應用表現水準設定方法與次序型選擇題測量四至六年級面積概念發展

全文

(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所碩士論文. 指導教授：施淑娟. 博士. 應用表現水準設定方法與次序型選擇題測量四至六年級面積概念發展. 研究生：王姵錡撰. 中. 華. 民. 國. 一. ○. 三. 年. 一. 月.

(2)

(3) 謝辭碩士生涯兩年多的光陰轉眼即逝，一路上有歡笑也有辛苦的汗水，終歸告一個段落。在這過程中感謝始終支持我的家人，給予我前進的力量和勇氣。本論文的完成，首先感謝指導教授施淑娟老師的諄諄教誨及用心提攜，無論老師所務再繁忙，仍然督促我們該有的研究進度，並且不厭其煩的幫助我們解決問題；感謝撥冗費心審查並且提供寶貴建議的口試委員吳慧珉老師、許天維老師，此篇論文因您們的提點而更加嚴謹完備；感謝俊彥學長、筱倩學姊及鎧誌學長在研究的路上給予教導與照顧；感謝同學緯誠將所編製的試題與蒐集的資料提供給我使用，使本論文能順利完成。此外，還要謝謝給予我許多幫助的學弟妹們，一起同甘共苦、互相打氣的夥伴婕婷、楷蓁、曉瑜、德弘、婉寧、浩瑋、愷謦、立翔，以及研究室的助理麗珍，有你們的陪伴，豐富了兩年多的研究生涯。更感謝所上的助教敏嫻，總是不厭其煩協助我們處理瑣碎的事情，使我們順利度過碩士生涯的時光。還有在我身邊給予我精神上慰藉的大學同學貞賢、宜潔、慧君以及女籃的大家們。最後，感謝我的父親、母親、姊姊、姊夫以及弟弟，支持我繼續攻讀碩士學位，就算後來因為研究方向出現瓶頸，仍然支持我完成碩士學位，感謝你們無怨無悔的為我付出，你們的包容是我溫暖的後盾。. 本文謹將完成碩士論文的喜悅與所有關心我的人共享！. 王姵錡謹誌中華民國一○三年一月 I.

(4) II.

(5) 摘要本研究旨在以專家判斷為效標，探究以屬性層級方法與群集分析估計國小四至六年級學生在面積概念發展次序型選擇題的學習層級，評估兩種表現水準設定方法與專家判斷的一致性，並根據與專家判斷一致性較高的設定方法比較不同年級的學生在面積概念發展之表現。由於本研究重點聚焦於評估不同表現水準設定方法在國小四至六年級學生面積概念的學習層級之分析結果，因此，研究工具與研究樣本皆使用陳緯誠（2013）所編製與蒐集而得，樣本數為四年級 303 位、六年級 299 位。研究結果如下：一、本研究在應用屬性層級方法進行學生面積概念發展表現水準設定時，需涉及到設定門檻值來決定屬性二分化結果，且發現不同門檻值會使學生被判定的屬性有所差異。因此，本研究以 Gierl et al. (2008) 界定的門檻值，找出適當的門檻值以作為判定學生具備之屬性，並根據學生的屬性組合，分類其所在之面積概念發展學習層級。二、比較不同表現水準設定方法分析國小四至六年級的學習層級與專家判斷的一致性，結果發現，不論是四年級或六年級，屬性層級方法與專家判斷的一致性皆優於群集分析。三、以與專家判斷一致性較高的屬性層級方法來分析學生整體的面積概念發展情形，發現四年級與六年級的學生在面積概念發展測驗中，整體的發展情形有顯著差異。此外，六年級在面積概念發展的表現優於四年級在面積概念發展的表現。關鍵字：表現水準設定、次序型選擇題、屬性層級方法、群集分析、面積概念發展 III.

(6) IV.

(7) Applying performance level setting methods and order-multiple-choice items to measurement of development in area concepts from fourth grades and sixth grades. Abstract This study aims to use expert judgment criterion to explore the attribute hierarchy method and cluster analysis to estimates the fourth grades and sixth grades students in the area concept development learning level in ordermultiple-choice, to estimate two performance level setting methods and consistent of expert judgment, and according the the setting methods which one has the higher consistent of expert judgment to compare the performance in area of concept development of students in different grades. Because this study focused on assessing the analysis of performance level setting methods in area concept learning level of fourth grades to sixth grades students, therefore, research tools and research samples were directly prepared by Cheng Wei Chen (2013), the sample size of the fourth grades are 303, and sixth grades are 299. The results are as follows: 1.. In this study, application of the attribute hierarchy method student performance standards set area of conceptual development, the need to relate to the set threshold value to determine attribute dichotomy results, and found that the properties of different thresholds students will be. V.

(8) judged vary. Therefore, this study to use the threshold in Gierl et al.(2008) to identify the appropriate threshold determination as students with the attribute, and according the student's attribute pattern to classificate the learning level of the area concept development. 2.. Compare the analysis of learning level by different performance level setting methods of fourth grades and sixth grades with consisten of expert judgment. It was found that both the fourth grades and sixth grades, the consisten of attribute hierarchy method and expert judgment is higher than cluster analysis.. 3.. Use the attribute hierarchy mehod which has higher consisten with expert judgment to analyze the area concept development situation, it found the overall situation of the development have a significant difference for students of fourth grades to sixth grades in the area concept develope test. In addition, the performance of area concept development of the sixth grades is better than fourth grades.. Keyword: performance level setting, ordered multiple choice, attribute hierarchy method, cluster analysis, area concept development. VI.

(9) 目錄謝辭 ...................................................................................................................... I 摘要 ................................................................................................................... III Abstract ............................................................................................................. V 目錄 ................................................................................................................. VII 表目錄 ............................................................................................................... IX 圖目錄 ............................................................................................................... XI 第一章緒論 ....................................................................................................... 1 第一節研究動機 ....................................................................................... 1 第二節研究目的 ....................................................................................... 4 第三節待答問題 ....................................................................................... 4 第四節名詞解釋 ....................................................................................... 5 第五節研究範圍與限制 ........................................................................... 7 第二章文獻探討............................................................................................... 9 第一節面積概念發展 ............................................................................... 9 第二節國小四至六年級面積教材分析 ................................................. 18 第三節次序型選擇題的理論基礎 ......................................................... 21 第四節表現水準的設定 ......................................................................... 28 第三章研究方法............................................................................................. 41 第一節研究流程 ..................................................................................... 41 第二節實驗設計 ..................................................................................... 43 第三節研究工具 ..................................................................................... 50 第四節資料分析 ..................................................................................... 52. VII.

(10) 第四章研究結果與討論................................................................................. 55 第一節設定 AHM 門檻值之結果 .......................................................... 55 第二節不同表現水準分析結果 ............................................................. 59 第三節比較不同年級在面積概念發展之表現 ..................................... 68 第五章結論與建議......................................................................................... 73 第一節結論 ............................................................................................. 73 第二節建議 ............................................................................................. 74 參考文獻 ........................................................................................................... 75 中文部分 ................................................................................................... 75 英文部分 ................................................................................................... 78 附錄一試題屬性與學習層級......................................................................... 81 附錄二面積概念 Qr 矩陣............................................................................... 95 附錄三四至六年級表現層級表..................................................................... 98 附錄四研究工具同意書............................................................................... 104. VIII.

(11) 表目錄表 2-1. 皮亞傑面積保留概念實驗 ................................................................ 11. 表 2-2. 皮亞傑面積測量概念實驗 ................................................................ 15. 表 2-3. 國民中小學九年一貫課程綱要數學領域面積教材相關能力指標 19. 表 2-4. 國民中小學九年一貫課程綱要數學領域面積教材相關分年細目 20. 表 2-5. 傳統選擇題與二階段試題優缺點整理表 ........................................ 22. 表 2-6. 學生了解地球在太陽系的學習層級 ................................................ 23. 表 2-7. OMC 試題連結地球在太陽系的學習層級 ..................................... 25. 表 2-8. OMC 相關文獻與分析方法 ............................................................. 26. 表 2-9. 認知屬性關聯矩陣 Q(2x3)所產生的四種知識狀態 ....................... 33. 表 2-10 屬性編碼表 ........................................................................................ 35 表 2-11 定義學習層級 .................................................................................... 36 表 2-12 模擬反應向量 .................................................................................... 39 表 3-1. 國小數學科面積發展層次 ................................................................ 43. 表 3-2. 面積發展屬性編碼表 ........................................................................ 45. 表 3-3. 面積概念學習層級 ............................................................................ 46. 表 3-4. 試題二之屬性與學習層級 ................................................................ 48. 表 3-5. 面積概念 Qr 矩陣 .............................................................................. 49. 表 3-6. 屬性組合模式 .................................................................................... 50. 表 3-7. 次數統計表 ........................................................................................ 52. 表 4-1. 四年級各學習層級人數 .................................................................... 55. 表 4-2. 六年級各學習層級人數 .................................................................... 56. 表 4-3. 屬性機率值 ........................................................................................ 56. 表 4-4. 屬性組合與學習層級 ........................................................................ 57 IX.

