離散數學納入國中小數學課程之研究

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國立台中教育大學數學教育系碩士班

理學碩士論文

指導教授：林炎全博士

離散數學納入國中小數學課程之研究

研究生：蔡逸勝撰

中華民國九十五年六月

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摘要

本研究的主要目的在於探討九年一貫課程的體系下，將離散數學納入國中小數學課程中的適切性，並針對學生的認知進行實驗教學，比較使用「自編的樣式與規律學習教材」與「國小樣式與規律相關單元教材」對國一學生數學學習成就的影響。本研究採文獻探討及準實驗研究法，樣本來自台中市某國中一年級學生為研究對象一共 65 名學生。實驗組學生接受以自編的樣式與規律學習教材來進行教學，對照組則接受國小樣式與規律相關單元教材進行複習教學，所有樣本以「樣式與規律單元成就測驗」進行前後測。根據學生前後測資料，以 SPSS 軟體進行統計資料分析，並比較實驗組與對照組學生在數學學習成就上是否達顯著差異，以及實驗組學生在數學學習成就上是否有顯著提升。本研究主要發現如下：一、適合將離散數學主題遞迴關係納入學校數學課程。二、接受不同教材編排內容後，兩組學生在樣式與規律概念學習成就後測達到顯著差異。三、在自編的樣式與規律學習教材之學童中，其女性學童樣式與規律概念的學習成效顯著優於男性學童。四、數學學業成就高分組與中分組學童在樣式與規律概念的學習成效具有顯著差異，且具有較佳之學習成效。本研究結果與發現，可提供有關中、小學離散數學中的樣式與規律概念教學之參考，以及未來進一步研究之建議。關鍵字：離散數學、樣式與規律、數學學習成就

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Abstract

The main purpose of this study is to analyze the suitability to fuse discrete

mathematics into elementary and secondary school mathematics curriculum in system for nine-year compulsory education. To proceed the teaching experiment in

accordance for students cognitive and to determent the influences of different teaching materials on students’ math learning achievement.

Using quasi- expermental design to proceed the experimental teaching. The objects of this study are sixty-five students who are in two different first-grade classes of a secondary school in Tai-Chung County. We use self-organization of teaching materials of iteration and recursion and set it as experment group. The control group is to review the teaching materials relate to iteration and recursion in elementary school. We tested those students with “Achievement Tests of Conception of iteration and recursion”, and analyzing data of the two group students have significant

difference on their study achievement tests of conception of iteration and recursion or not by using the software SPSS.

The main discoveries of this reacher are as follow:

1. It is suit to fit discrete mathematics topic of iteration and recursion into school mathematics curriculum.

2. Though different teaching materials of iteration and recursion, the two group students made significant difference on their study achievement tests of conception of iteration and recursion.

3. In the self-organization of teaching materials of iteration and recursion, the girls showed significant improvement than boys on their study conception of iteration and recursion.

4. The students who math scored higher and medium level showed significant improvement on their study conception of iteration and recursion and had better

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improvements.

The results and discoveries from the research can offer the consultation for teaching elementary and secondary of iteration and recursion. Some recommendations for further research where provided by the researcher.

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第一章緒論 ... 11

第一節研究動機 ...11 第二節研究目的 ...13 第三節待答問題與研究假設 ...13 第四節名詞釋義 ...14 第五節研究限制 ...15

第二章文獻探討 ... 17

第一節離散數學在數學教育的理由和重要性 ...17 一、離散數學的起源 ...17 二、何謂離散數學 ...18 三、離散數學在數學教育的重要性 ...22 第二節離散數學在九年一貫課程的發展空間 ...25 一、九年一貫課程的改革背景...25 二、九年一貫課程的目標與內涵...26 三、九年一貫課程數學領域與離散數學相關之能力指標 ...29 四、離散數學在學校課程的發展空間 ...33 第三節離散數學融入數學課程的現況 ...37 一、國外將離散數學融入教材的事例 ...37 二、國內將離散數學融入教材的事例 ...54 第四節概念教學 ...63 一、概念的定義與本質 ...63 二、概念教學法的主要特點...65 三、概念教學的程序 ...66 四、概念教學策略 ...68

第三章研究方法 ... 71

第一節研究架構與設計 ...71 一、研究架構...71 二、研究設計...72 第二節研究對象 ...74 第三節研究工具 ...74 第四節實施程序 ...77

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一、準備階段...78 二、前測階段...78 三、實驗教學階段 ...78 四、後測階段...79 五、完成階段...79 第五節資料處理 ...80

第四章研究結果分析與討論 ... 81

第一節數學學習成就測驗研究結果 ...81 第二節性別差異對學生數學學習成效分析 ...84 一、接受離散數學融入數學教材之樣式與規律概念學習成效分析 ...84 二、男性學童樣式與規律概念成效分析 ...86 三、女性學童樣式與規律概念成效分析 ...89 四、綜合分析...91 第三節數學學習成就差異對學童樣式與規律概念成效分析 ...92 一、高分組學童樣式與規律概念成效分析...92 二、中分組學童樣式與規律概念成效分析...94 三、低分組學童樣式與規律概念成效分析...97 四、綜合分析...99

第五章結論與建議 ... 101

第一節結論 ...101 第二節建議 ...104 一、對教師教學上的建議 ...104 二、對未來研究者的建議 ...105

參考文獻 ... 106

一、中文部分...106 二、外文部分...109

附錄 ... 113

附錄一：樣式與規律概念教學活動設計－實驗組...113 附錄二：樣式與規律教學活動設計－控制組...116 附錄三：樣式與規律成就測驗...119 附錄四：同意書...123

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表目錄

表 2-4-1 概念教學的教學階段 ...66 表 3-2-1 研究樣本人數分配表(單位：人) ...74 表 3-3-1 學習成就測驗試題之難度與鑑別度分析表 ...76 表 4-1-1-1 兩組學生樣式與規律相關概念實驗前成績差異性T檢定摘要表...81 表 4-1-1-2 兩組學生「樣式與規律成就測驗」組內迴歸係數同質性檢定表 ..82 表 4-1-1-3 兩組學生「樣式與規律成就測驗」單因子共變數分析摘要表 ....82 表 4-1-1-4 兩組學生「樣式與規律成就測驗」排除共變數調整後分析摘要表...83 表 4-2-1-1 不同性別樣式與規律相關概念實驗前成績差異性T檢定摘要表...84 表 4-2-1-2 不同性別「樣式與規律成就測驗」組內迴歸係數同質性檢定表 ..85 表 4-2-1-3 不同性別「樣式與規律成就測驗」單因子共變數分析摘要表 ....85 表 4-2-1-4 不同性別「樣式與規律成就測驗」排除共變數調整後分析摘要表...86 表 4-2-2-1 男性學童組樣式與規律相關概念實驗前成績差異性T檢定摘要表...87 表 4-2-2-2 男性學童「樣式與規律成就測驗」組內迴歸係數同質性檢定表 ..87 表 4-2-2-3 男性學童「樣式與規律成就測驗」單因子共變數分析摘要表 ....88 表 4-2-2-4 男性學童「樣式與規律成就測驗」排除共變數調整後分析摘要表...88 表 4-2-3-1 女性學童組樣式與規律相關概念實驗前成績差異性T檢定摘要表...89 表 4-2-3-2 女性學童「樣式與規律成就測驗」組內迴歸係數同質性檢定表 ..89 表 4-2-3-3 女性學童「樣式與規律成就測驗」單因子共變數分析摘要表 ....90 表 4-2-3-4 女性學童「樣式與規律成就測驗」排除共變數調整後分析摘要表 90

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表 4-3-1-1 高分組學童樣式與規律相關概念實驗前成績差異性T檢定摘要表...92 表 4-3-1-2 高分組學童「樣式與規律成就測驗」組內迴歸係數同質性檢定表...93 表 4-3-1-3 高分組學童「樣式與規律成就測驗」單因子共變數分析摘要表 ..93 表 4-3-1-4 高分組學童「樣式與規律成就測驗」排除共變數調整後分析摘要表...94 表 4-3-2-1 中分組學童樣式與規律相關概念實驗前成績差異性T檢定摘要表...95 表 4-3-2-2 中分組學童「樣式與規律成就測驗」組內迴歸係數同質性檢定表...95 表 4-3-2-3 中分組學童「樣式與規律成就測驗」單因子共變數分析摘要表 ..96 表 4-3-2-4 中分組學童「樣式與規律成就測驗」排除共變數調整後分析摘要表...96 表 4-3-3-1 低分組學童樣式與規律相關概念實驗前成績差異性T檢定摘要表...97 表 4-3-3-2 低分組學童「樣式與規律成就測驗」組內迴歸係數同質性檢定表...98 表 4-3-3-3 低分組學童「樣式與規律成就測驗」單因子共變數分析摘要表 ..98 表 4-3-3-4 低分組學童「樣式與規律成就測驗」排除共變數調整後分析摘要表...99

