車座位以及月曆上的日期來讓學生觀察數字上的 規律。接著說明所謂的正方形數與三角形數，並且延伸到不同圖形的規律(圖 2-27、圖 2-28)。

圖 2-27 離散數學教材(92 年 康軒版第九冊，P.10)

圖 2-28 離散數學教材(92 年康軒版第九冊，P.11)

接著我們來看看國中部份：南一版一上第三單元型與規律，活動 A 先分別針 對奇數與偶數的樣式來進行說明並且配合圖形來觀察，接著引進奇數與偶數的加 法來看出奇數與偶數加法的規律；活動 B 型或樣式則是先從物的型來讓學生觀察 其中的對稱、重複樣式並且利用符號來幫助觀察；活動 D 分數的四則運算規則則 是說明分數進行運算時該注意的規則。二下第六單元質因數活動 A 因數與倍數裡 的活動一搶 15 的遊戲，討論該怎拿才會贏，這正是離散數學理提到的演算法(圖 2-29)。活動 C 標準分解式中活動一找出因數與倍數的規律，活動二則是利用計 算樹來進行因數分解，這裡的樹雖然與路徑圖不太一樣，但是也可以用來解決簡 單的機率問題(圖 2-30)。

圖 2-29 離散數學教材(92 年 國中南一版第二冊，P.144)

圖 2-29 離散數學教材(92 年 國中南一版第二冊，P.157)

在翰林版一上第三單元數與型的規律活動 3-1 奇數與偶數的地方先觀察圖 形的規律並且利用編碼的方式進行觀察。接著討論生活中數的規律，從觀察月曆 上的數字規律並把奇數與偶數歸納成表示式(圖 2-30)，然後討論奇數與偶數進 行加法與乘法的規則。活動 3-2 數與形的關係中針對圖形的排列方式找出規律並 且推展到第 n 項找出一般的表示式(圖 2-31)。

圖 2-30 離散數學教材(93 年 國中翰林版第一冊，P.119)

圖 2-33 離散數學教材(93 年 國中翰林版第一冊，P.129)

康軒版一下第八單元數形關係主題一說明奇數與偶數並找出其表示式，並且