(12) 表 4-5. 無法判別層級之屬性組合 ................................................................ 58. 表 4-6. 群集分析結果及切點分數 ................................................................ 60. 表 4-7. 各層級人數統計表 ............................................................................ 61. 表 4-8. 四年級各群集變異數分析 ................................................................ 61. 表 4-9. 六年級各群集變異數分析 ................................................................ 63. 表 4-10 受試者學習層級統計表 .................................................................... 65 表 4-11 四年級表現水準設定之比較 ............................................................ 65 表 4-12 六年級表現水準設定之比較 ............................................................ 66 表 4-13 學習層級命中率 ................................................................................ 66 表 4-14 不同年級之學習層級 ......................................................................... 68 表 4-15 不同年級與層級之期望值 ................................................................ 69 表 4-16 年級與學習層級列聯表 .................................................................... 70 表 4-17 年級與學習層級檢定表 .................................................................... 70 表 4-18 根據屬性組合探討面積概念發展 .................................................... 71. X.

(13) 圖目錄圖 2-1 基本面積保留概念 .............................................................................. 10 圖 2-2 面積互補保留概念 .............................................................................. 11 圖 2-3 基本面積概念 ...................................................................................... 13 圖 2-4 單位面積概念 ...................................................................................... 14 圖 2-5 三道試題與兩個認知屬性所構成的關聯矩陣 .................................. 33 圖 2-6 屬性結構關係 ...................................................................................... 35 圖 2-7 Qr 矩陣 .................................................................................................. 37 圖 2-8 預期反應矩陣 ...................................................................................... 37 圖 3-1 研究流程圖 .......................................................................................... 42 圖 3-2 面積概念屬性結構關係 ...................................................................... 46. XI.

(14) XII.

(15) 第一章緒論本研究旨在以專家判斷為效標，探究應用屬性層級方法與群集分析法分析國小四至六年級學生在面積概念發展次序型選擇題的學習層級之效果，並根據與專家判斷一致性較高的設定方法比較不同年級的學生在面積概念發展之表現。本章第一節闡述研究動機；第二節說明本研究目的；第三節為待答問題；第四節為名詞解釋；第五節為研究範圍與限制。. 第一節研究動機九年一貫數學領域課程綱要揭示，數學課程的發展應配合各階段學童的身心與思考型態的發展歷程，提供適合兒童能力與興趣的學習方式，據以發展數學學習活動（教育部，2008）。所以，數學教學必須建立在學生的概念發展上實施教學，否則學生將難以建立數學知識。李源順（2006）提出宏觀與微觀理論，宏觀理論有助於教師在教學脈絡中掌握大多數的學生、學習狀況較佳的學生、以及較差的學生的學習方式和認知方式，微觀理論有助於教師如何在短時間幫助學生提升學習層次。由此可知，能否掌握學生目前的發展情況或學習層級，是教師設計有效數學教學活動的關鍵要素之一。基於掌握學生概念學習層級的重要性，過去發展層次的研究多採用選擇題方式（譚寧君，1998a）、一對一訪談或原案分析的方式進行測驗。然而，選擇題題型雖有作答簡單、計分容易的優勢，但也容易因為受試者在作答時有猜題的情況，如果只採用對錯給分，容易造成測驗結果較不精準。再者，使用一對一面談或原案分析方式的測驗需要花費許多人力及時間，樣本收集不易，容易影響研究的效度，為克服上述問題，陳緯誠（2013）以次序型選擇題(ordered multiple choice item, OMC)設計國小四至六年級面積概念發展成就測驗，此評量工具可結合選擇. 1.

(16) 題與原案分析之優點。 OMC 試題介於傳統選擇題與二階段試題之間，每題試題的選項設計皆代表某一學習層級的典型反應，學生在做完測驗後，教師可以透過選項評估學生的學習層級。根據學習層級，即可診斷評估學生，有效的找出學生所具備的概念。但是，學生所做的試題並不只有單一題，且學生的作答反應是一個機率模型，要如何分類學生真正所在的學習層級，是本研究所要探討的重點之一。目前 OMC 試題並無特定評量模式進行分析，陳緯誠（2013）曾使用有序分區模型(Ordered Partition Model, OPM)分析 OMC 試題，OPM 雖然可依照學生的能力及試題答對率繪製試題特徵曲線(Item Characteristic Curve, ICC)，並可以多個類別選項對應到同一個分數或層級。然而，OPM 僅能估計出受試者之能力值，對於受試者的學習層級只考慮到試題層次，而受試者的表現只說明到總體分數的概念，無法將受試者在一份測驗上的表現分類到所屬的類別，只能估計出潛在特質的高低。Briggs, Alonzn, Schwab, & Wilson (2006)建議使用屬性層級方法(Attribute Hierarchy Method, AHM)分析 OMC 試題，然而在其文章中僅列舉簡單例子說明，並未將此方法應用於實徵資料分析，此外，由於將 AHM 應用於分析 OMC 試題時，先定義各層級所需具備屬性，再由 AHM 估計學生在各屬性的具備機率，然後需決定決斷機率（本研究稱為門檻值）的設定，以獲得學生屬性的二分化結果，根據學生所具備的屬性組合分類至其所屬層級。因此本研究將先探討門檻值之設定，對以 AHM 不同門檻值設定進行學習層級估計所造成的影響加以分析。實徵資料部分使用陳緯誠（2013）設計 OMC 試題所蒐集到的資料。本研究為評估 AHM 應用於分析 OMC 試題的成效，由於屬性層級方法屬於一種表現水準設定方法，亦即從受試者在試題上的作答反應設定標準，來決定受試者的表現水準 (Sadesky, 2004)。在實務上最常見的表現水準是根據專家的判斷，訂定決斷分數和表現標準。另外，Sireci (1995)亦曾使用群集分析來確定統計組別是否可以與受試者的表現類別吻合。Brown (2000)則使用潛在類別分析確定 2.

(17) 受試者的反應潛在分布可以用來觀測其表現層級。然而，Sireci & Brown 的理論中缺乏考慮鑑別能力類別的表現水準，並完全由資料來帶動特性，根據受試者的作答反應算出 p 維空間的距離遠近作為分群標準，未直接考慮試題背後的技能和知識。因此，本研究使用 Leighton, Gierl, & Hunka (2004)延伸空間規則模型的屬性層級方法，來評估受試者的學習層級。AHM 可以透過程式計算受試者對每個屬性的屬性機率，並且訂定不同門檻值來決定受試者是否擁有其屬性，而根據屬性有無去診斷受試者所在的學習層級。另外，為探討不同表現水準設定分類受試者的學習層級，其結果與專家判斷一致性如何？何種表現水準設定較適合作為日後讀者使用?本研究利用專家判斷當作效標，並利用屬性層級方法與群集分析分類受試者的學習層級，並進一步探討其結果。目前的評量工具中，大部分只針對單一個時間點或是某個單元學習完後而獲得總結性的成就進行測量，並只關注所得到的測驗分數，較少關注到學生的認知發展是否已經到達其應該發展的層次。而先前的發展層次研究中，例如：李昆達（2005）從 Van Hiele 發展層次分析國小六年級學童平行概念之研究、林玉琦（2003）研究國小高年級學童的梯形認知成份與 Van Hiele 發展層次、皮亞傑於 1960 年中提出的認知發展論採用小樣本的方式，對於個別兒童在自然情境下對事務處理的智能反應做質性研究（維基百科，2013）等，較少針對到測量學生面積概念的發展層次進行探究。由於「面積」與我們生活密不可分，舉凡從國小四年級開始，經由國中、高中、大學等均包含有關面積的單元，如「操場的大小是多少?」、「拋物線 f(x)=x2 下的面積?」等。「面積幾何」發展概念所涵蓋的幾何單元有面積的大小、平面圖形、立體圖形、周界和周長、面積和周長、圓形、三角形、四邊形、梯形面積應用、圓面積和圓周率等等，從上述單元中可以發現，面積幾何發展概念的關聯性（南一課綱，2013）。教育部（2003）明訂，小學畢業前能夠認識簡單幾何形體的幾何性質、並能理解其面積與體積公式，是國民小學階段的數學學習領域教學 3.