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圖目錄

圖 2-1 離散數學教材(MATHEMATICS IN ACTION GRADE SIX，P.351) ...38

圖 2-2 離散數學教材(MATHEMATICS IN ACTION GRADE SIX，P.490) ...39

圖 2-3 離散數學教材(MATHEMATICS IN ACTION GRADE SEVEN，P.178) ...40

圖 2-10 離散數學教材(MATHEMATICS IN ACTION GRADE EIGHT，P.418) ...45

圖 2-13 離散數學教材(平成 11 年，新版算数 5 年上，P.78) ...47 圖 2-14 離散數學教材(平成 11 年，新版算数 6 年上，P.70) ...48 圖 2-15 離散數學教材(平成 11 年，新版算数 6 年上教師用指導書，P.71)...49 圖 2-16 離散數學教材(平成 11 年，新版算数 6 年上教師用指導書，P.72)...50 圖 2-17 離散數學教材(平成 11 年，新版算数 6 年上教師用指導書，P.87)...51 圖 2-18 離散數學教材(平成 11 年，新編新算数 6 上，P.90) ...52 圖 2-19 離散數學教材(平成 11 年，新編新算数 6 上，P.93) ...53 圖 2-20 離散數學教材(平成 11 年，新編新算数 6 上，P.94) ...54 圖 2-21 離散數學教材(92 年翰林版第九冊，P.45) ...55

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圖 2-22 離散數學教材(92 年翰林版第九冊，P.46) ...55 圖 2-23 離散數學教材(92 年翰林版第九冊，P.52) ...56 圖 2-24 離散數學教材(92 年翰林版第十二冊，P.15) ...56 圖 2-25 離散數學教材(92 年翰林版第十二冊，P.16) ...57 圖 2-26 離散數學教材(92 年翰林版第十二冊，P.17) ...57 圖 2-27 離散數學教材(92 年康軒版第九冊，P.10) ...58 圖 2-28 離散數學教材(92 年康軒版第九冊，P.11)...58 圖 2-29 離散數學教材(92 年國中南一版第二冊，P.144) ...59 圖 2-29 離散數學教材(92 年國中南一版第二冊，P.157) ...60 圖 2-30 離散數學教材(93 年國中翰林版第一冊，P.119) ...61 圖 2-33 離散數學教材(93 年國中翰林版第一冊，P.129) ...61 圖 2-34 離散數學教材(93 年國中翰林版第六冊，P.91) ...62 圖 2-4-1 迷思概念與概念改變關係圖 ...69 圖 3-4-2 實驗教學實施流程圖 ...77

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第一章緒論

本章節主要分成五節，第一節主要是說明研究者的研究動機；第二節針對此研究提出研究目的；第三節根據研究目的提出本研究的待答問題與提出研究假設；第四節針對本研究中的重要名詞提出解釋；第五節則是提出本研究在研究的過程中所產生的研究限制。

第一節研究動機

在面對二十一世紀快速變動的環境，教育部從民國九十年公佈九年一貫暫行綱要之後，旋即在民國九十二年公佈正式綱要，並於民國九十四年在各中小學全面實施，然而數學領域在這次的修訂中，卻引起社會輿論的廣泛討論；社會各界認為課程改革，必須優先著力的項目有：打破目前艱澀難懂，切割零碎的課程、科目，淘汰以背誦知識為主的教學，改變為以鼓勵不斷自我學習、啟發式的教材；並統整各相關課程，使學生能活用所學，手腦並用，除了基本的學識外，也有良好的生活教育和生活能力(天下雜誌，1996)。在這波教改潮流下所催生出來的國民中小學九年一貫課程，即秉持以生活為中心的理念進行課程改革。教育部公佈的暫行綱要揭櫫九年一貫的課程目標：「國民中小學之課程理念應以生活為中心，配合學生身心能力發展歷程；尊重個性發展，激發個人潛能；涵泳民主素養，尊重多元文化價值；培養科學知能，適應現代生活需要。」(教育部，2003)。雖然課程已經有跟著時間腳步慢慢整合知識取得順序，但經由許多研究指出，學童的數學知識中存有迷思，並不是完整的了解其意義，常常是硬背數學公式或者只知其然不知其所以然的用錯解決方法，來解決數學問題，因此數學學習困擾的情形有隨著年級升高而增加的趨勢(袁以雯，1981)。吳明隆與蘇耕役(1995) 的研究中發現五、六年級學童的數學焦慮顯著高於四年級學童。黃德祥(1990)

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的研究也發現國中一、二年級之數學焦慮顯著高於國小五、六年級學生。由以上的研究，我們會發現在數學教育裡學生對數學的焦慮是隨著年級越高越有上升的趨勢。楊淑芬(1992)也提到：「數學課程在中小學裡成為最不受歡迎、最枯燥乏味、最沒有成就感的科目。」九年一貫課程改革，注重連貫，因為在課程設計方面，增加連結主題，加強各個課程的連接，並期望學生們在經過九年的教育歷程後，得以培養「帶著走的基本能力」，脫離「背不動的書包」與「繁重的知識教材」的夢魘(吳鐵雄，2001)。學習數學不宜全由教師對學生做單向的灌輸知識式的教學，應該讓學生能從自己所處周圍的環境去觀察，找出適合解決環境所發生問題的學習方式，才能使學生的學習切合實際生活需要。在九年一貫數學課程基本理念中提及，人類出生之後，即具備嘗試錯誤、尋求策略、解決問題的生存本能，並具備形與數的初等直覺。經過文明累積的陶冶與教育，使這些本能得以具體延伸為數學知識，並形成更有力量的思維能力。(教育部，2003) Pollak(1997)提到：離散數學課程比起傳統的課程多提供一些更有價值的教育經驗，並且強調邏輯思考、問題的分析與解答。Sandefur(1997)也提到：將離散數學納入現已存在的課程內，可以導致學生有更深的了解；而 Malkevitch(1997)更是明確的指出：離散數學比起目前的教學方法能夠更有效的達到數學教育的目標。另外 Hart(1997；1991)也說：「離散數學在中等教育課程受到廣泛的推薦並被認為是數學裡重要的分支」、「將離散數學納入中學課程裡是

令人興奮與必須的。」National Council of Teachers of Mathematics(NCTM， 1989)內也提及可以將離散數學轉至中小學來使得學生從事數學與科學為職業的趨勢更加穩固。因此研究者希望能針對離散數學做更完整及更清晰的詮釋，透過文獻的整理，配合老師的教學，希望能加深學童的印象，對學童往後數學知識連結能夠更確實及完整。

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第二節研究目的

本研究的主要目的在於探討九年一貫課程的體系下，將離散數學納入國中小數學課程中的適切性，並針對學生的認知進行實驗教學，比較使用「自編的樣式與規律學習教材」與「國小樣式與規律相關單元教材」對國一學生數學學習成就的影響，希望藉此經由自編教材，提供國中教師未來在數學教學上之參考。根據上述動機，茲將本研究擬達成的目的條列如下：一、從九年一貫課程的理念，分析離散數學在現有教科書中所扮演的角色以及離散數學納入學校課程的適切性。二、實施「離散數學融入教學教材」對學生數學學習成就影響之探討。

第三節待答問題與研究假設

一、待答問題根據本研究的研究目的，本研究欲討論下列的問題： (一) 何謂離散數學？何以將離散數學納入中小學數學課程？ (二) 在九年一貫課程的架構下，離散數學有何發展空間？ (三) 探討學生接受「自編的樣式與規律學習教材」與「國小樣式與規律相關單元教材」在數學學習成就上的差異情形為何？ (四) 探討不同性別學生接受「自編的樣式與規律學習教材」與「國小樣式與規律相關單元教材」在數學學習成就上的差異情形為何？ (五) 探討數學學業成就高分組、中分組、低分組學生接受「自編的樣式與規律學習教材」與「國小樣式與規律相關單元教材」在數學學習成就上的差異情形為何？二、研究假設：依據研究目的與待答問題，本研究擬提出一些研究假設： (一) 接受不同教材編排內容的學生，數學學習上並無顯著的差異。

