第二章 文獻探討
第一節 面積概念發展
第二章 文獻探討
本研究根據研究目的進行文獻探討。第一節為面積概念發展；第二節為國小 四至六年級面積教材分析；第三節為次序型選擇題的理論基礎；第四節為表現水 準的設定。
第一節 面積概念發展
面積是指一條固定長度的線段或曲線，所圍出來的封閉區域，可以對應到一 個連續量，而這個量即是面積（陳鉪逸，1997）。面積概念發展從面積基礎概念 的建立、保留概念的形成到測量概念的逐步發展，最後為面積的估測（譚寧君，
1995）。因此，以下就面積初步概念、面積保留概念、面積測量概念、面積估測 概念闡述面積概念的發展。
壹、 面積初步概念
面積是由一種圖形區域所產生的量，描述物體佔二維空間的量，以表對某一 封閉區域覆蓋範圍的大小，因此，面積具有周界，覆蓋物不能超過給定的邊界，
且覆蓋物不能重疊（譚寧君，1995）。
貳、 面積保留概念
保留概念是由皮亞傑首先提出的，是皮亞傑認知發展理論中的重要概念。所 謂的保留概念，是指個體在面對物體轉換(Transformation)的過程中，遇到形狀的 切割、方向的轉動或是位置的移動等，仍然保有物體原有的特質保留不變的認知 能力，例如一塊正方形的蛋糕由對角線切成兩塊，組合成等腰三角形，蛋糕面積 依然不變 。也就是說，保留概念是指物體的大小不因方向、位置的改變而改變
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（譚寧君，1998b）。
皮亞傑發現兒童保留概念的發展，大致上可分成缺乏保留概念、過渡和充分 具有保留概念的三個階段(Piaget, 1952)。在各種的概念發展順序而言，長度保留 概念的發展比面積保留概念來的早，而面積保留概念與面積測量概念是平行發展 的（蔡春美，1980）。面積保留概念可以再分成下面兩個階段：
一、 基本面積保留概念
基本面積保留概念代表在任何封閉範圍面積的大小，不因形狀改變而有 所不同。不論將圖形如何移動或切割重組，面積大小都是固定的。例如將一 個正方形切割成四個一樣大小的三角形，將此四個三角形經過旋轉、移動後 成為一個新的圖形如圖 2-1。雖然正方形與平行四邊形的形狀不同，但面積 卻是相同的。
圖 2-1 基本面積保留概念 二、 面積互補保留概念
面積互補保留概念是指兒童能認知在相同面積大小的平面上，兩個面的 面積減去形狀不同但面積相同的面積大小後，面積依然不會改變，例如圖 2-2，圖中灰色面積皆為方形面積扣除圓形面積（兩個半圓合而為一即為一完 整圓），故互補面積保留概念是屬於逆向的邏輯思考，需在兒童已經具備基 本面積保留概念後才可提及互補關係（譚寧君，1998b）。
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實驗名稱 認知發展層次 結果
置變化的綜合運 思。
一層次的平面大小關係，但卻 不能同時對第二層次的平面 大小關係與整體做一統整。
已具有階段
（八歲以上）
兒童已能正確回答此問題，能 了解部分和全體的相互關係。
叁、面積測量概念
面積測量概念是從個別物件如桌子描述教室大小，到利用個別單位（五本教 科書）描述桌子大小，最後推演至使用普通單位如用平方公分板來記數，延伸出 面積公式。面積測量概念不只有計算，還包含遞移性、分解或合成性。Piaget et al.
(1960)認為當面積保留能夠銜接到互補面積保留時，才能進行真正的測量，故面 積測量是面積保留的上位概念。譚寧君(1998b)將面積測量概念分為三種不同層 次：
一、 基本面積概念
基本面積概念是指在給定的平方單位格內，在平面面積中，點數的個數。
當面積皆由整數格所組成並且未含非整數格時，學生在計算面積大小時容易 計算且不易出錯。相反的，當面積包含整數格和非整數格時，即形成面積的 補償關係，學生在計算面積大小時較容易計算錯誤或者是忽略非整數格之面 積大小。例如圖 2-3，A 為完整整數格，B 則包含非整數格。
圖 2-3 基本面積概念
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圖 2-3 中，假設圖中一方格面積為 1 平方公分，則 A 圖包含 14 個灰色方 格，故面積為 14 平方公分，而 B 圖包含 11 個完整的灰色方格與 6 個不完整 灰色方格，面積為 20 平方公分減去兩個三角形，故面積亦為 14 平方公分。
兩者雖然形狀不同，但面積卻是相同的，學生尚未學習面積概念時較無法判 斷兩張圖形的面積大小是一樣的。
二、 單位面積概念
單位面積概念是指透過不同單位量的覆蓋或拼湊而成的測量，單位量指 的是單位的大小，當所設定的單位量越大時，單位個數會越少，而當單位量 越小時，單位個數就會越多。假設一個長方形長 4 公分寬 3 公分，如果用不 同單位量來描述面積大小，如用邊長 1 公分的正方形加以覆蓋，則長方形可 以用 12 個□覆蓋面積。如用邊長 1 公分的等腰三角形加以覆蓋，則長方形可 以用 24 個⊿蓋滿，兩者雖然都為長方形，但由於單位量的不同（一個為□，
一個為⊿），故其單位數亦有不同（一為 12 個□，一個為 24 個⊿），如圖 2-4。
圖 2-4 單位面積概念 三、 直線測量面積概念
直線測量與前述的兩種概念完全不同，直線測量包括單位在數學上的相 乘關係，基本面積與單位面積只在單位數的累加與單位量的比較，而一般常 見的面積公式如長方形面積等於長邊乘以寬邊、三角形面積等於底面積乘以
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實驗名稱 認知發展的層次 結果
（十一歲或十二歲 左右）
定面積的問題，知道先求原 正方形面積3×3＝9，再求兩 倍的面積是9×2＝18，而4×4
＝16，所以新的正方形每邊 長度會比4 略大一些，已進 入形式運思期的認知作用 了。
肆、 面積估測概念
面積估測概念是在當學童已有覆蓋的觀念後，能夠透過任何工具，包括目 測、手量已感覺到估測一個單位量與單位數的關係。例如猜猜看一張桌子有 多大？接著使用公式去檢驗，即是面積估測。若課程中未提及估測的教材，
將不易培養學童的量感，也使學童不易產生有意義的學習（譚寧君，1995）。
綜合以上討論得知，學童的面積概念包括初步概念、保留概念、測量概念和 估測概念，從 Piaget 的理論中可以知道，學童一開始都以視覺直觀的方式來學習 面積，且當面積保留能夠銜接到互補面積保留時，才能進行真正的測量，故面積 測量是面積保留的上位概念。因本研究對象為國小四至六年級學生，根據課程綱 要僅以面積保留與面積測量為主。
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