(18) 目標之一。因此，以國小學童來說，面積的教學在數學領域上佔有一席之地（謝旭明，2011）。然而，從許多研究中發現國小學童在面積學習的過程中，一直有瞭解面積概念的困難與迷思概念（王勝弘，2002；王選發，2002；陳薇羽，2005；戴政吉，2001），其成就表現也較不盡理想，該如何改善其問題，以便提高學生在面積概念的學習成效，需有好的評量工具協助教師立即瞭解學生的學習狀況。因此本研究選定國小四至六年級面積概念發展層次之評量作為研究的重點。. 第二節研究目的基於上述之研究動機，本研究使用陳緯誠（2013）以 OMC 試題所設計的國小四至六年級面積概念發展成就測驗，探討兩種表現水準設定方法分析受試者的學習層級與專家判斷的一致性，並了解不同年級在面積概念發展上之表現差異，主要目的如下：壹、應用屬性層級方法找尋最佳的門檻值。貳、以專家判斷為效標，探討屬性層級方法與群集分析分析四至六年級學習層級與專家判斷之一致性。叄、根據與專家判斷一致性較高的表現水準設定方法比較不同年級對面積概念發展之表現。. 第三節待答問題根據上述研究目的，本研究之待答問題整理如下：壹、設定不同的門檻值，其學生的學習層級是否會有所改變？貳、以不同表現水準設定方法分析四至六年級學習層級與專家判斷的一致性如何？叁、不同年級在面積概念發展的表現是否有顯著差異？ 4.

(19) 第四節名詞解釋茲將本研究之重要名詞，分別定義如下：壹、次序型選擇題次序型選擇題是由 Briggs, Alonzo, Schwab, & Wilson (2006)所提出，簡稱 OMC 試題。OMC 試題是結合傳統選擇題與二階段試題之優點而成，因為具有良好的理論基礎，所以在診斷上比傳統選擇題更具有可靠性。OMC 試題選項對應到學生在開放式問題的回答，當受試者選擇其一為答案時，所能測量到的不只是受試者是否選擇到正確的選項，而是更進一步診斷受試者選擇其選項背後的原因，而就其選項連接到學習的層級，診斷受試者應該所在的學習層級。. 貳、表現水準針對學生的學習表現對於不同的學習階段有不同的內容描述，透過內容描述瞭解學生的表現。. 叁、屬性層級方法屬性層級方法 (attribute hierarchy method, AHM)是由 Leighton, Gierl, & Hunka (2004)將規則空間模型延伸出新的模式，屬性層級方法是認知診斷評估，其目的是加強教學和學生學習，整合認知心理與教育測量。屬性層級方法包含屬性，這些屬性定義受試者能夠正確回答試題所需的程序或陳述性知識，而屬性之間的關係則採用分層結構，由屬性的二分化結果，連接到受試者所具備的知識和技能，進而推論受試者的學習層級。. 肆、群集分析群集分析 (cluster analysis)，又稱群聚分析、群落分析、叢集分析、集群分析 5.

(20) 等。群集分析依照某種標準將個體加以分類，根據個體間的相似性與相異性，客觀的將相似者歸類在同一群體中，相異者歸類至另一群體的一種統計方法。其實施步驟包括決定分群變數及考量變項性質、進行群集分析及對結果進行解釋和驗證。. 伍、學習層級學習層級在科學教育較為普遍，其中值得應用的特點是學習層級的潛在用途，能夠簡單診斷評估學生的理解力。學習層級是經由專家定義發展的目標知識與所描述的結構而成的，在定義學習層級時，可根據各層級可能出現的錯誤概念和直觀的想法來進行界定。最高層級表示所有概念都已精熟，最低層級表示對所有概念完全不精熟。. 陸、面積概念發展面積是指在某一封閉區域的大小，也就是在一個特定區域內被數個單位量所覆蓋的程度。譚寧君（1995）將面積概念分為四個部分，分別是面積初步概念，面積保留概念、面積測量概念及面積估測概念。本研究對象為國小四至六年級，此階段之學生面積概念的發展多以面積保留概念與面積測量概念為主。. 柒、面積保留概念面積保留概念，是指瞭解物體在外型轉換的過程中，如果遇到形狀切割變形、位置移動或是方向的轉動時，仍能膫解面積依然保持不變的認知能力。. 捌、面積測量概念面積測量概念是從個別物件，到利用個別單位描述物體大小，最後推演至使用普通單位，延伸出面積公式。面積測量概念不只有計算，還包含遞移性、分解 6.

(21) 或合成性。Piaget, Inhelder, & Szeminska (1960)認為當面積保留能夠銜接到互補面積保留時，才能進行真正的測量，故面積測量是面積保留的上位概念。譚寧君（1995）將面積測量概念分為三種不同的層次，分別是基本面積概念、單位面積概念、直線測量面積概念。. 第五節研究範圍與限制壹、研究範圍本研究的目的是以專家判斷為效標，探究屬性層級方法與群集分析分析四至六年級學生面積發展次序型選擇題的可行性，因此在施測工具與施測資料方面採用陳緯誠（2013）所編製面積概念發展試題及施測結果，探討學生在面積概念的發展。研究範圍包括國小四年級至六年級的面積保留概念與面積測量概念。其中面積測量概念包括基本面積測量、單位面積測量以及直線面積測量。本研究結果僅適合推論國小四年級至六年級的面積概念發展層次，不宜推論至其他年級的面積概念發展層次。. 7.

(22) 8.

(23) 第二章文獻探討本研究根據研究目的進行文獻探討。第一節為面積概念發展；第二節為國小四至六年級面積教材分析；第三節為次序型選擇題的理論基礎；第四節為表現水準的設定。. 第一節面積概念發展面積是指一條固定長度的線段或曲線，所圍出來的封閉區域，可以對應到一個連續量，而這個量即是面積（陳鉪逸，1997）。面積概念發展從面積基礎概念的建立、保留概念的形成到測量概念的逐步發展，最後為面積的估測（譚寧君， 1995）。因此，以下就面積初步概念、面積保留概念、面積測量概念、面積估測概念闡述面積概念的發展。. 壹、面積初步概念面積是由一種圖形區域所產生的量，描述物體佔二維空間的量，以表對某一封閉區域覆蓋範圍的大小，因此，面積具有周界，覆蓋物不能超過給定的邊界，且覆蓋物不能重疊（譚寧君，1995）。. 貳、面積保留概念保留概念是由皮亞傑首先提出的，是皮亞傑認知發展理論中的重要概念。所謂的保留概念，是指個體在面對物體轉換(Transformation)的過程中，遇到形狀的切割、方向的轉動或是位置的移動等，仍然保有物體原有的特質保留不變的認知能力，例如一塊正方形的蛋糕由對角線切成兩塊，組合成等腰三角形，蛋糕面積依然不變。也就是說，保留概念是指物體的大小不因方向、位置的改變而改變 9.

(24) （譚寧君，1998b）。皮亞傑發現兒童保留概念的發展，大致上可分成缺乏保留概念、過渡和充分具有保留概念的三個階段(Piaget, 1952)。在各種的概念發展順序而言，長度保留概念的發展比面積保留概念來的早，而面積保留概念與面積測量概念是平行發展的（蔡春美，1980）。面積保留概念可以再分成下面兩個階段：一、基本面積保留概念基本面積保留概念代表在任何封閉範圍面積的大小，不因形狀改變而有所不同。不論將圖形如何移動或切割重組，面積大小都是固定的。例如將一個正方形切割成四個一樣大小的三角形，將此四個三角形經過旋轉、移動後成為一個新的圖形如圖 2-1。雖然正方形與平行四邊形的形狀不同，但面積卻是相同的。. 圖 2-1 基本面積保留概念二、面積互補保留概念面積互補保留概念是指兒童能認知在相同面積大小的平面上，兩個面的面積減去形狀不同但面積相同的面積大小後，面積依然不會改變，例如圖 2-2，圖中灰色面積皆為方形面積扣除圓形面積（兩個半圓合而為一即為一完整圓），故互補面積保留概念是屬於逆向的邏輯思考，需在兒童已經具備基本面積保留概念後才可提及互補關係（譚寧君，1998b）。. 10.

(25) 圖 2-2 面積互補保留概念為研究兒童面積保留概念的發展，皮亞傑設計一些實驗來了解兒童要具備面積保留概念，則需要具備部分組成全體的概念，且需具備這些部分排列或組合並不影響面積；此外，兒童尚需具備「等量減等量，結果相等」的歐幾里德定理的數學概念。以下將 Piaget et al. (1960)關於面積保留的三個實驗整理如表 2-1：. 表 2-1 皮亞傑面積保留概念實驗（蔡春美，1982）實驗名稱. 認知發展層次. 結果. 基. 一、牛吃草實驗. 尚未具有階段不能決定兩隻牛吃的草是否. 本. 目的在觀察兒童從（五歲以下）相等。. 面. 何時起會放棄「等. 過. （五歲. 只憑直覺判斷，在各放一木屋. 積. 量減等量，結果相. 渡. 半到六. 時就否認兩隻牛吃的草是一. 保. 等」的歐幾里德定. 階. 歲）. 留. 理的概念，而屈服. 段. （六歲. 概. 在知覺形態的引誘. 念. 之下。. 樣多。承認兩隻牛吃的草相等，但到. 到七歲）在各放15~20 間木屋時就否認兩隻牛吃的草是一樣多。已具有階段. 承認不管怎麼放木屋，兩隻牛. （七歲半以. 吃的草是一樣多。因為兒童已. 上，有的更早具有可逆性的邏輯思考能力。. 11.