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(二) 在自編的樣式與規律學習教材中，不同性別學童，對於樣式與規律概念的學習成效並無顯著差異。 (三) 對於國中一年級男性學童，在不同的教材編排內容下，對於樣式與規律概念的學習成效並無顯著。 (四) 對於國中一年級女性學童，在不同的教材編排內容下，對於樣式與規律概念的學習成效並無顯著。 (五) 對於國中一年級數學學業成就高分組學童，在不同的教材編排內容下，對於樣式與規律概念的學習成效並無顯著。 (六) 對於國中一年級數學學業成就中分組學童，在不同的教材編排內容下，對於樣式與規律概念的學習成效並無顯著。 (七) 對於國中一年級數學學業成就低分組學童，在不同的教材編排內容下，對於樣式與規律概念的學習成效並無顯著。

第四節名詞釋義

針對本研究題目中的重要名詞，為求適度掌握本研究的方向，茲分別描述其定義如下：一、自編的樣式與規律學習教材本研究是指研究者將離散數學的主題融入到數學教材的教學，配合教學目標及教材，進而達到教學目標。二、國小樣式與規律相關單元教材參考九十二年翰林版與九十三年康軒版樣式與規律相關單元所編制而成的教材。三、數學學習成就是指受試者在研究者所使用的「樣式與規律成就測驗」的得分。四、樣式與規律樣式(pattern)就是數學要尋找的、要探討的規律(rule)、模型(model)、形

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式(form)或結構(structure)等，它們之間不是完全可以區分，也不見得其中哪一個可以完全統攝包含另一個。再者，例如各種圖表所顯示的趨勢、各類解題策略或各種棋戲的戰略等所包含不那麼一眼就可認識的規律、模型、形式、結構等，也可以說是樣式──看到「樣子」想到「式子」。所謂的規律是會規則出現的，可以被辨認、延伸和一般化，相同的規律可以被發現在許多不同的形式上。(張英傑、周菊美，2005)。

第五節研究限制

本研究以台中市某國中一年級學童為對象，針對樣式與規律的基本概念進行「準實驗設計」。在研究過程中，由於一些難以控制的客觀因素的影響，故產生以下的限制： (一)實驗樣本的限制本研究之研究實驗教學樣本對象，因受限於人力、物力及時間因素，僅對台中市某國民中學一年級學童作為研究對象，因此如欲對研究結果外推，則需要考慮種種因素。。 (二)實驗時間的限制本研究僅以一年級下學期第一次段考後，對該兩班進行前測、教學及後測。但數學學習成就的改變需要長時間的教學陶冶，才能看出其顯著的變化。由於實驗時間有限，因此實驗的結果不宜過度推論。另外，礙於學校課程進度無法配合，故本研究利用彈性時間來進行活動。 (三)實驗內容的限制並非每一個單元都適合設計融入離散數學的主題，但國小已有樣式與規律的單元活動名稱，因此採取此單元進行研究。

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第二章文獻探討

為達本研究之研究目的，研究者在研究進行過程中不斷地探討相關文獻，期能從文獻探討中學習以及解答研究者之問題與迷惑。本章共分四節，第一節探討離散數學在數學教育的理由與重要性；第二節探討離散數學在九年一貫的發展空間；第三節探討離散數學融入數學課程的現況，最後在第四節中探討與本研究所搭配的「概念教學」。

第一節離散數學在數學教育的理由和重要性

就現在的數學課程內容來說，為什麼要將離散數學融入在現有的課程中呢？這將是本節討論的重點。 一、離散數學的起源 離散數學是隨著電腦科學的發展和電腦應用的日趨廣泛而逐漸形成的一門學科，是 20 世紀 70 年代初期形成的新興學科，是近代數學的一個分支，主要研究有限個或可數無限個離散量的結構和相互關係，離散數量關係和離散結構數學結構模型。由於電腦科學的迅速發展，與其有關的領域中，提出了許多有關離散量的理論問題，需要用某些數學的工具做出描述和深化。離散數學把電腦科學中所涉及到的研究離散量的數學綜合在一起，進行較系統的、全面的論述，為研究電腦科學的相關問題提供了有力的工具。雖說離散數學是一門新興的學科，但它的各個分支卻都歷史悠久。數學推理與邏輯之間，有著密切的聯繫，早在兩千多年前的古希臘，就有了邏輯學的萌芽。不過那時的邏輯稱為古典邏輯，屬於哲學的範疇。數理邏輯誕生於十九世紀中葉，源於古典邏輯。群論誕生於十九世紀二十年代，由法國天才數學家伽羅華創立。有趣的是，他創立群論的目的是為了解決高次方程求根問題，如果他知道群

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論與現代的電腦學科聯繫如此緊密，一定會驚歎不已。圖論最早起源於一些數學遊戲，相信對數學感興趣的一定都聽說過哥尼斯堡的七橋問題。圖論與幾何不同，幾何討論圖的長短大小，而圖論是討論圖的邊和頂點之間的位置關係，正因為如此，萊布尼茲稱為“位置幾何學”。圖論的問題非常有趣，往往答案很簡單，但卻非常非常難以想到；尤其是其分支拓撲學，更是如此。集合論起源於十六世紀末期，開始是為了追尋微積分的堅實基礎，後來，德國的數學家康托教授發表了一系列有關集合論的文章，奠定了集合論的基礎，集合論也從此發展起來。現在，集合論已經滲透到泛函、概率、函數論等各門學科。組合數學就是大家從高中開始學的排列組合，它與古典概率論的聯繫也非常緊密 (雲南廣播電視大學，2004)。在美國 60 年代，各地區紛紛開始學習離散數學，而在 1970 正式出現一本大約是大學程度且比較正式的書籍，這本教科書也很快的被推薦在大學數學的主修課程內(Dossey，1991)。 二、何謂離散數學 字典裡將離散這個字定義成：與其它不同的、分離的、由不同部分構成的、不連續的。那麼，離散數學將所研究的物體與概念分成「分離」與「不連續」兩部分(Dossey，1991)。離散數學是研究離散數量關係和離散結構數學模型的數學分支的統稱。"離散"與"連續"是數量關係中一對極為深刻的對立，它們之間的對立與統一是數學發展的重要動力之一。"離散"是"連續"的否定，即"不連續"；" 連續"則是指事物、數量的一種屬性，這種屬性使它們容易被分割或結合，並且不會因此而喪失它們原有的本性(雲南廣播電視大學，2004)。離散數學的問題大概可以分成下列 3 種類型。第一種類型：存在問題。討論一個問題的解是否存在；第二種類型：計數問題。研究一個問題中總共存在多少個解；第三種類型：最佳化問題。對於一些特定的問題找出最佳的解(Dossey,

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1991)。離散數學從數學分支出來後在過去十年有傑出的成長，這些成長大多源自於將許多的原理應用在商業或是電腦技術上面；離散數學的定理與主要解題策略包括電腦上計算遞增的次方，以及拓展整數領域的研究與應用。從二次大戰時，離散數學所探討與關注的研究是集合了非連續數學的概念，而這些概念早在更早以前(Euler 於 1736 年創造圖論)就已有根源了，然而對於這些概念的成長，電腦的發明無疑是一種催化劑。許多數學工具的主題都有出現在離散數學中，例如：矩陣(matrices)、差分方程式(difference equations)、編碼(coding)以及計數技術(counting techniques)。離散數學裡比較基本的數學領域有層級系統 (ranking systems)、社會決定理論(social choice)、圖形理論(graph theory)、 Markov 鏈(Markov chains)、離散最佳化(discrete optimization)、組合

(combinations)以及(離散)機率((discrete) probability) Malkevitch(1997)。在我們決定將離散數學納入數學課程前，我們應該要先知道什麼是離散數學。以下我們從兩種觀點來討論： (一)以離散數學的性質來定義 Dossey(1990)認為離散數學就是利用有限的集合來對數學作出結論； Epp(1990)認為離散數學是將獨立的序列步驟組合並用來描述解題的過程； Christian(1991)等人則認為離散數學學習的目的與概念所包含的可分為分離與

不連續兩部分；Froelich, Gray, Nancy Crisler, 與 Patience Fisher(1994)

等人則是認為從一些連續量中對照在離散的主題下找出最佳的答案。Hart(1997) 在其文章提及美國 Core-Plus Mathematics Project(CPMP)課程認為離散數學的內容、技巧方面的模組以及解決的問題包含了有限的程序與離散現象；

Malkevitch(1997)則是認為離散數學所探討與關注的研究是集合了非連續數學的概念；國內朱緒鼎教授(民 86)則是把離散數學認為是研究有離散結構的系統的學科。

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數學，所有的數學情境都可以利用有限的集合來加以描述。2.離散數學是數學中分離的集合，就像是兩個基本量之間的空洞部分，也可以說是自然數與有理數。 3.離散數學是所有未包含極限部分的數學。4.離散數學是能以有限步驟完成的數學。 (二)以主題的方式來定義 Malkevitch (1997)認為離散數學的主要領域有層級系統、社會決定理論、圖形理論、Markov 鏈、離散最佳化、組合以及(離散)機率；NCTM 課程標準(1989) 裡強調的主題有圖形理論、重複與遞迴、社會決定理論、矩陣以及組合，並且強調在中學課程中所該研究與發展的就是演算法；National Science Foundation(NSF，1990)教師們所強調的目標則是把離散數學內容的焦點放在圖論、重複與遞迴、社會決定理論、矩陣以及組合；Sandefur(1985)則分為遞迴的介紹、一次微分不等式、機率、高次不等式、線性代數以及不等式系統。Kenny 與 Bezuszka(1993)認為離散數學的主題包括集合、關係方程式、矩陣代數、組合與有限機率、圖形理論、有限區分與遞迴關係、邏輯、數學歸納法、演算法思維另外較常考慮的還有布林代數、社會決定理論、線性程序以及數論。中國也有人將離散數學之重點內容概分為四大部份(高點研究所)： (i)基礎數學 1. 集合、布林代數與邏輯：集合論、布林函數之基本性質及各種表示法、應用邏輯閘製作組合電路、利用 Karnaugh map 及 Quine-McCluskey table 化簡布林函數、邏輯推演之基本性質、判斷簡單陳述及複合陳述之真偽、first order logic。 2. 二元關係：二元關係之基本性質及各種表示法、研判各種特殊關係：reflexive, symmetric, transitive, irreflexive (antireflexive),

asymmetric, antisymmertic, partial ordering, total ordering, compartable, equivalent 等等、利用 Washall's algorithm 求遞

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移包、證明等價關係，求出相對應之等價類與商、分割及分割之運算。 3. 偏序集和絡：偏序集之基本性質及各種表示法、絡及絡之應用。 4. 函數：鴿籠原理之應用、證明集合為無限可數或不可數以及研判或證明各種特殊函數：一對一，映成，一對一且映成。 (ii)圖形理論 1. 圖形理論：圖形之基本性質及各種表示法、圖形之同構及同態、找出圖形之漢米爾頓路徑，漢米爾頓迴路，尤拉路徑，尤拉迴路，最短路徑，最大流量，最少色數、尤拉公式以及研判各種特殊圖及其應用： complete graph, cube graph, regular graph, wheel, cycle, bipartite graph,planar graph, Hamiltonian graph, Euler graph 等。

2. 樹：樹之基本性質及各種表示法、樹之各種應用、利用 Kruskall's 及 Prim's algorithm 找出圖形之最小生成樹、配對問題。

(iii)代數系統

1. 代數系統：圖形之基本性質及各種表示法、代數系統之同構及同態、coset, normal subgroup, kernel, quotient structure 之探討、研判及證明各種代數系統：groupoid, semigroup, monoid, group, abelian group 等。

2. 環：研判及證明各種代數系統：ring, intergal domain, field, ideal、 polynomial ring 及 Galois field 之探討以及環在傳統算數之應用： division algorithm, prime factorization, congruences, Euclidean algorithm, Chinese remainder theorem, Euler function, and Fermat's little theorem 等等。

3. 有限狀態機：有限狀態機之基本性質及各種表示法、有限狀態機之化簡、有限狀態機之同構、同態、等價及模擬、有限狀態機之連接及分

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解、Turing machine。 4. 編碼理論：編碼之探討、解碼之探討。 5. 玻理雅定理：Pólya's theory 在著色問題上之應用。 (iv)組合數學 1. 排列組合：二項式定理及其應用、多項式定理及其應用、基本排列組合、各種分配之探討、排容原理及其應用。 2. 生成函數：一般生成函數及其應用、指數生成函數及其應用、summing operator 之應用、整數分割及其應用、Ferrer's graph 之應用。

3. 遞迴函數：線性遞迴函數之各種解法：substitutions, summing factor, characteristic equation, quick characteristic equation, 及 generating functions、建立遞迴函數、解非線性遞迴函數與 Catalan number 之探討。我們可以發現不論是從性質或是主題的方式來對離散數學下定義，各家學者的看法都不見相同，對於究竟什麼是屬於離散數學之下，人們也沒有完全一致的看法。然而為了之後的研究，研究者還是試著將離散數學以主題的方式來定義，其中包含的有：計數技術、圖形理論、集合、排列與組合、重複與遞迴關係、矩陣、線性關係、機率、演算法、序列、編碼理論、代數系統、邏輯以及函數。或許我們也不必要精確的劃分，因為數學本來就是一家，各分支之間相互重疊和滲透是自然而且必然的事情，隨著時代演進，離散數學與數學其他分支的聯繫將會愈來愈密切。 三、離散數學在數學教育的重要性 學生常說痛恨數學，原因其實是他們討厭計算，因為他們從一入學便一直在練習四則運算，然而他們卻不懂什麼是數學(Picker, 1997)。一般來說，教導數學除了數學知識外，計算能力、抽象能力及邏輯推演能力的培養是整個數學教育

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的主軸。這三者是連貫而非獨立分開的，也是我們要培養學生數學能力的三個具體面向。所謂的數學能力，是指對數學掌握的綜合性能力以及對數學有整體性的感覺。在學習數學時，一般重視的是觀念和演算，但學生的數學經驗（或數學感覺）的培養卻是同等重要的能力。要確保學生能學好新數學題材的要素之一，旨在如何引導並利用學生的先置經驗（或感覺），這種數學的經驗或感覺就是數學的直覺或直觀。學生數學能力的深化，奠基在揉合舊有的直觀和新的觀念或題材，進而擴展成一種新的直觀。在認知能力上，直觀是思維流暢的具體展現；在能力培養上，直觀讓學生能從根本上，擺脫數學形式規則的束縛，豐富學童在抽象層次上的想像力與觀察能力，這二者是學童數學智能發展中的重要指標。傳統數學教學上，常把觀念與演算截然二分，然而數學演算並不只是機械式計算操作而已。某類型數學問題演算的純熟，常能同時促使新舊數學觀念的連結與落實。演算亦是學童獲得新數學經驗的方法，新的經驗將會再形成學生下一階段新主題學習所需的具體經驗。以傳統的直式乘、除法為例，透過這種演算法，學童能充份運用他的加減法以及個位數乘法的能力；更重要的是他能養成簡單心算的能力，進而勇於累積計算多位數的經驗。這種能力能讓學童對數字的內在邏輯有較流暢的感覺，而這種流暢感覺的回饋，則更能增強學童的自信心。相反的，沒有效率、容易造成錯誤的演算法，卻會加深學習的沮喪感，使學童逐漸放棄學習(教育部，2003)。那為什麼我們要教學生學習離散數學呢？因為離散數學提供學生許多新的機會在數學課程中獲得成功及產生有興趣的經驗；學生可能在學習數學時感到沮喪與洩氣，但是對於離散數學的問題卻會激起他們的好奇心。離散數學的許多解決問題的結構可以應用在有趣的真實情境中，學生在解決問題上提供了共同合作的情境並發展學生在解題過程時語言與寫作上的技巧，當學生在進行解題時需要不斷的思考與了解解題過程的原因(Kenny & Bezuszka, 1993)。