(26) 實驗名稱. 認知發展層次. 結果. 在六歲半）二、幾何圖形實驗尚未具有階段以為形狀改變時面積或小正主要是觀察兒童是（五歲到六歲方形總數也會為之改變。一個否能具備部分組成. 以下）. 圖形比較大是因為它的「樣. 全體，部分無論如. 子」比較大，或因為它被「剪. 何排列或組合並不. 成兩半」。. 影響總面積的面積保留概念。. 過渡階段（六歲到七歲）. 有時能憑直覺答對問題，有開始想到面積可剖分為能夠測量的次級單位，但雖承認同樣有六個小正方形，但卻不承認面積相等。. 已具有階段. 兒童不管圖形怎樣改變，都能. （六歲半到七認為一樣大，已具備面積保留歲以上）互. 概念。. 三、草地內馬鈴薯尚未具有階段兒童尚未具備互補的面積保. 補. 園實驗. （七歲以下）留概念。有些兒童還認為A2. 面. 為了瞭解兒童對互. 變化形狀後其面積變大，剩下. 積. 補面積的保留概. 的草地也變大。. 保. 念。因為互補面積. 過渡階段. 兒童對形狀不同的馬鈴薯園. 留. 保留概念的瞭解，. （七歲到八. 承認相等（雖然形狀不同）. 概. 亦為面積測量運思. 歲）. ，但對剩下的草地不承認相. 念. 的基礎，包括面積. 等。因為它們不能了解面積的. 的剖分與次序及位. 互補關係。它們雖然能協調第. 12.

(27) 實驗名稱. 認知發展層次. 結果. 置變化的綜合運. 一層次的平面大小關係，但卻. 思。. 不能同時對第二層次的平面大小關係與整體做一統整。已具有階段. 兒童已能正確回答此問題，能. （八歲以上）了解部分和全體的相互關係。. 叁、面積測量概念面積測量概念是從個別物件如桌子描述教室大小，到利用個別單位（五本教科書）描述桌子大小，最後推演至使用普通單位如用平方公分板來記數，延伸出面積公式。面積測量概念不只有計算，還包含遞移性、分解或合成性。Piaget et al. (1960)認為當面積保留能夠銜接到互補面積保留時，才能進行真正的測量，故面積測量是面積保留的上位概念。譚寧君(1998b)將面積測量概念分為三種不同層次：一、基本面積概念基本面積概念是指在給定的平方單位格內，在平面面積中，點數的個數。當面積皆由整數格所組成並且未含非整數格時，學生在計算面積大小時容易計算且不易出錯。相反的，當面積包含整數格和非整數格時，即形成面積的補償關係，學生在計算面積大小時較容易計算錯誤或者是忽略非整數格之面積大小。例如圖 2-3，A 為完整整數格，B 則包含非整數格。. 圖 2-3 基本面積概念. 13.

(28) 圖 2-3 中，假設圖中一方格面積為 1 平方公分，則 A 圖包含 14 個灰色方格，故面積為 14 平方公分，而 B 圖包含 11 個完整的灰色方格與 6 個不完整灰色方格，面積為 20 平方公分減去兩個三角形，故面積亦為 14 平方公分。兩者雖然形狀不同，但面積卻是相同的，學生尚未學習面積概念時較無法判斷兩張圖形的面積大小是一樣的。二、單位面積概念單位面積概念是指透過不同單位量的覆蓋或拼湊而成的測量，單位量指的是單位的大小，當所設定的單位量越大時，單位個數會越少，而當單位量越小時，單位個數就會越多。假設一個長方形長 4 公分寬 3 公分，如果用不同單位量來描述面積大小，如用邊長 1 公分的正方形加以覆蓋，則長方形可以用 12 個□覆蓋面積。如用邊長 1 公分的等腰三角形加以覆蓋，則長方形可以用 24 個⊿蓋滿，兩者雖然都為長方形，但由於單位量的不同（一個為□，一個為⊿），故其單位數亦有不同（一為 12 個□，一個為 24 個⊿），如圖 2-4。. 圖 2-4 單位面積概念三、直線測量面積概念直線測量與前述的兩種概念完全不同，直線測量包括單位在數學上的相乘關係，基本面積與單位面積只在單位數的累加與單位量的比較，而一般常見的面積公式如長方形面積等於長邊乘以寬邊、三角形面積等於底面積乘以 14.

(29) 高除以二等則屬於直線測量面積概念（譚寧君，1998a）。綜合以上所述，基本面積概念以點數為單位測量的基礎，單位面積概念除了點數測量外，多了覆蓋、重組、切割等行為，而直線測量面積概念則以一維的單位量來測量。以下將 Piaget et al. (1960)關於面積測量的三個實驗整理如表 2-2：. 表 2-2 皮亞傑面積測量概念實驗（蔡春美，1982）實驗名稱. 認知發展的層次. 結果. 基. 一、疊置法. 尚未具有階段（六. 不會使用測量紙卡，即使主. 本. 兩個重要概念：. 歲以下）. 試者教他如何疊置，仍無法. 面. 1.兩次級單位可合. 積. 併為一個。. 過渡階段. 用試誤法開始了解實驗包. 測. 2.數學上的相等關. （六到七歲）. 含的遞移概念，但仍不能正. 量. 係的遞移性(A＝. 確回答。. 概. B，B＝C，則 A＝已具有階段. 已能正確回答，它們會使用. 念. C). 解答。. （七歲半到八歲半. 測量紙卡，且具備遞移概. 以上）. 念。. 單. 二、單位測量法. 尚未具有階段（五. 通常不會做正確測量，就是. 位. 只給兒童一個剪. 歲到六歲以下）. 教他如何畫，然後數一數方. 面. 好的測量紙卡做. 格，但他們仍不能做正確反. 積. 為測量單位，以重. 應。有些七歲的兒童亦不能. 測. 複測量方式去比. 做正確反應。. 量. 較不同圖形的面. 過渡階段. 兒童開始瞭解，但不是普遍. 概. 積是否相等的問. （六歲到七歲半）. 了解。會使用測量卡紙，也. 15.

(30) 實驗名稱念. 認知發展的層次. 題。. 結果數得出單位個數，但亦不能做出正確反應。有的兒童不了解三角形與正方形紙卡間的關係，可見這個階段的兒童還未具備基本的測量單位的概念。. 已具有階段. 兒童已能正確回答，能明白. （七歲半到八歲半. 基本測量單位。. 以上）直. 三、直線測量法. 尚未具有階段（四. 兒童完全不會倍加長度，因. 線. 以面積加倍的概. 或五歲到七或七歲. 缺乏長度保留與剖分概念。. 測. 念，來研究兒童使半）. 量. 用直線測量以測. 過渡階段. 兒童能倍加長度，但對正方. 面. 量面積的概念。. （七歲半到十歲左. 形加倍成另一正方形的問. 右）. 題不能完全答對，有的只加. 積概. 長一倍的邊長成一長方. 念. 形，有兩方向的邊長皆加倍成比原正方形大四倍的正方形。他們似乎了解長度與面積間的關係是乘法關係，但仍不能正確答對問題。已具有階段. 開始了解用「乘長度」來確. 16.

(31) 實驗名稱. 認知發展的層次. 結果. （十一歲或十二歲. 定面積的問題，知道先求原. 左右）. 正方形面積3×3＝9，再求兩倍的面積是9×2＝18，而4×4 ＝16，所以新的正方形每邊長度會比4 略大一些，已進入形式運思期的認知作用了。. 肆、面積估測概念面積估測概念是在當學童已有覆蓋的觀念後，能夠透過任何工具，包括目測、手量已感覺到估測一個單位量與單位數的關係。例如猜猜看一張桌子有多大？接著使用公式去檢驗，即是面積估測。若課程中未提及估測的教材，將不易培養學童的量感，也使學童不易產生有意義的學習（譚寧君，1995）。. 綜合以上討論得知，學童的面積概念包括初步概念、保留概念、測量概念和估測概念，從 Piaget 的理論中可以知道，學童一開始都以視覺直觀的方式來學習面積，且當面積保留能夠銜接到互補面積保留時，才能進行真正的測量，故面積測量是面積保留的上位概念。因本研究對象為國小四至六年級學生，根據課程綱要僅以面積保留與面積測量為主。. 17.