美國 NCTM 強調應該更早將離散數學課程放進七年級課程中，因為離散數學除了對學生在數學上有益處外，也幫助學生對數學感到興趣。Aimee(1999)對於

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NCTM 所強調的離散數學對學生有益處也提出了下列的看法： 1. 離散數學讓學生對於數學能保持著興趣。 2. 離散數學可以幫助學生看出所學的數學與現實生活間的關聯性。 3. 離散數學可以豐富傳統的課程。另外，可以促使數學與其他科目作跨領域連結以拓展題目的類型 (Kenny & Bezuszka, 1993)。Pollak(1997)的研究指出，離散數學課程比起傳統的課程多提供一些更有價值的教育經驗，並且強調邏輯思考、問題的分析與解答。 Sandefur(1997)提到，將離散數學納入現已存在的課程內，可以導致學生有更深的了解；而 Malkevitch(1997)更是明確的指出：離散數學比起目前的教學方法能夠更有效的達到數學教育目標。Hart(1997；1991)提到：「離散數學在中等教育課程受到廣泛的推薦並被認為是數學裡重要的分支」、「將離散數學納入中學課程裡是令人興奮與必須的。」Sandefur (1985)認為學生因為對於離散數學感到有興趣且有實際應用到可以立刻的看出每個主題的價值；另外，這類的課程可以拓展高中的代數，像是因式方程式與線性系統不等式。 Leibowitz(1997)認為離散數學可以提供許多教導數學的方法： 1、許多小概念是不可或缺的，離散數學的問題可以提供給任何年齡的學習者。 2、離散數學有許多開放性、實際生活上的問題，並且可能有超過一種以上的應用。 3、解決離散問題不需要特定的字彙或是符號，有時會需要伴隨配合圖片來進行解法上的溝通。 4、當在介紹證明技巧給學生時，討論離散數學定理通常是可直接觀察得知的，不需要以一般的數學形式寫出。離散數學和其它的數學分支比較起來，它較少有繁複的數學語言的包裝。很多問題很容易理解。而解決的方法也許很簡單，也許很難。很多人由於這些特點而喜歡它，也有人因此而看不起它。欣賞它也好，鄙視它也罷，我們都離不開它。十八、十九世紀的工業革命依賴於、也促進了微積分的發展。二十、二十一世紀

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的信息革命則依賴於、也正促進著離散數學的發展。隨著計算機科學的發展，離散數學將扮演越來越重要的角色(朱緒鼎，1997)。

第二節離散數學在九年一貫課程的發展空間

離散數學與我們的日常生活息息相關，然而在現有的課程標準中，備受忽略。目前所實施的九年一貫課程綱要，強調的是課程應與生活結合以及課程統整與學校本位課程發展模式，並賦予學校五分之一的「彈性教學時數」，以供各校發展特色。在此重大課程變革下，「離散數學」在課程中有了發展的空間。主題統整也強調所選的主題要與學生生活經驗、時令節日、社會重大議題相關，離散數學與生活關係密切，自然應是重要的「主題」來源。九十學年度所實施的九年一貫課程綱要，是我國課程上前所未有的的重大變革，將我國傳統以來的由上而下課程決定模式，改為學校本位課程決定模式，並將分科架構改為合科的領域架構，強調課程統整。 一、九年一貫課程的改革背景 從民國 38 年起政府實施戒嚴將近四十年，中央集權的控制型態連帶使在教育體制受中央嚴密的管制。集權控制的方式一方面穩定當時的政治狀況，對經濟建設、教育普及有其正面功能，但是對於思想的控制、人民權利的限制卻有負面意義。在教育上當時為凝聚反共復國意志，培養國家意識，對國中小學數學課程的控制尤其注意；不但以課程標準將所有科目、時數、學校作息時間表、教材大綱統一規定，教科書亦將所有科目、時數、學校作息時間表、教材大綱統一規定，教科書亦由國立編譯館統一編輯發行(周淑卿，1996)。這種由國家掌握一切的課程發展模式，稱為「國定課程」，這種發展模式，重視的是國家整體的利益，相對的，也就比較不能兼顧到學生的個別差異。民國 76 年解嚴之後，政治生態改變，民主意識的覺醒，使得長期受到壓抑的民間活力爆發出來，大眾參與公共事務的意願轉趨濃厚，勇於挑戰過去被視為

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禁忌的政治權威。社會上一連串的自力救濟及激烈的國會議場衝突，加速了民主化的腳步，雖然在這段過程中，亂像叢生，但台灣人民也正透過這般洗禮來體會民主自由的意義。在教育方面，教育部於 82 年級 83 年分別修正發布國民小學及國民中學課程標準，標榜民主化、本土化與自由化。然而社會變遷的速度飛快，在新課程剛開始實施不久，教育改革之風又起，對現有課程提出改革的呼籲。民國 87 年 9 月，教育部公佈「國民教育階段九年一貫課程總綱綱要」，確立了學校本位的課程發展模式，更使得課程自由化的步伐大步邁進。然而面對急遽變遷、價值多元與民主開放的時代，以及日漸高漲的自我主體意識，新的課程仍然面臨不少問題(張煌熙，1997)。 二、九年一貫課程的目標與內涵 有鑑於現行課程雖經歷屢次修訂，仍以分科知識為課程架構的依據，學校教育不僅以知識為內容，也常以知識的獲得為目標。新出爐的九年一貫課程，以「課程綱要」代替「課程標準」，藉以降低教育部對課程實施的規範與限制，提供民間教科書編輯者及學校實施課程時數較大的自主性，以具體實踐課程鬆綁之教改主張。九年一貫課程則強調學生基本能力的培養，注重生活實用性，培養可以帶得走的基本能力，而不再是背不動的書包與繁重的知識教材，因此，在新課程中，強調知識必須統整在生活變化的脈絡中，成為培養學生基本能力的工具。教育部(2003)指出九年一貫課程修訂的目的如下： 1. 重新調整國民教育階段的知識結構，以學生生活經驗為導向，將之融入教育情境中，建構易學實用的課程目標、內涵與基本能力指標，以符合青少年身心發展的需求。 2. 釋放課程決定權與選擇權，以課程綱要取代課程標準，賦予教師彈性教學空間，展現學校本位課程發展及教師專業自主的理念。 3. 整合國民中小學課程的內涵，作為未來中小學教育改革的依據。

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4. 建立國民中小學課程發展應以「人的生活」為中心，並尊重多元文化價值的理念，培養學生具備科學知能及適應現代生活所需要的能力。九年一貫的教育之目的在於以培養人民健全人格、民主素養、法治觀念、人文涵養、強健體魄及思考、判斷與創造能力，使其成為具有國家意識與國際視野之現代國民。本質上，教育是開展學生潛能、培養學生適應與改善生活環境的學習歷程。因此，跨世紀的九年一貫新課程應該培養具備人本情懷、統整能力、民主素養、鄉土與國際意識，以及能進行終身學習之健全國民。為實現國民教育目的，須引導學生致力達成下列課程目標：(一)增進自我了解，發展個人潛能。(二)培養欣賞、表現、審美及創作能力。(三)提升生涯規劃與終身學習能力。(四)培養表達、溝通和分享的知能。(五)發展尊重他人、關懷社會、增進團隊合作。(六)促進文化學習與國際了解。(七)增進規劃、組織與實踐的知能。(八)運用科技與資訊的能力。(九)激發主動探索和研究的精神。(十) 培養獨立思考與解決問題的能力等十項現代國民所需的基本能力，作為九年一貫課程所要發展的學生能力指標。現行課程標準總綱實施通則載明學校課程之編制與實施，需依據課程標準做統籌之規畫及適切之安排，故學校在課程自主上的空間十分有限；然九年一貫課程則強調學校本位課程，賦予學校更多課程決定的權力，因而學校教師在發展課程、自編教材以及教學實施等方面均有相當程度的彈性。為了有效推廣學校本位課程，規定各學校應邀請包含：學校行政人員、年級及學科教師代表、家長及社區代表、學者專家等組成「課程發展委員會」，妥善規劃學校每學年度的整體課程實施計畫，送交教育行政主管機關核備後實施。另外，各校亦應設置各學習領域課程小組，於每學期開學前規劃各領域的教學主題並設計教學活動，充分統整及運用教師的專長進行教學(教育部，2003)。綜觀九年一貫課程的設計，羅文基(2000)認為有下列六項重要的改革精神值得注意： (一) 課程決策權的下放