(32) 第二節國小四至六年級面積教材分析本研究之研究對象為國小四至六年級，探討面積概念發展的學習層級。因此，必須先對面積教材有所了解，根據教育部最新公布之 2008 年新版課程綱要，了解四至六年級面積單元的教學目標。因此就現行之國民中小學九年一貫課程綱要討論面積教材。依據課程綱要，數學領域分為四個階段，第一階段為國小一至二年級，第二階段為國小三至四年級，第三階段為國小五至六年級，第四階段為國中一至三年級。因本研究以國小四至六年級學生為研究對象，屬於第二階段與第三階段。此外，課綱將數學內容分為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題，並表明量與實測為國小數學的核心課程之一。面積是一種依附在圖形區域所產生的量（陳鉪逸，1997），面積雖然屬於量的教學主題，但與幾何主題有許多重疊之處，因此面積教材中一些指標是量與幾何共用的（謝旭明，2011）。茲將課程綱要中「數與量」、「幾何」兩大主題中與面積相關的能力指標分成第二階段及第三階段整理如表 2-3。. 18.

(33) 表 2-3 國民中小學九年一貫課程綱要數學領域面積教材相關能力指標主題數. 階段第二階段. 代號. 能力指標. N-2-17. 能做長度的實測，認識長度常用單位，並能做長度之比較與計算。. N-2-21. 能認識面積常用單位，並能做面積之比較與計算。. N-2-22. 能理解正方形和長方形的面積與周長公式。(S-2-08). N-2-23. 能認識體積，並認識體積單位「立方公分」。. N-2-26. 能做量的簡單估測。(同 N-1-17). N-3-19. 能認識量的常用單位及其換算，並用複名數處理相關的計算問題。. N-3-20. 能理解正方體和長方體的體積公式。(S-3-05). N-3-22. 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。(S-3-06) (同 N-2-19). N-3-23. 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。(S-3-07)(同 N-3-16). N-3-24. 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。(S-3-10)(同 N-3-17). N-3-25. 能計算正方體或長方體的表面積。(S-3-11). S-2-01. 能認識平面圖形的內部、外部及其周界與周長。(同 S-1-04). S-2-02. 能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。(同 S-1-05). S-2-08. 能理解正方形和長方形的面積與周長公式。(N-2-22)(修 N-2-07). S-3-06. 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。(N-3-22)(同 S-2-08). S-3-07. 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。(N-3-23)(同 S-3-04). 與量. 第三階段. 幾何. 第二階段. 第三階段. 19.

(34) 主題. 階段. 代號. 能力指標. S-3-10. 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。(N-3-24)(同 S-3-06). S-3-11. 能計算正方體或長方體的表面積。(N-3-25). 註：代號第一碼 N 代表數與量主題，S 代表幾何主題；第二碼代表階段，以 1、2 表示第一階段和第二階段；第三碼則是能力指標的流水號，表示該細項下指標的序號。由於課程綱要的能力指標是依據主題與階段的學習能力而定，然而多數的指標須採分年教學，因此，由階段能力指標演繹出更細緻的分年細目及詮釋。茲將課程綱要國小部分與面積相關的分年細目整理如表 2-4。. 表 2-4 國民中小學九年一貫課程綱要數學領域面積教材相關分年細目代號. 分年細目. 對照指標. 3-n-14. 能認識長度單位「毫米」及「公尺」、「公分」、「毫米」間的關係，並做相關的實測、估測與計算。(同 3-n-12). N-2-17 N-2-26. 3-s-01. 能認識平面圖形的內部、外部與其周界。. S-2-01. 3-s-05. 能認識面積單位「平方公分」，並做相關的實測與計算。(同 3-n-18)(修 3-s-05). N-2-21 S-2-02. 能理解長方形和正方形的面積公式與周長公式。 (同 4-s-09)(同 4-n-16). N-2-22 S-2-08. 4-n-19. 能認識體積及體積單位「立方公分」。. N-2-23. 5-n-17. 能認識面積單位「公畝」、「公頃」、「平方公里」及其關係，並做相關計算。(同 5-n-15). N-3-19. 5-n-18. 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。(同 5-s-05)(同 5-n-16). N-3-22 S-3-06. 5-n-20. 能理解長方體和正方體體積的計算公式，並能求出長方體和正方體的表面積。 ( 同 5-s-07)( 修. N-3-20 N-3-25. 4-n-18. 20.

(35) 代號. 分年細目. 對照指標. 5-n-18). S-3-05 S-3-11. 6-n-14. 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形的面積。。(同 6-s-03) (同 6-n-12). N-3-23 S-3-07. 6-n-15. 能理解簡單直柱體的體積為底面積與高的乘積。 (同 6-s-05) (同 6-n-13). N-3-24 S-3-10. 註：代號第一碼為年級；第二碼表示主題，分別以小寫字母 n、S 表示「數與量」及「幾何」；第三碼為流水號，表示該細向下分年細目的序號。由分年細目表來看，從三年級即開始學習面積的單位及測量概念，四年級後則開始引入面積的公式與單位換算。五年級與六年級則學習更多不同的單位換算及計算不同的幾何圖形面積。因此，面積概念發展對於國小階段是相當重要的一部分。. 第三節次序型選擇題的理論基礎本節主要介紹次序型選擇題的定義與功能，接著探討其相關文獻與分析方法。壹、次序型選擇題的定義與功能 Briggs, Alonzo, Schwab, & Wilson (2006)開發次序型選擇題，OMC 試題是將傳統選擇題與二階段試題的優點所結合而成的，有傳統選擇題的便利性也可透過試題選項得知受試者的發展層次。OMC 試題格式屬於更廣泛階層的評估試題，其中所能測量到的不只是受試者是否選擇正確的選項，而是進一步診斷受試者選擇選項背後的原因。根據受試者所選擇的選項來傳遞受試者的能力屬於哪個層級。本研究利用 OMC 試題進行分析，透過信息進行有效溝通，使受試者能夠理解其意義，且試題選項皆可發展受試者的學習層級。未來也可將此信息提供給教學現場的教師、學生。以下將傳統選擇題與二階段試題的優缺點整理如表 2-5：. 21.

(36) 表 2-5 傳統選擇題與二階段試題優缺點整理表（陳緯誠，2013）傳統選擇題優點. 二階段試題. 1. 作答簡單、計分容易。. 1. 透過試題及其選項的設計與. 2. 能夠測量從簡單到複雜的學. 安排，使研究者能從受試者選擇的答案項目中，推測其. 習成果。. 內在的想法或思考。 3. 不同誘答選項可以提供教師教學診斷所需的訊息。. 2. 二階段診斷測驗提供更有效率的診斷模式、並就診斷結. 4. 作答時間短，可測量較多試. 果將有助於教師的教學。. 題數，內容取樣廣，能提高內容效度。缺點. 1. 容易出現猜測現象。. 1. 學生習慣在選項中尋找較正. 2. 測驗分數容易受到受試者閱讀能力的影響。. 確或符合邏輯的答案。 2. 學生容易受限於題目所提供之選項，無法依自己的意見或想法自主回答。 3. 有些題目不容易找到具有似真性的誘答，命題過程較花時間。. 由表 2-5 發現，可知兩種題型皆有各自的優缺點，故將此兩種題型之優缺點截長補短，使其產生新式題型，也就是 Briggs et al.在 2006 年開發的 OMC 試題。 OMC 試題的選項反應出受試者在開放式問題的答案，且這些答案能夠明確的連 22.

(37) 結到學習層級。診斷評估發展取決於試題是否可以有效找出受試者所具備的概念，使得這些概念可以與學習層級做連結。 OMC 試題的每一個選項皆會對應到一個學習層級，經由受試者在選擇選項時診斷受試者的能力是屬於哪個學習層級。以下將簡單介紹 OMC 試題範例。首先定義出針對單一的概念在不同的學習層級會有甚麼改變作為我們關注的重點。根據學習層級所描述的發展目標知識，概念也可以被視為定義最高層級的依據。訂定學習層級舉例如表 2-6：表 2-6 學生了解地球在太陽系的學習層級 (Briggs & Alonzo, 2009) 層級. 描述. 5. 學生能夠表達地球和月球的運動，在太陽系的解釋中有完整描述：  日/夜循環  月相（包括由太陽照亮的月球）  季節. 4. 學生能夠表達表面和在天空中實際運動的物體。學生都知道：  地球會繞太陽運動，且會繞軸心自轉。  地球繞太陽一周需要一年的時間  地球繞軸心自轉一天一次，造成日/夜循環和出現太陽在天空中移動  月球圍繞地球是以28天為一個週期常見的錯誤：四季的變化會造成地球和太陽之間的距離。常見的錯誤：月相上的陰影是由行星、太陽、地球墜落在月球上. 23.