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九年一貫課程係以「課程綱要」取代以往的「課程標準」；以學生應學得的「關鍵能力」取代過去的「教學大綱」；讓學校及教師有更多自主的課程與教材設計，以及彈性的教學空間。 (二) 學校本位課程的推展以往由上而下的國家本位課程設計，強調全國統一的課程標準及國定本的教科書，甚至全國一致的教學進度，實嚴重剝奪了學校及教師的專業自主空間。九年一貫課程希望透過學校本位課程的推展，落實教育鬆綁的精神，進而重建教師的專業能力與形象。 (三) 重視學習內容的統整九年一貫課程強調合科、統整、協同、活潑開放的教學，期能確實打破以往分科過細、知識嚴重被分割，且各科獨立、教師單打獨鬥教學，而互不聯繫整合的扭曲現象，希望透過學習領域的統整，培養身心充分發展的健全國民。 (四) 強調社會新興議題的融入九年一貫課程除了規劃七大領域外，並將兩性、人權、環境、資訊、家政與生涯發展等社會新興議題融入各領域的教學，這是以往的課程規劃所沒有的。新興議題的融入，不僅讓課程的內容更為多樣與豐富化，而且具有因應時代與社會發展的前瞻性。 (五) 以基本能力的培養取代學科知識的灌輸九年一貫課程希望跳脫以往只強調知識的灌輸，而忽略學生生活知能與身心發展，亦即完整人格與心智的開發。因此，課程的設計特別希望培養學生帶得走的素養與能力，而不再只是嚴謹知識的記誦，讓國民中小學的教育回歸教育的本質，重現學校教育的生機。 (六) 重塑教學的機制與學習的文化九年一貫課程的實施期待透過教師之間的開放對話，形成各種可能的教學團隊，讓學校的機制得以活絡，進而重整新的校園學習文化，使學生獲得和以往完全不一樣的成長經驗。

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在教師方面，其本身對課程是否有正確認知，一般人都樂觀地假設，教師是改革的推動者，瞭解課程的發展過程並願意努力加以實施。事實上這些假定與實際現象有很大的差距。另外，課程發展也常假定家長、學生會對其發展出的結果會有興趣。事實上他們大都接受既有的制度，對學校中的迥異於他們過去教育經驗的事物產生懷疑，對學校發展出的課程或科目沒有興趣，認為這些課程會影響他們的教育機會或教育成就(Organisation for Economic Co-operation and Development，1979)。 三、九年一貫課程數學領域與離散數學相關之能力指標 現今九年一貫課程能力指標乃是參酌施行有年且穩定基礎的傳統教材、國際間數學課程必備的核心題材、數學作為科學工具性的特質、現有學生能夠有效學習數學的一般能力等原則進行修訂。數學領域將九年國民教育區分為四個階段：階段一為一至三年級，階段二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級。另將數學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題。在國小階段，整數指的是非負整數，所處理的是離散量的計數與計算。整數教學是國小數學的核心課程之一。課程安排應善用學生在入學前，已有的各種計數與解題能力，在既有的基礎上恰當地統整、釐清並擴張其經驗。整數計算是一切數學學習的基礎。在教學中，學童經由活動、情境掌握計算的意義，藉著各種例子體驗計算的規則與策略。流暢的計算能力，有如語文學習中，基本的文字駕馭能力，不僅可以內化學童的數字感，並且是日後（國、高中）學習抽象運算及形式推導的基礎，這樣的能力固然是學習科學所必須，也是能夠有效處理日常生活的基本能力之一。(教育部，2003) 國小整數教學的課程目標在於：（1）從計數開始，學習位值的約定與換算，並在演算中，逐步熟悉，最後能掌握大數。（2）在二年級下學期，理解算術的樞紐─九九乘法，作為日後所有計算的基礎。

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（3）到四年級時，能夠不拘泥於位數，熟練加、減、乘、除的直式計算。（4）五年級時熟悉整數四則混合計算。（5）在六年級時，理解基本的因數分解與質數概念，並與分數運算相互加強，建立完整的數字感。我們可以發現九年一貫課程對於小學整數部分所強調的正是與離散數學中的計數技術不謀而合，由此可見離散數學的某些概念與主題早存在於現今課程中，本研究者基於此理由根據九年一貫課程綱要數學學習領域(2003)，依分年細目所變列的階段能力指標中，將與離散數學相關的能力指標羅列於下： 數與量 N-1-01 能說、讀、聽、寫一萬以內的數，比較其大小，並作位值單位的換算。 (計數技術) N-1-02 能理解加法、減法的意義，解決生活中的問題。(計數技術) N-1-03 能理解乘法的意義，解決生活中簡單整數倍的問題。(計數技術) N-1-04 能理解除法的意義，解決生活中的問題，並理解整除、商與餘數的概念。 (鴿龍原理、樣式與規律) N-1-06 能理解九九乘法。(計數技術) N-1-14 能對兩個同類量作直接比較。(計數技術、集合) N-1-15 能作兩個同類量的間接比較與個別單位的比較。(計數技術、集合) N-2-04 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。(計數技術、因數與倍數) N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。(計數技術、機率) N-3-01 能認識質數、合數，並做質因數分解。(因數與倍數、樹狀圖) N-3-14 能理解生活中常用的數量關係，並恰當運用於解釋問題或將問題列成算式。（A-3-05）(樣式與規律、數列) N-4-03 能辨識具規則性的數列。(樣式與規律、數列) N-4-04 能理解等差數列的樣式、規則性及未知量。(樣式與規律、數列) N-4-05 能辨識等差級數的樣式、規則性及理解未知量求法。(樣式與規律、數

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列) 幾何 S-1-02 能描繪或仿製簡單幾何形體。(樣式與規律) S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。(平面幾何、點線關係) S-1-04 能認識平面圖形的內部、外部及其周界。(平面幾何、路徑圖) S-2-01 能運用簡單幾何形體的組成要素，作不同形體的分類。(平面幾何、集合) S-2-03 能透過操作，認識簡單平面圖形的性質。(樣式與規律、平面幾何、路徑圖) S-2-06 能理解平面圖形的線對稱關係。(路徑圖、樣式與規律) S-3-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。(樣式與規律、路徑圖) S-4-02 能指出合於所給定性質的形體。(邏輯推理) S-4-03 能描述複合形體構成要素間的可能關係。(邏輯推理) S-4-10 能辨識一個敘述及其逆敘述間的不同。(邏輯推理) S-4-15 能利用三角形及圓的性質作推理。(邏輯推理) 代數 A-1-03 能在具體情境中，認識加法的交換律、結合律、乘法的交換律，並運用於簡化計算。(樣式與規律、計數技術) A-3-05 能理解生活中常用的數量關係，並恰當運用於解釋問題或將問題列成算式。（N-3-14）(樣式與規律、計數技術) A-3-07 能運用變數表示式，說明數量樣式之間的關係。(樣式與規律、計數技術) 統計與機率 D-1-01 能將資料做分類與整理，並說明其理由。(集合、計數技術) D-1-02 能報讀生活中常見的直接對應（一維）表格。(集合、計數技術) D-1-03 能報讀生活中常見的交叉對應（二維）表格。(集合、計數技術、排列

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與組合、算數基本定理) D-4-04 能在具體情境中認識機率的概念。(機率、樹狀圖) 連結 ◎察覺 C-R-01 能察覺生活中與數學相關的情境。 C-R-02 能察覺數學與其他領域之間有所連結。 C-R-03 能了解其他領域中所用到的數學知識與方法。 C-R-04 能察覺數學與人類文化活動相關。 ◎轉化 C-T-01 能把情境中與問題相關的數、量、形析出。 C-T-02 能把情境中數、量、形之關係以數學語言表出。 C-T-03 能把情境中與數學相關的資料資訊化。 C-T-04 能把待解的問題轉化成數學的問題。 ◎解題 C-S-01 能分解複雜的問題為一系列的子題。 C-S-02 能選擇使用合適的數學表徵。 C-S-03 能熟悉解題的各種歷程：蒐集、觀察、臆測、檢驗、推演、驗證、論證等。 C-S-04 能運用解題的各種方法：分類、歸納、演繹、推理、推論、類比、分析、變形、一般化、特殊化、模型化、系統化、監控等。 C-S-05 能了解一數學問題可有不同的解法，並嘗試不同的解法。 C-S-06 能用電算器或電腦處理大數目或大量數字的計算。 ◎溝通 C-C-01 能了解數學語言（符號、用語、圖表、非形式化演繹等）的內涵。 C-C-02 能了解數學語言與一般語言的異同。 C-C-03 能用一般語言與數學語言說明情境與問題。

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C-C-04 能用數學的觀點推測及說明解答的屬性。 C-C-05 能用數學語言呈現解題的過程。 C-C-06 能用一般語言及數學語言說明解題的過程。 C-C-07 能用回應情境、設想特例、估計或不同角度等方式說明或反駁解答的合理性。 C-C-08 能尊重他人解決數學問題的多元想法。 C-C-09 能回應情境共同決定數學模型中的一些待定參數。 ◎評析 C-E-01 能用解題的結果闡釋原來的情境問題。 C-E-02 能由解題的結果重新審視情境，提出新的觀點或問題。 C-E-03 能經闡釋及審視情境，重新評估原來的轉化是否得宜，並做必要的調整。 C-E-04 能評析解法的優缺點。 C-E-05 能將問題與解題一般化。數學是依循嚴謹的邏輯程序而發展成的一個知識體系，它的特點在於能從問題的本質來探究其內在深層的結構，儘管這些問題的表相是多麼地不同。因此，數學敘述方式是一種抽象形式的語言，這種抽象性的本質是一般人學習數學的最大障礙。在國民教育的課程裡，如何協助學童擺脫數學形式規則的束縛，是編寫教科書及教師教學時所該注意的要點。具體來講，課程的設計應注重數學內在結構的連結，及數學在生活情境以及和其它學科（例如自然科學）的連結（教育部， 2003）。而離散數學被廣泛的應用正是能做到與其它科目相連結，因此對於連結部分的能力指標可以說是完全與離散數學有所關聯。 四、離散數學在學校課程的發展空間 數學是重要的基礎學科，也是有廣泛應用的學科，不僅自然科學離不開數學而且社會科學也離不開數學。數學科學的研究與應用對我國國民經濟的發展和科

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技進步具有重要的意義。當前數學發展的一個特點是它與各個日新月異的科學技術領域有著越來越多的聯繫，數學在這樣的聯繫中找到了自己的新的生長點，同時也正在發揮著過去難以想像的重要作用。離散與非線性數學是數學的重要分支，儘管其理論基礎在數學，但其應用已遠遠超出了數學本身，在科學技術各個領域，特別在資訊科學領域，有著廣泛的應用。離散數學是近代數學的一個分支，廣義來說就是研究有離散結構的數學。它被廣泛的應用到計算機科學、化學、生物、經濟、管理等各領域。在計算機誕生之前，人們能處理的信息量是很有限的，隨著計算機的迅速發展，人們能處理的信息量越來越大。離散數學，雖然有很多古老的問題，但作為一門較完整的學科，則正是隨著計算機的發展而迅速成長、壯大的。而近幾年來，因為離散數學被視為計算機科學的基礎，所以隨著計算機的迅速發展而蓬勃成為最活躍的數學分支之一(朱緒鼎，1997)。離散數學課程所涉及的概念、方法和理論，大量地應用在"數位電路"、"編譯原理"、"資料結構"、"作業系統"、"資料庫系統"、"演算法的分析與設計"、" 軟體工程"、"人工智慧"、"多媒體技術"、"電腦網路"等專業課程以及"資訊管理 "、"信號處理"、"模式識別"、"資料加密"等相關課程中；它所提供的訓練，十分有益於學生概括抽象能力、邏輯思維能力、歸納構造能力的提高，十分有益於學生嚴謹、完整、規範的科學態度的培養。這些能力與態度是一切軟、硬體電腦科學工作者所不可缺少的。離散數學課程所傳授的思想和方法，廣泛地體現在電腦科學技術及相關專業的諸領域，從科學計算到資訊處理，從理論電腦科學到電腦應用技術，從電腦軟體到電腦硬體，從人工智慧到分散式系統，無不與離散數學密切相關。（例如：理論的和現實的可計算性研究，新的軟體理論的發現和新的程式設計方法的提出，人工智慧系統的研製與新一代電腦的探索等。）因此，就像 20 世紀 30 年代圖靈機(Turing machine)的提出為現代電腦奠定基礎一樣，未來電腦系統的創新也取決於人類對離散結構、計算（包括思維與推理）模型的研究取得新的突破。

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電腦技術作為當今資訊社會資訊技術的核心，已經成為知識經濟最強有力的技術支援，成為人們工作、學習和生活中，獲取資訊、處理資訊、運用資訊的重要工具。眾所周知，電腦求解的基本模式是：實際問題 → 數學建模 → 演算法設計 → 編程實現那麼，為數學建模打下知識基礎、為演算法設計提供具體指導的離散數學，理所當然地與我們發生越來越密切的關係。它還不斷地走入物理、化學、生物等自然科學以及經濟、教育等社會科學中，取得日益廣泛的應用。有人預計，未來社會將有越來越多的人學習離散數學，就像當今人們學習微積分課程一樣(雲南廣播電視大學，2004)。 Freudenthal 曾說：「數學是人的活動、解決問題的活動，也是組織學科內容的活動-即數學化」。Pólya 在建議教師如何引起學生的學習動機時，即建議過教師應儘量選擇「與學生日常生活經驗相關」的問題來問學生(1962，九章編輯部編譯，1998)。依九年一貫課程之理念而言，凡與生活關係密切，都是重要的課程題材，離散數學與人們生活關係密切，是不容否認的事實。舉凡像是：四季的循環、每週七天的順序、火車座位的號碼、生物學中細胞的分裂…等(蔡逸勝、易正明，2006)。離散數學的許多概念及問題自然地出現在數學的許多分支中，並且也在其它學科中發現了它的應用。這些包括在資訊理論和電子工程中的應用，在統計物理，在化學及在分子生物學。例如，像 Ramsey 理論、組合集合論、擬陣理論、極值圖論、組合幾何及相差論的組合論等論題。還包括在電腦學科的應用，如電腦科學中的資料結構、作業系統、編譯理論、演算法分析、邏輯設計、系統結構、容錯診斷、機器定理證明等理論都是與數學和科學世界的大部分問題密切相關的，並且已經發現這些論題在其他領域中有著眾多的應用。(雲南廣播電視大學， 2004)。連續數學在處理計算物體數量方面是非常適合的，在離散數學則是把焦點放在判斷總數上。雖然在有些地方連續數學與離散數學這兩分支是互相競爭的，但

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是在現實世界的應用上兩者卻是互補的。舉例來說，用離散的逼近找測量的近似值時，反而會使用電腦的演算法這類的有限連續方法來證明找出數字的邊界。 Garfunkel(1988)與 Hirsh(1989)提到離散數學可以納到數學課程裡的任何地方，並起提供了幾個值得推薦且可行的策略來履行： 1、強調離散數學的主題已經部份的存在於現有的課程中。 2、試著利用離散的方法去解決舊的主題。 3、以 2 至 10 天的時間為單位來教導離散數學新的主題。 4、教導整學期的離散數學課程。 5、編排離散數學。而美國 NCTM 在學校數學課程與評鑑標準中也明確的指出，在 9-12 年級的數學課程中所包含的離散數學主題，所有的學生都應該學會： (1) 利用不連續結構，如：有限圖形、矩陣、序列以及遞迴關係來表示問題情境 (2) 利用矩陣來表示與分析有限圖形。 (3) 演算法的發展與分析。 (4) 解決計數與有限機率問題。另外，大學期望學生學會 (5) 利用線性規劃及差分方程去表達及解決問題。 (6) 探究由電腦檢驗及程式應用所衍生的問題情景。 Claire(1991)發現目前許多離散方面的問題、概念、探索、研究以及實驗都已經在中小學的課程裡，只是沒有明確的指出；Hart(1991)則是強調離散數學主題已經存在，例如：矩陣、計數、歸納法、序列、集合以及邏輯都是離散的主題並且都是先前課程的一部分；Evan(1997)說到離散數學對於中等學校的學生而言是容易接受的，許多相關主題都已存在於近代課程中或是已合併於課程當中； NCTM(1989)更是強調將離散數學主要的原理直接的與中等學校核心課程結合在一起。

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第三節離散數學融入數學課程的現況

一、國外將離散數學融入教材的事例 國外教科書中早已有將離散數學納入教材中的例子，以下是研究者所收集到相關的教科書資料： 1、美國將離散數學融入教材的事例在 Mathematics in Action(1991)這套教科書中我們都可以發現有提到離散數學的主題，例如：在六年級第二單元整數和小數加減法的解決問題中有提到最短路徑以及有 4 位選手要打網球賽則每個人需要打幾場的組合相關問題；在第八單元分數與帶分數的擴分與約分中的解決問題部份可以看到有許多樣式與規律的問題以及路徑問題，而在本單元的補充資料更是有提到 Fibonacci Sequence 並且有要求學生試著用 pattern 來找出答案(如圖 2-1)；