(38) 層級. 描述所造成的。. 3. 學生知道：  地球繞太陽  月球會繞地球轉  地球繞軸心自轉然而，學生並不瞭解表觀運動形成的解釋，並且可能無法辨別地球是同時旋轉並繞行軌道。常見的錯誤：造成晚上天黑是因為地球每天繞著太陽一次。. 2. 學生認識到：  太陽每天在天空中移動  觀察月球形狀的變化，以 28 天為一個週期學生可能相信太陽繞著地球移動。常見的錯誤：所有在天空中的運動是由於地球繞軸線旋轉。常見的錯誤：太陽繞地球移動。常見的錯誤：天黑是因為太陽繞著地球轉，週期一天。常見的錯誤：地球是宇宙的中心。. 1. 學生不認識在天空系統中物體的外觀。學生可能不認識到地球是圓的。常見的錯誤：天黑是因為有某些東西（例如，雲、大氣等等）覆蓋住太陽。常見的錯誤：月相是因為雲層的覆蓋所造成的。常見的錯誤：天黑是因為地球在太陽的下方。. 0. 沒有證據或偏離. 24.

(39) 當訂定完學習層級後，將根據學習層級進行編製 OMC 試題的步驟，以下列出兩題 OMC 試題範例如表 2-7：表 2-7 OMC 試題連結地球在太陽系的學習層級 (Briggs & Alonzo, 2009) 1. 下列哪一個選項是最好的解釋為什麼我們在地球上遇到不同的季節?. 層級. A. 地球的軌道圍繞著太陽，使我們在夏天接近太陽，在冬天遠離太陽。. 4. B. 地球的軌道圍繞著太陽，使我們在夏天面對太陽，在冬天遠離太陽。. 3. C. 地球在軸線上自轉，使我們在夏天面對太陽，冬天遠離太陽。. 3. D. 地球的傾斜導致太陽的照耀夏天比冬天更直接。. 5. E. 地球的傾斜使我們在夏天比在冬天更接近太陽。. 4. 2. 下列哪一個選項最能說明地球、太陽和月球的運動?. 層級. A. 太陽和月球都繞地球轉；地球繞軸心自轉。. 2. B. 月球繞地球轉；地球繞太陽轉；地球繞軸心自轉。. 4. C. 月球繞地球轉；地球繞太陽轉。. 3. D. 地球、太陽和月球都不會轉動，但其他周圍的物體會繞著他們轉動。. 1. E. 地球會繞軸心自轉。. 3. 由上面範例可知，OMC 試題類似於典型的標準化測驗的選擇題形式，但在每個反應選項上則是代表一個學習層級。雖然每題試題都包含被認為是最正確的選項，但不一定每題試題皆包含每個學習層級，有些選項不可能被選擇出來，在試題層級中構成了天花板效應（例如上表例題 2 能夠選擇的最高層級為 4）或地板效應（例如上表例題 2 能夠選擇的最低層級為 3），而在某些試題上則可能同時具有同個層級的反應選項，故增加了受試者可能選擇其中一個選項的機率。. 25.

(40) 在國外已出現 OMC 試題的相關研究，如 Briggs & Alonzo (2009); Briggs, Alonzo, Schwab, & Wilson (2006); Lin, Chu, & Meng (2010)等，這些研究都偏向自然科學或是文學的研究，這也表示 OMC 試題較於偏向理論的研究。在國外的文獻中尚未出現數學科的研究，所以本研究以數學科為例，探討 OMC 試題在數學科的認知發展。貳、相關文獻與分析方法分析 OMC 試題的方法如表 2-8：表 2-8 OMC 相關文獻與分析方法（陳緯誠，2013）作者 Briggs &. 應用主題地球科學. 分析方法以傳統描述性統計說明 OMC 試題特性並使用 Rasch model 及單參數 IRT. Alonzo (2009). 模型求得試題難度，最後使用 Attribute Hierarchy Method (AHM)分析 OMC 試題 Lin, Chu, & Meng (2010). 閱讀理解. 將試題以對錯計分及部分計分去分析，另外以閱讀理解測驗和 OMC 及 TMC 去計算相關並當作效標關聯效度，而學生在試題的作答選項由能力去估計再由 Winsteps 去輸出，最後以散點圖表示試題難度，散點圖也可評估排名是否受難度的影響。. 26.

(41) 作者 Briggs,. 應用主題地球科學. 分析方法先以傳統描述性統計說明 OMC 試題. Alonzo,. 特性及使用可靠性比較、Rasch model. Schwab, &. 及單參數 IRT 模型來求試題的難度，. Wilson (2006). 最後再以 ordered partition model (OPM)分析 OMC 試題。. 由表 2-8 可得知，OMC 試題大部分多用在自然科學或文學上，且有不同分析方法可以分析 OMC 試題。因此，本研究將以屬性層級方法分析陳緯誠（2013）所編製的「以次序型選擇題測量學生面積概念發展層次試題」。使用屬性層級方法分析 OMC 試題，可根據受試者的作答反應分析出受試者具備那些屬性，並就其屬性有無分類受試者所在的學習層級。. 27.

(42) 第四節表現水準的設定測驗的目的，不外乎是檢視受試者對測驗範圍的精熟程度。就學期間的成績通常以及格不及格來訂定，60 分以上及格，60 分以下則不及格。出社會後可能又會面臨國家級證照考試，不同標準設定所得到的結果一致性如何？應該如何訂定通過標準呢？此類問題從學術研究角度來看，即是在探討效標參照測驗中，此效標或精熟標準的設定方式（謝進昌，2006）。本研究利用 OMC 試題來測量學生在面積概念的發展層次，因此涉及到如何訂定各個學習層級的表現通過標準。然而，該如何設定各個學習層級的表現水準，常見的標準設定可劃分為以測驗試題的特性為判斷依據的測驗中心模式 (test-centered methods)與以受試者能力或作答表現為判斷依據的受試者中心模式 (examinee-centered methods)兩類，但不論是以測驗或受試者為中心的標準設定方法，兩者皆會依賴學科與學科專家們的主觀判斷（林奕宏、曾芬蘭、宋曜廷， 2013）。本研究是以受試者為中心，探討受試者的學習層級。除了常見的專家判斷，Sireci 在 1995 年時使用群集分析來確定統計組別是否可以與受試者的表現類別吻合。Brown 則在 2000 年使用潛在類別分析確定受試者的反應潛在分布用來觀測其表現層級。然而，Sireci & Brown 的理論中缺乏考慮鑑別能力類別的表現水準，完全由資料來帶動特性，根據受試者的作答反應算出 p 維空間的距離遠近作為分群標準，而屬性層級方法則先判定具備那些屬性，根據所判定出的屬性組合分類受試者的學習層級。故本研究使用屬性層級方法，來評估受試者的學習層級。因此，為了比較不同表現水準設定方法分類受試者的學習層級，本研究使用專家判斷作為效標，利用群集分析與屬性層級方法分析之結果分別探討學習層級的一致性，以下簡介三種分類方法：. 28.

(43) 壹、專家判斷專家判斷，顧名思義即是根據專家的判定來決定通過標準，為有效區分不同層級的決斷分數，專家判斷取決於三種假設，第一，判斷是否擁有足夠的技能和知識以解決試題?第二，評估受試者在不同表現層級能夠正確回答試題的機率。第三，在單維尺度的測驗表現足以證明測驗總分能夠合理的區分表現層級。針對以上假設，對於研究者而言，不僅考慮到受試者的總分，對於受試者在特定試題的回答正確與否也一併關注(Sadesky, 2004)。本研究之專家判斷之準則為當受試者選擇某一層級的比例達五分之三，則被指定到該學習層級。. 貳、群集分析群集分析的用意在將觀察值依某種標準加以分類，與標準設定一樣，都是在將受試者進行分類，因此兩者的結合有其相似性（林奕宏等人，2013）。由文獻中發現，如果要將不同族群分類，較常使用的分析方法即是群集分析，如李佩隃（2010）潛在類別分析與二階段群集分析分群效果之比較研究，利用不同分群效果比較分群結果差異，並了解不同創造力表現類型的受試者在不同觀察變項上的表現差異、林克霖（2008）以群集分析為基礎之數位內容學習平臺建置與評估— 以臺中縣國小高年級電腦課程為例，利用群集分析的技術進行資料探勘，將實驗組學生分群，並對分群的結果作更深入的群集特性剖析、廖家新（2002）臺灣地區消費者對綠色產品的認知與購買行為之調查研究利用群集分析將不同認知程度之消費者加以分群、馮莉雅（2000）國中教師教學效能評鑑之研究利用群集分析教師的教學效能等。群集分析是將比較相似者歸類至同一類別，不相似者歸類至另一類的客觀統計方法（林清山，1985），也就是將沒有分群的個體按照相似程度歸於同一群，使得在同一群內的個體具有高度相似性與同質性，而群與群間具有高度異質性，有助於研究者了解資料間彼此的特性與差異。分類方式以距離作為分類的標準進 29.