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圖 2-1 離散數學教材(Mathematics in Action Grade Six，P.351) 在第十一單元測量：面積與容量單元中的問題解決除了要學生畫出路徑圖外也有提到最短路徑問題；第十二單元機率的發展概念中我們可以看到有提到可以利用樹狀圖來幫助思考並配合乘法來解決問題(圖 2-2)，這裡其實已經有了算數基本定理的初步概念，但是卻還未明確的提出。在最後一個單元整數與座標圖形的補充部分則有提到路徑問題與最短路徑問題。

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圖 2-2 離散數學教材(Mathematics in Action Grade Six，P.490)

接著我們看看七年級的部分，在第三單元整數與小數的乘法應用的解決問題中我們可以看到有路徑問題，而在該單元最後面有個雛菊花遊戲(THE DAISY GAME)(圖 2-3、圖 2-4)，該遊戲除了是培養邏輯思考外也可以說是一種演算法的內容，藉由遊戲來讓學生進行思考，這也是離散數學最大的優點；

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THE DAISY GAME

圖 2-3 離散數學教材(Mathematics in Action Grade Seven，P.178)

第六單元樣式與整數理論的發展概念就是在說明數列，而其中也提到所謂的樣式與規律，並且經由對問題批判性的思考與綜合的應用來讓學生熟悉如何找出規律；而在本單元最後面的補充部分介紹了巴斯卡三角形，藉由巴斯卡三角形來讓學生觀察三角形內數字的規律(圖 2-5)；

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第七單元分數的加減法中我們可以看到應用樹狀圖與組合等不同的方式來進行問題的解決(圖 2-6)；

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而第八單元分數乘除的解決問題中則有所謂的一筆劃問題以及握手問題；第九單元幾何的解決問題中則有提到所謂的路徑問題；在第十三單元機率的發展概念中有提到樹狀圖以及配對的方式來作為解題的方法，藉由樹狀圖來將所有可能的機率組合表示出來，讓學生可以清楚的知道有哪幾種可能(圖 2-7)；在該單元的主要概念還有介紹排列與組合，在排列的部分除了應用樹狀圖外，也引進了所謂的階乘概念(圖 2-8、圖 2-9)。

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八年級的第八單元百分比應用的解決問題中有提到巴斯卡三角形，藉由巴斯卡三角形的特性來教導路徑、規律等相關問題，另外還有有向圖的路徑問題；在第十一單元整數代數的解決問題中除了有提到一筆劃問題外，還有判斷基點偶點、最短路徑以及漢米爾頓路徑(圖 2-10)。

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圖 2-10 離散數學教材(Mathematics in Action Grade Eight，P.418)

在第十二單元機率的發展概念中利用樹狀圖與表格分配的方式來講解機率問題，並且解釋何謂算數基本定理，在該單元的最後面利用投擲硬幣來讓學生進行機率的預言與提供經驗，其中更搭配樹狀圖的應用(圖 2-11、圖 2-12)。

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圖 2-11 離散數學教材(Mathematics in Action Grade Eight，P.456)

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2、日本將離散數學融入教材的事例日本的國小教材融入離散數學的情況是如何呢？在四上的教科書中，利用將數字放入電腦產生新的數字來讓學生進行演算過程中的推理並且找出其規律性 (大日本図書株式會社，平成 11 年)；在五上第六單元整數的性質活動一中將整數分成奇數與偶數，教師手冊中提到該單元主要是從整數的觀點分成不同類別的集合。在活動二則是利用月曆來觀察其中的規律(圖 2-13)，例如被 7 除餘 2 表示是星期二，而在教師手冊本單元的補充問題則是探討奇數與偶數相加減的運算規則(大日本図書株式會社，平成 11 年)；圖 2-13 離散數學教材(平成 11 年，新版算数 5 年上，P.78)

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在六上的第七單元場合的數，活動一主要是藉由爬山時對於休息地點是否休息來進行討論，將結果利用圖表以及樹狀圖的方式來表示(圖 2-14)。活動二則是利用旗幟的顏色來討論可能的組合，其中除了利用圖表與樹狀圖外，在教師手冊中也有提到利用排列的公式來進行解題(圖 2-15)。活動三則是利用組合的問題來進行討論，除了用圖表與樹狀圖外，教師手冊也有提及用結構圖與組合公式的方法來解題(圖 2-16)。在此除了要教學生利用圖表與樹狀圖來進行問題的解決外，更是為了以後中學時機率所做的先備知識(大日本図書株式會社，平成 11 年)；圖 2-14 離散數學教材(平成 11 年，新版算数 6 年上，P.70)

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圖 2-16 離散數學教材(平成 11 年，新版算数 6 年上教師用指導書，P.72)

而在六下的最後補充部分有提到一筆劃問題，並且在教師手冊中更介紹了七橋問題、奇點與偶點(圖 2-17)(大日本図書株式會社，平成 11 年)。

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圖 2-17 離散數學教材(平成 11 年，新版算数 6 年上教師用指導書，P.87)

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間與金錢來做考量，與離散數學所提到的最短路徑觀念不謀而合(東京書籍株式會社，平成 11 年)；在六上第八單元場合的數的一開始利用具體的圖片讓學生排出不同的順序，之後利用樹狀圖與圖表來紀錄所有不同的排列方式(圖 2-18)。圖 2-18 離散數學教材(平成 11 年，新編新算数 6 上，P.90) 活動二則是利用投擲硬幣的方式來進行討論，除了利用樹狀圖跟圖表來紀錄外，在教師手冊的補充問題則是有配合路徑問題。活動三則是利用四支不同的足球隊伍進行對戰，利用陳列的方式、圖表對戰、以及點線圖來加以說明，在教科書中還有將 5 張色紙取走 4 張會有哪些可能的組合問題(圖 2-19、圖 2-20)(東京書籍株式會社，平成 11 年)。

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圖 2-20 離散數學教材(平成 11 年，新編新算数 6 上，P.94) 二、國內將離散數學融入教材的事例 國內的教科書中並沒有明確的將離散數學的主題成列出來，但是與離散數學相關概念的內容還是有出現在教材中，以下我們將針對與離散數學相關的內容陳述出來：翰林版五上的第五單元「數量樣式」中，利用月曆來讓學生了解日期之間的規律性，接著說明何謂奇數與偶數並利用門牌號碼來讓學生發現其中規律，此外舉聽音樂會的座位號碼來讓學生觀察座位的規律；活動五則是採用棉花棒和小積木來讓學生觀察所排列出來的圖形規律是如何(圖 2-21、圖 2-22、圖 2-23)。

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圖 2-21 離散數學教材(92 年翰林版第九冊，P.45)

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圖 2-23 離散數學教材(92 年翰林版第九冊，P.52) 翰林六下第二單元週期與數列中先利用圖形的序列引進規律接著配合紀錄說明比的對等關係。緊接著的活動介紹數列的項、前項、後項推導至等差數列與等比數列(圖 2-24、圖 2-25、圖 2-26)。圖 2-24 離散數學教材(92 年翰林版第十二冊，P.15)

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圖 2-25 離散數學教材(92 年翰林版第十二冊，P.16) 圖 2-26 離散數學教材(92 年翰林版第十二冊，P.17) 康軒一上第三單元的排順序、比多少藉由簡單的數數活動讓學生知道所謂的順序，在此可以算是有簡單的數列概念。二上第八單元的分類整理依照東西的性質來將物品分類，在此可以說是集合概念的先被知識。三下第十二單元序列，一開始是利用圖形來說明何謂序列進而轉化成數字序列，並且利用圖形與數字來讓學生察覺序列中的規律性。在四上學習廣角的活動三比大小，利用數字卡來排一個六位數的數字，可以說是簡單排列與組合的概念。四下第三單元數列，一開始先說明奇數與偶數後，在活動二說明何謂數列並且試著找出數列的規律，活動三則是說明圖形序列與數列的關係，在此藉由將圖形轉換成數字的數列幫助學生進行思考。在五上第一單元圖形與數中，介紹奇數與偶數並且利用門牌來配合說明，接著利用置物櫃的號碼、火車座位以及月曆上的日期來讓學生觀察數字上的規律。接著說明所謂的正方形數與三角形數，並且延伸到不同圖形的規律(圖 2-27、圖 2-28)。

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圖 2-27 離散數學教材(92 年康軒版第九冊，P.10)