(44) 行分類，相對距離越近，相似程度就越高（陳柔安，2006）。群集分析會因有不同的變項或將某一變項取出，其結果會有所改變，因此，其分類標準會依據資料的特性決定出最佳的分群。利用群集分析可以將資料簡單化。群集分析的方法可分為兩大類：分層法 (hierarchical)及非分層法(non-hierarchical)，而將上述兩種方法結合的群集分析稱為兩階段法(two Step)。一、分層法分層法可分為凝聚分層法(Agglomerative)和分離分層法(Divisive)。前者是將每一個個體為一群，逐步將最近的兩個體集結成單一群體，每次結合使群組越變越少，最後所有個體結合成一群。後者是一開始所有個體為一群，然後分成兩群、三群，直到每個體為一群。分層法的群集過程可以用樹狀圖表示出來。二、非分層法非分層法最具代表性的是 k 組平均法(K-Means Method)，開始時任意將個體分層 k 組，然後將個體在 k 組間移動使得群內變異最小而群間變異最大。應用群集分析方法在標準設定上，必須事先知道欲將所有個體分成幾個群聚。基本步驟如下： (一) 決定分群變數及考量變項性質變數與資料篩選上須考量： 1. 與群集分析的目標相關，反映分群對象特徵 2. 變數間不具有高度相關 3. 資料的標準化 (二) 進行群集分析由於本研究所採用的樣本數分別為四年級 303 位及六年級 299 位，使用分層法時需要做多次計算，因此本研究使用非分層法進行群集分析，分為以下步驟： 30.

(45) 1. 指定形成的群集數目。 2. 計算每個個體到各群重心的距離，將個體歸類至距離重心最近的一群。 3. 重新計算每一群之重心。 4. 重複步驟 2~步驟 3，直到沒有個體可再調整為止。 (三) 對結果進行解釋和驗證為確保群集分析的結果符合標準設定的目標，因此應對結果進行驗證和解釋，驗證方式包括（林奕宏等人，2013）： 1. 與外在效標的關係：如受試者在相同領域的其他表現指標，如在校成績等。 2. 跨樣本比較：將現有樣本隨機分成兩個子樣本，分別進行群集分析，比較結果是否相似。 3. 與既定標準的關係：進行標準設定前，已建立受試者表現等級，用以說明不同能力等級的受試者在作答反應上的特徵。 (四) 決定切點獲得分類結果後，即可以分類結果尋找適合的切點分數。林亦宏等人（2013）採用臨界組法(borderline group method)找切點分數，當相鄰兩組有許多受試者分類在不同組但卻具有相同分數時，找出這些受試者得分的中位數，作為切點分數。群集分析後，針對分群結果進行適當的描述，並將每群命名適當的名稱，倘若命名不恰當，可能因此造成閱讀不易與產生誤解。標準設定過程中，群集分析的結果可以協助研究者獲得不同的分類方法，藉此分類受試者所在之學習層級。. 31.

(46) 叁、屬性層級方法屬性層級方法是一種心理測量方法，對於受試者測驗試題反應分類成一組結構化的屬性模式，從認知模型組成部分的作答表現。AHM 可連接認知理論與心理測量，以及分析教育、心理測驗。AHM 分析對受試者認知能力具有幫助，可將測驗結果連接到特定的認知屬性進而推斷受試者的知識和技能，因此 AHM 具有診斷的價值。一、規則空間模式認知診斷模式在近十年中已擴增為心理計量模型，這種模式大部分來自 1980 年代起 Tatsuoka 所開發的，他認為試題的總分在某些特定域中，往往掩蓋學生用來解決問題的重要診斷訊息屬性。Tatsuoka (1983)發展出規則空間模式(rule space model, RSM)解決此問題，RSM 藉由受試者在試題評量中的試題反應組型(item response pattern)，推論受試者所具有的潛在知識狀態(latent knowledge state)。RSM 評量方法包括五個步驟：定義試題的認知屬性、將認知屬性組合成試題、決定出各種試題反應組型、形成分類空間、對受設者的反應進行分類。茲將說明五個步驟如下（涂金堂，2003；Katz, Martinez, Sheehan, & Tatsuoka, 1998）： (一) 定義試題的認知屬性(attribute) 試題的認知屬性是構成認知診斷評量的基礎，它包含陳述性知識、程序性知識或是解題的策略等。根據受試者在評量中的表現評斷是否擁有該認知屬性，施測者才能進而推論受試者可能的知識狀態。 (二) 將認知屬性組合成試題試題編製過程中，需藉由認知屬性的相似程度與難易程度組合成試題。試題與認知屬性的關係，可從關聯矩陣(incidence matrix, 以 Q 表示)來表示。假設有三道試題 I1、I2、I3，有兩個認知屬性 A1 及 A2，其中 I1 含有認知屬性 A1，I2 含有認知屬性 A2，I3 含有認知屬性 A1。因此，舉例來說，若想答對 I2，則需具備認知屬性 A2 的知識。而該份試題的關聯矩陣 Q 為(2x3)矩陣， 32.

(47) 如圖 2-5。. 圖 2-5 三道試題與兩個認知屬性所構成的關聯矩陣 (三) 決定出各種試題反應組型藉由排列組合將認知屬性排出各種不同的知識狀態，知識狀態的類型是透過關聯矩陣 Q 所決定的。受試者的知識狀態必須由試題反應組型進行推估。由圖 2-5 的例子，I1、I2、I3 三道試題經由排列組合可能會有八種不同的試題反應組型，分別是(0,0,0)、(1,0,0)、(0,1,0)、(0,0,1)、(1,1,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、 (1,1,1)，其中 1 代表答對，0 代表答錯。由上述例子中，構成了四種的可能知識狀態，如表 2-9：表 2-9 認知屬性關聯矩陣 Q(2x3)所產生的四種知識狀態知識狀態. 說明. (1,0,1). 受試者具備認知屬性 A1. (0,1,0). 受試者具備認知屬性 A2. (0,0,0). 受試者同時不具備認知屬性 A1、A2. (1,1,1). 受試者同時具備認知屬性 A1、A2. 若受試者的知識狀態為表 2-9 以上四種，則屬於典型試題反應組型(ideal item-response pattern)，若受試者的知識狀態是(1,0,0)、(0,0,1)、(1,1,0)、(0,1,1)，則屬於非典型試題反應組型。施測者可根據典型試題反應組型，清楚掌握受試者具有或缺乏哪些認知屬性，如果受試者屬於非典型試題反應組型，可能是因猜題或不小心等因素所造成的異常。 33.

(48) (四) 形成分類空間分類的空間是以二維的笛卡兒座標表示，橫座標以 IRT 中的能力參數表示，縱座標則以非典型反應組型. 表示。如果以 R 代表典型的反應組型，. 則在 RSM 中，任何的知識狀態皆可以表示為座標(. )，亦即在 RSM 中的. 每個座標點各代表一種反應組型。 (五) 對受試者的反應進行分類建立分類空間後，表示所有可能的典型反應組型都映射到規則空間的笛卡兒座標上，此時就可根據受試者的座標值(. )大小來決定受試者可能具有. 的知識狀態。當知道受試者的知識狀態後，則施測者即能根據此知識狀態瞭解受試者的學習狀況，進行個別的補救教學。 RSM 大部分應用在教育統計領域方面，例如可在大型測驗中，藉由類型分析，將受試者的試題反應組型做分類，並分析受試者的知識結構，以及診斷受試者在答題時所犯的錯誤（塗金堂，2003）。Leighton, Gierl, & Hunka(2004)將 RSM 延伸出新的模式，稱為屬性層級方法(attribute hierarchy method, AHM)，以下將詳細說明。二、屬性層級方法(AHM) AHM 的出發點是因需要在測量中所包含的屬性關係，將其分成一個有序的層級關係，這種關係在簡化下形成 Qr 矩陣。AHM 的 Qr 矩陣不同於 RSM 的 Q 矩陣，RSM 是假設所有屬性都是獨立的，而 AHM 的屬性之間具有依賴關係。使用 AHM 分析，施測者能夠取得分數、推論過程及屬性相關的技能。因此，屬性結構能夠凸顯學生有哪些特別的優缺點，AHM 也代表結構、知識、處理能力、測驗性能的基礎。 AHM 分為兩個階段，在第一階段中，指定屬性層級結構和透過 Qr 矩陣用認. 34.

(49) 知功能特徵評估試題，使其產生不同的預期反應模式。在第二階段中，比較預期和觀察到的反應模式，其結果根據屬性層級結構對受試者的特徵機率概率對應到具有一致的層級。以下將分述兩階段步驟： (一) 認知模式首先將表 2-6 的學習層級轉換成屬性編碼，用存在或不存在來給定受試者(Briggs, & Alonzo, 2009)，如表 2-10。表 2-10 屬性編碼表編碼. 說明. A1. 學生承認有一些物體在天空中的系統性. A2. 學生知道，地球圍繞太陽、月球繞地球、地球繞軸心自轉. A3. 學生能夠想像表面和在天空實際運動物體. A4. 學生能夠把地球和月球的運動描述成一個完整的太陽能系統，這也解釋了日/夜循環，月亮的陰晴圓缺，四季的運動. 上述的屬性層次結構相當簡單：A1 -A2 -A3 -A4，這些屬性是呈線性關係，如圖 2-6，受試者必須擁有較低層次的屬性，才能擁有較高的屬性。這四個屬性的組合將被用來定義學習層級。如表 2-11。. 圖 2-6 屬性結構關係. 35.

(50) 表 2-11 定義學習層級層級. 說明. Level 1. 沒有屬性. Level 2. A1. Level 3. A1:A2. Level 4. A1:A2:A3. Level 5. A1:A2:A3:A4. 由屬性層次列出關聯矩陣(A)和可達矩陣(R)，關聯矩陣表示所有屬性間的依賴關係，以 1 表示有關聯，0 表示沒有，如矩陣 A。可達矩陣表示屬性之間直接和間接的依賴關係，以 1 表示有關聯，0 表示沒有，如矩陣 R。. 矩陣 A 第一列中知道，地球圍繞太陽、月球繞地球、地球繞軸心自轉(A2) 直接依賴在學生承認有一些物體在天空中的系統性(A1)。. 矩陣 R 第一列表示屬性 A2、A3、A4 都依賴屬性 A1，對 A2 的依賴是直接的，A3 和 A4 的依賴是間接的。. 36.

(51) 透過關聯矩陣和可達矩陣產生 Qr 矩陣，再將 AHM 應用到傳統選擇題時，Qr 矩陣大小為 AxI，其中 A 代表屬性數目，I 代表試題數。由於本研究所分析的試題為 OMC 試題，屬於多分類得分，故相關的 Qr 矩陣要來的複雜許多。圖 2-7 摘錄 Briggs, & Alonzo (2009)OMC 試題的 Qr 矩陣。其中 2A 代表試題二的 A 選項。. 圖 2-7 Qr 矩陣(Briggs,& Alonzo,2009). Qr 矩陣會導致 OMC 試題的預期反應矩陣，每一行代表學生對 OMC 試題的預期反應對應到的屬性組合。建立完 Qr 矩陣後，對所有組合建立預期反應矩陣。圖 2-8 摘錄 Briggs & Alonzo (2009)OMC 試題的預期反應矩陣。. 圖 2-8 預期反應矩陣(Briggs & Alonzo, 2009) 從圖 2-8 舉例說明，假設受試者的學習層級在 Level 1，表示並未掌握任何屬性，由圖 2-7 中可知，例題二中，五個選項都有其對應之屬性，故假設此受試者可能以猜測方式進行答題，預期反應為[. 。而例題三中的 D. 選項，則未包含任何屬性，因此可以假設受試者的預期反應為[00010]。在上述例子中觀察到，某些試題會有地板效應或者天花板效應的產生。 37.

(52) 以下簡單介紹地板效應、天花板效應及相同層級之選項： 1. 地板效應當受試者的能力低於可用的 OMC 選項時，受試者會不知道該選哪個選項，我們稱此現象為地板效應。施測者假設受試者採用猜測答題（如受試者 1、受試者 2），因此選擇每個選項的機率皆為。 2. 天花板效應當受試者的能力高於最高的 OMC 選項時，受試者會認為全不選項皆不是他想要的，我們稱此現象為天花板效應，施測者假設受試者會選擇最高的可用選項（如受試者 5），因此受試者 5 在試題三時選擇 B 選項作為正確答案。 3. 相同層級之選項在 OMC 試題選項中，同一個層級可能不只包含一個選項，也就是在選項中，同一層級可能有一個以上的選項供受試者選擇。施測者假設受試者有相同的機會去選擇其中一個選項（如受試者 3、受試者 4），因此受試者 3 在試題二時，可能會選擇 B 選項或是 C 選項，故選擇這兩個選項機率為。本研究之面積概念發展試題中，只涵蓋相同層級之選項，並未出現地板效應或是天花板效應之試題。 (二) 統計分類標準完成認知模式界定後，為了方便使觀測到的試題反應機率對應到每個學習層級所預期的反應，有參數與非參數兩種方法可被應用。首先，假設受試者的學習層級在每一層級中所預期的反應向量（即每個可能的屬性組合）產生模擬試題反應。例如：以圖 2-7 為參考，對例題二與例題三建立模擬反應向量，如表 2-12。. 38.

(53) 表 2-12 模擬反應向量層級 Level 1. 屬性. 反應向量. 無. [10000][00010] [01000][00010] [00100] [00010] [00010] [00010] [00001] [00010]. Level 2. A1. [10000][10000] [01000][10000] [00100][10000] [00010][10000] [00001][10000]. Level 3. A1:A2. [01000][00100] [00100][00100] [01000][00001] [00100][00001]. Level 4. A1:A2:A3. [10000][01000] [00001][01000]. Level 5. A1:A2:A3:A4. [00010][01000]. 由上述例子中可知，當模擬 OMC 試題的反應向量會因為增加試題數、屬性數、地板效應試題數、試題中有相同屬性/層級的試題數時，反應向量會變得越來越複雜。透過這些特徵，每位受試者的試題反應選項，加入了粗心. 39.

(54) （當被預期選擇但並未選擇）和猜測（比預期的反應選擇較高的層級反應）。將反應向量建立完成後，即可根據這些向量採取參數化或非參數化的方法進行分析，在文獻中，Leighton, Gierl, & Hunka(2004)採取 2PL IRT 模型進行參數化分析，而非參數化方法則有 Gierl, Wang, & Zhou(2008)，利用神經網絡，將模擬試題反應投入於網路來學習受試者的學習層級。從第二階段的分析（參數或非參數）根據向量分類每位受試者，連同模型擬合指數和屬性的可靠性。本研究採用非參數化方法進行第二階段的分析。. 40.

(55) 第三章研究方法本研究主要探討應用屬性層級分析 OMC 試題，並以專家判斷為效標，探究屬性層級方法與群集分析之一致性，並以此結果推論國小學童在面積概念發展的學習層級。根據本研究目的進行研究設計，本章分為四節說明整個研究架構。第一節說明研究流程；第二節實驗設計；第三節為研究工具；第四節為資料分析。. 第一節研究流程為達到本研究目的，本研究利用 SPSS12.0、Mathematica 進行資料分析，並就其分析結果進行整理與比較，其研究流程如圖 3-1，研究步驟說明如下：壹、確定研究主題後蒐集相關文獻，根據文獻資料訂定國小數學面積概念之發展層次。貳、利用陳緯誠（2013）所編製之試題訂定屬性編碼。叄、利用專家判斷為效標，分別以屬性層級方法與群集分析分類受試者。肆、針對分類之結果比較與專家判斷的一致性。. 41.

(56) 擬定研究主題. 相關文獻探討與蒐集. 根據陳緯誠（2013）所編製之試題訂定屬性. 學習層級轉換成屬性編碼. 表現水準的設定. 群集分析. 屬性層級方法分析. 分析與專家判斷之一致性. 結論與建議. 圖 3-1 研究流程圖. 42.

(57) 第二節實驗設計本研究之實驗設計為評估受試者的屬性機率，實徵資料是由陳緯誠（2013）所蒐集之國小四至六年級面積概念發展測驗表現資料。壹、屬性編碼本研究根據蔡春美（1982）訂定的國小數學科面積發展層次，將其學習層級轉換成所要測量之屬性，如表 3-1。表 3-1 國小數學科面積發展層次（蔡春美，1982）層級 3. 描述面積保留概念 1.. 等量減等量(七歲半以上)：兒童已具有可逆性的邏輯思考能力。. 2.. 幾何圖形組合與排列(七歲以上)：兒童不管圖形怎樣改變，都能認為一樣大，已具備面積保留概念。. 3.. 互補面積保留(八歲以上)：兒童能了解部分和全體的相互關係。. 面積測量概念 1.. 面積測量(疊置法，七歲半以上)：能正確回答，它們會使用測量紙卡，且具備遞移概念。. 2.. 面積測量(單位測量法，七歲半以上)：能正確回答，能明白基本測量單位。. 3.. 面積測量(直線測量法，十一歲以上)：已進入形式運思期的認知作用了。. 43.